分式方程专题复习

实数 ??????

?

????????

?

??????????????

???等，三角函数型：等特殊常数：无限不循环小数：根号型：常见类型无理数分数整数有理数30tan 45sin 2,,101001000.02:32

:5:ππ数学 中考前100天,100知识点,每天一个知识点

考点1. 实数分类:按定义分

A 、π

B 、5

C 、0

D 、-1

考点2. 科学计数法：写成 n a 10? 的形式

条件：??????=→?=→<≤-　例：　小数：用正指数　

大数　大数：用负指数（例：

小数)106.556000()106.50056.01013

3a 例、（2013?威海）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0.000037毫克可用科学记数法表示为（ ） A ．3.7×10-5克 B ．3.7×10-6克

C ．37×10-7克

D ．3.7×10-8克

考点3．有效数字：从左边第一个不为0的数字数起，到末位数字为止。 例、 20XX 年，我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感，H7N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0.000000124米，这一直径用科学记数法表示并保留2位有效数字，为（ ） A 、1.2×10-9米 B 、1.24×10-7米

C 、12×10-8米

D 、1.2×10-7米

按符号分： ?????负数正数

?→→?

?单项式：系数、次数

代数式有理式整式多项式：次数、项数

考点4. 熟练掌握下列分式　

)0(11)0(10≠=??

?

??=≠=-a a a a

a a p p

p

( 分数的负指数，实际是分子分母颠倒，然后负指数变成正指数)

如： 2

21

a

a =

-例、下列计算正确的是（ ） A 、24±= B 、3

1

31-=- C 、1)1(2004=- D 、22-=-

考点5．会求一个实数的相反数, 倒数,绝对值.

① a ，b 互为相反数→ a+b=0 ② a ，b 互为倒数 → a ?b=1

A 、

B 、

C

D 、

考点6．幂的运算：

① ）0( a a a a n m n m +=?; 同底数幂相乘,底数不变,指数相加 ② ）o a a a mn n m ()(=; 幂的乘方，底数不变，指数相乘

③ ）（0,0() b a b a ab n n n = 积的乘方，等于每个因式分别乘方

④）0( a a a a n m n m -=÷; 同底数幂相乘，底数不变，指数相减 例、下列计算正确的是（ ） A 、x+x=2x 2 B 、x 3?x 2=x 5

C 、（x 2）3=x 5

D 、（2x ）2=2x 2

考点7

例、（2013?济宁）如果整式x n-2-5x+2是关于x 的三次三项式，那么n 等于（ ）

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

考点8．熟练掌握整式乘除运算

(乘法分配律)单项式×多项式 单项式×多项式

Cb Ca b a C +=+)( bd bcx adx acx d cx b ax -+-=-+2))((

平方差公式：

22))((b a b a b a -=-+ 完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±

考点9.因式分解（把一个多项式化成 整式×整式 的形式 ） ★因式分解的方法??

?套用乘法公式

提取公因式

例：、分解因式a 3－4a 的结果是( )

A 、a (a 2－4)

B 、a (a －2)2

C 、a (a ＋2)(a －2)

D 、(a 2＋2a )(a －2)

考点10.平方根与立方根：

(1)若2,x a =则x 叫做a 的平方根。数a 的平方根, 记作

叫做a 的算数平方根。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数.零的平方根是零。负数没有平方根。

(2)若3

,x a =则x 叫做a 的立方根。数a 3

a =。

任意一个实数有且只有一个立方根。开平方与平方、开立方与立方互为逆运算。 例、 16的平方根是（ ） A 、4 B 、±4 C 、8 D 、±8

考点11．根式a 有意义的条件：0≥a

例、（2013?广州）若代数式1

x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A 、x≠1 B 、x≥0 C 、x ＞0 D 、x≥0且x≠1

考点12．???-≥==)

0()

0(2 a a a a a a

（根号里有平方的, 出来时要先进绝对值，再判断对值里的数是正数还是负数，

按照上面式中的规律再走出绝对值）

例、化简：()2

3π-=_______.

