机械制图教案-点、直线和平面的投影2
教学设计
教学过程
教学环节教师讲授、指导（主导）内容
学生学习、
操作（主体）活动
时间
分配
一、二、三、组织教学与引入前言
问候同学，组织课堂教学，强调课堂纪律。
复习、提问
点的投影的基本规律
点的投影的画法
导入新课
空间两点确定一条空间直线段，空间直线的投影一般也
是直线。直线段投影的实质，就是线段两个端点的同面投影
的连线；所以学习直线的投影，必须于点的投影联系起来。
（一）直线的投影图
空间一直线的投影可由直线上的两点（通常取线段两个
端点）的同面投影来确定。如图2－19所示的直线AB，求作
它的三面投影图时，可分别作出A、B两端点的投影（a、a′、
a″）、（b、b′、b″），然后将其同面投影连接起来即得直线AB
的三面投影图（a b、a′b′、a″b″）。
（a）（b）（c）
图2－19 直线的投影
（二）直线对于一个投影面的投影特性
空间直线相对于一个投影面的位置有平行、垂直、倾斜
三种，三种位置有不同的投影特性。
1、真实性当直线与投影面平行时，则直线的投影为实长。
如图2－20（a）所示。
2、积聚性当直线与投影面垂直时，则直线的投影积聚为
一点。如图2－20（b）所示。
3、收缩性当直线与投影面倾斜时，则直线的投影小于直
线的实长。如图2－20（c）所示。
师生问好，强调课堂
纪律。
提问学生到黑板完成
练习题
详细讲解直线在实际
中的应用
详细讲解直线的投影
图
详细讲解直线投影的
特性
3
5
10
15
15
教学过程
教学
环节
教师讲授、指导（主导）内容
学生学习、
操作（主体）活动
时间
分配
（a）（b）（c）
（三）各种位置直线的投影特性
根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜
线、投影面平行线、投影面垂直线三类。前一类直线称为一
般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。
1、投影面平行线
平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线
称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面
的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。
直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、
β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。
2、投影面垂直线
垂直于一个投影面且同时平行于另外两个投影面的直线
称为投影面垂直线。垂直于V面的称为正垂线；垂直于H面
的称为铅垂线；垂直于W面的称为侧垂线。
3、一般位置直线
与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直
线。
小结：总结本节课内容并布置课后作业。
详细讲解各种位置的
特殊直线的投影
总结并布置作业
10
10
10
10
2
点的投影 机械制图 作业练 习题
一、填空 1 若将空间中A点分别向水平投影面H、正投影面V、侧投影面W投射，则分别得到水平投影_______、正面投影_______、侧面投影_______。2．已知主视图和俯视图，按照“高平齐、宽相等”的投影规律绘制左视图时，可以通过作辅助线的方法来保证“宽相等”，这条辅助线与Yw投影轴夹角为_______。 3．点A的坐标为(35，20，15)，则该点对W面的距离为_______。 4．点A的坐标为(10，15，20)，则该点在H面上方___________。 5．点的三面投影规律是： ①点的 正面投影 与点的 的连线垂直于OX轴。 ②点的 正面投影 与点的 的连线垂直于OZ轴。 ③点的 水平投影 到OX轴的距离 等于 点的 到OZ轴的距离。 二、选择题 1．右图中，B点相对于A点的空间位置是（ ）。 A．左、前、下方 B．左、后、下方 C．左、前、上方 D．左、后、上方 三、判断题 1.两点的V投影能反映出点在空间的上下、左右关系。 ( ) 2.投影面垂直线在所垂直的投影面上的投影必积聚成为一个点。 （ ） 3.主视图、左视图长对正；俯视图、左视图高平齐；主视图、俯视图宽相等。 （ ） 4.点A的正面投影a是由点A的x、y坐标确定的，水平投影a是由点A的x、z坐标确定的。（ ） 5.水平投影到OX轴的距离，反映空间点到V面的距离；正面投影到OX轴的距离，反映空间点到H面的距离。（ ）
6.在点A的三面投影关系中，根据宽相等的投影规律，确定aa z=aa y。（ ） 7.在V面上的点A，其a与空间点A重合，a、a在相应的投影轴上。（ ） 8.确定了点的一个投影，就能确定该点在空间的位置。（ ） 9.判别正面投影上的可见性时，应在正面投影上找两重影点的投影，在 水平或侧面投影上定结果。（ ） 10.在同一投影面上的投影相互平行的直线在空间中也一定相互平行。（ ） 四、作图题 1.根据点的空间位置，在右边画出点的两面投影图。 2.已知如下右图中，点的一个投影和下列条件，求其余两个投影。
高考数学总复习直线和平面的位置关系练习题
2010高考数学总复习 直线和平面的位置关系练习题 一、选择题： 1．已知直线的位置关系是与则若与平面a l a l l l ,,//,//,,=?βαβαβα （ ） A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 2．过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面 （ ） A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有 D ．有无数个 3．如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为 21θθ和，则 （ ） A ．1sin sin 22 12 ≥+θθ B ．1sin sin 22 12 ≤+θθ C ．1sin sin 22 12 >+θθ D ．1sin sin 22 12 <+θθ 4．设E 、F 、G 分别是四面体的棱BC 、CD 、DA 的中点，则此四面体中与过E 、F 、G 的截 面平行的棱有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 5．用α表示一个平面，l 表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l （ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小 （ ） A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．有时变大有时变小 7．设a ,b 是平面α外的任意两条线段，则“a ，b 的长相等”是a ,b 在平面α内的射影长相等” 的 （ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8．设PA ，PB ，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线PC 与平
空间中直线和平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为
(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.
