离散数学题型梳理-第2章

离散数学常考题型梳理

第2章关系与函数

一、题型分析

本章主要介绍关系的概念及运算、关系的性质与闭包运算、等价关系、相容关系和偏序关系三个重要关系、函数以及函数相关知识等内容。常涉及到的题型主要包括：

2-1关系的概念理解以及关系的并、交、补、差以及复合和逆关系等运算2-2关系自反和反自反、对称和反对称等性质的概念理解与判定；自反、对称和传递闭包运算。

2-3等价关系

2-4偏序关系和哈斯图

2-5 函数的概念和性质

因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道：

1．有序对和笛卡尔积

（1）有序对：所谓有序对就是指一个有顺序的数组，如< x , y >，x , y的位置是确定的，且< a , b >< b , a >。

（2）笛卡尔积：把集合A，B合成集合A×B，规定：

{,|}

?=<>∈∈

且

A B x y x A y B

由于有序对< x , y >中x，y 的位置是确定的，因此A×B 的记法也是确定的，不能写成B×A 。

笛卡儿积的运算一般不满足交换律。

2．二元关系的概念和表示、几种特殊的关系和关系的运算

（1）二元关系的概念：二元关系是一个有序对集合，设集合A，B ，从集合A 到B的二元关系

R∈

x

∈

<

y

=且

>

}

,

x

{B

|

y

A

记作xRy。

二元关系的定义域：A

Ram?

R

)

(。

)

R

Dom?

(；二元关系的值域：B 二元关系R 是一个有序对组成的集合．因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示；反过来说，一个集合未必是一个二元关系，仅当集合是由有序对元素组成的，才能当做二元关系。

常用关系的表示法包括了集合表示法、列举法、描述法、关系矩阵法和关系图法。关系矩阵和关系图是有限集合上的二元关系的表示方法。

（2）特殊的关系：空关系、全关系和恒等关系 空关系（记作）：是任何关系的子集 全关系（记作E A ）：A A A b a b a E A

?≡∈><=},|,{ 恒等全系（记作I A ）：}|,{A a a a I A

∈><=

（3）关系的集合运算、复合运算和逆运算：

关系的集合运算与普通集合运算基本相同，主要为并运算、交运算、补运算、差运算和对称差运算。

关系复合运算，描述为

1212{,|,,}

R R R a c b a b R b c R =?=<><>∈<>∈存在使且

复合关系满足结合律：)

()(T S R T S R ??=??

关系的逆运算，描述为

},|,{1

R x y y x R

>∈<><=- 逆关系满足：1

1

1

)(---?=?R

S

S R

二元关系 R 的逆关系可以用关系矩阵和关系图表示．并且逆关系的关系矩阵就是关系R 的关系矩阵的转置，而逆关系的关系图就是把关系 R 的关系图中的有向弧的方向改变。

3．关系的性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性 （1）自反性：对任意R

x x A x >∈<∈

?,，有，则关系R 是自反的。

自反关系的矩阵R M 主对角线元素全为1；自反关系图的每个结点都有自回路。

（2）反自反性： 对R

x x A x >?<∈

?.，有，则关系R 是反自反的。

反自反关系矩阵R M 主对角线元素全为0；关系图的每个结点都没有自回路。 （3）对称性： 对R

x y R y x >∈<>∈

,,，有，则关系R 是对称的。

对称关系的矩阵R M 是对称矩阵，即ji

ij

r r =；关系图中有向弧成对出现，方

向相反．

（4）反对称性： 对,,x y R y x R

?

<>∈<>∈，若，必有x

y

=，则关系R 是反对称的；或者

R

x y R y x >?<>∈

，则关系R 是反对称的．

反对称关系的矩阵R M 不出现对称元素，关系图中任意两个顶点之间或者没有有向弧，或者仅有一条有向弧．

（5）传递性： 对,,,a b R b c R a c R

?

