大一上学期微积分复习资料
易错点
10—11学年第一学期“微积分”期末复习指导
第一章 函数
一．本章重点
复合函数及分解，初等函数的概念。 二．复习要求
1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。
2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。
3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中
⑴. 对于对数函数ln y x =不仅要熟记它的运
算性质，还能熟练应用它与指数函数 x
y e
=互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算： ln v
u v u
e =
⑵.对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.
4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的组合。
5、 知道分段函数，隐函数的概念。 . 三．例题选解
例1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？ ⑴.2
sin x y e =
⑵.2
1
arctan(
)1y x =+ 分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。 解：
⑴.2,,sin u y e u v v x
===⑵.21
arctan ,, 1.y u u v x v
==
=+
例 2. cot y arc x =的定义域、值域各是什么？cot1arc ＝？ 答：
cot y arc x = 是cot ,(0,)y x x π=∈ 的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知cot y arc x =的定义域是
(,)f D =-∞+∞，值域为(0,)f Z π=.
cot14
arc π
=
四．练习题及参考答案
1. ()arctan f x x =
则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) = ；(0)f = .
2.()arcsin f x x =
则f (x )定义域为 ，值域为 f (1) =
；f = .
3.分解下列函数为简单函数的复合： ⑴.3x y e -= ⑵.3
ln(1)y x =- 答案：
1.（-∞ +∞）, (,
)2
2
π
π
-
,
,04
π
2. []1,1,,,,2223ππππ
??--????
.3. ⑴.,
3u y e u x ==-
⑵.3ln ,
1.
y u u x ==-
自我复习：习题一.（A ）55．⑴、⑵、⑶；
习题一.（B ）.11.
第二章 极限与连续
一．本章重点
极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数
的连续性。
二．复习要求
1．了解变量极限的概念，掌握函数f (x )在x 0点有极限的充要条件是：函数在x 0点的左右极限都存在且相等。
2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：
1
sin lim sin
0,lim
0x x x
x x
x
→→∞==
3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，
利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有： 当()x α 0时,有：
sin ()x α～()x α； tan ()x α～()x α
()1x e α-～()x α;
ln(1())x α+～()x α
;
1～
()
x n
α
1cos ()x α-～
2()
2
x α.…….
（参见教材P79）
4.掌握两个重要极限:
(Ⅰ).0sin lim
1x x
x
→=
(Ⅱ).1
01lim(1)lim(1)x
x x x e x x
→∞→+==+
记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求1∞型未定式极限：
1
0lim(1)lim(1)x k
x x x k e kx x
→∞→+==+ 1
0lim(1)lim(1)x k
x x x k e kx x
-→∞→-==- 5.掌握函数连续的概念， 知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条是：函数在x 0点极限存在且等于
0()f x ，即：
0lim ()()x x f x f x →=
当分段函数在分段点0x 的左右两边表达式不相同时，函数f (x )在分段点x 0处连续的充要条件则是：
0lim ()lim ()()x x x x f x f x f x -
+→→==.
6. 掌握函数间断点及类型的判定。
函数的不连续点称为间断点，函数()f x 在
0x 点间断，必至少有下列三种情况之一发生：
⑴、()f x 在0x 点无定义；
⑵、0
lim ()x x f x →不存在；
⑶、存在0
lim ()x x f x →，但0
0lim ()()x x f x f x →≠.
若0x 为()f x 的间断点，当)(lim 0
x f x x +→及
)(lim 0x f x x -
→都存在时，称0x 为()f x 的第一类间断
点，特别)(lim 0
x f x x +→＝)(lim 0
x f x x -→时（即0
lim ()
x x f x →存在时），称0x 为()f x 的可去间断点；
)(lim )(lim 0
x f x f x x x x -+→→≠时称0x 为()f x 的跳
跃间断点。
不是第一类间断点的都称为第二类间断点。 7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。
8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6）；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限。
三.例题选解
例1.单项选择题
⑴下列极限中正确的是（ ）
A.sin lim
1x x
x
→∞= B. 1
sin lim
11
x x x
→∞=
C. 2
0sin lim
1x x x
→= D. 0tan lim 1x x x →= ⑵ 当0x →
1是2
sin x 的
（ ）
A.低阶无穷小；
B.高阶无穷小；
C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；
D. 等价无穷小； 分析与解：
⑴． A 与 C 显然都不对，对于D,
记tan ()x
f x x
=，
则tan 0
()tan 0
x x x
f x x x x
?>??=?
