高中数学双曲线知识点总结
高中数学双曲线知识点总结
平面内到两个定点,错误!未找到引用源。的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)
的点的轨迹。 莁方程
蒀简图
肈
蚃
薄范围 肈顶点 虿焦点 袃渐近线 螁离心率
袀对称轴
蒈关于x 轴、y 轴及原点对称
袃关于x 轴、y 轴及原点对称
膂准线方程
薂a 、b 、c 的
关系
考点
题型一 求双曲线的标准方程
1、给出渐近线方程n
y x m
=±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线
22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22
22(0)x y a b
λλ-=≠。
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
膃_
蚀x
蚆_
螃y
薄_
螂x
羈_
袇y
（1）
（2） 虚轴长为12，离心率为
54
； （3）
（4） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （5）
（6） 与双曲线
22
1916
x y -=有公共渐进线，且经过点()
3,23A -。
解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22
221y x a b
-=(0,0)a b >>。
由题意知，2b=12，c e a =
=54
。
∴b=6，c=10，a=8。
∴标准方程为236164x -=或22
16436
y x -=。
（2）∵双曲线经过点M （0，12），
∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。∴222144b c a =-=。
∴标准方程为
22
114425
y x -=。
（3）设双曲线的方程为22
22x y a b
λ-=
(3,23A -Q 在双曲线上
∴(2
2
33
1916
-= 得1
4
λ=
所以双曲线方程为22
4194
x y -=
题型二 双曲线的几何性质
方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者
的关系，构造出c
e a
=和222c a b =+的关系式。
【例2】双曲线22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥45
c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。
解：直线l 的方程为
1x y
a b
-=，级bx+ay-ab=0。
由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离
1d =
，
同理得到点（-1，0）到直线l 的距离
2d =
，
122ab
s d d c
=+=
=
。
由s ≥45c ，得
2ab c ≥45
c ，即2
52c ≥。
于是得2
2e ≥，即42425250e e -+≤。
解不等式，得
25
54
e ≤≤。由于e ＞1＞0，所以e 的取值范围是2e ≤≤
【例3】设F 1、F 2分别是双曲线22
221x y a b
-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使
1290F AF ∠=o ，且︱AF 1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。
解：∵1290F AF ∠=o
∴22
212
4AF AF c +=
又︱AF 1︱=3︱AF 2︱，
∴12222AF AF AF a -==即2AF a =，
∴22
222
2212
222910104AF AF AF AF AF a c +=+===，
∴
2c a ==
即e =
题型三 直线与双曲线的位置关系
方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方
程组，即2
2
2
2
22
0Ax By C b x a y a b
++=??
-=?，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公
共点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长：
【例4
】如图，已知两定点12
(F F ，满足条件212PF PF -=u u u u r u u u r
的点P 的轨迹是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A 、B 两点，如果
C ，使OA OB mOC +=u u u r u u u r u u u r
，求
（1）曲线E 的方程；
（2）直线AB 的方程；
（3）m 的值和△ABC 的面积S 。
解：由双曲线的定义可知，
曲线E
是以12(F F 为焦点的双曲线的左支，
且c =
a=1
，易知1b ==。
故直线E 的方程为22
1(0)x y x -=<，
(2)设11A(x ,y ), 22B(x ,y ),
由题意建立方程组22
y=kx-1
x -y =1
??
?消去y ，得22
(1)220k x kx -+-=。
又已知直线与双曲线左支交于两点A 、B ，有
222
122
122
10,(2)8(1)0,20,12
0.1k k k k x x k x x k ?-≠?=+->??-?+=<-?
?-=>?-?
