考点15 曲线运动 运动的合成与分解

一、曲线运动

1．曲线运动

（1）速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。

（2）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。

（3）曲线运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上。

2．物体做曲线运动的条件及轨迹分析

（1）条件

①因为速度时刻在变，所以一定存在加速度；

②物体受到的合外力与初速度不共线。

（2）合外力方向与轨迹的关系

物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向曲线的“凹”侧。

（3）速率变化情况判断

①当合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；

②当合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；

③当合外力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

3．做曲线运动的规律小结：

（1）合外力或加速度指向轨迹的“凹”（内）侧。

（2）曲线的轨迹不会出现急折，只能平滑变化，且与速度方向相切。

二、运动的合成与分解

1．基本概念

（1）运动的合成：已知分运动求合运动。

（2）运动的分解：已知合运动求分运动。

2．分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。

3．遵循的规律

位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。

4．合运动与分运动的关系

（1）等时性 合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。 （2）独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响。 （3）等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果。 5．运动的合成及性质

（1）运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则。

（2）合运动的性质判断

???????

??

????

变化：非匀变速运动加速度或合外力不变：匀变速运动

共线：直线运动加速度或合外力与速度方向不共线：曲线运动

（3）两个直线运动的合运动性质的判断

根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分以下几种情况：

6．合运动与分运动的关系 （1）运动的独立性

一个物体同时参与两个（或多个）运动，其中的任何一个运动并不会受其他分运动的干扰，而保持其运动性质不变，这就是运动的独立性原理。虽然各分运动互不干扰，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹。

（2）运动的等时性

各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等（不同时的运动不能合成）。 （3）运动的等效性

各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。

7．运动的合成与分解的运算法则

运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。

8．运动的合成与分解两个典型模型 （1）小船渡河模型

在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内（在速度不变的分运动所在直线的一侧）变化。我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究。这样的运动系统可看作“小船渡河模型”。

模型特点：

①船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。

②三种速度：v 船（船在静水中的速度）、v 水（水的流速）、v 合（船的实际速度）。 ③两个极值

A ．过河时间最短：v 船⊥v 水，t min =船

v d

（d 为河宽）。

B ．过河位移最小：v 合⊥v 水（前提v 船>v 水），如图甲所示，此时x min =d 船头指向上游与河岸夹角为α。cos α=

船水v v ；v 船⊥v 合（前提v 船

d v v d 船

水=αsin

（2）绳（杆）端速度分解模型 ①模型特点

沿绳（或杆）方向的速度分量大小相等。 ②思路与方法

合运动→绳拉物体的实际运动速度v 分运动→1

2v v ??

?

其一：沿绳或杆的速度其二：与绳或杆垂直的分速度 方法：v 1与v 2的合成遵循平行四边形定则。 9．小船过河模型

（1）分析思路

（2）解决这类问题的关键

①正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头指向，是分运动。船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。

②运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解。

③渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。

④求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形法则求极值的方法处理。

10．对绳端速度合成与分解的方法：

（1）物体的实际运动一定是合运动。

（2）绳端速度可分解为沿绳方向的速度和垂直于绳方向的速度。

（2020·北京景山学校高一期末）如图所示，水平桌面上一小铁球沿直线运动．若在铁球运动的正前方A 处或旁边B处放一块磁铁，下列关于小球运动的说法正确的是()

A．磁铁放在A处时，小铁球做匀速直线运动

B．磁铁放在A处时，小铁球做匀加速直线运动

C．磁铁放在B处时，小铁球做匀速圆周运动

D．磁铁放在B处时，小铁球做变加速曲线运动

【参考答案】D

【详细解析】磁铁放在A处时，合力向前，加速度向前，物体加速运动，故A错误；磁铁放在A处时，合力向前，加速度向前，物体加速运动，但磁力大小与距离有关，故加速度是变化的，不是匀加速运动，故B错误；磁铁放在B处时，合力与速度不共线，故小钢球向右侧偏转，但不是圆周运动，故C错误；

