数学建模案例新型遗传模拟退火算法求解物流配送路径问题
第24卷2004年6月
计算机应用
ComuterAlicationsppp
Vol.24
June,2004
文章编号:()1001-9081200406Z-0261-03
新型遗传模拟退火算法求解物流配送路径问题
阎庆,鲍远律
(中国科学技术大学自动化系,安徽合肥2)30027
摘要:文中提出了将遗传算法和模拟退火算法结合,并加入了记忆装置。根据这种想法设计了一种有记忆功能的遗传模拟退火算法,并进行了试验计算。结果表明:用这种有记忆功能的遗传模拟退火算法求解物流配送路径优化问题,可以在一定程度上解决一些问题,从而得到较高质量的解。
关键词:物流配送;遗传模拟退火算法;遗传算法;模拟退火算法;路径优化中图分类号:TP301.6 文献标识码:A
1 引言
物流配送是现代化物流管理中的一个重要环节。它是指按用户的定货要求,在配送中心进行分货、配货,并将配好的存在许多货物及时送交收货人的活动。在物流配送业务中,优化决策的问题。本文只讨论物流配送路径优化问题。物流配送路径优化问题最早是在1959年由Dantmiamser首g和R
[]
先提出的,即所谓的车辆路径问题VRP1。它也是目前在物
的车辆数:
k
m=[a+1q]Σgi/
i
[]表示取整,约束m为所需车辆数,a为参数,0 下面建立此问题的数学模型:ci到点j的运输成ij表示点如时间,路程,花费等。配送中心编号为0,各客户编号为本, (….,,定义变量如下:ii=1,2,k) 车s由i驶向j1, xis=j 否则0, is=y 流系统中较受关注的一个方面。它是指在客户需求位置已知确定车辆在各个客户间的行程路线,使得运输路线的情况下, 最短或运输成本最低。VRP问题已经被证明是一个NP-很难得到全局最hard问题。也就是说当问题的规模较大时,算法的计算时间优解或满意解。而且随着问题规模的增大, 将以指数速度增加。因此研究的重点就转移到各种启发式算常用的有法上。求解物流配送路径优化问题的方法有很多, 旅行商法、动态规划法、节约法、扫描法、分区配送法、方案评价法等。而遗传算法的出现为求解物流配送路径优化问题提 2] 供了新的工具。遗传算法[作为一种非数值并行算法,其思 { { 点i的货动任务由s车完成1,否则0, k k m isjij 得到的数学模型如下所示:minZ= k i=0j=0s=1 ΣΣΣcx ()1()2()3()4()5 i=0m Σgy k iis …,2,m*q s=1, 想起源于生物遗传学适者生存的自然规律。它对优化对象既也不要求可微,尤其适合求解N不要求连续,P-hard问题。到目前为止,已经有很多人都曾利用遗传算法求解物流配送路径优化问题并取得了一些研究成果。 s=1 is=Σy { …,1 i=1,2,k m i=0 …,…,k;s=1,2,mj=1, …,…,i=0,1,k;s=1,2,m i=0k Σx isj =ysj=yis 2 物流配送路径优化问题的数学模型 物流配送路径优化问题一般可以这样描述:从某物流配送中心用多辆配送车辆向多个客户送货。每个客户的位置和货物需求量一定,每辆车的载重量一定,其一次配送的最大行使目标函数得到驶距离一定。要求合理安排车辆配送路线, 最优。并满足以下条件:()每条配送路径上各客户需求量之1和不超过配送车辆的载重量;()每条配送路径的长度不超过2()每个客户的需求必须配送车辆一次配送的最大行驶距离;3满足,且只能由一辆配送车送货。 设配送中心需要向k个客户送货,每个客户的货物需求量是g…,,每辆配送车的载重量是q,且g。i=1,2,k)i(i 际载货量就越小。在本文中使用文献[]的公式来确定需要5 j=1 Σx isj ,…,…m()xi1,k;s=1,2,6is=0或1j=0,j 上述模型中,式()为汽车容量约束;式()保证了每个23客户的运输任务仅由一辆车完成,而所以运输任务则由m辆式()和式()限制了到达和离开某一客户的汽车协同完成;45车有且仅有一辆。 3 路径优化问题的有记忆的遗传模拟退火算法 针对遗传算法的一些不足,作者将模拟退火算法与之结合,并加入了记忆装置,从而构造了物流配送路径优化问题的一种有记忆功能的遗传模拟退火算法。该算法的特点是扩大了原有遗传算法的搜索邻域,在一定概率控制下暂时接受一些恶化解。同时利用记忆装置保证了在一定终止条件下所得的最终解至少是搜索过程中曾得到所有解中的最优解。