<>∈?<>∈<>∈，若，使得，则关系R 是传递的．

在传递关系的关系图中，若有从a 到b 的弧，且有从b 到c 的弧，则必有从a 到c 的弧。 4．关系的自反闭包、传递闭包和对称闭包求解方法

（1）求解关系的自反闭包 集合法：把所有的A a ∈

构成的有序对< a , a >

添加到A 上的关系R 中，就

能够获得R 的自反闭包r (R )。即：A

I R R r ?=)

(，其中，I A 是A 上的恒等关系。

矩阵法：若R 的关系矩阵M R ，通过公式E

M

M

R

r

+=，就能够求出R 的

自反闭包r (R ) 的关系矩阵M r ，其中E 是单位矩阵。

图像法：在R 的关系图上没有自回路的结点处都添上自回路，就得到了R 的自反闭包r (R ) 的关系图。

（2）求解关系的对称闭包

集合法：若R 上的任意关系a , b ，若R

a b >?<

,，则把b , a 添加到关

系R 中，就能够获得R 的对称闭包s (R )。即：1

)

(-?=R

R R s 。

矩阵法：若R 的关系矩阵为M R ，利用公式T R

R

s

M

M

M +=，就能够得出R 的

对称闭包s (R )的关系矩阵M s ，其中R

T R

M

M

是的转置矩阵.

图像法：把R 的关系图图上所有单向弧都画为双向弧，就能得到R 的对称闭包s (R )的关系图．

（3）求解关系的传递闭包

集合法：先求出R 2，…，R n ，再求它们的并n

R

R

R R

???? (2)

1，就能够

获得R 的传递闭包t (R )。即：2

3

1

()n

i t R R R R ==??????

。

矩阵法：若已知R 的关系矩阵M R ，通过公式n R

R

R

t

M

M

M

M +++=...2，便

能求出R 的传递闭包t (R )的关系矩阵M t 。

图像法：若已知R 的关系图，从关系图的每个结点a i （i =1，2，…，n ）出发，找出所有2步，3步，…，n 步长的路径，设路径的终点为k

j j j a

a

a ,...,,2

1

，从

a I 依次用有向弧连接到k

j j j a

a

a ,...,,2

1

，当检查完所有结点后，就画出了R 的传递

闭包t (R )的关系图。

5.等价关系

等价关系概念：设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、对称

的和传递的，则称R 是A 上的等价关系。设R 是一个等价关系，若∈R ，则称a 等价于b ，记作a ~b 。

6.偏序关系和哈斯图 （1）偏序关系

设R 是非空集合A 上的二元关系，如果R 是自反的、反对称的和传递的，则称R 是A 上的偏序关系或者简称序关系。偏序关系记作≤。∈≤，则称a 小于等于b ，记作a ≤ b 。

（2）哈斯图 作图规则：

i ．去掉每个结点的自回路，用空心点表示集合的元素； ii ．对于集合任意元素a 和b ，若a ≤b ，则将a 画在b 的下方；

iii ．对于集合任意元素a 和b ，若a

（3）最小元、极小元、最大元和极大元，上界和下界

一个子集的极大(小)元可以有多个，而最大(小)元若有，只能惟一；且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可在子集之外确定，最小上界是所有上界中最小者，最小上界再小也不会小于子集中的任一元素；可以与某一元素相等，最大下界也是同样。

7．函数的概念与性质 （1）函数的概念

设 f 是集合 A 到 B 的二元关系，若任意 a ∈A ，存在 b ∈B ，且< a , b >∈ f ，Dom ( f ) = A ，则 f 是一个函数（映射）．函数是一种特殊的关系。

注意：集合 A ×B 的任何子集都是关系，但不一定是函数。函数要求对于定义域 A 中每一个元素 a ，B 中有且仅有一个元素与 a 对应，而一般的关系没有这个限制。