磁铁放在B处时，合力与速度不共线，故小钢球向右侧偏转；磁力大小与距离有关，所以加速度是变化的，即小球做变加速曲线运动，故D正确．所以D正确，ABC错误．

1．（2020·江苏省高一期中）如图所示的曲线为运动员抛出的铅球运动下落轨迹(铅球视为质点)，A、B、C 为曲线上的三点，关于铅球在B点的速度方向，下列说法正确的是( )

A．沿AB的方向B．沿BD的方向

C．沿BC的方向D．沿BE的方向

【答案】B

【解析】曲线运动的速度方向沿轨迹上该点的切线方向．

铅球做平抛运动轨迹由A到C，B点的速度方向沿切线方向，即BD方向，故B正确,ACD错误。

故选B。

（2020·天津耀华中学高三月考）有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为()

B

A．

D．

【详细解析】设河岸宽度为d，船的静水速度v c；去程时

t 1＝

c

d v 回程时

t 2

又

1

2

t t ＝k ，得 v c

A

，与结论不相符，选项A 错误；

B

B 正确；

C

C 错误；

D

，与结论不相符，选项D 错误；

故选B 。

1．（2020·内蒙古自治区高一期中）如图所示，当小车A 以恒定的速度v 向左运动时，则对于B 物体来说，下列说法正确的是( )

A ．匀加速上升

B ．匀速上升

C ．B 物体受到的拉力大于B 物体受到的重力

D．B物体受到的拉力等于B物体受到的重力

【答案】C

【解析】AB．绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示：

根据平行四边形定则有，沿绳子方向的速度

v′=vcosθ

沿绳子方向的速度等于B物体的速度，在运动的过程中，θ角减小，则v′增加，所以物体加速上升（并不是匀加速），故AB错误；

CD．物体的加速度方向向上，根据牛顿第二定律，知绳子的拉力大于B物体的重力，故C正确，D错误。

故选C。

1．（2020·浙江省高三）如图所示，一个做匀变速曲线运动的物体的轨迹示意图，运动至A时速度大小为0v，

v，但相对A点时的速度方向改变了90 ，则在此过程中经一段时间后物体运动至B点，速度大小仍为

（）

A．物体的运动轨迹AB可能是某个圆的一段圆弧

B．物体的速度可能先增大后减小

C．物体的速度不可能小于

2

D．B点的加速度方向与速度垂直

2．（2020·北京高一期末）如图所示，虚线MN为一小球在水平面上由M到N的运动轨迹，P是运动轨迹上的一点．四位同学分别画出了带有箭头的线段甲、乙、丙和丁来描述小球经过P点时所受合力的方向．其中可能正确的是

A．甲B．乙

C．丙D．丁

3．（2020·长春市第二十九中学高一期中）狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速行驶，下列给出的四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的示意图（图中O为圆心）正确的是（）

A．B．

C．D．

4．（2020·山东省高三）如图所示，物体M套在光滑水平直杆上，定滑轮上边缘与水平杆间的竖直距离为h。

系在物体M上的细线跨过定滑轮与物体N相连，开始时定滑轮左侧连接物体M的细线与水平方向的夹角为 ，将物体N由静止释放，其下落过程中不会落到地面。已知细线无弹性且不计与滑轮间的摩擦，不计空气阻力，则下列说法正确的是（）

A．物体N下落过程中机械能守恒

B．物体N下落过程中细线的弹力不会一直大于物体N的重力

C．物体N下落过程中，其重力势能转化为物体M的动能

D．物体M运动到左侧滑轮正下方时速度最大

5．如图所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹．质点从M点出发经P点到达N点，已知弧长MP大于弧长PN，质点由M点运动到P点与从P点运动到N点的时间相等．下列说法中正确的是

A．质点从M点到N过程中速度大小保持不变

B．质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同

C．质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同

D．质点在MN间的运动不是匀变速运动

6．（2019·云南省云天化中学高一期末）在距河面高度h＝20 m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°，人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，那么

