2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷

2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷

一、选择题（每题3分，满分30分）

1．（3分）下列各运算中，计算正确的是( ) A ．22422a a a = B ．824x x x ÷= C ．222()x y x xy y -=-+

D ．236(3)9x x -=-

2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

4．（3分）一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是( ) A ．3.6

B ．3.8或3.2

C ．3.6或3.4

D ．3.6或3.2

5．（3分）已知关于x 的一元二次方程22(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实

数k 的取值范围是( ) A ．1

4

k <

B ．14

k

C ．4k >

D ．1

4

k

且0k ≠ 6．（3分）如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数k

y x

=

的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知(1,1)B -，120ABC ∠=?，则k 的值是( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

7．（3分）已知关于x 的分式方程422x k

x x

-=

--的解为正数，则k 的取值范围是( ) A ．80k -<<

B ．8k >-且2k ≠-

C ．8k >- 且2k ≠

D ．4k <且2k ≠-

8．（3分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为( )

A ．4

B ．8

C 13

D ．6

9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买

A 、

B 、

C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不

超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案( ) A ．12种

B ．15种

C ．16种

D ．14种

10．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=?，点F 在射线AM 上，且2AF BE ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、

EG ．则下列结论：

①45ECF ∠=?； ②AEG ?的周长为2

(1a ； ③222BE DG EG +=；

④EAF ?的面积的最大值是21

8

a ；

⑤当1

3

BE a =时，G 是线段AD 的中点．

其中正确的结论是( )

A ．①②③

B ．②④⑤

C ．①③④

D ．①④⑤

二、填空题（每题3分，满分30分）

11．（3分）5G 信号的传播速度为300000000/m s ，将数据300000000用科学记数法表示为 ．

12．（3分）在函数12

y x =

-中，自变量x 的取值范围是 ．

13．（3分）如图，Rt ABC ?和Rt EDF ?中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使Rt ABC ?和Rt EDF ?全等．

14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为 ．

15．（3分）若关于x 的一元一次不等式组1020x x a ->??-

有2个整数解，则a 的取值范围是 ．

16．（3分）如图，AD 是ABC ?的外接圆O 的直径，若40BAD ∠=?，则ACB ∠= ?．

17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为2150cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 cm ．

18．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，将ABD ?沿射线BD 平移，得到EGF ?，连接EC 、GC ．求EC GC +的最小值为 ．

19．（3分）在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且3

5

BE a =，连接AE ，

将ABE ?沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为 ． 20．（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以

22O A 为边作正方形2222O A B C ．?．则点2020B 的坐标 ．

三、解答题（满分60分）

21．（5分）先化简，再求值：22

169

(2)11

x x x x x -++-÷+-，其中3tan303x =?-． 22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC ?的三个顶点(5,2)A 、(5,5)B 、(1,1)C 均在格点上． （1）将ABC ?向左平移5个单位得到△111A B C ，并写出点1A 的坐标；

（2）画出△111A B C 绕点1C 顺时针旋转90?后得到的△221A B C ，并写出点2A 的坐标； （3）在（2）的条件下，求△111A B C 在旋转过程中扫过的面积（结果保留)π．

23．（6分）如图，已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过点(1,0)A -，B (3,0)，与y 轴交于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点P ，使PAB ABC ∠=∠，若存在请直接写出点P 的坐标．若不存在，请说明理由．

24．（7分）为了提高学生体质，战胜疫情，某中学组织全校学生宅家一分钟跳绳比赛，全校跳绳平均成绩是每分钟99次，某班班长统计了全班50名学生一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．

求：（1）该班一分钟跳绳的平均次数至少是多少，是否超过全校的平均次数；

（2）该班的一个学生说：“我的跳绳成绩是我班的中位数”请你给出该生跳绳成绩的所在范围；

（3）从该班中任选一人，其跳绳次数超过全校平均数的概率是多少．

25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y （单位：千米）与快递车所用时间x （单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．

（1）求ME 的函数解析式；

（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间． （3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）

26．（8分）如图①，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，AC BC =，点D 、E 分别在AC 、BC 边上，DC EC =，连接DE 、AE 、BD ，点M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，连接PM 、PN 、MN ．

