留数在物理学中的应用

留数在物理学中的应用

摘要：留数定理是复变函数理论的一个重要定理,它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 应用留数定理可以求解某些较难的积分运算问题, 所以它可以起到采用不同方法,相互检验所得结果的作用.具体的物理问题中遇到的一些积分在数学分析中没有对应的原函数，留数定理往往是求解这些积分的有效工具。本文介绍留数概念，留数定理，对留数定理进行一定的拓展，以及留数理论在电磁学中安培环路定理、高斯定理公式推导，以及在阻尼振动、热传导、光的衍射等问题中积分计算上的的一些应用，大大简化了计算过程。

关键词：留数定理、安培环路定理、高斯定理、阻尼振动、热传导

目录

第一章 留数..........................................3 1.1 引言 1.2 留数的定义 1.3 留数定理

1.4 留数定理的计算规则 1.5 留数定理的拓展

第二章 留数定理在电磁学中的应用.........................6 2.1 安培定理及其与留数定理的区别 2.2 应用留数定理对安培环路定理的推导 2.3 留数定理在静电学中的应用 2.4 留数在电磁学中一类积分中的应用

第三章 留数定理在物理学其他领域的应用.......................15 3.1 留数在有阻尼的振动的狄利克雷型积分dx

x

x ?

∞

sin 中的

3.2 留数定理在研究光的衍射时需要计算的菲涅尔积分

dx dx x x

??

∞

∞

2

2

cos

,sin

中的应用

3.3 留数定理在用傅里叶变化法求解热传导问题的偏微分方程时将遇到的?

∞->0

),0(cos 2

为任意实数b a bxdx x e

a

积分中的应用

第四章 结语 (18)

参考文献 (19)

第一章 留数]1[

1.1 引言

留数是复变函数论中重要的概念之一，它与解析函数在孤立奇点处的洛朗展开式、柯西复合闭路定理等都有密切的联系. 留数定理是留数理论的基础，也是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算在孤立奇点处的留数，需要正确理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类和函数在孤立奇点的留数概念.掌握留数的计算法，特别是极点处留数的求法，实际中会用留数求一些实积分.现在研究的留数理论就是柯西积分理论的继续，中间插入的泰勒级数和洛朗级数是研究解析函数的有力工具.留数在复变函数论本身及实际应用中都是很重要的它和计算周线积分（或归结为考察周线积分）的问题有密切关系.此外应用留数理论，我们已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，还可以考察区域内函数的零点分布状况.

1.2 留数的定义

如果函数)(z f 在z 0的邻域内是解析的，则根据柯西-古萨基本定理

)(=?

dz z f c

（1）

其中C 为z 0邻域内的任意一条简单闭合曲线.

但是如果z 0是)(z f 的一个孤立奇点，且周线C 全在z 0的某个去心邻域内，并包围点，则积分

?c

dz z f )(

的值，一般说来，不再为零并且利用洛朗级数公式很容易计算出它的值来 ?c

dz z f )(＝ic π21- （2）

我们把（留下的）这个积分值除以2πｉ后所得的数为)(z f 在0z 的留数,记作Res ]),([0z z f ，即

Res ]),([0z z f =

?c

dz

z f i

)(21

π （3）

从而有

Res ]),([0z z f =c 1-

（4）

此处的c 1-是函数)(z f 通过洛朗级数展开的第负一次项系数.

1.3 留数定理

定理一 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇1z ，2z ，...，n z 外处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么 ?c

dz z f )(=2πi

∑

=n

k 1

]),([k z z f （5）

利用这个定理，求沿封闭曲线C 的积分，就转化为求被积函数在C 中的各孤立奇点处的留数.

定理二 如果函数)(z f 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么)(z f 在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零.

1.4 留数求法及一般规则

I 如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么 Res ]),([0z z f =0，

以为此时)(z f 在0z 的展开式是泰勒展开式，所以c 1-=0

II 如果0z 是本性奇点，那就往往只能把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求

c

1

-.