机械制图点的投影
第三讲点的投影（50 分钟） （一）教学内容：1．点在两投影面体系中的投影 2. 点在三投影面体系中的投影 3. 两点的相对位置和重影点 （二）目的与要求1．掌握点在三投影面体系中的投影规律以及由点的两投影 求作第三投影的要领； 2．掌握根据点的投影，判断其空间位置（包括两点的相对位置）的方法。 （三）讲课提纲及其说明 一、点在两投影面体系中的投影（15 分钟） 1、投影面体系的建立 如图1 所示，设立互相垂直的两个投影面，正立投影面（简称正面） V 和水平投影面（简称水平面）H ，构成两投影面体系。两投影面体系将空间划分为四个分角。本书只讲述物体在第一分角的投影。V 面和H 面的交线称为投影轴OX。 2. 点的两面投影 如图1 （a）所示，由空间点A作垂直于V面、H面的投射线Aa'、 Aa，分别与V面、H面相交，交点即为A的正面投影（V面投影）a‘和水平投影（H面投影）a,即点A的两面投影。 空间点用大写字母如A、B、C、…表示，其水平投影用相应的小写字母如a、b、c、…表示，正面投影用相应的小写字母加一撇如a' b ' c'… 表示。 为使点的两面投影画在同一平面上，需将投影面展开。展开时V面保
持不动，将H面绕0X轴向下旋转90 °，与V面展成一个平面，便得到点A的两面投影图，如图1(b)所示。投影图上的细实线aa '称为投影连线。 在实际画图时，不必画出投影面的边框和点a x,图1(c)即为点A的投影图。 3. 点的两面投影规律 空间三点A、a'、a构成一个平面，由于平面Aa a分别与V面，H面垂直，所以这三个相互垂直的平面必定交于一点a x，且a x a'QX、aa x丄OX。当H面与V面展平后，a、a x、a'三点必共线，即aa '_OX。 又因Aaa x a '是矩形，所以a x a'=Aa , a x a=Aa '。亦即：点A的V面投影a'与投影轴OX的距离，等于点A与H面的距离；点A的H面投影a 与投影轴0X的距离，等于点A与V面的距离。 由此可得出点的两面投影规律： （1）点的两面投影连线垂直于投影轴，即aa'QX。 （2）点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离，即： a x a -Aa a x a=Aa ' 以上内容属于讲稿。对年青教师而言，可以把教案写得详细一些，写出讲稿
机械制图投影法
机械制图：三视图的第一角法和第三角法划分 三视图的第一角法和第三角法划分： 一、第一角投影法 1.凡将物体置於第一象限内，以「视点(观察者)」→「物体」→「投影面」关系而投影视图的画法，即称为第一角法。亦称第一象限法。， 2.第一角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由近而远之方向翻转展开。 3.第一角法展开后之视图排列如下，以常用之三视图(前视、俯视、右侧视图)而言，其右侧视图位於前视图之左侧，俯视固则位於前视图之正下方。 二.、第三角投影法 1.凡将物体置於第三象限内，以「视点(观察者)」→「投影面」→「物体」关系而投影视图的画法，即称为第三角法。亦称第三象限法。 2.第三角投影箱之展开方向，以观察者而言，为由远而近之方向翻转展开。3．第三角法展开后之六个视固排列如下，以常用之三视图而言，其右侧视图位於前视图之右侧，而俯视图则位於前视图之正上方。 CNS 相关规定 CNS中国国家标准之象限投影符号，系将一截头圆锥之前视图与左侧视图，依投影之排列而得。主要之区别为第一角法符号(左侧视图排在右边)，而第三角法符号(左侧视图位在左边)。 对於正投影方法之使用，CNS规定第一角法或第三角法同等适用。但在同一张图纸上不可混合使用，且须在标题概内或其他明显处绘制符号或加注「第一角法」或「第三角法」字样。以作为读图之识别。 由於第二象限投影与第四象限投影因水平投影面旋转后与直立投影面重叠，致使投影视图线条混淆不清，增加绘固及识图不便，故不予采用。 欧洲各国盛行第一角法投影制，所以第一角法投影亦有「欧式投影制」之称呼。例如德国(DIN)、瑞士(VSM)、法国(NF).挪威(NS)等国家使用之。 美国采用第三角投影制，故有「美式投影制」之称呼。除美国(ANSI)外，尚盛行於美洲地区。而中华民国(CNS)、国际标准化机构(ISO)与日本[JIS]则采第一角法及第三角两制并行。 视图之排列，应依投影原理上下左右对齐排列，不得任意更换或未依据投影方式排置。 六种视图中最常用之三视图组合为:前视图、上视圆及右侧视图，一般均以L字形或逆向L字形之方式排列於图纸上。 我们国内用的是第一角画法，国外用第三角画法的比较多 第一角画法和第三角画法的区别是视图放的位置 第一角画法：左视图放右边，右视图放左边，上视图放下面，依此类推 第三角画法：左视图放左边，右视图放右边，上视图放上面，依此类推
直线与平面、平面与平面的位置关系知识点
//a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：直线与平面无公共点． （2）判定定理： （3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：两平面无公共点． （2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b