?
∴0
tan lim ()lim 1x x x
f x x
++
→→==
tan lim ()lim 1x x x
f x x
--
→→==--0lim ()x f x +→≠
即D 也不对，剩下的B 就是正确答案。
⑵． 由于
2
2
222000212lim lim lim 1sin x x x x x x
x x →→→-===代换
∴ 应选择D. 例3.求极限：
⑴0lim x →2ln(1)1cos x x
-- ⑵lim x →∞
2(
)5
x
x x --
解: ⑴ 此极限为
00
型 ∵当0x →时，有
2
ln(1)x -～2
()x -, 1cos x -～2
2
x
∴0lim x →2ln(1)
1cos x x
-- 220lim 22
x x x →-==-
⑵ 此极限为1∞
型，可用重要极限()II 。
lim x →∞
2(
)5x x x -- ＝x
x x )5
31(lim -+∞→
x x x x x ?-?-∞→-+=5
3
35)5
3
1(lim x x x x x ?--∞→??
????-+=5
3
3
5
)531(lim
3e =. )35
3lim 53lim
(=-=?-∞→∞→x x x x x x
例2．判断函数229
6
x y x x -=-- 的间断点，并
判断其类型。
解：由于229(3)+3)
6(3)(2)
x x x y x x x x --==---+（
∴3,
2x x ==-是函数y 无定义的点，因而是
函数y 的间断点。
∵33(3)(3)36
lim lim (3)(2)25
x x x x x x x x →→-++==-++ ∴ 3x =为函数 y 的可去间断点；
∵22(3)(3)3
lim
lim (3)(2)2
x x x x x x x x →-→--++==∞-++ ∴ 2x =-为函数 y 的第二类（无穷型）间断。
例3．函数
2
1cos 2
()00
x f x x x x k ?
-??=≠??
=??
在点0x =处连续，求常数k .
分析与解：由于分段函数()f x 在分段点0x =的左右两边表达式相同，因此()f x 在0x =连续的充要条件是
lim ()(0).x f x f k →==
∵
2220001cos 82lim ()lim lim x x x x x f x x x
→→→-==代换
1.8
=
∴1
.
8k =
四.练习题及参考答案
1.填空
⑴.当0x →时，(1)sin 2x
e x -与
1)ln(12)x +相比，是
__________________无穷小；
⑵.21lim(
)23
x
x x x →∞
-=+ __________________；
⑶.220[cos(3)1]tan
3lim (1)ln(15)
x
x x
x e x →-=-+______________. 2.单项选择题 ⑴．设2(3)(2)
56
x x y x x +-=
-+，下面说法正确的是
________；
A. 点3,2x x =-=都是可去间断点；
B. 点2x =是跳跃间断点，点3x =是无穷间断
点；
C. 点2x =是可去间断点，点3x =是无穷间断
点；
D. 点2x =是可去间断点，点3x =是跳跃间断
点；
⑵．下面正确的是______________. A.0tan lim
1x x
x
→= ； B. 01lim sin 0x x x →=；
C. 0
tan lim
x x
x
→不存在； D. 0tan lim
1x x x →=. 答案:1. ⑴.同阶而不等价的 ；⑵.2
e - ；⑶.3
20
-. 2. ⑴.C; ⑵.B .
自我复习.习题二(A) 11. (4).24. ⑴,(4),⑺. 27.⑴. (4).28.⑴,⑵.
30.⑵.37．⑴,⑶. 习题二(B).14.