V
解得1k <<-。
又∵
12AB x x =-=
依题意得=，整理后得42
2855250k k -+=，
∴257k =
或254
k =。
但1k <<-，
∴k =。
故直线AB
的方程为
102
x y ++=。
（3）设(,)c c C x y ，由已知OA OB mOC +=u u u r u u u r u u u r
，得1122(,)(,)(,)c c x y x y mx my +=，
∴1212
(,)(
,)(0)c c x x y y x y m m m
++=≠。
又122
21
k
x x k +==--212122222()22811k y y k x x k k +=+-=-==--，
∴点8
)C m
。
将点C 的坐标代入曲线E 的方程，的
22
80641m m -=，
得4m =±，但当4m =-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。
∴4m =，C
点的坐标为(2)，
C 到AB
13
=，
∴△ABC
的面积11
23
S =
?= 一、
二、抛物线
高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。 （一）
（二） 知识归纳
（二）典例讲解
题型一 抛物线的定义及其标准方程
方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标
准方程有时可设为2
y mx =或2
(0)x my m =≠。
【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
（1）抛物线的焦点是双曲线2
2
169144x y -=的左顶点；
（2）经过点A （2，－3）；
（3）焦点在直线x-2y-4=0上；
（4）抛物线焦点在x 轴上，直线y=-3与抛物线交于点A ，︱AF ︱=5.
解：（1）双曲线方程可化为
22
1916
x y -=，左顶点是（-3，0）
由题意设抛物线方程为2
2(0)y px p =->且32
p
-
=-，
∴p=6.
∴方程为2
12y x =-
（2）解法一：经过点A （2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
y 2＝2px 或x 2＝－2py ．
点A （2，－3）坐标代入，即9＝4p ，得2p ＝
2
9
点A （2，－3）坐标代入x 2
＝－2py ，即4＝6p ，得2p ＝
3
4
∴所求抛物线的标准方程是y 2
＝
29x 或x 2＝－3
4y
解法二：由于A （2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2
y mx =或2
x ny =，
代入A 点坐标求得m=
29，n=-3
4
，
∴所求抛物线的标准方程是y 2
＝
29x 或x 2＝－3
4
y
（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。
∴焦点为（0，-2），（4，0）。
∴抛物线方程为2
8x y =-或2
16y x =。
（4）设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为2
2(0)y px p =≠，A （m ，-3），由抛物
线定义得p 52
AF m ==+
，
又2
(3)2pm -=，
∴1p =±或9p =±，
故所求抛物线方程为22y x =±或2
18y x =±。
题型二 抛物线的几何性质
方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l 的距离处
理，例如若P （x 0，y 0）为抛物线2
2(0)y px p =>上一点，则02
p PF x =+。
2、若过焦点的弦AB ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则弦长12AB x x p =++，12x x +可由
韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似得到。
【例6】设P 是抛物线2
4y x =上的一个动点。
（1）
（2） 求点P 到点A （-1，1）的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； （3）
（4） 若B （3，2），求PB PF +的最小值。
解：（1）抛物线焦点为F （1，0），准线方程为1x =-。
∵P 点到准线1x =-的距离等于P 点到F （1，0）的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A （-1，1）的距离与P 到F （1，0）的距离之和最小。
显然P 是AF 的连线与抛物线的交点，
最小值为AF =
（2）同理PF 与P
过B 做B Q ⊥准线于Q 点，交抛物线与P 1点。
∵11PQ PF =，
∴114PB PF PB PQ BQ +≥+==。
∴PB PF +的最小值是4。