该算 国家自然科学基金项目资助()2003-10-09 基金项目:60272040 收稿日期: 阎庆(,女,安徽六安人,硕士研究生,主要研究方向:地理信息系统在物流管理系统中的应用;,男,安1978-)1947-) 作者简介: 鲍远律(徽六安人,教授,主要研究方向:控制理论与系统集成、全球定位系统G、交通矢量地图G移动目标监控专用数字通 信.PSIS、 262 计算机应用 2004年 法通过在常规的遗传算法基础上加入模拟退火算子和记忆装置而得到。 步骤1 给定群体规模m初始温度taxok=0;tk=0,pp,产生初始群体p;对初始群体计算目标值f(),找出使ok)ip( **函数f最小的染色体i和这个函数值f,记i,t=ii(k)f=f; 对此染色体,随机选择两个位置上的元素进行交换,并用算法使其成为新的满足要求的染色体。交换若干次,直对其调整, 至生成满足群体规模数的染色体。 3.3 计算适应度函数 这里使用文献[]的方法,将容量约束式()转为运输成32运输成本变为:本的一部分, k k m isjij m k 其中,fti∈i(k)为状态i在温度为tk时的目标值。,即当代群体中的一个染色体。k)opp( 步骤2 若满足结束条件则停止计算,输出最优染色体 * 和最优解f*;否则,在群体pik)的每一个染色体i∈op( ),按模拟退火中ok)的邻域中随机选取一个状态j∈N(ipp( Z= i=0j=0s=0 ΣΣΣcx,ax(0)+MΣmiis-qyΣg s=1 i=0 其中M为一很大的正数,表示当一辆车的货运量超过其最大载重量时的惩罚系数。考虑到计算机M应趋向于无穷大。处理的问题,参考文献[],取M为1将此运输成本函6000000。的接受概率: Aij=m in{1,exp(-j( tk)i(tk)tk )} 接受或拒绝j,其中fi(tk),fj( tk)分别为状态i,j的目标值。这一阶段共需maxpop次迭代以选出新群体newpop 1。步骤3 在newpop 1(k+1)中计算适应度函数:f i(tk)=exp{ -i(k)mintk } 其中,fmin是newpop1(k+1)中的最小值。由适应度函数决定的概率分布从newpop1中随机选maxpop个染色体形 成种群newpop 2。步骤4 按遗传算法的常规方法对newpop2进行交叉得到crosspop,再变异得到mutpop。 步骤5 令pop(k+1)=mutpop,对pop(k+1)计算i(tk),找出使函数fi(tk)最小的染色体i 和这个函数值f,如果f =i,f*=f,tk+ 1=a×tk,k=k+1,返回步骤2。 .1 染色体结构 出于表示简单,计算机处理方便的目的,对于VRP问题的遗传算法编码通常都采用自然数编码。上节数学模型的解向量可编成一条长度为k+m+1的染色体 (0,i1,i2,…,is,0,j,…ik,0,…,0,ip,…,iq,0)。在整条染色体中,自然数ij表示 第j个客户。0的数目为m+1个,代表配送中心,并把自然数编码分为m段,形成m 个子路径,表示由m辆车完成所有运输任务。这样的染色体编码可以解释为:第一辆车从配送中心出发,经过i1,i2,…,is客户后回到配送中心,形成了子路径;第2辆车也从配送中心出发,途经ij,…,ik客户后回到配送中心,形成子路径2。m辆车依次出发,完成所有运输任务,构成m条子路径。如染色体0123045067890表示由三辆车完成9个客户的运输任务的路径安排: 子路径1:配送中心→客户1→客户2→客户3→配送中心 子路径2:配送中心→客户4→客户5→配送中心 子路径3:配送中心→客户6→客户7→客户8→客户→配送中心.2 遗传群体初始化为了使算法收敛到全局最优,遗传群体应具有一定的规模。 但为了保证计算效率,群体规模也不能太大。一般取群体规模取值在10到100之间。在初始化染色体时,先生成k个客户的一个全排列,再将m+1个0随机插入排列中。需要注意的是必须有两个0被安排在排列的头和尾,并且在排列中不能有连续的2个0。这样构成一条满足问题需要的染色体。针 数作为目标函数。适应度函数采用一种加速适应度函数 f i(t=exp{-i(k)mink)t} 。这种适应度函数加速性能比 k 较好,可以迅速改进适应度的值,缩短算法运行时间。 3.4 交叉算子 将每代种群的染色体中适应度最大的染色体直接复制,进入下一代。种群中其他染色体按其适应度的概率分布,采用轮盘赌的方法,产生子代。