第三章 导数与微分
一.本章重点.
导数的概念，导数及微分的计算.
二.复习要求
1.掌握函数()x ?在0x 处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。 导数是一个逐点概念，()x ?在0x 处的导数的定
义式常用的有如下三种形式：
0000
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?
000()()
lim h f x h f x h
→+-=
000
()()lim x x f x f x x x →-=- . 2.知道导数的几何意义，会求()x ?在0x 处的切线方程。
3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数： ⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导； ⑵复合函数求导法； ⑶隐函数求导法； ⑷取对数求导法。
4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。
5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。
6.掌握函数可微,可导及连续的关系。
三.例题选解
例1.求下列函数的导数： ⑴．2
(1)y f x =＋ ，求,.y y ''' ⑵．y
= 求.y '.
⑶．设y =tan x
e
，求dy
⑷. 3
ln(1)y x =+ ,求y ''
解：⑴、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，
得：
221()(1)y f x x '''=＋＋ 2(1)2f x x '=+? 22(1)x f x '=?+ .
222(1)2(1)2y f x xf x x '''''=+++?
222
2(1)4(1)f x x f x '''=+++
⑵ 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。
原方程两边取对数：
ln ln y x =
上式两边对x 求导，视y 为中间变量:
'y y
1
ln x x +
1ln 12y x ?'=?+???
1ln 12x ?=?+???
12
ln (
1)2
x
-
=+ 注：本题除此方法外，也可以：
x
x e
y ln 3?=
)1
3ln 3321
(
ln 3x x x x
e
y x
x ?+??='∴?
⑶． ∵tan (tan )x
y e
x ''=? tan 2sec x e x =? . ∴tan 2sec x
dy e
xdx =?
⑷. 2
3
31x y x '=+
322326(1)33(1)x x x x y x +-?''=+ 332
3(2)(1)
x x x -=+ 例2. 设()x ?在1x =处可导,且'(1)2?=.
求1(43)lim
1
x x x →---??(1)
分析:将()x ?在1x =处的导数的定义式理解为结构式:
(1)'?=0
(1)(1)
lim
→+
-??
其中
为1-=?x x 或x ?的函数.且当0
→?x
时,0→即可. 解:
11(43)lim
1
(1)]lim (3)3(1)3(1)6
x x x x x x f →→-----=?---'=-=-??(1)
?[1-3?(1) 例3．求曲线 3
3
3
3x y axy a +-=在点
()0,a 处的切线方程。
解：显然，点()0,
a 在曲线上，
现求切线的斜率，即(0,)y a ' 曲线方程两边对x 求导：
2233330x y y ay axy ''+?--=
解得 2
2ay x y y ax
-'=-
∴(0,)y a '＝1
切线方程为：y a x -= 即 y x a -=
例4、设2
1()000
x e f x x x
x -?-?
=≠??=?
试讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性。 分析与解：由已知，(0)0f =； （1）讨论()f x 在0x =处的连续性。
∵ 2
00201
lim ()lim lim 0(0).
x x x x e f x x x
f x
-→→→-=-=代换＝＝
∴()f x 在0x =处连续。
（2）讨论()f x 在0x =处的可导性。
分段函数在分段点的导数必须用定义求：
(0)
()lim
x f x f f x →-'=-（）０
2
01
0lim 0x x e x x -→--=-
2
2
220
01lim
lim 1x x x e
x x
x -→→--===-代换 即存在 () 1.
f '=-０
四.练习题及参考答案
1.单项选择题 .设22
ln(1)
0()10
x x x f x x ?-?
≠??
=?
?-=???
下面说法正确的是（ ）. A.()f x 在0x =不连续；
B. .()f x 在0x =连续，但不可导；
C. ()f x 在0x =可导，且(0)1f '=-；
D. ()f x 在0x =可导，且(0)0f '=.
2.填空题
()f x 在0x x =处可导，且0()1f x '=-,则
（1）000
()()
lim
______h f x h f x h h
→+--=
3.求函数的导数或微分： ⑴
1x
y x
=, 求y '
⑵[]
ln(1)(1)y f x x =-<,
求,
y y '''
⑶．y =dy .