考点13．会用二次根式具有下列性质进行简单的四则运算： ①0≥a （0≥a ） ②

()

a a =2

（0≥a ）

③)0,0(≥≥=b a b a ab ④)0,0( b a b

a b a ≥= 例、下列计算结果正确的是（ ） A 、7

52=+

B 、3223=-

C 、1052=?

D 、

1055

2=

考点14．分式a

1

有意义的条件：0≠a 例、若

5

1

+x 有意义：则必有分母05≠+x ；即5-≠x （注意区别根式和分式有意义的条件，不能混淆） 例 、要使分式5

1

x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、x≠1

B 、x ＞1

C 、x ＜1

D 、x≠-1

考点15．会比较实数的大小,能用有理数估计一个无理数的大致范围.

例、如图，数轴上的点P 表示的数可能是 A 、5 B 、5-

C 、-3.8

D 、10-

考点16 会熟练掌握分式的加减乘除混合运算(会化简求值). 例、计算

23

11x x +--的结果是（ ） A 、1x - B 、1x - C 、1x - D 、1x

-

考点17、会解一元一次方程.

(1)等式的性质: 如果 a=b, 则 a+c=b+c或a-c=b-c

如果a=b, c#0 则 a*c=b*c或a/c=b/c

(2)解法的一般步骤：

例、解方程：)7

2(8

5

)8

(5-

-

=

-

+x

x

考点18、会解一元一次不等式, 解法的一般步骤：

解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤基本相同，只是在“系数化为1”这步要注意不等号的方向：

不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等号的方向不变；

如果 a>b, 则 a+c>b+c或a-c>b-c

如果a>b, c是正数, 则 a*c>b*c 或 a/c>b/c

不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等号的方向改变。

如果a>b, c是负数, 则 a*c

例、在数轴上表示不等式x+5≥1的解集，正确的是（）

A、B、C、D、

考点19. 会解二元一次方程组,

它的解法有两种：（1）代入消元法（2）加减消元法

解法思路：通过代入或加减，消去一个未知数，使二元一次方程变为一元一次方程，然后求解．

例、解方程组

1

28

x y

x y

=+

?

?

+=

?

．

考点20. 解一元一次不等式（组），并在数轴上表示（确定）其解集。

例 、把不等式组1215x x >??-≤?的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

考点21. 会解一元二次方程

解法：直接开平方法、配方法、求根公式法a

ac

b b x 242-±-=、因式分解法。

例： 解方程 x 2﹣4x-5﹦0 )1(3)1(+=+x x x

考点22. 会解分式方程 一般步骤：

⑴去分母，将分式方程化为整式方程； ⑵解这个整式方程；

⑶验根，把整式方程的根代入最简公分母中，若值不为零，则是原方程的根； 若值为零，则是原方程的增根。 注意：解分式方程一定要验根。

例： 解方程 1

3

11+=

-x x

考点23. 判别一元二次方程根的情况.

一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的判别式ac b 42-=? △＞0 <=> 方程有 两个不相等 实数根； △=0 <=> 方程有 两个相等 实数根； △＜0 <=> 方程 没有 实数根；

例：下列方程中，有两个不相等实数根的是 ( )

Ａ．2

40x += Ｂ．2

4410x x -+= Ｃ．2

30x x ++= Ｄ．2

210x x +-=

考点24. 用方程（组）、不等式（组）等解决实际问题(列方程解应用)

例：小明买了作业本和笔记本共10本，一共花14元，已知作业本的单价为0.5元，笔记

本的单价2元，求作业本和笔记本各买多少本？

C A

B

D

L

1 2

考点25. 平行线的性质

两直线平行，同位角相等（形成字母“F ”） 两直线平行，内错角相等（形成字母“Z ”） 两直线平行，同旁内角互补（形成字母“C ”）

例：如图，AB ∥CD ，直线EF 分别与AB 、CD 相交，若∠1=130°，则∠2=（ ）

（A ）40° （B ）50° （C ）130° （D ）140°

考点26. 一次函数()0≠+=k b kx y 的图象是一条直线

?

?