III 在0z 是极点情形，有以下三种特殊情况下的规则 规则一 如果0z 为)(z f 的一级极点，那么

Res ]),([0z z f =lim 0

z z →

（z-0z ）)(z f （6）

规则二 如果0z 为)(z f 的m 级极点，那么

Res ]),([0

z z f ={})()

(lim 0)!1(1

1

10

z f z z dz

d m

m m z z m ---→

- （7）

规则三 设)(z f =

)

()(z Q z P ，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果P(z)≠0，Q （z ）=0，

Q '(z)≠0，那么0z 为)(z f 的一级极点，而

Res ]),([0z z f =

)

(')(z Q z P （8）

规则四 ]0,1)1([Re ]),([Re 2

z

z

f s z f s ?

-=∞ （9）

1.5 留数定理的拓展

对于复变函数积分，无论留数定理还是柯西定理、柯西公式及高阶导数公式都只能处理解析函数沿内部有有限个极点的闭曲线的复积分问题，对于积分区线上有极点的情况没有提及． 如果用极限的方法，不但相当复杂且不能保证最终求出． 当被积函数满足一定的条件]2[，即区域D 的境界线为C ，函数 )(z f 在D 内解析且在C 上连续并满足H?lder 条件: a z z K z f z f |||)()(|2121-≤-，(0≤α＜1 ) ，其中K 、α 都是实常数，1z 、2z 为C 上任意两点，此时可以推导出一个该积分的“积分主值”的计算公式:

)

(),()(000

C z z if dz z z z f ∈=-?

π (10)

鉴于留数定理和柯西公式之间的关系，可以将积分曲线上有限个极点的情况推广到留数定理上． 函数 )(z f 在闭曲线l 所围的区域D 上除具有有限个奇点外是解析的，此时，留数定理的结论可改写为

∑∑?+=内

上

l l z f R i z f R i dz z f )(es )(es 2)(ππ （11）

经过这样的推广后，直接可以用到积分区间上有极点的实变函数无穷积分上，无需针对实轴上的极点取辅助曲线，使得这类积分的求解过程得以简化．

第二章 留数定理在电磁学中的应用]3[

2.1 安培环路定理及其与留数定理的区别

电磁学中安培环路定理的表述：

磁感应强度B 沿任何闭合琦璐L 的线积分，等于穿过这环路所有电流强度的代数和的 u 0倍.即

?∑==?L

a k k

I u l d B 1

（12）

其中电流I 的正负规定如下；当穿过回路L 的电流方向与回路L 的环路方向服从右手法则时，I>O ，反之，I

该定理与留数定理虽然是属于不同领域中的定理．但是它们在数学形式上有着极其相似的形式.(12)式和(5)式的左边都是沿着某一闭合回路的线积分，面其右边又都是表示某些标量的代数和．而这些量都直接同方程左边的函数有着某种内在的联系.从以上的分析我们能否得出；直接利用复变函数的方法导出电磁学中的安培环路定理．而不要直接计算线积分？ 回答是肯定的.

2.2 应用留数定理对安培环路定理的推导

我们知道留数定理是适用于复数领域，而安培环路定理中的磁感应强度B

是矢量，因此不能直接将留数定理应用于电磁学中的安培环路定理，必须重新构造一个复数场才能应用.为此我们考虑一无限长截流导线周围空间的磁场分布，如图1所示.

图1 无限长截流导线周围空间的磁场分布

设无限长载流导体中的电流为I ，电流的方向指向纸面的外部．由电磁学知，空

间的磁感应强度B

为

2

02/r r I u B π

= （13）

其中r 为极径。在直角坐标系中B 可以写成分量形式，如下： 2

2

02y

x y I u B x +?

-

=π

2

2

02y

x x I u B y +?

=

π

（14）

y B x B B y x

+=

其中x 和y

分别为x 轴和y 轴的单位矢量.我们可以构造一个下面的复变量来代替（14）式.

x y iB B B +=~

（15） 函数x B 和y B 为满足柯希—— 里曼方程的解析函数．于是B

可以改写成如下形式：

x y iB B B +=~

)(

22

2

0y

x iy x I u --=

π

z

I u π20= （16）

设回路中有n 个电流源n I I I 21,通过.如图2所示,在C 内除去n I I I 21,点外的所有区域上)(z B 是解析的.对于这个n 个点分别用回路n C C C 21,包围，则按照按照柯希—— 里曼定理有； 02

1

=?-

-?-

?-

??

?

?