A．5 s时绳与水面的夹角为60°

B．5 s时小船前进了15 m

C．5 s时小船的速率为5 m/s

D．若小船质量为20 kg，则5 s内物体的动能变化量为130 J

7．（2019·湖南高二期末）如图所示，在光滑水平面内建立一直角坐标系xOy，一质量m=1 kg的小球以1 m/s的初速度沿x轴正向做匀速直线运动。小球经过坐标原点O时（此时t=0），撤去沿y轴负方向，大小F=1 N的恒力，保持其他力不变。在t=0时刻之后，关于小球的运动，下列说法正确的是

A．做匀变速曲线运动

B．在任意相等的时间内，小球的速度变化相同

C．经过x、y坐标相同位置时所用的时间为1 s

D．在t=1 s时，小球的动能为1 J

8．（2020·山东省高考真题）单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛项目，其场地可以简化为如图甲所示的模型：U形滑道由两个半径相同的四分之一圆柱面轨道和一个中央的平面直轨道连接而成，轨道倾角为17.2°。

某次练习过程中，运动员以v M=10 m/s的速度从轨道边缘上的M点沿轨道的竖直切面ABCD滑出轨道，

速度方向与轨道边缘线AD的夹角α=72.8°，腾空后沿轨道边缘的N点进入轨道。图乙为腾空过程左视图。该运动员可视为质点，不计空气阻力，取重力加速度的大小g=10 m/s2，sin72.8°=0.96，c os72.8°=0.30。

求：

(1)运动员腾空过程中离开AD的距离的最大值d；

(2)M、N之间的距离L。

9．（2018·北京卷）根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在正下方位置。但实际上，赤道上方200 m处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球

A．到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零

B．到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零

C．落地点在抛出点东侧

D．落地点在抛出点西侧

10．（2015·全国新课标Ⅱ卷）由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道。当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行。已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为

A ．西偏北方向，1.9×103 m/s

B ．东偏南方向，1.9×103 m/s

C ．西偏北方向，2.7×103 m/s

D ．东偏南方向，2.7×103 m/s

11．（2015·广东卷）如图所示，帆板在海面上以速度v 朝正西方向运动，帆船以速度v 朝正北方向航行，

以帆板为参照物

A ．帆船朝正东方向航行，速度大小为v

B ．帆船朝正西方向航行，速度大小为v

C ．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v

D ．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v

1． C 【解析】A ．由题意，物体做匀变速曲线运动，则加速度的大小与方向都不变，所以运动的轨迹是一段抛物线，不是圆弧，A 错误；

B ．由题意，质点运动到B 点时速度方向相对A 点时的速度方向改变了90?，速度沿B 点轨迹的切线方向，则知加速度方向垂直于AB 的连线向下，合外力也向下，质点做匀变速曲线运动，质点由A 到B 过程中，合外力先和速度成钝角然后成锐角，速度先减小再增大，B 错误；

C ．物体的加速度方向垂直于AB 的连线向下，根据题意可知速度方向改变45°，则A 点的速度方向与AB 连线方向夹角为45°，如图所示

所以在物体运动过程中的最小速度为

02

v ，C 正确； D ．物体在B 点速度沿B 点轨迹的切线方向，而加速度方向垂直于AB 的连线向下，可知二者之间的夹角小于90?，D 正确。

2

2

故选C 。

2．D 【解析】某一时刻对应某一位置，此时的速度方向沿曲线上该点的切线方向，因此丙为P 点的速度方向，而力应指向曲线的内侧，由图可知道，只有丁符合条件 故选D 。

3．C 【解析】滑动摩擦力的方向是与相对运动方向相反且与接触面相切的，雪橇做匀速圆周运动，合力应该指向圆心，可知C 正确，ABD 错误。 故选C 。

4．BD 【解析】A ．物体N 下落过程，细绳的拉力要对物体N 做功，则机械能不守恒，选项A 错误； B ．两物体的速度关系cos N M v v θ=，开始时物体N 的速度为零，当物块M 运动到左侧滑轮正下方时，物块N 的速度又变为零，可知物体N 下落过程中，速度先增加后减小，先失重后超重，则物体N 下落过程中细线的弹力不会一直大于物体N 的重力，选项B 正确；