4.设3
cos()y x xy =+确定y 是x 的函数，求
dy
dx
，并求出函数在点(0,1)的切线方程。
5、证明：（1）若)(x f 是偶函数且可导，那么)(x f '是奇函数，（2）若)(x f 是奇函数且可导，那么
)(x f '是偶函数，
答案：1.D. 2. 2- 3.⑴.1
2(1ln )x
y x x -'=-
(2).[]1
ln(1)1
y f x x ''=
?-- ； [][]2
21
ln(1)(1)
1ln(1)(1)
y f x x f x x ''''=
--'---
⑶.2
1
x
dy dx x =
-. 4.
21sin()3sin()
dy y xy dx y x xy -=+； 切线方程：33y x -=.
自我复习:习题三(A) 13； 21,⑹，⑼； 24.⑴，⑵； 25；26.⑴,⑺; 27.⑸；29.⑵，⑹，⑺； 47.⑴，⑵．54.
习题三(B) 1 ；3；11.
第四章 中值定理与导数的应用
一.本章重点
求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；
二.复习要求
1知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的ξ，掌握拉格朗日定理推论的意义。
2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 注意:⑴洛必达法则只能直接用于求“
”型或“∞
∞
”型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“
00”型或“∞
∞
”型未定式才能使用法则。
⑵洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时,一定要检验法则的条件是否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其他求极限的方法计算.
⑶．在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。
3.掌握用一阶导数判定函数单调性的方法,并能利用函数的单调性证明不等式。
4.掌握函数极值的概念及求函数极值方法.
5.掌握最值的概念及其与极值的关系,能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值.如求最大总收入,最大总利润等.
6.掌握函数的凹向,拐点的概念及求曲线凹向,拐点的方法.
三.例题选解
例1. 求下列极限
(1). 0sin 21
lim ln(1)
x x e x x x x →+--+
(2).
2sin 0
lim x x x +
→ (3). 011lim ln(1)x x x →??-??+??
解：
(1) 0sin 21
lim
()ln(1)
x x e x x x x →+--+ 20sin 21lim x x e x x x
→+--代换
＝ 0cos 20
lim ()20x x e x x →+-洛
＝ 0sin lim ()2
x x e x →-洛
＝不是未定式
12
=
.
(2) 原式为幂指型不定式（0
0型），利用代数变换：ln v
u v u
e =，得：
02sin 2si ln n 2si 0
li ln n m lim lim x x x x x x
x x
e x e ++
+
→?→→?==
其中 0
lim 2sin ln (0)x x x +
→??∞
x x x ln 2lim 0
?=+→ （代换）
02ln lim 1x x x
+→= （∞∞
）
022
lim 1x x x
+
→=-洛
lim(2)0x x +
→=-=. ∴原式＝0
1e =
(3) 011
lim ln(1)x x x →??-??+?
? ()∞-∞型 =0ln(1ln(1)lim
)x x x x x →+-+ 0
()通分化为型
=0ln(1)lim
x x x
x x
→+-? （代换）
01
11lim 2x x x
→-+= （洛必达） ＝01
lim
2(1)2
x x x x →-=-+.
例2.求函数2
1x
y x
=+的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。 解：函数2
1x
y x =
+的定义域为(,)-∞+∞ 22
2222(1)21(1)(1)x x x x y x x +-?-'==++，
222224
(2)(1)2(1)2(1)
(1)x x x x x y x -?+-+??-''=+
223
2(3)
(1)x x x -=+ 。
令22
(1)(1)
0(1)x x y x -+'=
=+，得驻点1x =-，
1x =；无不可导点。
两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：
令0y ''=
=
得 0,
x x ==y ''不存在的点。曲线的
凹向及拐点列表讨论如下：
由上面的讨论看出： 函数2
1x
y x =
+的单减区间为 (,1)(1,)-∞-?+∞；
单增区间为[1,
1]-。极小值是1
(1)2
y -=-
， 极大值是1(1)2
y =
。 曲线2
1x
y x =
+的凸区间是(,-∞?