?=≠直线过原点时直线不过原点时,0;,0b b 例：一次函数()0≠+=k b kx y ，当b=o ，即kx y =（正比例函数）,所以正比例函数是

一次函数

考点27. 一次函数()0≠+=k b kx y 性质：

⑴当0>k 时，直线呈上升趋势，y 随x 的增大而增大???<>四象限三过一时三象限二过一时、、b 、、b ,0,0

⑵当0四象限三过二时四象限

二过一时、、b 、、b ,0,0

例：一次函数y=2X-3的图像不经过第 象限。

考点28. 画一次函数()0≠+=k b kx y 图象：

⑴列表； ⑵描点【一般描（k

b

-

，0），（0，b ）这两点】； （3）连线 根据两点确定一直线，只需要描两个点，并连接即可。 例：在坐标系中画出一次函数y=2X-4的图像。

考点29. 求一次函数()0≠+=k b kx y 图象与x 轴，y 轴的交点坐标 ⑴与x 轴交点：当y =0时，求出x =k b -

，函数与x 轴的交点坐标是（k

b

-，0）； ⑵与y 轴交点：当x =0时，求出y =b ， 函数与y 轴的交点坐标是（0，b ）。

练习：一次函数y=X-4函数与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是

考点30. 求一次函数解析式：

⑴设一次函数解析式：()0≠+=k b kx y ；

⑵把函数图象经过的两点坐标分别代入()0≠+=k b kx y 中； ⑶求出待定系数k 、b 。 例：一次函数经过点（1,1），（0-1），求该函数的解析式。

考点31. 求一次函数11b x k y +=与22b x k y +=的图象交点

即求两函数所构成的方程组?

??+=+=221

1b x k y b x k y 的解。

例：一次函数y=2x-1与y=x+1的交点坐标是

考点32. 正比例函数kx y =它的图象是过原点的直线。

⑴当0>k 时，直线呈上升趋势，y 随x 的增大而增大，过一、三象限； ⑵当0

考点33. 反比例函数()0,≠=k k x

k

y 是常数的图象是两支双曲线。 例：反比例函数x

k

y =

经过点（-2,3），则K= 考点34. 反比例函数x

k

y =性质：

⑴当0>k 时，图象在一、三象限，每个象限内y 随x 的增大而减小； ⑵当0

y x

=

的图象位于（ ） A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限

考点35. 反比例函数值上的大小的判断。

例：已知点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）都是双曲线x

y 2

=

上的点，且x 1

A 、y 1>y 2

B 、y 1

C 、y 1=y 2

D 、无法确定

考点36. 反比例函数x

k

y =图象与x 轴、y 轴无交点。 反比例函数x

k

y =

图象上任意一点向两数轴作垂线，两垂线与数轴围成的矩形图形的面积等于||k 。

例、如图，P 是反比例函数x

k

y =

（x ＞0）的图象上的一点，PN 垂直x 轴于点N ，PM 垂直y 轴于点M ，矩形OMPN 的面积为2，则K 的值为___________. 考点37. 二次函数()02≠++=a c bx ax y 定义。 例、若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ）

A ．a ＝1

B ．a ＝±1

C ．a ≠1

D ．a ≠－1

考点38. 二次函数的图象是一条抛物线。

例、⑴ 函数x

k

y =)0(≠k 的图象是 线；

⑵ 函数)0(≠+=k b kx y 的图象是 线；

⑶ 函数)0(2≠++=k c bx ax y 的图象是 线。 考点39. 二次函数的解析式有： ⑴一般式：()02≠++=a c bx ax y ；

⑵顶点式：()k h x a y +-=2

，其中(h ,k )是顶点坐标；

⑶交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x ，2x 是函数图象与x 轴的交点的横坐标。 例、将223y x x =-+化成()k h x a y +-=2

的形式，则y=_____________________.

考点40. 二次函数()02≠++=a c bx ax y 的性质：

⑴a 值决定图象的开口方向?