题型三 利用函数思想求抛物线中的最值问题
方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
【例7】已知抛物线y ＝x 2，动弦AB 的长为2，求AB 的中点纵坐标的最小值。
分析一：要求AB 中点纵坐标最小值，可求出y 1＋y 2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y 1、y 2是梯形ABCD 的两底，这样使得中点纵坐标y 成为中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
解法一：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点为M(x,y)
由抛物线方程y ＝x 2知焦点1
F(0,
)4
,准线方程1
4
y =-，设点A 、B 、M 到准线的距离分别为|AD 1|、
|BC 1|、|MN|，则|AD 1|＋|BC 1|＝2|MN|，且
1
MN =2(y+)4
，根据抛物线的定义，有|AD 1|＝|AF|、
|BC 1|＝|BF|,∴1
2(y+)4
＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝2，
∴1
2(y+
)24
≥
∴3y 4≥
,即点M 纵坐标的最小值为34
。
分析二：要求AB 中点M 的纵坐标y 的最小值，可列出y 关于某一变量的函数，然后
求此函数的最小值。
解法二：设抛物线y ＝x 2上点A(a,a 2),B(b,b 2
)，AB 的中点为M(x ，y)，则
∵|AB|＝2，∴(a ―b)2＋(a 2―b 2)＝4，则(a ＋b)2－4ab ＋(a 2＋b 2)2－4a 2b 2
＝4
则2x ＝a ＋b,2y ＝a 2＋b 2,得ab ＝2x 2－y,∴4x 2―4(2x 2―y)＋4y 2―4(2x 2
―y)＝4
整理得1
4122++
=x x y
即点M 纵坐标的最小值为3/4。
练习：
1、以y =±
3
2
x 为渐近线的双曲线的方程是（ ）
Ａ、3y 2
―2x 2
=6 Ｂ、9y 2
―8x 2
=1 C 、3y 2
―2x 2
=1 D 、9y 2
―4x 2
=36
【答案D 】解析：A 的渐近线为2y=3x ±
，B 的渐近线为2y=3
x ±
C 的渐近线为y=，只有
D 的渐近线符合题意。
2、若双曲线22
1x y -=的左支上一点P （a ，b ）到直线y=x ，则a+b 的值为
（ ）
A 、12-
B 、1
2
C 、2-
D 、2
【答案A 】解析：∵P 在双曲线上，
∴221a b -=即（a+b ）（a-b ）=1
又P （a ，b ）到直线y=x
=a b <
即2a b -=-
∴a+b=1
2
-
3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x 轴，焦点在直线34120x y --=上，那么抛物
线的方程是（）
A 、216y x =-
B 、2
12y x =
C 、216y x =
D 、2
12y x =-
【答案C 】解析：令x=0得y=－3，令y=0得x=4，
∴直线34120x y --=与坐标轴的交点为（0，-3），（4，0）。
∴焦点为（0，-3），（4，0）。
∴抛物线方程为212x y =-或2
16y x =。
4、若抛物线y=4
1x 2
上一点P 到焦点F 的距离为5，则P 点的坐标是
A.（4，±4）
B.（±4，4）
C.（
1679
，±879） D.（±879，16
79）
【答案B 】解析：抛物线的焦点是（0，1），准线是1y =-，
P 到焦点的距离可以转化为到准线的距离。
设P （x ，y ），则y=4，
∴4x ===±
5、若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则
PF PA + 取得最小值时点P 的坐标是 （ C ）
A ．（0，0）
B ．（1，1）
C ．（2，2）
D ．)1,2
1
(
【答案C 】解析：抛物线焦点为F （1，0），准线方程为1x =-。
∵P 点到准线1x =-的距离等于P 点到F （1，0）的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A （3，2）的距离与P 到F （1，0）的距离之和最小。
显然P 是A 到准线的垂线与抛物线的交点，
∴P 的坐标为（2，2）
6、已知A 、B 是抛物线2
2(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若︱OA ︱=︱OB ︱，且
△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（ ）
A 、x=p
B 、x=3p
C 、x=
32p D 、x=52
p
【答案D 】解析：设A （22y p ，y ），B （2
2y p
，-y ），
∵F （p ，0）是△AOB 的垂心，
∴
22122
2y y
y p y p p
?