凹区间是()?+∞。
曲线2
1x
y x
=+
的拐点有三个：(-， (0,0)
，。 例3.证明不等式
2
1(1)ln(1)(0)2
x x x x x ++<
+>
分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令
2
1()(1)ln(1)2
f x x x x x =++-
- 则问题转化为证()0(0)(0)f x f x <=>
即证在0x >时，()f x 单减。
∵1()ln(1)11x
f x x x x
+'=++
--+ ln(1)x x =+-
1()1011x
f x x x
-''=
-=<++ ∴0x >时，()f x '单减，有
()(0)0f x f ''<=
∴()f x 也单减，有()(0)0f x f <=， 证毕。 例4.证明：对任意1x ≥，有
1arcsin
2
x π
= 分析： 本题为恒等式的证明。我们设
1
()arcsin F x x
=+
由拉格朗日定理的推论，若能证明
()0F x '= 则()F x c ?≡，再确定 2
c π
=
即可。
证：当1x ≥时，
1()()F x '
''=+
2211111x x =-
+-
0=
-
=
∴ ()F x c ≡
∵2
1arcsin 0arctan )1(π
=
+=F
∴ 2
c π
=
，证毕！
例5求出函数5
4
3
551y x x x =-++在区间
[2,1]-上的最大、最小值。
解：显然函数5
4
3
551y x x x =-++在闭区间
[2,1]-上连续，因而必存在最大、最小值。 4322520155(1)(3)y x x x x x x '=-+=--
由0y '=，解得区间(1,2)-内的可疑点为：
120,1x x ==. 比较以下函数值，
(1)10,(0)1,(1)2,(2)7f f f f -=-===-
得 max min (1)2,
(1)10f f =-=-.
例 6.某食品加工厂生产x 单位的总成本为
2()20040.03C x x x =++，得到的总收益是2()80.02R x x x =-，求出生产该商品x 单位的
边际利润、生产300单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大。 解：⑴.利润函数
2()()()0.014200L x R x C x x x =-=-+-
边际利润函数()0.024L x x '=-+. ⑵.当300x =时，
(300)0.0230042L '=-?+=
⑶.令()0.0240L x x '=-+= 解得：200x =
(200)0.020L ''=-<，
∴产量200x =单位时，可获最大利润。 注：设函数)(x f y =可导，导函数)(x f '也称为边际函数。
四.练习题与参考答案
1. 求极限
(1) 2
1lim (1cos )x x x
→∞-
⑵ 0
11
lim(
)sin x x x
→- ⑶ 1ln 0
lim(tan )x
x x +
→
2. 证明. 当1x >时，有: (1)ln 2(1)x x x +>-.
3证明： 21cos 1(0)2
x x x >-
>
4 .求3
2
399y x x x =--+单调区间和极值，凹凸区间和拐点。
5. 证明当0x >时，有：
C =，并求出常数C.
参考答案： 1. (1).
1
2
； ⑵.0 ； ⑶.e . 4. 单增区间(,1)(3,)-∞-?+∞； 单减区间(1,1)-；极大值(1)14y -=， 极小值(3)18y =-；
上凹区间（1 ＋∞）；下凹（凸）区间（-∞ 1） ； 拐点（1 , －2）. 5. 2
C π
=
.
自我复习：
习题四 （A ）
8, 9.⑸,⑻,⑼，⑾ ，⑿； 14.⑴,⑶,⑸； 18.⑴，⑵；19.⑴ ；20.⑴,⑶；32.⑵，⑷；37； 41。
习题四 （B ） 10；12.