【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． （2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b
空间直线与平面的位置关系(夹角)
§14.3空间直线与平面的位置关系（夹角） 【知识解读】 1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 3、平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 4、推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面． 7、线面角--直线l与其在平面 上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角
F E D C B A 【例题讲解】 例1、简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线?a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？ （2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？ 例2、已知：空间四边形A B C D 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面． 例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证MN ∥平面BCE _ C _ B
B M H S C A A 例4、在正方体中,棱长为a .求：(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角；(2)直线1DB 与面1111D C B A ； 例5、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 例6、如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且 a AB EA 2==，a DC =，F 、G 分别为EB 和AB 的中点.（1）求证：FD ∥平面ABC ；（2） 求证：AF ⊥BD ； 1111D C B A ABCD -
机械制图教案-点、直线和平面的投影
教学设计
教学过程 教学环节教师讲授、指导（主导）内容 学生学习、 操作（主体）活动 时间 分配 一、二、三、组织教学与引入前言 问候同学，组织课堂教学，强调课堂纪律。 复习、提问 1、绘图工具的使用方法 2、草图如何绘制 导入新课 任何物体都是由点、线、面等几何元素构成的，只有学 习和掌握了几何元素的投影规律和特征，才能透彻理解机械 图样所表示物体的具体结构形状。本次课先来学习点的投影。 （一）点的投影及其标记 当投影面和投影方向确定时，空间一点只有唯一的一个 投影。如图2－11（a）所示，假设空间有一点A，过点A分 别向H面、V面和W面作垂线，得到三个垂足a、a′、a″，便 是点A在三个投影面上的投影。 规定用大写字母（如A）表示空间点，它的水平投影、 正面投影和侧面投影，分别用相应的小写字母（如a、a′和a″） 表示。 根据三面投影图的形成规律将其展开，可以得到如图2 －11（b）所示的带边框的三面投影图，即得到点A两面投影； 省略投影面的边框线，就得到如图2－11（c）所示的A点的 三面投影图，（注意：要与平面直角坐标系相区别。） （a）（b） 师生问好，强调课堂 纪律。 提问学生到黑板完成 练习题 详细讲解点在实际中 的应用 详细讲解点的投影及 标记 3 5 10 15
教学过程 教学环节 教师讲授、指导（主导）内容 学生学习、 操作（主体）活动 时间 分配 （c） 图2－11 点的两面投影 （二）点的三面投影规律 1、点的投影与点的空间位置的关系 从图2－11（a）、（b）可以看出，Aa、A a′、A a″分别为 点A到H、V、W面的距离，即： A a = a′a x = a″a y (即a″a YW)，反映空间点A到H面的距 离； A a′=a a x= a″a z ，反映空间点A到V面的距离； A a″= a′a z = a a y (即a YH)，反映空间点A到W面的距离； 上述即是点的投影与点的空间位置的关系，根据这个关 系，若已知点的空间位置，就可以画出点的投影。反之，若 已知点的投影，就可以完全确定点在空间的位置。 2、点的三面投影规律 由图2－11中还可以看出： a a YH = a′a z 即a′a⊥OX a′a x= a″a YW即a′a″⊥OZ a a x= a″a z 这说明点的三个投影不是孤立的，而是彼此之间有一定 的位置关系。而且这个关系不因空间点的位置改变而改变， 因此可以把它概括为普遍性的投影规律： （1）点的正面投影和水平投影的连线垂直OX轴，即a′a ⊥OX； （2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直OZ轴，即a′a″ ⊥OZ； （3）点的水平投影a和到OX轴的距离等于侧面投影a″ 到OZ轴的距离，即a a x = a″a z 。（可以用45°辅助线或以原 点为圆心作弧线来反映这一投影关系） 小结：总结本节课内容并布置课后作业。 学生练习，教师指导 详细讲解点的投影和 空间位置关系 详细讲解点的三面投 影 学生练习，教师讲解 总结并不知作业 10 15 15 15 2