=--
整理得22
5y p =
∴2522
y x p p =
=
7、过点P （4，1），且与双曲线
22
1916
x y -=只有一个公共点的直线有 条。
【答案】两条
解析：因为P （4，1）位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线有一个公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。
这两条直线是：41(4)3y x -=
-和4
1(4)3
y x -=--
8、双曲线C 与双曲线2
212
x y -=有共同的渐近线，且过点A(2,-2)，则C 的两条准线之间的距离为 。
【答案】
3
解析：设双曲线C 的方程为2
2(0)2
x y k k -=≠，
将点A 代入，得k=-2。
故双曲线C 的方程为：22
124
y x -=
∴a =b=2, c =
所以两条准线之间的距离是223
a c =。
9、已知抛物线2
2(0)y px p =>，一条长为4P 的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此弦中点到y 轴的最小距离是
【答案】
3
2
p
解析：设动弦两个端点为A 、B ，中点为C ，作AA ’，BB ’，CC ’垂直于准线的垂线，垂足分别为A ’、 B ’、 C ’，连接AF 、BF ，由抛物线定义可知，︱A F ︱=︱AA ’︱，
︱B F ︱=︱BB ’︱
∵CC ′是梯形ABB ′A ′的中位线
∴︱CC ′︱=
1(')')2AA BB += 1())2AF BF + 1
2
AB ≥=2p
当AB 经过点F 时取等号，所以C 点到y 轴的距离最小值为3
2p-
22
p p =。
10、抛物线2
12y x =-的一条弦的中点为M (2,3)--，则此弦所在的直线方程是 。
【答案】2x-y+1=0
解析：设此弦所在的直线l 方程为3(2)y k x +=+，
l 与抛物线的交点坐标分别是A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),
则124x x +=-
将l 的方程代入抛物线方程整理得
由韦达定理得2122
(4612)
4k k x x k
-++=-=-
解得2k =
∴此直线方程为32(2)y x +=+ 即2x-y+1=0
11、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为
4
3
，求双曲线的方程。
解：由题意知，216c = 8c ∴=
又4
3
c e a =
=Q 6a ∴=
12、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>
的离心率e =，过点(0,)A b -和B （a ，0）
的直线与原点的距离为2
。
（1）求双曲线的方程；
（2）直线(0,0)y kx m k m =+≠≠与该双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在
以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。
解：（1
）由题设，得2224132b e a ?=+=??
?=
解得23a =，21b =
∴双曲线的方程为2
213
x y -=。
（2）把直线方程y kx m =+代入双曲线方程，
并整理得222
(13)6330k x kmx m ----=
因为直线与双曲线交于不同的两点，
∴221212360m k =+->V ①
设11(,)C x y ，22(,)D x y
则122613km x x k +=
-，12122
2()213m
y y k x x m k
+=++=-
设CD 的中点为00(,)P x y ，
其中1202x x x +=
，12
02
y y y +=，
则02313km x k =
-，0
2
13m y k =-
依题意，A P ⊥CD ，∴22
1113313AP
m
k k km k k +-==--
整理得2341k m =+ ②
将②式代入①式得 240m m ->
∴m ＞4或m ＜0
又23410k m =+>，即14
m >-
∴m 的取值范围为m ＞4或1
04
m -
<<。
13、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线2
2y px =上，△ABC 的重心与此
抛物线的焦点F 重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；
（2）求线段BC 中点M 的坐标；
（3）求BC 所在直线的方程.（12分）
解：（1）由点A （2，8）在抛物线2
2y px =上，
有2
822p =?，解得p=16. 所以抛物线方程为2
32y x =，
焦点F 的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心， M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的 定比分点，且
2AF
FM
=，设点M 的坐标为00(,)x y ，则 00
22828,01212
x y ++==++，解得0011,4x y ==-，
所以点M 的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在
的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：4(11)(0).y k x k +=-≠
由2
4(11)
32y k x y x
+=-??
=?，消x 得2
3232(114)0ky y k --+=，
所以1232
y y k +=
，由（2）的结论得1242
y y +=-，解得 4.k =- ∴BC 所在直线的方程是44(11)y x +=--即4400x y +-=。 14、如图, 直线y=
21x 与抛物线y=8
1
x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.