C ．物体N 下落过程中，其重力势能转化为物体M 和物体N 的动能之和，选项C 错误；

D ．由于物体M 向右运动到左侧滑轮正下方的过程中，绳子的拉力一直对物体M 做正功，则动能增加，运动到左侧滑轮正下方时速度最大，选项D 正确。 故选BD 。

5．B 【解析】从M 到N 过程中，根据s

v t

=

，可知，速度大小变化，故A 错误；因加速度不变，则质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同，故B 正确，C 错误；在MN 间的运动是匀变速曲线运动，故D 错误。

6．CD 【解析】由几何关系可知，开始时河面上的绳长为

40m sin30h

=?

；此时船离岸的距离x 1

；

5 s 后，绳子向左移动了vt =15 m ，则河面上绳长为40 m –15 m=25 m ；则此时小船离河边的距离为：x

2

，5 s 时绳与水面的夹角为α，则有：204

tan 153

α=

=，解得：α=53°，故A 错误；5 s 时刻小船前进的距离为：x

m –15 m=19.6 m ，故B 错误；船的速度为合速度，由绳收缩的速度及绳摆动的速度合成得出，则由几何关系可知，cosθ=0.6，则船速v 船=

v

cos θ

=5m/s ，故C 正确；开始

时船的速度

1=

cos303

v v =

=船，5 s 内船的动能变化量22221111

=20[5]J=130J 222

E mv mv ?=

-?船船，选项D 正确。

7．ABD 【解析】撤去沿y 轴负方向，大小F =1 N 的恒力，保持其他力不变，可知小球所受的合力沿y 轴正向且合力恒定，小球的加速度恒定不变，且与初速度垂直，可知小球做匀变速曲线运动，选项A 正确；因加速度不变，则根据?v =at 可知在任意相等的时间内，小球的速度变化相同，选项B 正确；小球沿y 轴正向的加速度为21m/s F a m =

=，则2211

=122

y at t =??，x 方向：x =v 0t ，则当x=y 时解得t =2 s ，选

项C 错误；在t =1 s 时，v y =at =1 m/s ，则此时小球的速度m/s v ===，则小

球的动能为2

11J 2

k E mv =

=，选项D 正确. 8．(1)4.8 m ；(2)12 m 【解析】

(1)在M 点，设运动员在ABCD 面内垂直AD 方向的分速度为v 1，由运动的合成与分解规律得

1sin 72.8M v v =? ①

设运动员在ABCD 面内垂直AD 方向的分加速度为a 1，由牛顿第二定律得

mgc os17.2°=ma 1 ②

由运动学公式得

2

11

2v d a = ③

联立①②③式，代入数据得

d =4.8 m ④

(2)在M 点，设运动员在ABCD 面内平行AD 方向的分速度为v 2，由运动的合成与分解规得

v 2=v M c os72.8° ⑤

设运动员在ABCD 面内平行AD 方向的分加速度为a 2，由牛顿第二定律得

mg sin17.2°=ma 2 ⑥

设腾空时间为t ，由运动学公式得

1

1

2v t a =

⑦ 2221

=2

L v t a t +

⑧ 联立①②⑤⑥⑦⑧式，代入数据得

L =12 m ⑨

9．D 【解析】上升过程水平方向向西加速，在最高点竖直方向上速度为零，水平方向上有向西的水平速

度，且有竖直向下的加速度，故AB 错；下降过程向西减速，按照对称性落至地面时水平速度为0，整个过程都在向西运动，所以落点在抛出点的西侧，故C 错，D 正确。

10．B 【解析】如下图所示，由余弦定理，可知m/s 109.130cos 23212

221?=?-+=?v v v v v ，方向：东偏

南方向，故B 正确，ACD 错误。

11．D 【解析】若以帆板为参照物，求帆船的运动，即求帆船相对帆板运动情况，根据伽利略变换可知，

此时帆船相对帆板的速度=船对地v –板对地v ，画出其对应矢量示意图如下图所示，根据图中几何关系解得：=v 2，方向为北偏东45°，故选项D 正确。

船相对板v 船相对板

v