（2）单射、满射和双射的判断

单射：若)()(2121a f a f a a ≠?≠；

满射：f (A) = B ，即对任意 y ∈B ，存在 x ∈A ，使得 y = f (x ) ； 双射：单射且满射。 （3）函数的复合 若

C

B g B A f →→:,:，则

C

A g f →?:，即))

(())((x f g x f g

=?。

复合成立的条件是：

二、常考知识点分析

常考知识点1：关系的概念与性质（历年考核次数：4次，本课程共考过6

次；重要程度：★★★★）

（2010年1月试卷第7题）如果R 是非空集合A 上的等价关系，a ∈A ，b ∈A ，则可推知R 中至少包含 等元素 [解题过程]：

由等价关系的概念，知道R 具备了自反性、对称性和传递性。根据已知A 上的元素a 和b ，根据自反的概念，知道R 中必须包含和，由对称和传递概念，得知{，}也具备对称性和传递性，因此对应A 上的关系R 至少应该包含元素

，

正确答案：，

易错点：同学们对本题目中要求的最小等价关系没有理解清楚，容易将答案写为{，，，}，仔细观察可以看出，该关系去掉和之后，仍然为等价关系。

提示：先加入自反关系，然后再根据等价关系加入必要的对称和传递所需的元素。

（2009年7月试卷第2题）集合A ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R ={|x +y =10且x , y ∈A }，则R 的性质为（ ）．

A ．自反的

B ．对称的

C ．传递且对称的

D ．反自反且传递的

[解题过程]： 首先，可以写出关系R 的有限集合表示，即

{<2,8>,<8,2>,<3,7>,<7,3>,<4,6>,<6,4>,<5,5>}

容易看出，<1,1>? R ，因此R 不是自反的。<5,5>∈R 因此，R 不是反自反的。 又因为<2,8>∈R ，且<8,2>∈R ，而<2,2>? R ，因此，R 不具备传递性。

因此，答案选择B 。

易错点：同学们对关系的自反性、对称性、传递性和反自反性没有理解清楚，往往是能够写出R 的有限集合表示却不能用相关概念进行判别。

提示：熟练理解关系以及关系性质概念。

（2009年7月试卷第6题）若A ={1,2}，R ={|x ∈A , y ∈A , x +y =10}，则R 的自反闭包为 。

[解题过程]：

正确答案：{<1,1>，<2,2>}。

本题考核的是关系闭包的计算。计算关系闭包有集合法、矩阵法和关系图法。本题目可以直接使用集合法计算公式A

I R R r ?=)

(。

首先容易计算出R =Φ，I A ={<1,1>，<2,2>}。

A

I R R r ?=)(= I A ={<1,1>，<2,2>}。

易错点：有的同学对闭包的概念理解不够清楚。简单说，闭包是在原有关系的基础上，添加最少的有序对，使得到的新关系具备某些特定性质。如，R 自反闭包就是包含R 的、并且具备自反性的最小关系。

提示：同学们可以在理解相关概念的基础上，牢记并熟练应用闭包的计算公式。

常考知识点2：函数的概念与性质（历年考核次数：4次，本课程共考过6次；重要程度：★★★）

（2009年7月试卷第7题）设A ={a ，b ，c }，B ={1，2}，作f ：A →B ，则不同的函数个数为 。

[解题过程]：

本题目考核的是学生对函数概念的理解。 函数可以有下面映射规则： （1）a,b,c 全映射到2；

（2）a 映射到1，b 和c 映射到2； （3）b 映射到1，a 和c 映射到2； （4）c 映射到1，a 和b 映射到2； （5）a 映射到2，b 和c 映射到1； （6）b 映射到2，a 和c 映射到1； （7）c 映射到2，a 和b 映射到1； （8）a,b,c 全映射到1； 因此，函数个数为8。