??<>.,,0;,,0函数有最大值图象开口向下函数有最小值图象开口向上a a

⑵c 值是决定图象与y 轴交点位置???<>.,0;,0轴的负半轴

轴交点在图象与时轴的正半轴

轴交点在图象与时y y c y y c

⑶二次函数c bx ax y ++=2

的顶点坐标是：)44,2(2a b ac a b -- ，对称轴：-=x a

b

2

例、已知：二次函数为

2

23y x x =-+，它的图像的开口方向_______、对称轴为_________和顶点坐标___________。

考点41. 画二次函数()02≠++=a c bx ax y 图象

⑴列表； ⑵描点； （3）连线 （以对称轴为中心对称性取5点以上较好）

例、画二次函数y ＝1

2

x 2－6x ＋21的图象．

解：y ＝1

2 x 2－6x ＋21的对称轴为___________，顶点坐标为_____________________.

x

… 3 4 5 6 7 8 9 … y ＝1

2

x 2－6x ＋21 …

…

考点42. 求二次函数()02≠++=a c bx ax y 图象与x 轴，y 轴的交点坐标 ⑴与x 轴交点：当y =0时，求出方程02=++c bx ax 的解1x ，2x ，函数与x 轴的交点坐标是（1x ，0）、（2x ，0）；

⑵与y 轴交点：当x =0时，求出y =c ， 函数与y 轴的交点坐标是（0，c ）。 例、抛物线2234y x x =+-与Y 轴的交点坐标是_________________,与X 轴的交点坐标

是________________________________。

考点43. 二次函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴交点个数 △＞0 <=> 图象与x 轴有两个交点； △=0 <=> 图象与x 轴只有一个交点；

△＜0 <=> 图象与x 轴没有交点

例、抛物线234y x x =--+与坐标轴的交点个数为（ ）

A ．3 B.2 C.1 D.0

考点44. 求二次函数解析式方法：

⑴已知图象所过的三点，可设函数解析式为：()02≠++=a c bx ax y ； ⑵已知图象所过的三点，其中两点是与x 轴的交点（1x ，0）、（2x ，0），可设函数解析式为：()()21x x x x a y --=；

⑶已知图象所过顶点()k h ,、函数对称轴h x =或函数最值k y =，可设函数解析式为：()k h x a y +-=2

例、已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。

考点45. 三角形全等的判定方法

一般三角形：SAS 、 ASA 、AAS 、SSS 4种； 直角三角形：SAS 、 ASA 、AAS 、SSS 和HL 5种 例、如图，给出下列四组条件：

①AB=DE ，BC=EF ，AC=DF ；②AB=DE ，∠B=∠E ．BC=EF ； ③∠B=∠E ，BC=EF ，∠C=∠F ；④AB=DE ，AC=DF ，∠B=∠E ． 其中，能使△ABC ≌△DEF 的条件共有_________

考点46. 全等三角形的性质： 对应边相等，对应角相等；

对应角平分线相等，对应中线相等、对应高相等； 周长相等，面积相等。

例、已知图中的两个三角形全等，则∠a 的度数是（ ）

A ．72°

B ．60°

C ．58°

D ．50°

考点47. 三角形中位线：三角形任意两边的中点的连线是三角形的中位线。 例、如图，在ABC ?中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为ABC ?的___________。

O

B

C A

P

F

E O

B C A P F E O

B

C A

考点48. 三角形中位线的性质

三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半。

例、如图，在ABC ?中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，且BC=8，50ADE ∠=?，

则DE//______,DE=_____,_____B ∠=?

考点49. 角平分线定义

OC 平分∠AOB ，则∠AOC=∠BOC=

21∠AOB 例、已知OC 为∠AOB 的平分线，∠AOB=60°，则∠AOC=∠BOC=______°

考点50. 角平分线定理

角平分线上的点到角两边的距离相等。 ∵OC 平分∠AOB 又∵PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OA 于点F ∴PE=PF

例、已知OC 为∠AOB 的平分线，若点P 是OC 上一点，且PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OA 于点F ，则_________=________。

P

F

E

O

B

C A O

P

l

B

A

O

P

l B

A

考点51. 角平分线的逆定理

到角两边的距离相等的点在角的平分线上。 ∵PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OA 于点F 又∵PE=PF