?

dz B dz B dz B dz B n

c c c c

（17）

图2 回路C 中有n 个电流源

而根据留数定理有

?===?c

z I iu z sB i dz B 00|)(Re 2π

(18)

又

??+=

?c

c

y x

dy B dx B

l d B )(

???++-=++c

c

y x x y c

x y dy B dx B i dy B dx B idy dx iB B )()()()( （19）

考虑到(17)式和（18 )式，则可得

0)(=-?c

x y dy B dx B （20）

和 ???==+c

c

y x l d B I u dy B dx B

0)( （21）

以上是我们讨论回路中只有一个电流源的情况，下面我们将导出回路中包含有n 个电流源的情况： k c

I iu dz B 0=??

于是 ∑?

==?n k k

z

I iu dz B 1

即 ∑?

==?n k k

c

I u dz B 1

（22）

到此为止，我们利用复变函数的方法推导出了电磁学中的安培环路定理，其方法比较简便，避免了一些教材中的复杂推导.从以上的推导过程我们可以看出．只要选择合适的复数来表示电磁学中的电学量和磁学量，便可以利用留数定理推导出电磁学中的一些有用结论.在前面的推导过程中，利用复数x y iB B B +=~

和留数定理得到方程(20)式和(21)式.(21)式即为安培环路定理.但方程(21)式我们还没有给出它们的物理意义.方程(20)式可以改写成

??c

l d B

=0

对于二维情况??c

l d B

表示的是一个“二维通量 ”，即表示通过长度dl 的磁通量。

因此方程(20)式可以看作磁学中的磁高斯定理，它表示通过环路C 的总“二维磁通量”为零 这表明B 线应该是闭合环线，这也就是我们通常所说的磁场为涡旋场。

2.3 留数定理在静电学中的应用

同磁学中的讨论方法相同，现在我们考虑二维平面静电场问题，这里选择线

电荷分布．其电荷线密度为λ（λ>0）.考虑线电荷在空间产生电场的轴对称性．选取线电荷沿z 轴分布，它所产生的电场E 在y x -平面内成径向分布，如图四所示.由电磁学知:

r r E

)2/(20πελ= (23) 在直角坐标系中分量形式为

=x E )2/(0r πελ[)/(22y x x +]

)]/()[2/(2

20y x y r E y +=πελ

现在我们构造一个复函数E ~

E ~

=z

y

x iy x iE E y x 1220

2

2

?

=

+-?

=

-πε

λ

πε

λ

那么E ~

除z=0外在空问各点都处处解析．在z=0处，由留数定理有

00/)2/(2~

ελπελπi i dz E c

==?? （24）

又 ??+?-=

?c

c y x

idy dx iE E

dz E )()(

??--+=c

x y c

y x dy E dx E i dy E dx E )()( （25）

由(24)式和(25)式可得 ?=+c y x dy E dx E 0)(

即 0=??c

l d E

（26）

和 0/)(ελ-=-?c

y x dy E dx E （27）

有以上推导可知，利用复数 y x iE E E -=~

和留数定理得到方程(26)式和（27)式，(26)式即为电磁学中的静电场环路定理，它表明静电场是保守场，且静电场中电力线不可能是闭合线。(27)式与电磁学中的静电场高斯定理相对应，只不过这里是二维情况，因此，我们仅需利用一个复数便可以导出静电学中的两个基本方程。

2.4 留数在电磁学中一类积分中的应用

应用留数定理求解定积分问题时, 一般先进行解析延拓。解析延拓主要有两种方法:

(1 ) 将原来的积分区间l 1变换为新复数平面的一条闭合回路(l 1+l 2) , (2) 选择另一段积分l 2与原积分区间l 1, 构成复数平面的闭合回路(l 1+l 2) , 如图l 所示

图3 积分区间变换图

即： ??

?

+

=

l

l l dz z f dz z f dz z f 1

2

)()()( （28）

利用留数定理求出(1) 式左边的值及右边的第二项复变函数积分, 则即可求得待求积分的值.下面结合电磁学中的间题,利用留数定理进行求解,问题如下: 如图4 所示, 一无限长载流直导线与一半径为R 的圆电流处于同一平面内, 它们的电流强度分别为1I 与 2I , 直导线与圆心相距为a , 求作用在圆电流上的磁力F

。

分析: 这是有关载流导线在不均匀磁场中受力的电动力学问题. 利用安培定律和毕奥—萨伐尔定律, 可求得载流圆线圈所受磁场力在x 轴和y 轴上的分量分别为

x F =π2210R I I u ?