机械制图教案——点的投影.
教案 授课日期2015年12月3日授课人王彦涛 授课班级一（3）班授课地点1号多媒体教室 课题：点的投影 教学目标 能力目标知识目标 1. 掌握点的投影关系 2. 了解点的几种空间位置 3. 能熟练运用“三等关系”绘制点的投影 1. 点的投影特性 2. 空间点及点的三面投影表示 教学重点：根据点的坐标及空间位置画出点的投影图 教学难点：建立点的坐标、点到投影面的距离的联系 教学组织设计 1. 复习、导新：复习正投影的特征、三视图的位置关系。 2. 点的二面投影及规律 3.点的三面投影，求作点的三面投影图 4. 通过点的二面投影、求作点的第三面投影 5. 两点的相对位置及重影点 6. 小结与作业布置 教学手段多媒体教学法 活动探究法作业布置习题集P23\P24
课后记要 本节课根据一年级学生的心理特征及认知规律，以及本课程的专业特点采用直观教学和活动探究的教学方法，以学法为重心， 让学生亲自动手画图，主动地参与到知识形成的整个思维过程。 力求使学生在积极愉快的课堂气氛中提高自己的认知水平，从而 达到预期的教学效果。 机械制图教案 教学内容教师活动学生活动
〖复习〗 上节课所学内容： 1.三面投影体系 2.三视图的形成及投影规律 〖导入新课〗 点、线、面是构成物体的基本几何元素。在点、线、面这几个基本几何元素中，点是最基本、最简单的几何元素。研究点的投影，掌握其投影规律，能为正确理解和表达物体的形状打下坚实的基础。 〖任务分析〗 让学生看书回答？ 1.点的投影特性是什么？ 2.点在三个面中分别用什么样的字母表示，有什么区别，怎么去记住？ 3.明确什么叫视图和为什么要用三视图。 〖知识学习〗 一、点的投影特性与投影标记： 1.特性：点的投影永远是点。 2.点的投影标记，看书上37页。 如下图将空间A点置于三投影面体系中，自A点分别向三个投影面作垂线，交得三个垂足a、a′、a″即为A 点的H面投影、V面投影和W面投影。新课导入 时间约3分钟 情境式教学，启 发引导学生思 考： 通过复习上次 课所学的内容， 引出本节课的 内容 学习目的及重 点、难点 新课内容 时间约25分钟 多媒体演示 启发学生思考： 书上哪些知识 容易找到？哪 些是不容易找 准备工具静 心上课 结合生活实 际，积极思考 踊跃回答 同学间互相 交流讨论，共 同分析有关 点的问题。
直线和平面的位置关系
直线和平面的位置关系（1） 田家炳实验中学 马晓红 一、考纲要求 1．了解空间直线和平面的位置关系； 2．掌握直线和平面平行的判定和性质. 二、知识梳理 1．直线和平面的位置关系 、 、 ． 2．直线和平面平行的判定定理 如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行． (记忆口诀：线线平行 线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行) 证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等. 三、基础训练 1．（1）若两直线a 、b 异面，且 a ∥ α,则b 与α的位置关系可能是 （2）若两直线a 、b 相交，且a ∥ α，则b 与α的位置关系可能是 （3）“直线a 垂直于平面α内的无数条直线”是“a 垂直于平面α”的 条件 2．对于直线m ，n 和平面α，下面命题中的真命题是 ①如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n ∥α ②如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交 ③如果m ?α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n ④如果m ∥α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n 3．在四面体ABCD 中，M 、N 分别为△ACD 和△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________． 4．已知直线m ，n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m ，n 距离相等的点 的集合可能是(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是 5．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________． ① ?????m ?αl ∥m ?l ∥α ② ?????l ∥m m ∥α ?l ∥α ③ ? ????l ⊥βα⊥β ?l ∥α 6．已知P-ABC 为正三棱锥，D 为BC 中点，则直线BC 与平面P AD 的位置关系是 四、典型例题 例1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； 例2：在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PD 平面⊥,DC PD =，
