数学的逻辑和认知的逻辑

数学的逻辑和认知的逻辑

——评《性质词和动作词的逻辑（纲要）》中的一些观点

北京大学哲学系周北海

这里的“数学的逻辑”指的是一阶逻辑，“认知”指的是以经验为基础的认知，“认知的逻辑”指的是关于含经验知识命题推理的逻辑。

《性质词和动作词的逻辑（纲要）》（刘壮虎）以下简称《纲要》。副标题中的“一些观点”指的是《纲要》中的

1.3 对于刻画个体和个体的类来说，一阶逻辑是最完善的逻辑。仅仅在刻画个

体和个体的类方面，去寻找其它的逻辑是没有必要的。

1.4 问题在于我们还需要刻画“红的”这样的性质词，“飞”这样的动作词。在一阶

逻辑中将它们化归成谓词“红的东西”、“飞的物体”等，不一定是合适的。

以及相应的

5.6 在自然语言和常识推理的研究中，好像有一个新的教条：一阶逻辑的角度

和框架是不行的。过去研究的不成功并不等于不可行，再考虑到现在的自然语言和

常识推理的研究越来越复杂，越来越缺少普遍性（没有普遍性还是不是逻辑？），是

否应该考虑一下“一阶逻辑的复兴？”

我的主要观点是：1.3有误，1.4不够清楚；关于5.6，如果有这样的一个“新的教条”，那么我到是倾向成为这个教条的用户者。但是，这并不意味反对以一阶逻辑的角度和框架对自然语言和常识推理进行某些局部的研究，甚至是“复兴”式的研究，也期望有更多结果出现。

因为自然语言和常识推理与认知密切有关，所以，在此用“认知的逻辑”概括关于自然语言和常识推理的逻辑，以及以此与一阶逻辑相对照。

1.也从个体和类谈起

作为数学对象的个体和类与认知中经验对象的个体和类二者有本质的或重要的不同。

关于个体

数学中的个体是明确的，存在性问题一个预设就统统解决，也没有识别问题、指称问题。

认知领域中的个体有很多认知方面的问题。什么是认知意义上的个体？常说眼见为实，但实际上，即使我们看见的个体，是否真的存在？什么是真的存在？识别问题，如何确定某个个体。某时看见这个个体，过段时间又看见“这个”个体，它是不是这个个体，或者还是不是这个个体？且不说“跨界同一”问题中说不清的个体。在这种背景下，个体词的指称也是问题多多。如果考虑到这些情况，这里的逻辑应该与一阶逻辑已经有所不同了。

关于类

数学中的类可以通过枚举和性质归属或其他严格方法来确定，形象地看，有明确的边界。

认知中的类是如何确定的，应该说，还是个不完全清楚的问题。从现象上看，由认知得到的类，多数或有意思的、重要的，是模糊类。而模糊类显然不是一阶逻辑可处理的类。

结论是，即使只考虑个体和类，一阶逻辑也不能说是完善的，自然也就有必要去考虑其他逻辑。

2．关于性质

《纲要》1.4本身没有什么不对，但是与1.3连起来看，会使人得到一个印象：好像（*）一阶逻辑在只涉及个体和类时是完善的，如果还有不完善（不合适）处，是因为涉及到其他东西，如性质（词）和动作（词）。

（*）的前一部分已在上面说过，这里看后一部分，主要是性质（词）。

性质总是不可避免地和类缠在一起。只涉及类而不涉及性质的逻辑不论在什么领域大概都不能算是完善的逻辑。如果一阶逻辑遇到性质就不合适，那么一阶逻辑不能算是完善的逻辑。事实上，一阶逻辑并不是不能涉及性质，问题在于所涉及的是什么性质。

在这里我们又应该首先区分数学对象和认知对象，再由此区分数学对象的性质和认知对象的性质。就像两类对象不同，它们的性质也有很大不同。仅试举一例。

设有一个个体a，a是人。a是否具有人一般具有的性质？当然至少得有一个，但是他可以没有很多作为人应该具有的重要性质。这又往往会引起使我们更换看问题的角度且发问，如果这样，他还是人吗？这也是使得作为认知对象的人这个类成为模糊类的一个原因。