（1）BE 与MN 的数量关系是 ．

（2）将DEC ?绕点C 逆时针旋转到图②和图③的位置，判断BE 与MN 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．

27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m 元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n 元，售价每千克18元．

（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m ，n 的值．

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x 千克(x 为正整数），求有哪几种购买方案．

（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出

2a 元，乙种蔬菜每千克捐出a 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a 的最大值．

28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB 长是23180x x --=的根，连接BD ，30DBC ∠=?，并过点C 作CN BD ⊥，垂足为N ，动点P 从B 点以每秒2个单位长度的速度沿BD 方向匀速运动到D 点为止；点M 沿线段DA 以每秒3个单位长度的速度由点D 向点A 匀速运动，到点A 为止，点P 与点M 同时出发，设运动时间为t 秒(0)t >． （1）线段CN = ；

（2）连接PM 和MN ，求PMN ?的面积s 与运动时间t 的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当PMN ?是以PN 为腰的等腰三角形时，直接写出点P 的坐标．

2020年黑龙江省龙东地区中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，满分30分）

1．（3分）下列各运算中，计算正确的是( ) A ．22422a a a = B ．824x x x ÷= C ．222()x y x xy y -=-+

D ．236(3)9x x -=-

【解答】解：A 、22422a a a =，正确；

B 、826x x x ÷=，故此选项错误；

C 、222()2x y x xy y -=-+，故此选项错误；

D 、236

(3)27x x -=-，故此选项错误；

故选：A ．

2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【解答】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B ．是中心对称图形，故本选项符合题意；

C ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：B ．

3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最多是( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

【解答】解：综合主视图与左视图，第一行第1列最多有2个，第一行第2列最多有1个； 第二行第1列最多有3个，第二行第2列最多有1个； 所以最多有：21317+++=（个)．

故选：B ．

4．（3分）一组从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4，则该组数据的平均数是( ) A ．3.6

B ．3.8或3.2

C ．3.6或3.4

D ．3.6或3.2

【解答】解：从小到大排列的数据：x ，3，4，4，5(x 为正整数），唯一的众数是4，

2x ∴=或1x =，

当2x =时，这组数据的平均数为23445

3.65

++++=；

当1x =时，这组数据的平均数为13445

3.45

++++=；

即这组数据的平均数为3.4或3.6， 故选：C ．

5．（3分）已知关于x 的一元二次方程22

(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，则实

数k 的取值范围是( ) A ．1

4

k <

B ．14

k

C ．4k >

D ．1

4

k

且0k ≠ 【解答】解：关于x 的一元二次方程22

(21)20x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x ，

∴△22[(21)]41(2)0k k k =-+-??+，

解得：14

k

． 故选：B ．

6．（3分）如图，菱形ABCD 的两个顶点A ，C 在反比例函数k

y x

=

的图象上，对角线AC ，BD 的交点恰好是坐标原点O ，已知(1,1)B -，120ABC ∠=?，则k 的值是( )

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

【解答】解：四边形ABCD 是菱形，

BA AD ∴=，AC BD ⊥，

120ABC ∠=?，

60BAD ∴∠=?， ABD ∴?是等边三角形，

点(1,1)B -，

OB ∴=，

tan30OB

AO ∴=

=?

直线BD 的解析式为y x =-，

∴直线AD 的解析式为y x =，

6OA =

∴点A 的坐标为，

点A 在反比例函数k

y x

=

的图象上，

3k ∴==，

故选：C ．

7．（3分）已知关于x 的分式方程422x k

x x

-=

--的解为正数，则k 的取值范围是( ) A ．80k -<< B ．8k >-且2k ≠-

C ．8k >- 且2k ≠

D ．4k <且2k ≠-

【解答】解：分式方程

422x k

x x

-=

--， 去分母得：4(2)x x k --=-， 去括号得：48x x k -+=-， 解得：8

3

k x +=

， 由分式方程的解为正数，得到8

03

k +>，且823k +≠， 解得：8k >-且2k ≠-． 故选：B ．

8．（3分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ⊥于点H ，连接OH ，若6OA =，48ABCD S =菱形，则OH 的长为( )