∴OC 平分∠AOB

例、如图所示，若在∠AOB 内有一点P ，PE ⊥OA ，PF ⊥OB ，垂足分别为E ，F ，且PE=PF ，则点P 在___________。

考点52. 角平分线的作法

三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，简称内心，到三边距离相等

例、已知：∠AOB ， 求作：∠AOB 的平分线OC

考点53. 垂直平分线定理

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

∵l ⊥AB 于点O 又∵AO=BO ∴PA=PB

例、△ABC 中，DE 垂直平分AC 交AB 于E ，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE= 度．

考点54. 垂直平分线逆定理

到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 ∵PA=PB

∴l ⊥AB 于点O ，AO=BO （即l 是AB 的垂直平分线）

例、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（ ）

A 、A

B 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB

C 、AB 与C

D 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB

c b

a B

C

A

c b

a B

C

A

考点55. 垂直平分线的作法

三角形外接圆的圆心是三角形三边中垂线的交点，简称外心，到顶点的距离相等

例、请作出△ABC 的外接圆。（保留做图痕迹）

考点56. 用勾股定理解决简单问题

直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和 在Rt △ABC 中

∵∠C=90° ∴2

2

2

c b a =+

例、求出下列直角三角形的未知边。

考点57. 用勾股定理的逆定理判定直角三角形

如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形 在△ABC 中 ∵222c b a =+ ∴∠C=90°

例、判断由线段a,b,c 组成的三角形是不是直角三角形 （1）17,8,15===c b a ； （2）15,14,13===c b a

考点58. 直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半

例、在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°,CD ⊥AB,AB=4, 则BC= ，BD= 。

c b

a

B

C

A

考点59. 直角三角形中，两锐角互余（即和为90°）

例、如图，AD 是Rt △ＡＢＣ斜边ＢＣ上的高，则图中与∠Ｂ互余的角有_______个

考点60. 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

例、已知∠ABC=∠ADC=90°，点E 是AC 中点，

求证：EB=ED

考点60. 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 例：如图，已知点D 是AB 的中点，CD=3，则AB=

考点61. 直角三角形中，已知某一锐角度数，用三角函数求边 在Rt △ABC 中，∠C=90° sinA =

斜

对

，cosA =斜邻， tanA =邻对

例：如图，已知BC=6,∠A=60°，则AB= AC=

考点62. 直角三角形中，已知两边，用三角函数求角度

例：如图，已知AC=3，BC= 则∠A= , ∠B=

考点63. 关于仰角、俯角（视线与水平线的夹角）的三角函数应用

例：从热气球A 处看大楼顶部B 的仰角为30°，看这栋楼底部C 的俯角为60°，热气球到这栋楼的距离为120m ，这栋楼有多高（结果取整数）？

考点64. 关于方向角的三角函数应用

例，小明从A地出发，要到A地的北偏东60°方向的C地，他先沿正东方向走了200米到达B地，再沿北偏东30°走，恰好能到达目的地C，那么B,C两地相距米,C地到直线AB的距离为

米。

考点65. 等腰△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C(即：等边对等角)

例：如图，∠BAC=120°，则∠B= ，∠C

考点66. 等腰△ABC中，∠B=∠C，则AB=AC(即：等角对等边)

例：如图，已知∠B=∠C，AB=4，BC=2，则三角形的周长为

考点67. 等腰三角形中，已知两边求周长（或已知周长求一边）

结合三边关系（两边之差<第三边<两边之和）判断是否构成等腰三角形

例：已知等腰三角形的两边分别是3和6，则它的周长为。

考点68. 等边三角形的性质

三条边相等，三个角相等（都为60°）

例：如图，已知BC=2，∠BAC=60°，则AB= ,∠B= ，∠C

考点69. 三线合一

在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合

例：如图，已知AD是等腰三角形BC边上的中线，∠BAD=20°，则∠CAD

= ,∠ADB= .