另外，此类题目也可以作以下分析。

A 到

B 映射个数可以描述为：

C C C C 3

32

31

30

3+++=8 正确答案：8

易错点：同学们对函数的单值性理解不够清楚，可能会认为A 中必须有元素与B 中元素唯一对应。

提示：函数概念中，有两点尤其要注意。第一，是函数的单值性，即对于A 中任何元素，必须有B 中元素映射f 唯一对应；第二，是函数的定义域，即A 是函数f 定义域。

（2009年1月试卷第14题）判断说明：设N 、R 分别为自然数集与实数集，f ：N→R ，f (x )=x +6，则f 是单射。

[解题过程]：

正确。

设x1，x2为自然数且x1≠x2，则有f(x1)= x1+6≠x2+6= f(x2)，故f为单射。

易错点：同学们对函数单射概念理解不够清楚，可能会认为对于R中的小数，自然数集中无法用函数f对应，因此给出“错误”判定结论。

提示：“单射”概念中，强调的是对于不同定义域中的值，通过函数映射得到的对应值不同，这种“一对一”是从前到后的一对一，并不要求从后到前一对一。

（2009年1月试卷第14题）设A={a, b}，B={1, 2}，R1，R2，R3是A到B 的二元关系，且R1={, }，R2={, , }，R3={, }，则（）不是从A到B的函数。

A．R1和R2B．R2C．R3D．R1和R3 [解题过程]：

选择A错误

正确答案：B

函数的概念中，强调两点：第一，函数的单值性，即对于每一个定义域中的值，只能有一个对应函数值；第二，函数的定义域必须为集合A。本题中的R2不符合函数概念强调的第一点。

易错点：有的同学可能认为R1也不是函数，理由是a和b的对应的是相同值。这是对函数概念理解常见的错误。函数概念并不要求值域中的值必须与定义域唯一对应。

提示：判断一个二元关系是否为函数，要按照函数概念所规定的两个条件逐一比较，只要完全符合便可得到正确判断。

常考知识点3：序关系（历年考核次数：4次，本课程共考过6次；重要程度：★★★）

（2009年7月试卷第14题）若偏序集的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a，最小元不存在。

图二

[解题过程]：

判断结论：错误。

集合A的最大元不存在，a是极大元。

若a为最大元，则对于任意x∈A，必有∈R，但从图中可以得知，

a>?R，因此a不是最大元。同时，不存在x∈A，满足∈R，因此，a为极大元。

易错点：同学们对序关系的相关概念理解不够透彻。哈斯图不是简单的层次关系图，不要用层次关系判断最大元、最小元、极大元、极小元等。

提示：最小元应小于等于其它各元素；最大元应该大于等于其它个元素；极小元应该小于等于一些元素，而与剩下的元素没有关系；极大元应该大于等于一些元素，而与剩下的元素没有关系。最大元和最小元不一定存在，如果存在则必定唯一。

（2009年10月试卷第3题）设集合A={1，2，3，4，5}，偏序关系≤是A 上的整除关系，则偏序集上的元素5是集合A的（）．A．最大元B．极大元C．最小元D．极小元