大一上学期微积分期末试卷及答案
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 浙江工商大学2014/2015学年第一学期期末考试卷A 课程名称:微积分(上)A 层 考试方式: 闭 卷 完成时限: 120分钟 班级名称: 学 号: 姓 名:___________ 一、填空题（每小题3分,共15分） 1.函数()1,1f x x =+则()()f f x 的定义域是 . 2.点0=x 为函数e ,0,()ln(1),10 x x f x x x -?>=?+-<≤?的第 类间断点. 3.若函数x y sin =,则=)2015(y . 4.()sin 2d 3x = . 二、选择题（每小题3分,共15分） 1.当0→x 时,与x 等价的无穷小是( ). A.x x +3 1- C.)1e sin(-x D.x cos 1- 2.下列函数中,在点0=x 处可导的是( ). A.||)(x x x f = B.|sin |)(x x f = C.?????=≠=0,0,0,1sin )(x x x x x f D.???>≤+=0, ,0,1)(2x x x x x f 3. 设()x f x x =，则其导数为( ). A. x x x f =')( B. x x x f x ln )(=' C. )1(ln )(+='x x x f x D. 1)(-='x x x f 4.设)(x f 的导数在a x =处连续,又1)(lim -=-'→a x x f a x ,则( ). A.a x =是)(x f 的极小值点 B.a x =是)(x f 的极大值点 C.))(,(a f a 是曲线)(x f 的拐点 D.a x =不是)(x f 的极值点,))(,(a f a 也不是曲线)(x f 的拐点 5.下列等式中,正确的是( ). A.)(d )(x f x x f ?=' B.)()(d x f x f ?= C.)(d )(d d x f x x f x ?= D.)(d )(d x f x x f ?= 三、计算题（写出必要的解题步骤,每小题6分,共48分） 1.求极限()()1sin 0lim 12x x f x →-，其中()()00,02f f '==，当0x ≠时()0f x ≠. 1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解 高等数学（上）模拟试卷一 一、 填空题（每空3分，共42分） 1 、函数lg(1)y x = -的定义域是 ； 2、设函数20() 0x x f x a x x ?<=?+≥?在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ； 4、已知3()f x dx x C =+? ，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ； 8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、201x dx -?= ； 10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+r r r r r r r r ，且a b ⊥r r ，则λ= ； 11、2 lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ； 12、311lim x x x -→= ；13、设 ()f x 可微，则()()f x d e = 。 二、 计算下列各题（每题5分，共20分） 1、011lim()ln(1)x x x →-+2 、y =y '； 3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =； 4、已知cos sin cos x t y t t t =??=-?，求dy dx 。 三、 求解下列各题（每题5分，共20分） 1、421x dx x +? 2、2sec x xdx ?3 、40?4 、2201dx a x + 四、 求解下列各题（共18分）： 1、求证：当0x >时，2 ln(1)2x x x +>- （本题8分） 2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋 中南民族大学06、07微积分（下）试卷 及参考答案 06年A 卷 评分 阅卷人 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 0 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则= ')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 评分 阅卷人 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与?-e p x x dx 1 1 ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 数???? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 2 2223 11 1x y I x y dxdy +≤= --?? ,22223212 1x y I x y dxdy ≤+≤=--??, 2 2223 324 1x y I x y dxdy ≤+≤=--?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分) 评分 评分 评阅人 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 微积分(上)期末考试试题（B） 对外经济贸易大学 2003-2004学年第一学期 《微积分》（上）期末考试试卷(B) 课程课序号CMP101??（1~14） 学号：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 成绩：___________ 题号 一 二 三 四 五 六 总分 成 绩 一、 选择题 (选出每小题的正确答案，每小题２分，共计８分) 1． 下列极限正确的是 _________。 （A ）1 0lim 20x x + →= （B ） 10lim 20 x x - →= （C ）1lim(1) x x e x →∞ -=- （D ） 01lim (1)1x x x +→+= 2．若()(),f x x a x x φφφ=-≠其中（）为连续函数，且（a ）0，() f x 在 x a =点_________。 （A ） 不连续 （B ） 连续 （C ）可导 （D ） 不可导 ３． 设f （x ）有二阶连续导数，且 2 () (0)0,lim 1,_______x f x f x →'''==则。 () 0()A x f x =是的极大值点 ()0(0)B f （，）是f(x)的拐点 ()0()C x f x =是的极小值点 ())0D f x x =（在处是否取极值不确定 ４．下列函数中满足罗尔定理条件的是 。 ()ln(2) [0,1] A f x x x =-（） 2 01()0 1 x x B f x x ?≤<=? =?（） ()sin sin [0,] C f x x x x π=+（） 2 1 ()1[1,1] D f x x =- -（） 5．