狭义相对论质量公式的角度因素-黄鹏辉
黄鹏辉 中国北京
号和邮箱644537151@https://www.360docs.net/doc/a51573946.html, ，QQ 群69657010
摘要
在狭义相对论中，推导质量公式的一个基本假设是物体平行于X 轴方向运动。但是这个假设并不总是成立的，因为事实上大多数时候物体运动方向可能都不是平行于X 轴，而是与X 轴之间有个角度。本文在考虑了这种角度因素后，推导出了一个新的质量公式，
220/)cos v (1/c m m θ?=，这个结果可能将对动量和能量理论带来深远影响。
介绍
在狭义相对论中，推导质量公式的方法有好多种。这些方法在推导过程中都遵从了这么一个假设：在两个相互做惯性运动的参考系中观察两个平行于X 轴方向运动的粒子，然后利用能量和动量守恒定律来求得质量的相对论公式[1,2]：
2
2
0/v 1c
m m ?=
(1)
但事实上两个粒子平行于X 轴方向运动显然不是最普遍的粒子运动情形，因此在推导过程中可以假设一种更普遍的情况：两个粒子沿着与X 轴成某个角度的方向运动。
方法
图1. 同样两个粒子在质心系I 和惯性系I ′中
相对论质量公式的推导是基于能量守恒定律和动量守恒定律的。如图1所示，假设两个非光子粒子彼此平行相对运动。在质心系I 中，粒子1的质量是m 1，速度为v 1，粒子2的质量是m 2，速度为v 2，θ是v 2 与X 轴之间的夹角。我们假设另外一个惯性系I ′ 以速度
Y 质心系I 惯性系I ′
Y
v 沿X 轴方向运动，在惯性系I ′ 中，粒子1的质量是m ′1，速度为v ′1，粒子2的质量是m ′2，速度为v ′2，与X ′ 轴之间的角度变为θ′。
首先，质心系I 本身是没有运动的，并且在质心系I 中总的动量为0，因此可以得到下列方程
0v v 1122=?m m (2)
其次，惯性系I ′ 相对于质心系I 沿X 轴正向的运动速度为v ，那么在惯性系I ′ 中看来，就是整个质心系I 沿X ′ 轴反向的运动速度为-v ，这样可以列出如下动量守恒方程：
)v )((cos v cos v 121122
?′+′=′′′?′′′m m m m θθ (3) 对两个粒子分别应用相对论速度协变公式，得到
2111
/v )cos v (1v cos v -cos v -c θθθ???=′′ 2
222
/v )cos v (1v
cos v cos v c θθθ??=′′ 它们可以写成
2111
/v )cos v (1v cos v cos v c θθθ++=′′ 2
222/
v )cos v (1v
cos v cos v c θθθ??=′′ (4) 根据(2)得到
1221v /v /=m m (5)
根据(3)得到
)v cos v (v)cos v (1122
?′′′=+′′′θθm m )v cos v (/v)cos v (/1221
?′′+′′=′′θθm m (6) (5) / (6):
v)
cos v ()v cos v (v v 21122211+′′?′′?=′?′θθm m m m (7) 把(4)代入(7)以消去v ′1cos θ′ 和v ′2cos θ′
2
1222
22
2
111222
11/v )cos v (1/v )cos v (1v
/v )cos v (1v cos v v /v )cos v (1v
cos v v v c c c c m m m m θθθθθθ+?=+???++?=′?′ (8) 对粒子1我们可以由(4)得到下列公式
2
2122
12
2
1]/v )cos v (1[v)cos (v 1/)cos v (1c c c θθθ++?=′′?
2212212
1/)v cos v (]/v )cos v (1[/v )cos v (11
c c c +?++=
θθθ ]/)cos v (1)[/v 1](/)cos v (1)[/v 1(/v )cos v (11
112
1c c c c c θθθ??+++=
221222
1/)cos v (1/v 1/v )cos v (11
c c c
θθ??+=
于是
22221
2212
1/v 1/)cos v (1/)cos v (1/v )cos v (1c c c c ?′′??=
+θθθ (9)
对粒子2我们也可以得到
222
222222
2/v 1/)cos v (1/)cos v (1/v )cos v (1c c c c ?′′??=
?θθθ (10)
把(9)和(10)代入(8)，得到
22222222122122
11/)cos v (1/)cos v (1/)cos v (1/)cos v (1c
c c c m m m m θθθθ′′???
?′′?=′?′ (11) 注意，(11)式中含有下标1和下标2的各量，以及带撇和不带撇的各量的位置关系都是对称的，因此，要满足此式，可以让质量和速度保持如下关系：
2
2
/)cos v (1c
a m θ?=
其中a 为常数。
为确定常数a ，我们考虑到当v = 0时的质量m 就是静止质量m 0，所以a = m 0 。 最后我们就得到了一个新的相对论质量公式：
2
2
/)cos v (1c
m m θ?=
(12)
讨论
与原来的相对论质量公式(1)相比，新的相对论质量公式(12)多了一个角度因素。而且注意到这个新的相对论质量公式与原来的公式并不冲突，当θ = 0或180度时，就得到了公式(1)；当θ = 90度时，m = m 0 。
公式(12)说明相对论质量的大小不仅与速度有关，而且还和粒子运动方向与观察者所选参照系X 轴方向之间的角度θ有关。
[1] 方励之，李淑娴，力学概论，333–336页，安徽科学技术出版社，1986年1月第1版。 [2] 李家熙，狭义相对论与爱因斯坦，44–48页，四川教育出版社，1985年3月第1版。