高中数学必修2知识点总结：第二章_直线与平面的位置关系
高中数学必修2知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450 ，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系教案
第 1 页 共 2 页 1 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）了解空间中直线与平面的位置关系； （2）了解空间中平面与平面的位置关系； （3）培养学生的空间想象能力。 2、过程与方法 （1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握； （2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 二、教学重点、难点 重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。 难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。 三、学法与教学用具 1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型 四、教学思想 （一）创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本P 48的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题） （二）研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 a α a ∩α=A a ∥α 例4（投影） 师生共同完成例4 例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系： （1）两个平面平行 —— 没有公共点 （2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法，学生很快地理解与掌握新内容，这两种位置关系用图形表示为 α β α β L
第2章 点、直线和平面的投影概论
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第2章点、直线和平面的投影 一、本章重点： 1．点的坐标与投影，重影点； 2．直线在三面投影体系中的投影特性； 3．平面的投影特性，平面上的直线和点。 二、本章难点： 1．求线段的实长及其对投影面的倾角； 2．两直线的相对位置； 3．直线上的点和平面上的线。 三、本章要求： 掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影。了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。 四、教学手段 讲授法，演示法教学、习题集作业 五、本章内容： 2．1 投影法的基本知识 2.1.1 投影法概述 在日常生活中，我们经常看到物体在日光或灯光照射下，在地面或墙上产生影子，这种现象叫投射。人们根据这种自然现象，经过科学的抽象提出了投影法。 将发自投射中心且通过物体上各点的直线称为投射线，投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。投射线的方向称为投射方向，选定的平面称为投影面，投射所得到的图形称为投影。 图2.1 中心投影法图2.2 平行投影法
1．中心投影法 该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。 2．平行投影法 投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。 平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。 平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。 3. 正投影法的基本特性 ⑴实形性 当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图2.5(a)所示。 ⑵积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图2.5(b)所示。 ⑶类似性 当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图2.5(c)所示。 另外，平行投影法还有这样的规律： （1）平行两直线的投影仍互相平行。 （2）属于直线的点，其投影仍属于直线的投影 （3）点分线段之比，投射后保持不变。 (a) (b) (c) 图2.5 正投影法的基本特性
