高考数学含参数的一元二次不等式的解法
关于含参数的一元二次不等式的解法探究
一．二次项系数为常数
例1解关于x 的不等式：.0)2(2
>+-+a x a x 解：0)2(2
>+-+a x a x )(*
()3243240422
+≥-≤?≥--=?a a a a 或，
此时两根为()2
42)2(21a
a a x --+
-=
，()2
42)2(22a
a a x ---
-=
.
（1）当324-?，
)
(*解集为
(248)2(,2+---∞-a a a )?(
+∞+-+-,2
4
8)2(2a a a )； （2）当324-=a 时，0=?，)(*解集为(13,-∞-)?(+∞-,13)； （3）当324324+<<-a 时，0
（4）当324+=a 时，0=?，)(*解集为(13,--∞-)?(+∞--,13)； （5）当324+>a 时，0>?，
)
(*解集为
(248)2(,2+---∞-a a a )?(
+∞+-+-,2
4
8)2(2a a a ). 二．二次项系数含参数
例2解关于x 的不等式：.01)1(2
<++-x a ax 解：若0=a ，原不等式.101>?<+-?x x
若0 0)1)(1(-- ?或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1 (<--?x a x )(* 其解的情况应由a 1 与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ； （2）当1>a 时，式)(*11 < ； （3）当10< x 1 1< 综上所述，当0 >< x a x x 或}；当0=a 时，解集为{1>x x }；当10< x x 1 1< <}；当1=a 时，解集为φ；当1>a 时，解集为{11 < x }. 例3解关于x 的不等式：.012 <-+ax ax 解：.012 <-+ax ax )(* （1）0=a 时，. 01)(R x ∈?<-?* （2）0≠a 时，则0042 >?≥+=?a a a 或4-≤a ， 此时两根为a a a a x 2421++-=，a a a a x 2422+--=. ①当0>a 时，0>?，?*∴)(<<+--x a a a a 242a a a a 242++-； ②当04<<-a 时，0 1 )(- ≠∈?*∴x R x 且； ④当4-?，?*∴)(或a a a a x 242++->a a a a x 242+--<. 综上，可知当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a a a a 242++-)； 当04≤<-a 时，解集为R ； 当4-=a 时，解集为(21,- ∞-)?(+∞-,2 1 ); 当4- +∞++-,242a a a a ). 上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直接进行因式分解，其共同点 是二次项系数含参数，故需对二次项系数的符号进行讨论. 上面三个例子，尽管分别代表了两种不同的类型，但它们对参数a 都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数a 的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个很好的规律：原来参数a 的分类是根据一元二次不等式中二次项系数等于零和判别式0=?时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类，如： 解关于x 的不等式：033)1(2 2 >++-ax x a 解：033)1(2 2>++-ax x a )(* 1012=?=-a a 或1-=a ； 203)1(4922=?=?-?-=?a a a 或2-=a ； ∴当2--a 且0 当2-=a 时，012 >-a 且0=?，)(*解集为(1,∞-)?(+∞,1)； 当12-<<-a 时，012 >-a 且0>?， )(*解集为(223123, 22----∞-a a a )?(+∞--+-,2 2312322 a a a )； 当1-=a 时，)(*1033+-?x x ，)(*解集为(1,∞-)； 当11<<-a 时，012 <-a 且0>?， )(*解集为( 22312322----a a a ,2 2312322 --+-a a a )； 当1=a 时，)(*1033->?>+?x x ，)(*解集为(+∞-,1)； 当21< >-a 且0>?， )(*解集为(223123,22----∞-a a a )?( +∞--+-,2 2312322 a a a )； 当2=a 时，012 >-a 且0=?，)(*解集为(1,-∞-)?(+∞-,1)； 当2>a 时，012>-a 且0 综上，可知当2-a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)?(+∞,1)； 当12-<<-a 或21< (223123,22----∞-a a a )?(+∞--+-,2231232 2 a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)； 当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,2 2312322 --+-a a a )；当1=a 时， )(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)?(+∞-,1). 通过此例我们知道原来解任意含参数（单参）的一元二次不等式对参数进行分 类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0=?时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。 （本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）