（1）求点Q 的坐标；
（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.（14分）
解：(1) 解方程组212
148y x y x ?=????=-??
得1142x y =-??=-?或22
8
4x y =??=?
即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1). 由AB 1
k =
2
，直线AB 的垂直平分线方程 y －1=-2(x －2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．
(2) 直线OQ 的方程为x+y=0, 设P(x,
2
148
x -) ∵点P 到直线OQ 的距离
2832x +-
, OQ =
∴SΔOPQ=
12OQ d =25
83216
x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上,
4或
∵函数y=x2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ 的面积取到最大
值为30．
双曲线知识点复习总结
双曲线知识点总结复习 1.双曲线的定义： （1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。 （2）等轴双曲线： （注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。） 例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。） 思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？ 2.双曲线的几何性质： （1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点： 两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±；⑤离心 率：c e a =，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通 径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为： 等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图） 例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________
【精品】高中数学 选修1-1_双曲线及其标准方程_ 知识点讲解 讲义+巩固练习(含答案)提高
双曲线及其标准方程 【学习目标】 1．知识与技能： 从具体情境中抽象出双曲线的模型；掌握双曲线的定义、标准方程及几何图形；能正确推导双曲线的标准方程． 2．过程与方法： 学生亲自动手尝试画图、发现双曲线的形成过程进而归纳出双曲线的定义、图象和标准方程． 3．情感态度与价值观： 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用． 【要点梳理】 要点一：双曲线的定义 把平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于常数（大于零且小于12F F ）的点的集合叫作双曲线． 定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距． 要点诠释： 1． 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：常数=1212PF PF F F -<，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2． 若常数分别满足以下约束条件，则动点的轨迹各不相同： 若 常数=1212PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点2F 的一支； 若 常数=2112PF PF F F -<（常数0>），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点1F 的一支． 若 常数=1212PF PF F F -=，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）； 若 常数=1212PF PF F F ->，则动点轨迹不存在； 若 常数=12=0PF PF -，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 要点二：双曲线的标准方程
1．双曲线的标准方程 2．标准方程的推导 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分为4步：建系、设点、列式、化简． （1）建系 取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系． （2）设点 设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)． （3）列式 设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a． 由定义可知，双曲线就是集合：P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}． ∵2222 12 ||(),||(), MF x c y MF x c y ++=-+ ∴2222 ()()2 x c y x c y a ++-+=± (4)化简 将这个方程移项，得 当焦点在x轴上时， 22 22 1 x y a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+； 当焦点在y轴上时， 22 22 1 y x a b -=(0,0) a b >>，其中222 c a b =+
高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y
解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,
双曲线知识点归纳总结
双曲线知识点归纳总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第二章 2.3 双曲线
① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2 12 1F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2 AB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在y 轴上； 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
经典双曲线知识点
双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。 重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线. 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中 靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点 坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，. 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、― y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
双曲线知识点复习总结
双曲线知识点总结复习 1. 双曲线的定义： （1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。 （2）等轴双曲线： （注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。） 例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。） 思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线 2. 双曲线的几何性质： （1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点： 两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心 率：c e a = ，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为：
等轴双曲线的渐近线方程为： ，离心率为： （注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图） 例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________
双曲线知识点归纳总结
第二章 2.3 双曲线
① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向