考点70. 平行线分线段成比例

例：

考点71. 相似三角形的性质

对应角相等，对应边成比例

例：如图1,若△ABC∽△DEF,∠F=45°∠A=30°则∠B的度数为（）

A. 100°

B. 105°

C. 115°

D. 120°

考点72. 相似三角形的判定

⑴两角对应相等，两三角形相似； ⑵三边对应成比例，两三角形相似；

⑶两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

⑷平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

例：在矩形ABCD ，DF ⊥AE ，垂足为F 。 求证：△ABE ∽△DFA

考点73. 相似三角形的面积比等于周长比的平方

例：如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____． 考点74. 用相似三角形的性质解决实际问题. 例：如图，测得BD=120 m ，DC=60 m ，EC=50 m ， 求河宽AB 。

考点75. 作图形的轴对称、中心对称 例：按要求画出图形：

(1) 作△ABC 关于X 轴对称的图形

得到△A 1B 1C 1

(1) 作△ABC 关于原点对称的图形 得到△A 2B 2C 2

考点76. n 边形的内角和为()??-1802n n 边形的外角和为360° 例：一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的内角和为（ ）

O A

B

C

Y

X

D

F

E C B A A ．720° B ．675° C ．1080° D ．905°

考点77. 平行四边形的性质 平行四边形的对边平行且相等； 平行四边形的对角相等；

平行四边形相邻的两个角互补； 平行四边形对角线互相平分；

夹在两条平行线间的平行线段长度相等。 例：平行四边形不具有的性质是（ ）

A ．对角线互相垂直

B ．对边平行且相等

C ．对角线互相平分

D ．对角相等 考点78. 判断一个四边形是平行四边形的方法 ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例：如图，在□ABCD 中，点F E ,分别在BC ，AD 上，且CE AF 。 求证：四边形AECF 是平行四边形。

考点79. 矩形的特征：对边平行且相等、四个角都是直角、对角线相等且平分。 判断一个四边形是矩形的方法：①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形； ④对角线相等且平分的四边形是矩形。

例：已知：如图，□ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ． 求证：四边形EFGH 是矩形。

H

G

F

E

D

C B

A

考点80. 菱形的特征：对边平行、四边相等、对角相等、相邻两角互补、对角线垂直且平分、每条对角线平分一组对角。 判断一个四边形是菱形的方法：①有一组邻边相等的平行四边形

叫做菱形；

②四边都相等的四边形是菱形；

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

例：如图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB= 5 ，AC=8，DB=6 求证:四边形ABCD是菱形.

考点81. 正方形的特征：对边平行、四边相等、四个角都是直角、对角线相等、垂直且平分、每条对角线平分一组对角。

判断一个四边形是正方形的方法：

①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；

②有一组邻边相等的矩形是正方形；

③有一个角是直角的菱形是正方形。

例:下列命题是假命题的是( )

A、有一组邻边相等的矩形是正方形

B、对角线互相垂直的矩形是正方形

C、有一个角是直角的菱形是正方形

D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形

考点82. 圆的对称性

圆是旋转对称图形，对称中心是其圆心；

圆也是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（即直径所在直线）都是它的对称轴。例：下列命题中，不正确的是（）

A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形

C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对

考点83.垂径定理：垂直于弦的直径一定平分弦，且平分弦所对的两条弧。

垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。例：1．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（）

A．4 B．6 C．7 D．8

考点84. 弦、弧和圆心角关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一

组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

即：在同圆或等圆中，圆心角相等?弧相等?弦相等

例:如图,如图⊙O中，弦AB=CD.求证：AD=BC

考点85. 圆心角和圆周角

半径或直径所对的圆周角是直角；反过来，90°的圆周角所对的弦是直径。 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。

例：如图，在⊙O 中，∠ABC =50°，则∠AOC 等于（ ） A ．50° B ．80° C ．90° D ．100°

考点86. 直线与圆的位置关系：设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d

直线与圆相交?r d

例.已知⊙O 的直径为13cm ，圆心到直线L 的距离为6.5cm ，则直线L 与⊙O 的位置关系为（ ）

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定 考点87. 切线的判断和性质

切线的判断：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。

圆的切线上的某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等；

这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角。

例．如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10

考点88. 圆中的周长计算公式

设圆的半径为r ，弧长为l ，弧所对的圆心角度数为n ，那么：

①圆周长r C π2=； ②弧长180

r

n l π=；

例.一个扇形的圆心角为90°．半径为2，则这个扇形的弧长为________． (结果保留π)

考点89. 圆中的面积计算公式

①圆面积2

r s π= ②扇形面积lr r n s 2

1

3602==π A

B

O

C