机械制图教案_点的投影
教案
教学容教师活动学生活动〖复习〗 上节课所学容： 1.三面投影体系 2.三视图的形成及投影规律 〖导入新课〗 点、线、面是构成物体的基本几何元素。在点、线、面这几个基本几何元素中，点是最基本、最简单的几何元素。研究点的投影，掌握其投影规律，能为正确理解和表达物体的形状打下坚实的基础。 〖任务分析〗 让学生看书回答？ 1.点的投影特性是什么？ 2.点在三个面中分别用什么样的字母表示，有什么区别，怎么去记住？ 3.明确什么叫视图和为什么要用三视图。 〖知识学习〗 一、点的投影特性与投影标记： 1.特性：点的投影永远是点。 2.点的投影标记，看书上37页。 如下图将空间A点置于三投影面体系中，自A点分别向三个投影面作垂线，交得三个垂足a、a′、a″即为A 点的H面投影、V面投影和W面投影。新课导入 时间约3分钟 情境式教学，启 发引导学生思 考： 通过复习上次 课所学的容，引 出本节课的容 学习目的及重 点、难点 新课容 时间约25分钟 多媒体演示 启发学生思考： 书上哪些知识 容易找到？哪 些是不容易找 到？ 启发引导： 由点的投影特 性与投影标记， 引出点的三面 投影，让学生更 容易理解和接 受。 准备工具静 心上课 结合生活实 际，积极思考 踊跃回答 同学间互相 交流讨论，共 同分析有关 点的问题。 交流讨论，各 抒己见
教学容教师活动学生活动 二、点的三面投影 要唯一确定几何元素的空间位置及形状和大小，乃至物体的形状和大小，必须采用多面正投影的方法。通常选用三个互相垂直的投影面，建立一个三投影面体系。三个投影面分别称为正立投影面V、水平投影面H、侧立投影面W。它们将空间分为八个部分，每个部分为 一个分角，其顺序如图（a）所示。我国国家标准中规定采用第一分角画法，本教材重点讨论第一分角画法。三投影面体系的立体图在后文中出现时，都画成图（b）的形式。 图：三投影面体系 三个投影面两两垂直相交，得三个投影轴分别为OX、OY、OZ，其交点O为原点。画投影图时需要将三个投影面展开到同一个平面上，展开的方法是V面不动，H面和W面分别绕OX轴或OZ轴向下或向右旋转90o与V面重合。展开后，画图时去掉投影面边框。多媒体演示 启发教学： 先让学生看书 上37到38页 容，回答下列问 题： 问： 点的三面投影 是怎么形成 的？ 安排学生回答 讲评并归纳同 学们的答案，多 媒体展示正确 答案 多媒体展示 让学生看图思 考？ 思考基本特性 的特点。 结合所学知 识发挥空间 想象 其他同学思 考讨论补充 分组讨论，互 相探讨，集思 广义，由组长 归纳总结 小组交流可 以充分发挥 每个同学的 学习积极性， 提高学习兴 趣
必修直线与平面的位置关系一轮习题
第1章 立体几何初步 §1.2.3 直线与平面的位置关系 重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化． 经典例题：直角?ABC 所在平面外一点S ，且SA=SB=SC. ⑴求证：点S 与斜边中点D 的 连线SD ⊥面ABC ； ⑵若直角边BA=BC ，求证：BD ⊥面SAC ． 当堂练习： 1．下面命题正确的是 （ ） A ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点 B ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点 C ．若一条直线与一个平面有公共点，直线与这相交 D ．直线在平面外，则直线与平面相交或平行 2．直线b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b||α的是（ ） A ．b 与α内的一条直线不相交 B ．b 与α内的两条直线不相交 C ．b 与α内的无数条直线不相交 D ．b 与α内的所有直线不相交 3．下列命题正确的个数是（ ） ①若直线λ上有无数个点不在平面α内, 则α||λ; ②若直线λ与平面α平行, 则 λ与平面α内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线λ与平面α平行, 则λ与平面α内的任意一条直线都没有公共点. A ．0个 B ． 1个 C ． 2个 D ．3个 4．下无命题中正确的是（ ） ①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行. A ． ① B ． ③ C ． ①③ D ． ①②③ 5．直线a,b 是异面直线，A 是不在a,b 上的点，则下列结论成立的是（ ） A ． 过A 有且只有一个平面平行于a ，b B ． 过A 至少有一个平面平行于a ，b C ． 过A 有无数个平面平行于a ，b D ． 