A ．4

B ．8

C 13

D ．6

【解答】解：四边形ABCD 是菱形，

6OA OC ∴==，OB OD =，AC BD ⊥， 12AC ∴=， DH AB ⊥，

90BHD ∴∠=?， 1

2

OH BD ∴=，

菱形ABCD 的面积11

124822

AC BD BD =??=??=，

8BD ∴=， 1

42

OH BD ∴==；

故选：A ．

9．（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买

A 、

B 、

C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不

超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案( ) A ．12种

B ．15种

C ．16种

D ．14种

【解答】解：设购买A 种奖品m 个，购买B 种奖品n 个， 当C 种奖品个数为1个时， 根据题意得102030200m n ++=， 整理得217m n +=，

m 、n 都是正整数，0217m <<，

1m ∴=，2，3，4，5，6，7，8；

当C 种奖品个数为2个时， 根据题意得102060200m n ++=， 整理得214m n +=，

m 、n 都是正整数，0214m <<，

1m ∴=，2，3，4，5，6； ∴有8614+=种购买方案．

故选：D ．

10．（3分）如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM ∠=?，点F 在射线AM 上，且2AF BE =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、

EG ．则下列结论：

①45ECF ∠=?； ②AEG ?的周长为2

(1)2

a +； ③222BE DG EG +=；

④EAF ?的面积的最大值是21

8

a ；

⑤当1

3

BE a =时，G 是线段AD 的中点．

其中正确的结论是( )

A ．①②③

B ．②④⑤

C ．①③④

D ．①④⑤

【解答】解：如图1中，在BC 上截取BH BE =，连接EH ．

BE BH =，90EBH ∠=?，

2EH BE ∴，

2AF BE =， AF EH ∴=，

45DAM EHB ∠=∠=?，90BAD ∠=?， 135FAE EHC ∴∠=∠=?， BA BC =，BE BH =，

AE HC ∴=，

()FAE EHC SAS ∴???，

EF EC ∴=，AEF ECH ∠=∠， 90ECH CEB ∠+∠=?， 90AEF CEB ∴∠+∠=?， 90FEC ∴∠=?，

45ECF EFC ∴∠=∠=?，故①正确，

如图2中，延长AD 到H ，使得DH BE =，则()CBE CDH SAS ???，

ECB DCH ∴∠=∠， 90ECH BCD ∴∠=∠=?， 45ECG GCH ∴∠=∠=?， CG CG =，CE CH =，

()GCE GCH SAS ∴???，

EG GH ∴=，

GH DG DH =+，DH BE =， EG BE DG ∴=+，故③错误， AEG

∴?的

周

长

2AE EG AG AE AH AD DH AE AE EB AD AB AD a =++=+=++=++=+=，故②错误，

设BE x =，则AE a x =-，AF =，

222222*********

()()()222244228

AEF S a x x x ax x ax a a x a a ?∴=

-?=-+=--+-=--+， 1

02-<， 12x a ∴=时，AEF ?的面积的最大值为21

8a ．故④正确，

当13BE a =时，设DG x =，则1

3

EG x a =+，

在Rt AEG ?中，则有22212

()()()33

x a a x a +=-+，

解得2

a

x =，

AG GD ∴=，故⑤正确，

故选：D ．

二、填空题（每题3分，满分30分）

11．（3分）5G 信号的传播速度为300000000/m s ，将数据300000000用科学记数法表示为 8310? ．

【解答】解：8300000000310=?． 故答案为：8310?． 12．（3分）在函数2

y x =

-中，自变量x 的取值范围是 2x > ．

【解答】解：由题意得，20x ->， 解得2x >． 故答案为：2x >．

13．（3分）如图，Rt ABC ?和Rt EDF ?中，B D ∠=∠，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 (AB ED BC DF ==或AC EF =或AE CF =等） ，使Rt ABC ?和

Rt EDF ?全等．

【解答】解：添加的条件是：AB ED =， 理由是：在ABC ?和EDF ?中

B D

AB ED

A DEF

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

，

()

ABC EDF ASA

∴???，

故答案为：AB ED

=．

14．（3分）一个盒子中装有标号为1、2、3、4、5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为

2

5

．

【解答】解：画树状图如图所示：

共有20种等可能的结果，摸出的两个小球的标号之和大于6的有8种结果，

∴摸出的两个小球的标号之和大于6的概率为

82

205

=，

故答案为：

2

5

．

15．（3分）若关于x的一元一次不等式组

10

20

x

x a

->

?