若()(),f x x φ''=则下列各式 成立。 () ()()0A f x x φ-= () ()()B f x x C φ-= () ()()C d f x d x φ=?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、 填空题（每小题3分，共18分） 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →-===-在处可导，且，那么曲线() y f x =在原点处的切线方程是__________。 ２．设函数f （x ）可导，则2 (4)(2)lim 2 x f x f x →--=-_________。 3．设ln ,()x xf x dx x '=?为f(x)的一个原函数那么 。 4 ． 设 2121,2ln 3x x y a x bx x a b ===++均是的极值点，则、的值为 。 5． 设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 （第七题删掉了） 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422 11、(本小题5分) ． 求? π +20 2sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) . d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 (答案) 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 大一微积分期末试卷及 答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 微积分期末试卷 选择题（6×２） 1~6 DDBDBD 一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、 计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解：原式=22211 1 33 0002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解： 3 24 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 6arctan x xdx ?求 四、 证明题。 1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。 证明：设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 五、 应用题 1、描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50 lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示： 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和 单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，） 且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1 山东大学2014-2015学年第一学期期中考试 《高等数学（Ⅰ）》试卷 姓名：________ 一、选择题（每题2分，共16分） 1、下列极限存在的是…………………………………………………………( ) （A）x x2 1 lim ∞ → （B） 1 3 1 lim - →x x （C）x e x 1 lim ∞ → （D）x x 3 lim ∞ → 2 x22 x0-ax+bx+1x a b e → 当时，若（）是比高阶的无穷小，则，的值是（）…( a ) （A）1／2，1 （B）1，1 （C）-1／2，1 （D）-1，1 3、,0 ) ( lim> = → A x f a x ,0 ) ( lim< = → B x g a x 则下列正确的是…………………………( )（A）f(x)>0, （B）g(x)<0, （C）f(x)>g(x) （D）存在a的一个空心邻域，使f(x)g(x)<0。 4、已知，,2 lim)( = →x x f x 则= →) 2x ( sin3x lim f x ………………………………………………( )（A）2/3, （B）3/2 （C）3/4 （D）不能确定。 5、函数f(x)在[a，b]上有定义，在（a，b）内可导，则（） （A）当f（a）f（b）＜0时，存在ξ∈（a，b），使f（ξ）=0 （B）对任何ζ∈（a，b），有 （C）当f（a）=f（b）时，存在ξ∈（a，b），使f1（ξ）=0 （D）存在ξ∈（a，b），使f（a）-f（b）=f1（ξ）（b-a） 6、下列对于函数y=x cos x的叙述，正确的一个是………………………………………()（A）有界，且是当x趋于无穷时的无穷大，（B）有界，但不是当x趋于无穷时的无穷大，（C）无界，且是当x趋于无穷时的无穷大，（D）无界，但不是当x趋于无穷时的无穷大。 7、下列叙述正确的一个是……………………………………………………………（）（A）函数在某点有极限，则函数必有界；（B）若数列有界，则数列必有极限； （C）若,2 lim)2()2( = - - →h h f h f h 则函数在0处必有导数，（D）函数在 x可导，则在 x必连续。 8、当0 → x时，下列不与2x等价的无穷小量为…………………………………（）（A）)1 (cos- x（B）2 arcsin x（C）) 1 ln(2x +(D) 1 2- x e ()() 6 3x f x= g x=tan x h x=x e-1 ? ?? ? （），（ ()() lim0 x f x f ξ ξ → -= ?? ?? 精品文档 精品文档 ---○---○--- ---○---○--- ………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封 线………… 中南大学考试试卷 2009 ~2010学年 一 学期 微积分A 课程 （时间：10年1月21日，星期四，15：20—15：00，共计：100分钟） 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1.])2(sin 11sin [lim x x x x x x x x +++∞ →= . 2. 函数32 y ax bx cx d =+++满足条件 时, 这函数没有极值. 3. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 4.幂级数 n n n x n 30 212∑∞ =-的收敛半径=R ，收敛区间为 ． 5．曲线?? ???==++11 222z z y x 的参数方程为 . 精品文档 二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．当0→x 时，下列变量是无穷小量的是（ ）． （A ）x 1sin ； （B ）x e 1 ； （C ）)1ln(2x +； （D ）x e ． 2．