过A 且平行于a ，b 的平面可能不存在 6． 直线a,b 是异面直线，则下列结论成立的是（ ） A ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一个平面与a ，b 平行 B ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 相交 C ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 都平行 D ． 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7．下面条件中, 能判定直线α平面⊥λ的一个是（ ） A ． λ与平面α内的两条直线垂直 B ． λ与平面α内的无数条直线垂直 C ． λ与平面α内的某一条直线垂直 D ． λ与平面α内的任意一条直线垂直 8．空间四边形ABCD 中, AC=AD, BC=BD, 则AB 与CD 所成的角为（ ） A ． 300 B ． 450 C ． 600 D ． 900 9．如果直线λ与平面α不垂直, 那么在平面α内（ ） A ． 不存在与λ垂直的直线 B ． 存在一条与λ垂直的直线 C ． 存在无数条与λ垂直的直线 D ． 任意一条都与λ垂直 10．定点P 不在?ABC 所在平面内, 过P 作平面α, 使?ABC 的三个顶点到平面α的距离相等, 这样的平面共有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 11．?ABC 所在平面外一点P, 分别连结PA 、PB 、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多有（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个 12．下列四个命题：①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直；② 若一条直线和平面内的无数多条直线垂直，则这条直线和平面垂直；③仅 当一条直线和平面内两条相交直线垂直且过交点时这条直线才和平面垂 直；④若一条直线平行于一个平面，则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是（ ） A ．0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 13．如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G 1，G 2，G 3三 D S G 2G 3G 1F E G
机械制图——点的投影
教学时数： 3学时 课题：§3-3 点的投影 教学目标： 1、了解点的投影规律与投影轴投影面的关系； 2、掌握求作、分析点的方法。 教学重点： 求点的投影的几种方法及投影分析。 教学难点： 点与投影轴、投影面关系的分析判断。 教学方法： 讲授法、演示法 教具： 挂图、示教板 教学步骤： （复习提问） 1、三视图的三等关系是如何叙述的？ 2、三投影面体系中各个平面的代号分别是什么？ （引入新课） 点、线、面是构成物体形状的基本几何元素。学习和掌握它们的投影特性和规律，能够透彻理解机械图样所表达的内容。 （讲授新课） §3-2点的投影
一、点的投影特性：点的投影永远是点。 二、点的投影标记（图3-9） 空间点用：A、B、C、D ……标记。 空间点在H面上的投影用：a、b、c、d ……标记； 空间点在V面上的投影用：a′、b′、c′、d′……标记； 空间点在W面上的投影用：a′′、b′′、c′′、d′′……标记。 三、点的三面投影 四、点的投影规律 （1）点的正面投影与水平面投影的连线一定垂直于OX轴，即aa′⊥OX； （2）点的正面投影与侧面投影的连线一定垂直于OZ轴，即 a′a′′⊥OZ； （3）点的水平面投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴
的距离，即aa X=aa Z 例：找一点的三面投影（已知一点的两面投影，求第三面投影） 五、点的坐标 A点到W面的距离为X的坐标值 A点到H面的距离为Z的坐标值A点表示为A（x,y,z） A点到V面的距离为Y的坐标值 X坐标确定空间点在投影面体系中的左右位置；（横标） Y坐标确定空间点在投影面体系中的前后位置；（纵标） Z坐标确定空间点在投影面体系中的高低位置。（高标）
机械制图点的投影
第三讲点的投影（50分钟） （一）教学内容： 1．点在两投影面体系中的投影 2. 点在三投影面体系中的投影 3. 两点的相对位置和重影点 （二）目的与要求 1．掌握点在三投影面体系中的投影规律以及由点的两投影求作第三投影的要领； 2．掌握根据点的投影，判断其空间位置（包括两点的相对位置）的方法。 （三）讲课提纲及其说明 一、点在两投影面体系中的投影（15分钟） 1、投影面体系的建立 如图1所示，设立互相垂直的两个投影面，正立投影面（简称正面）V 和水平投影面（简称水平面）H，构成两投影面体系。两投影面体系将空间划分为四个分角。本书只讲述物体在第一分角的投影。V面和H面的交线称为投影轴OX。 2.点的两面投影 如图1（a）所示，由空间点A作垂直于V面、H面的投射线Aa′、Aa，分别与V面、H面相交，交点即为A的正面投影（V面投影）a′和水平投影（H面投影）a，即点A的两面投影。 空间点用大写字母如A、B、C、…表示，其水平投影用相应的小写字母如a、b、c、…表示，正面投影用相应的小写字母加一撇如a′、b′、c′、…