右延伸的一条射线；当2 112 F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一 条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2πAB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01φπB A ，双曲线的焦点在y 轴上； 当01 ,01πφB A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程， 应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系 22 2 22222 1a b a b a a c e +=+== 1）2 1?? ? ??+=a b e 2） 12-=e a b 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 22b y a x 0(≠λ
2019年高二数学双曲线知识点总结
2019年高二数学双曲线知识点总结 双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。下面给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 当λ>0时，λa与a同方向; 当λ<0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。 ②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积
双曲线知识点总结 (1)
双曲线知识点 知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且） 的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1 、F 2 为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F 1 F 2 的垂直平分线。 标准方程 图形 性质 焦点，， 焦距 范围，， 对称性关于x轴、y轴和原点对称 顶点
轴长实轴长 =，虚轴长= 离心率 渐近线方 程 1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长 a b2 2 2.等轴双曲线 :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为 3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 4.焦点三角形的面积 2 cot 2 2 1 θ b S F PF = ? ，其中 2 1 PF F ∠ = θ 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0 (1 2 2< = +mn ny mx 7. 椭圆双曲线 根据|MF 1 |+|MF 2 |=2a 根据|MF 1 |－|MF 2 |=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0） ， （a＞b＞0） ， （a＞0，b＞0，a不一定大于b）
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
双曲线知识点归纳总结
第二章 2.3 双曲线 双曲线 标准方程（焦点在x轴） )0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b y a x 标准方程（焦点在y轴） )0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b x a y 定义 第一定义：平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离的差的绝对值是常数（小于 12 F F）的 点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M2 2 1 = -()21 2F F a< 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1 e>时， 动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e（1 e>）叫做双曲线的离心率。 范围x a ≥，y R ∈y a ≥，x R ∈ 对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 对称中 心 原点(0,0) O x y P 1 F 2 F x y P x y P 1 F 2 F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1 F 2 F x y P
焦点坐 标 1 (,0) F c- 2 (,0) F c 1 (0,) F c- 2 (0,) F c 焦点在实轴上，22 c a b =+；焦距： 12 2 F F c = 顶点坐 标 （a -,0） (a,0) (0, a -,) (0，a) 离心率e a c e( =>1) 准线方 程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： c a2 2 顶点到 准线的 距离 顶点 1 A（ 2 A）到准线 1 l（ 2 l）的距离为 c a a 2 - 顶点 1 A（ 2 A）到准线 2 l（ 1 l）的距离为a c a + 2 焦点到 准线的 距离 焦点 1 F（ 2 F）到准线 1 l（ 2 l）的距离为 c a c 2 - 焦点 1 F（ 2 F）到准线 2 l（ 1 l）的距离为c c a + 2 渐近线 方程 x a b y± =x b a y± = 共渐近 线的双 曲线系 方程 k b y a x = - 2 2 2 2 （0 k≠）k b x a y = - 2 2 2 2 （0 k≠） ①当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上； 当a MF MF2 1 2 = -时，则表示点M在双曲线左支上； ②注意定义中的“（小于 12 F F）”这一限制条件，其根据是“三角形两边 之和之差小于第三边”。 若2a=2c时，即 2 1 2 1 F F MF MF= -,当21 2 1 F F MF MF= -，动点轨迹是以2F为端点向右延伸的一条射线；当 2 1 1 2 F F MF MF= -时，动点轨迹是以1F为端点向左延伸的一条射线；
双曲线知识点归纳总结.
第二章 2.3 双曲线 双曲线 标准方程（焦点在x 轴） )0,0(122 22>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴） )0,0(122 22>>=-b a b x a y 定义 第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M 22 1 =-()212F F a < 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离心率。 范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈ 对称轴 x 轴 ，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b 对称中 心 原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)F c - 2(,0)F c 1(0,)F c - 2(0,)F c 焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c = 顶点坐标 （a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a ) x y P 1 F 2 F x y P x y P 1F 2F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1F 2F x y P
离心率 e a c e (= >1) 准线方 程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c a 2 2 顶点到准线的 距离 顶点1A （2A ）到准线1l （2l ）的距离为c a a 2 - 顶点1 A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a c a +2 焦点到准线的 距离 焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为c a c 2 - 焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为c c a +2 渐近线 方程 x a b y ±= x b a y ±= 共渐近 线的双曲线系 方程 k b y a x =-2222（0k ≠） k b x a y =-22 2 2（0k ≠） 1. 双曲线的定义 ① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上； 当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。 若2a =2c 时，即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向 右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线； 若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<.