π

20

θθθcos cos R a d + （29） y F =

π

2210R I I u ?

π

20

θ

θθcos sin R a d + （30）

F =j F i F y x

+

经计算得： y F =0

∴ F =x F i

（31） 在F x 的表示式中出现定积分?

π

20

θ

θθcos cos R a d +, 此积分的被积函数为三角函数形

式, 在以往求解这类积分时,采用的方法为先进行三角函数式的万能变换, 然后进行积分, 而这种方法在计算此类积分时显得非常麻烦,不易求出正确答案。为了避免这种情况, 这里我们将用留数定理来计算此积分, 计算方法如下: 先作变换使定积分的积分区间变为复平面上的闭合回路, 即这里采用第一种变换方法, 作变换为:

Z=θi e

θ 取值在()π2,0之间, 对应的复变数z 取值在z =1范围内, 所以有关系：

cos θ=2

1（z+1

-z ） sin θ=

i

21(z-1-z ) (32)

d θ=

iz

1

dz

图4 直导线与圆导线通电后受力分析图

当变量θ从0变至2π时, z 从z=1 沿复平面上的单位圆 z =1逆时针旋转一圈回到z=1 , 此时定积分化为复变函数回路积分

?

π

20

θ

θθcos cos R a d +=

θ

εθθπ

cos 1cos 120

+?

d a

=

dz iz

z z z z a

z 1)

(2

11)(2

1

11

11

?

=--+++ε

=

dz z z z z ia

z ?

=+++1

2

2

)

2(1

1εε (33)

(33) 式中参数ε=

a

R , (33) 式中的被积复变函数形式为

)(x f =dz z z z z z ?

=+++1

2

2

)

2(1

εε

判断)(x f 的极点有三个，1z =0，2z =

ε

ε

2

11++-，3z =

ε

ε

2

11---，且三个极

点都是一阶极点, 其中在1z 、2z 在z =1的单位圆内。应用留数定理可求得

2

2111)(Re ,1

)(Re ε

ε

--

==

z z sf sf （34）

所以 ?

π

20

θ

θθcos cos R a d +=

dz z z z z ia

z ?

=+++1

2

2

)

2(1

1εε=

{})(Re )(Re 22

1

z z sf sf ia

i +π

=)11(

22

2

R

a R

+-

π (35)

将(34) 、(35 ) 式代入(31) 式即可求出:

F =x F i

=l u 1

0)1(2

2

2R

a R l --

i

(36)

以上计算有以下有几点： （1）思路清晰

（2）较少涉及到计算技巧，极易掌握 （3）和其他方法起到互补作用

第三章 留数定理在物理学其他领域的应用]4[

3.1 留数在有阻尼的振动的狄利克雷型积分

dx

x

x ?

∞

sin 中的应用.

该积分属于dx x f e imx

?∞

)( 类型的积分． 不妨假设m ＞0，设由)(x f 所唯一确定

的解析函数)(x f 在复平面的上半平面及实轴上仅有有限个极点． 若满足当z →∞时)(x f →0( 一致地趋于零) ，根据推广的留数定理，只需取图3所示的辅助

闭曲线，即得：

图5 由实轴上直线段（-R,R ）和)0(Re

πθθ

≤≤=i z 所围的闭曲线

[

][]e e

e

imz

imx

imx

z f s i z f s i

dx x f )(Re )(Re 2)(ππ+=∑

?

∞

∞

-上半平面

（m

>0）

dx

x

x ?

∞

sin 属于在积分路径上有单极点的实变函数积分，即由

x

x sin 所唯一确定的

解析函数

z

z sin 在整个平面上仅有实轴上一个单极点z = 0，则根据上式有:

2)(Re lim 21lim 21

sin 2

1

sin |00

π

π=???

?????=????????==

=∞∞-∞

∞

-∞

???

z iz

ix z s i dx x dx x x

dx x

x e e

3.2 留数定理在研究光的衍射时需要计算的菲涅尔积分

dx dx x x

??