?

-<

?

有2个整数解，则a的取值范围是68

a

<．

【解答】解：解不等式10

x->，得：1

x>，

解不等式20

x a

-<，得：

2

a

x<，

则不等式组的解集为1

2

a

x

<<，

不等式组有2个整数解，

∴不等式组的整数解为2、3，

则34

2

a

<，

解得68

a

<，

故答案为：68

a

<．

16．（3分）如图，AD是ABC

?的外接圆O的直径，若40

BAD

∠=?，则ACB

∠=50?．

【解答】解：连接BD ，如图，

AD 为ABC ?的外接圆O 的直径，

90ABD ∴∠=?，

90904050D BAD ∴∠=?-∠=?-?=?， 50ACB D ∴∠=∠=?．

故答案为50．

17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为2150cm π，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为 10 cm ．

【解答】解：1

2

S l R =，

∴1

151502

l π=，解得20l π=， 设圆锥的底面半径为r ，

220r ππ∴=，

10()r cm ∴=．

故答案为：10．

18．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，将ABD ?沿射线BD 平移，得到EGF ?，连接EC 、GC ．求EC GC +的最小值为 45 ．

【解答】解：如图，连接DE ，作点D 关于直线AE 的对称点T ，连接AT ，ET ，CT ．

四边形ABCD 是正方形，

4AB BC AD ∴====，90ABC ∠=?，45ABD ∠=?， //AE BD ，

45EAD ABD ∴∠=∠=?， D ，T 关于AE 对称，

4AD AT ∴==，45TAE EAD ∠=∠=?，

90TAD ∴∠=?， 90BAD ∠=?， B ∴，A ，T 共线，

2245CT BT BC ∴+

EG CD =，//EG CD ， ∴四边形EGCD 是平行四边形，

CG EC ∴=，

EC CG EC ED EC TE ∴+=+=+，

TE EC TC +，

45EC CG ∴+，

EC CG ∴+的最小值为45

19．（3分）在矩形ABCD 中，1AB =，BC a =，点E 在边BC 上，且3

5

BE a =，连接AE ，

将ABE ?沿AE 折叠．若点B 的对应点B '落在矩形ABCD 的边上，则折痕的长为 2或

30

． 【解答】解：分两种情况：

①当点B '落在AD 边上时，如图1所示：

四边形ABCD是矩形，

90

BAD B

∴∠=∠=?，

将ABE

?沿AE折叠．点B的对应点B'落在矩形ABCD的AD边上，

1

45

2

BAE B AE BAD

'

∴∠=∠=∠=?，

ABE

∴?是等腰直角三角形，

1

AB BE

∴==，22

AE AB

==；

②当点B'落在CD边上时，如图2所示：

四边形ABCD是矩形，

90

BAD B C D

∴∠=∠=∠=∠=?，AD BC a

==，

将ABE

?沿AE折叠．点B的对应点B'落在矩形ABCD的CD边上，

90

B AB E'

∴∠=∠=?，1

AB AB

'==，

3

5

BE BE a

'==，

32

55

CE BC BE a a a

∴=-=-=，222

1

B D AB AD a

''

=--

在ADB'

?和△B CE

'中，90

B AD EB

C AB D

'''

∠=∠=?-∠，90

D C

∠=∠=?，ADB'

∴?∽△B CE

'，

∴

B D AB

EC B E

''

=

'

2

11

3

55

a

a a

-

=，

解得：

5

a，或0

a=（舍去），

35

5

BE a

∴==，

22225301()5AE AB BE ∴=+=+=； 综上所述，折痕的长为2或30

； 故答案为：2或

30． 20．（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以

22O A 为边作正方形2222O A B C ．?．则点2020B 的坐标 2020231?-，20203 ．

【解答】解：点B 坐标为(1,1)，

11OA AB BC CO CO ∴=====， 1(2,3)A ，

111111123AO A B B C C O ∴====， 1(5,3)B ∴， 2(8,9)A ∴，

222222239A O A B B C C O ∴====， 2(17,9)B ∴，

同理可得4(53,27)B ，

5(161,81)B ，