表示。 为使点的两面投影画在同一平面上，需将投影面展开。展开时V面保持不动，将H面绕OX轴向下旋转90°，与V面展成一个平面，便得到点A 的两面投影图，如图1(b)所示。投影图上的细实线aa′称为投影连线。 在实际画图时，不必画出投影面的边框和点a x，图1(c)即为点A的投影图。 3.点的两面投影规律 空间三点A、a′、a构成一个平面，由于平面Aa′a分别与V面，H 面垂直，所以这三个相互垂直的平面必定交于一点a x，且a x a′⊥OX、aa x ⊥OX。当H面与V面展平后， a、a x、a′三点必共线，即aa′⊥OX。 又因Aaa x a′是矩形，所以a x a′=Aa，a x a=Aa′。亦即：点A的V面投
空间直线与平面,平面与平面的位置关系
精锐教育学科教师辅导讲义
∴,所以,与平面所成角得余弦值为. 例2、如图,已知ＡP⊥BＰ,PＡ⊥PC,∠ＡＢP＝∠ＡCP=60o,PB=PC＝BＣ,D就是ＢC中点,求AＤ与平面PBC所成角得余弦值. 解析:∵AP⊥BP,P A⊥PC,∴AＰ⊥PBC 连PD,则PD就就是AD在平面PＢC上得射影 ∴∠ＰＤＡ就就是ＡD与平面PBＣ所成角 又∵∠ABP=∠AＣP=60o,PＢ=ＰC＝ＢC,D就是ＢＣ中点, ∴ＰＤ=,PＡ=BC∴AＤ= ∴ ∴AD与平面PＢC所成角得余弦值为 巩固练习: 1选择题 (１)一条直线与平面所成角为θ,那么θ得取值范围就是( ) ?(A)(0o,9０o)(B)［0o,９0o] (Ｃ)[0o,1８0o］(D)[０o,１８0o) (2)两条平行直线在平面内得射影可能就是①两条平行线;②两条相交直线;③一条直线;④两个点.上述四个结论中, 可能成立得个数就是() ?(A)1个?(B)２个(C)3个(D)４个 (3)从平面外一点Ｐ引与平面相交得直线,使Ｐ点与交点得距离等于1,则满足条件得直线条数不可能就是( ) ?(A)０条或1条(Ｂ)０条或无数条? (C)1条或2条(D)0条或1条或无数条 答案:(1)B (2)Ｃ(3)D 2.填空题 (1)设斜线与平面α所成角为θ,斜线长为,则它在平面内得射影长就是. (2)一条与平面相交得线段,其长度为10ｃm,两端点到平面得距离分别就是2cm,3cm,这条线段与平面α所成得角就 是。 (3)若(2)中得线段与平面不相交,两端点到平面得距离分别就是２cm,3ｃm,则线段所在直线与平面α所成得角就 是. ?答案:(１) (２) (３) 3.若Ｐ为⊿AＢC所在平面外一点,且PＡ＝ＰＢ=ＰC,求证点Ｐ在⊿ABC所在平面内得射影就是⊿ＡBC得外心. 分析:斜线段长相等,则射影长也相等从而由P A=PＢ=ＰC,点P得射影到⊿ABC得三个顶点得距离相等,所以射影为⊿ABC得外心、 例3、如图,平面,,若,求二面角得正弦值。 解析:过作于,过作交于,连结, 则垂直于平面,为二面角得平面角, ∴,又平面, ∴,,∴平面,∴,, 又∵,,∴平面,∴,设,则, 在中,,∴, 同理,中,, ∴, 所以,二面角得正弦值为。
机械制图 第二章 点、直线及平面的投影
第二章点、直线及平面的投影目的要求： 1）建立中心投影与平行投影的明确概念 2）掌握点、线、面在第一角中各种位置的投影特性和作图方法 3）掌握直线上点的投影特性以及在平面上作点和直线的方法 4）掌握直线与直线的相对位置及其投影特性 5）了解直角定理的原理及其运用 6）掌握直线与平面、平面与平面相交的作图及可见性的判断 重点难点： 1）熟练的运用点、线、面在各种位置的投影规律进行作图 2）掌握和正确运用直线上的点和平面上的点和直线的投影规律 3）熟练求出直线与平面、平面与平面相交的交点、交线并完成及可见性的判断授课学时：6学时 本章主要作图练习： 1）已知点的两投影，完成其第三投影，或已知点的三坐标，完成其三面投影和轴测投影； 2）判断两点的相对位置和作重影点的投影，并判断重影点的可见性。 3）完成直线的三面投影及找出直线上点的投影。 4）判断两直线的位置关系，利用直线的相对位置关系完成直线的投影作图，并作出交叉直线的重影点的投影。 5）直角投影定理的应用，两直线是否垂直的判断。 6）完成平面的三投影并判断平面相对投影面的位置关系。 7）已知点或直线在平面上，而且已知其一个投影，完成其另外两投影及判断点或直线是否在平面上（尤其是特殊位置平面）。 8）求直线与平面、平面与平面的交点和交线并判断可见性。 授课内容： §2-1 投影法基本知识 一、投影法及其分类 1、投影法的建立 在一定投影条件下，求得空间形体在投影面上的投影的方法，称为投影法。 投影中心、投影面、投射线、投影 2、投影法的分类 中心投影法（投射线相交于一点，投影随物体与投影中心和投影面的距离变化而改变大小，故不反映空间形体表面的真实大小和形状，但富有真实感）