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名 知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0 且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上， 双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线的简单几何性质 双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质 （1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成― x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 （4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得， 所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示 双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。 （5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线 围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。 注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。 标准方程 图形 性质 焦点，， 焦距 范围，，
高中数学双曲线抛物线知识点总结
双曲线 平面到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22 2 21x y a b -=共渐近线的方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y
解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12 2 d a b = +， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22 2 d a b = +，
高中数学双曲线抛物线知识点的总结
双曲线 平面内到两个定点, 的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为22 22(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 2222 1x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 54 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -。
解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425 y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= ( 3,A -在双曲线上 ∴(2 2 3 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且 点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离 1d = ， 同理得到点（-1，0）到直线l 的距离 2d =
高中双曲线知识点总结
高中双曲线知识点总结 进入高三总复习的第一阶段，同学们应从基础知识抓起，扎扎实实，一步一个脚印地过数学知识点关。复习时，将双曲线方程知识点总结熟练掌握运用，xx相信您一定可以提高数学成绩! 双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：. ⑵①i. 焦点在x轴上： 顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 . ②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) 长加短减原则： 构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号) ⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率. ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.
⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为. 例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程? 解：令双曲线的方程为代入得. ⑹直线与双曲线的位置关系： 区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条; 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条; 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. (2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证： =. 常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
双曲线知识点归纳与例题分析
双曲线基本知识点
直线和双曲线的位置 双曲线122 22=-b y a x 与直线y kx b =+的位置关系： 利用22 221x y a b y kx b ?- =???=+? 转化为一元二次方程用判别式确定。 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦AB 的弦长2212121()4AB k x x x x =++- 通径：21AB y y =- 补充知识点： 等轴双曲线的主要性质有： （1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b ，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b 这两个字母）； （2）其标准方程为x^2-y^2=C ，其中C≠0； （3）离心率e=√2； （4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直； （5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项； （6）等轴双曲线上任意一点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分； （7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2； （8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。 所以反比例函数y=k/x 的图像一定是等轴双曲线。 例题分析： 例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（ ） Ａ．221916x y -= Ｂ．22 1169x y -+= Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．22 1(3)169 x y y -+=-≤ 同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为3 4 y x =±，则离心率为（ ）
2018年人教A版高中数学选修2-1 双曲线 知识点+讲测练(含解析)
2018年人教A 版高中数学选修2-1 双曲线 知识点+讲测练 知识点 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。 双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 222 2100-=>>()， （2）焦点在y 轴上的：y a x b a b 222 2100-=>>()， （3）当a ＝b 时，x 2 -y 2 ＝a 2 或y 2 -x 2 ＝a 2 叫等轴双曲线。注：c 2 ＝a 2 ＋b 2 双曲线的几何性质： （）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：1100222 2x x a y b a b -=>>() <>≤-≥1范围：，或x a x a <2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。 <3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。 )1(4>= >
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程 【知识梳理】 1、双曲线的定义 （11222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段.此定义为双曲线的第一定义. ，此时P 点轨迹为两条射线. （2点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义. 2、双曲线的简单性质 3、渐近线 双曲线()221,0x y a b a b -=>的渐近线为220x y a b -=，即0a b ±=，或y x a =±. 【注】 ①与双曲线221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()220x y a b λλ-=≠；
②渐近线为y x a =±的双曲线方程可以设为()220x y a b λλ-=≠； ③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线. ④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径 双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F .()221,0x y a b a b -=>上的任意一点， e = . 5、通径 过双曲线()221,0x y a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径， 且AB =. 6、焦点三角形 P 为双曲线()221,0a b a b -=>三角形.122 cot 2 F PF S b ?=. 7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）. 8、双曲线()221,0a b a b -=>9、直线与双曲线的位置关系 ，双曲线Γ：()221,0a b a b -=>，则 l 与Γ相交；