设x e x f -=)(，则 ='? dx x x f ) (ln （ ） ． （A ）C x +- 1； （B ）C x x +ln 1； （C ） C x +1； （ D ）C e x x +1． 3. 若)(x f 是奇函数且)0(f '存在，则0=x 点是函数x x f x F ) ()(= 的（ ）． （A ）无穷间断点； （B ）可去间断点； （C ）连续点； （D ）振荡间断点． 4.如果b a ,是方程0)(=x f 的两个根，)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，那么方程 0)(='x f 在),(b a 内（ ） ． (A)只有一个根； (B)至少有一个根； (C)没有根； (D)以上结论都不对． 5．无穷级数 ∑ ∞ =--1 1)1(n p n n ，(0>p )敛散性是（ ）． (A)一定绝对收敛； (B)一定条件收敛； (C)一定收敛； (D)以上结论都不对． 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) . d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ． 求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+30 1 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间 y x x =+-422Y 11、(本小题5分) ．求? π +20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) 大一微积分期末试卷及答 案 Final revision by standardization team on December 10, 2020. 微积分期末试卷 选择题（6×２） 1~6 DDBDBD 一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、 计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20 lim x x x e → 解：原式=22211 1 33 0002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解： 3 24 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 6arctan x xdx ?求 四、 证明题。 1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。 证明：设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12x x π +=-≤≤证明（） 五、 应用题 1、描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50 lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示： 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和 单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，） 且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1 微积分期末试卷 cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（ ）。Ａ是增函数，是减函数 是减函数，是增函数 二者都是增函数 二者都是减函数 2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 2 1C X (1) x n e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点 ４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ） Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限21 20 lim x x x e → 解：原式=2221 11330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 24 0lim(cos )x x x →求极限 一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分) 1．1 lim 2x x - →=_________。 （A ） - （B ） + （C ） 0 （D ） 不存在 2．当0x →时，()x x f x x += 的极限为 _________。 （A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ） 不存在 ３． 下列极限存在，则成立的是_________。 0()()() lim ()x f a x f a A f a x - ?→+?-'=?0()(0) ()lim (0) x f tx f B tf x →-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()() ()lim ()x f x f a D f a a x →-'=- ４． 设f （x ）有二阶连续导数，且()0 () (0)0,lim 1,0()_______x f x f f f x x →'''==则是的。 （A ） 极小值 （B ）极大值（ C ）拐点 （D ） 不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式 成立。 ()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-= () ()() C d f x d x φ= ?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、 填空题（每小题3分，共18分） 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。 ２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的= 。 3．设1 (),()ln f x f x dx x '=?的一个原函数是 那么 。 4．设(),x f x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。 5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数5Q =-，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格 下降1％，需求量将 。 6．若,1 1),(+-= =x x u u f y 且,1)('u u f =dy dx = 。 三、计算题（每小题6分，共42分）： 1、 求 11ln (ln ) lim x x e x -→微积分(上)A层期末考试卷A
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