∞

∞

2

2

cos

,sin

中的应用

]

5[

设1I =dx x

?∞

2

sin

，2I =dx x ?∞

2

cos

在研究菲涅尔衍射时，其光场中某点的振动可为下面公式表示:

ds

r

Q A K C E e

wt kr i )

()

()(-?

=θ （37）

该式称为菲涅尔衍射公式，一般来说计算式相当复杂的，但在傍轴近似下，可以利用二项式近似简化，通过求解菲涅尔积分

图6 闭曲线由实轴上（0，R ）,圆弧z=)40(πθθ

≤≤e i R 及z=e

i

4

π

（r 从R 变化到0）组成

取图6 所示辅助曲线构成复平面上的闭合曲线，当R →∞时，沿实轴的积分即待求积分． 在此极限下沿圆弧的积分dz

z i Z i

e

?=θ

Re

2

根据若尔当引理其值为零，沿射线

的积分dz e o

i

e

?

∞

2

可以通过第二类欧拉积分Γ( x) =)0(10>-∞-?x dt t e t ,由Γ(2

1) =

π

， t = r 2

，可得2

2

π

=

?

∞

-

dr r e

则:

),

2

222(20

2

2

2

i dr r iz

dz z e

e e

i

+==

??

∞

-

∞

π

从而 1I =2I =

4

π

3.3 留数定理在用傅里叶变化法求解热传导问题的偏微分方程时将遇到的?∞

->0)

,0(cos 2

为任意实数b a bxdx x e

a

积分中的应用]3[

对于一维无源导热问题，各点在任意时刻的温度可以用定解]7,6[问题描述:

????

?=∞<<-∞==)()(),,(),(|0

2x x t x t x u u a u t xx

t ? （38）

用傅里叶变换法求解该方程时， 得到的像函数的一部分为e t

k

a 2

2-

， 其原函数需

要通过求解积分

?∞

∞

--

∏

dk

k

a e

e

ikt

t

2

221 得到．

辅助曲线取矩形，即l 1: 实轴上(－N,N) ，l 2: 平行于虚轴的( N ，

0 )→( N ，ih ) ， l

3

: 平行于实轴的( N,ih )→(－N ，ih ) 及l 4: 平行于虚轴的(－N ，ih )→( －

N,0) 四段构成闭曲线l ，如图5 所示

:

图7 矩形闭曲线 图7 矩形闭曲线由于在该闭曲线内函数e ibz

ax

+-

2

无奇点，根据留数定理可知函数

沿闭曲线积分的值为零:

?????-+-

+-

+-

+-

+-==

++

+

N

N

inz

ibz

ibz

ibz

ibx

a

l dz az

l dz az

l dz az

dz az

dx x

e

e

e

e

e

2

2

4

2

3

2

2

2

当N →∞时，可以证明沿l 2， l 4 的积分值为零，沿l 3的积分在h =

a

b 2

时可以借助第二类欧拉积分在x =2

1时的值求出，即042

2

=-

-

∞

∞

-+-

?

e

e

a

ibx

b

a

dx az

π，

则

.2

1

cos 2

1

cos 40

2

2

2

e

e

e

a

b

a

dx bx ax bxdx ax -∞

∞

--

∞

-

==??

π

因此，利用留数定理求解实变函数反常积分，一般要通过取适当的辅助曲线，将实变函数积分转化为求解沿闭曲线的复变函数积分．这种方法的前提是被积函数要满足一定的条件，即并非所有的实变函数反常积分都能通过这种方法来求解． 对于物理问题的积分，由于有明确的物理意义，一般是满足数学上求解的条件的．

第四章 结语

留数定理是复变函数论具体应用于积分计算和一些公式推导中的一个非常有力的工具． 本文阐述了留数的定义，留数定理及计算一般规则，就区域上及区域境界线上有极点的情况对留数定理进行了推广，并将留数定理及留数定理及推广了的留数定理应用于电磁学、阻尼振动、菲涅尔衍射及热传导等具体的物理问题所遇到的反常积分的求解上，使得推导求解不再繁琐，大大简化了计算过程．

参考文献

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P

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[5] 姚启钧 .光学教程[M]．北京：高等教育出版社，2002

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[7] 胡嗣柱. 倪光炯．数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，2002