什么是人这个类中的个体一般具有的性质？“一般具有”的性质是什么性质？数学对象没有这种性质，也没有这个问题。一阶逻辑看来并不适于处理这种性质。

将性质词处理成解释为类的谓词，的确不直接，但如果仅限于数学对象的性质，这也没有什么不合适之处，因为所有关于数学对象的性质的逻辑规律都在一阶逻辑中得以表达。《纲要》1.4中所举的性质词“红的”恰好不是数学对象的性质词，而是认知对象的性质词。如果这里有什么不合适，那也是这种性质不是数学对象的性质，超出了一阶逻辑的范围。

至于动作词，因为数学对象中本来就没有动作，自然不在一阶逻辑范围之内。

3．一阶逻辑的完善性

在我们的讨论中，关于对象涉及到两种分类：（1）个体，类，性质，关系等；（2）数学对象，认知对象。一阶逻辑是否完善不是取决种类（1）上的限制，而是取决于种类（2）上的限制。如果只限于数学对象，我也认为一阶逻辑是完善的（尽管没有用“最完善”，因为完善就是完善，如果还不是“最”的完善，那就是不完善）。这里的完善可以理解为穷尽、甚至没缺点，或者，如果还有一个逻辑也是完善的，那么不管它叫什么，至少在等价的意义上，它还是一阶逻辑。反之，如果超出数学范围，那它就是不完善的。

更明确地说，如果限于数学对象，那么，不仅可以考虑个体和类，就是再加是性质、关系，一阶逻辑仍然是完善的；反之，如果超出数学对象，即使限于个体和类，也不是完善的。这是一阶逻辑的局限性。

一阶逻辑就是这样的一个数学的逻辑。这里的数学当然说的是古典数学。

当然，以一阶逻辑的方法也不是完全不能谈认知对象，比如我们经常会在有关的举例中提到张三，李四，人，鸟，红的等等，只是我们自己要明白，此时我们实际上已将这些东西当成或抽象成了数学对象，而不是原本意义上的认知对象。

4．全称句与概称句

以上主要是从对象的角度来看问题。关于对象世界究竟是什么样子，每个人都可以有不同

的看法。这个争论从有哲学开始就在进行，到今天仍然没有停止。古希腊有毕达哥拉斯学派，认为数是万事万物的本源。按这个观点，根本就没有所谓的认知对象，统统是数学对象。从这个意义上说，一阶逻辑就无条件地完善了。于是，一阶逻辑是否真的这样完善，是否还有必要发展其他逻辑，也可以成为无终结的哲学之争。要是到了这种境地，对于逻辑研究者来说，只能将其升级为茶余饭后的聊天话题。现在我们还是换个角度，从语言现象看问题。

从语言的层次看，我们有全称句和概称句。在数学中，只有全称句，没有概称句；另一方面，在与经验知识密切相关的日常语言中，有大量的概称句，而且是来自于经验的知识的某种一般句式。这种现象说明什么？

不论数学对象和认知对象是否有什么不同，在语言上的差异应该是明确的。至少在谈认知问题时，我们要考虑这种在数学中不出现的句子。当然，对此一阶逻辑也不是全然无能为力，但是现实的情况是，至今还没有看到会有令人满意的结果出现的迹象。

5．关于“新的教条”

我的观点是，一阶逻辑对于数学对象是完善的，但是认知领域中的逻辑问题，总体上不是一阶逻辑所能解决的，尽管不妨碍对个别问题或在某些限定条件下的一阶逻辑处理或解决。从这个观点出发，没有理由反对这个教条，因而我更倾向于，在自然语言和常识推理的研究中，一阶逻辑的角度和框架的确是不行的。

6．两点说明

1．一阶逻辑有局限性不是说一阶逻辑有错，要修正或可修正。这一点我同意《纲要》5.3。

2．一阶逻辑仍然普遍有效，但是有限制，是在如下意义上的普遍有效：适于用来对所有领域的逻辑的研究。用来研究逻辑的逻辑是元逻辑。一阶逻辑在“对象”逻辑的层次不普遍有效，但是在元逻辑的层次普遍有效。比如，一阶逻辑在认知逻辑的元逻辑层次依然成立，至少在认知逻辑的元逻辑层次，我们用的是一阶逻辑。好像也只有一阶逻辑可用，既然我们用的是数学的方法。在这里，我有条件地同意《纲要》5.2。

附：《纲要》5.2和5.3

5.2 一阶逻辑虽然是从数学推理中抽象出来的，但它是一切领域中的推理的普遍有效的规律，并不存在不适合一阶逻辑的领域。

5.3 目前出现的种种一阶逻辑无法处理的问题，并不说明一阶逻辑是错的，原因在于一阶逻辑的抽象程度太高而对某些问题不实用。