[解题过程]：

选择A错了。

正确答案：B。

由于元素4和5没有整除关系，显然5不是最大元。

同理，5和2没有整除关系，5也不是最小元。

易错点：同学们对序关系的相关概念理解不够透彻。哈斯图不是简单的层次关系图，不要用层次关系判断最大元、最小元、极大元、极小元等。

提示：整除关系是常考的一类偏序关系。两个元素是否具备整除关系可以不直接表达，所以题型描述简单，但是同学们需要将序关系的概念应用到此类题目中才能正确辨别。

三、模拟练习

练习1 ：（2010年1月试卷第6题）设集合A={2, 3, 4}，B={1, 2, 3, 4}，R 是A到B的二元关系，

∈

x

R≤

∈

>

=且

<

且

A

y

,

}

x

{y

x

y

B

则R的有序对集合为．

解析：答案为{<2, 2>，<2, 3>，<2, 4>，<3, 3>，<3, 4>，<4, 4>}

对于A中元素2，满足条件y

且在集合B中的元素为2、3和4，因

∈2

B

y≤

此，有序对应该包括<2, 2>，<2, 3>和<2, 4>。

对于A中元素3，满足条件y

∈3

且在集合B中的元素为3和4，因此，

B

y≤

有序对应该包括<3, 3>，<3, 4>。

对于A中元素4，满足条件y

且在集合B中的元素为4，因此，有

∈4

B

y≤

序对应该包括<4, 4>。

汇总上面结论，R的有序对集合为：

{<2, 2>，<2, 3>，<2, 4>，<3, 3>，<3, 4>，<4, 4>}

练习2 ：（2009年7月试卷第2题）集合A={1, 2, 3, 4}上的关系R={|x=y 且x, y∈A}，则R的性质为（）．

A．不是自反的B．不是对称的

C．传递的D．反自反

解析：答案为C

本题目考的知识点是关系的集合表示以及关系的性质。根据关系R的描述，可以将有限集合A上关系R表示为

{<1,1>，<2,2>，<3,3>，<4,4>}

由关系自反、反自反以及对称和传递的概念，可知关系R满足自反性、对称性和传递性。

因此答案选择为C。

练习3 ：（2009年10月试卷第7题）设集合A={1，2，3}上的函数分别为：f={<1, 2>, <2, 1>, <3, 3>,}，g={<1, 3>, <2, 2>, <3, 2>,}，则复合函数g?f = ．

解析：{<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>}

本题考核的是复合函数的概念。

对于f中元素<1, 2>，g中存在元素<2, 2>，使f(1)=2，g (2)=2，因此<1,2>∈g?f。同理，对于f中的元素<2, 1>，g中存在元素<1, 3>以及f中的元素<3, 3>，g 中存在元素<3, 2>使<2, 3>和<3, 2>满足复合函数的概念。

因此，答案为{<1, 2>, <2, 3>, <3, 2>}。

练习4 ：（2008年7月试卷第3题）如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有（）个．

A．0 B．2 C．1 D．3

解析：答案B

本题目考核的是集合的运算以及关系自反性的概念。

因为R1和R2是A上的自反关系，对于A中任意元素a，均同时满足∈R1，∈R2。根据集合并运算、交运算以及差运算的概念，∈R1∪R2，∈R1∩R2，但是∈R1-R2。

因此答案为B。

练习5 ：（2008年7月试卷第2题）设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}，则集合B的最大元、最小元、上界、下界依次为( )．A．8、2、8、2 B．无、2、无、2

C．6、2、6、2 D．8、1、6、1

解析：答案B。

集合B中没有元素8，因此可以排除答案中的A和D。

因为对于B中元素4和6，<4,6>?R，因此，6不是最大元。排除答案C。

本题答案为B

练习6 ：（2008年9月试卷第14题）判断正误，并说明理由。如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2是自反的。

[解题过程]

正确

因为R1和R2是自反的，?x∈A， ∈R1， ∈R2，

则 ∈R1?R2，

所以R1∪R2是自反的。

练习7 ：（2009年7月试卷第16题）设A={0，1，2，3，4}，R={|x∈A，y∈A且x+y<0}，S={|x∈A，y∈A且x+y≤3}，试求R，S，R?S，R-1，S-1，r(R)．解析：

（1）对于A中任意元素x和y，x+y≥0，所以R=?。

（2）对于A中元素x=0，满足x+y≤3的A中元素y可以取值为0,1,2,3；

对于A中元素x=1，满足x+y≤3的A中元素y可以取值为0,1,2；

对于A中元素x=2，满足x+y≤3的A中元素y可以取值为0,1；

对于A中元素x=3，满足x+y≤3的A中元素y可以取值为0；

因此，S={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>}

（3）R?S=??S = ?。

（4）R-1=?

（5）S-1= {<0,0>,<1,0>,<2,0>,<3,0>,<0,1>,<1,1>,<2,1>,<0,2>,<1,2>,<0,3>= S （6）r(R)= ?∪I A= I A．