这样既保证了最优者可生存至下一代,又保证了其余染色体可按生存竞争的方法生成子代,使得算法可收敛到全局最优。选中的染色体按一定的概率-交叉率,产生子代。文献[7]认为交叉率在0.6～0.8之间,算法进化效果较好。 由于车辆路径问题的条件约束,如果采用简单的交叉算子,将可能产生大量的不可行解。因此这里采用文献[6]的交叉算子,这种改进的交叉算子,避免非可行解的产生,具体做法如下: (1 )随机产生交叉位,如果在交叉位的外侧两端的父代基因都是0的话,则对父代进行简单交叉;如果交叉位的外侧两端的父代基因不为0的话,则将左交叉位向左移,直至移动到左交叉位的左端基因为0时停止。以左交叉位为起点,继续向右移动右交叉位, 直至右交叉位的右端基因为0为止。这样就保证了父代染色体都用1条子路径来进行交叉。 (2)经过第(1)步操作,子代中仍会产生访问同一客户2次的情况,需要对子代进行整理。在子代中选择那些具有重复情况的自然数,如果该自然数并非在交叉位内的话,则删除之。子代如存在未访问到某一客户的情况,则在染色体的交叉位外补上该客户对应的自然数。 (3)经过第(2)步的操作,如果产生了某一子路径为空的情况,即染色体中含有2个连续的0,须继续进行第3步操作。将其中的1个0与染色体其他位上的客户自然码进行交换。对 该客户自然码的要求是该码的前一位与后一位均不为0。本步操作可放在对子代的变异后进行。 如有父代1w015604027680,父代2w0710********。使用上述算法,对父代1选定 交叉位8,11,对父代2选定交叉位5,7。经过第1步计算,得子代1w01560408640和子代2w0710273802350。使用算法的第2步, 整理子代1和子代2。得到子代1;012537008640和子代2w014027380560。子代1中存在2个连续的0,对其进行第3步操作。最后得到子代1w012507308640。3.5 变异算子 交叉产生的子代依一定概率-变异率发生变异。变异的策略是随机交换2个基因的位置。在变异后,需要用交叉算子 f 3i193 6月 阎庆等:新型遗传模拟退火算法求解物流配送路径问题 3.8 衰减函数 263 的第3步操作整理子代,以保证可行性。 3.6 结束条件 当算法的当前进化代数大于预先设定的N时,算法结束。 3.7 邻域结构 每个染色体的邻域包括任意交换其两个基因所产生的所有染色体。 ttk1=a×k+ 4 实验分析 实验初始数据取自参考文献[]。6 实验1,随机生成1个有8个门店的V初始数据RP问题,如下: 表1 试验1初始数据 门店位置需求量 配送中心31,9gh0 门店176,38gh2.46 门店277,16gh0.41 门店390,82gh2.16 门店460,74gh2.27 门店576,86gh1.83 门店611,31gh3.76 门店729,90gh2.54 门店810,60gh2.39 根据各仓库的需求量,计算出需要的汽车数: /()]文献[采用传统的遗传算mk[17.820.85*8i1k3,6]法的各算子,并对其中的交叉算子进行了改造,取群体规模为进化代数为5应用此程序他费时320,0,s得到的结果为:子路径1:0→8→7→4→0 子路径2:0→6→0子路径3:0→5→1→2→3→0运输距离成本:476.29 而我们的算法在上面的算法中加入了一个模拟退火算 子,取初始退火温度为1衰减系数取0.0,85使用第三节所述算法步骤,在奔腾四的计算机上计算,耗时2,得结果如下:s 子路径1:0→6→0 子路径2:0→2→1→3→5→0子路径3:0→8→7→4→0运输距离成本:476.290507进化代数为:20 实验2,随机生成1个有2初始数0个门店的VRP问题,据如下: 表2 试验2初始数据 门店位置需求量 配送中心52,4gh0 门店115,49gh1.64 门店20,61gh1.31 门店351,15gh1.43V3.38 门店425,71gh1.13 门店538,62gh3.773.48 门店60.39 门店70.24 门店81.03 门店926,79gh 门店1087,7gh 35,45100,4110,52ghghgh 续表2 门店位置需求量 门店1124,89gh0.24 门店1219,25gh2.60 门店1320,99gh1.00 门店140.65 门店150.58 门店167,73gh2.56 门店1769,86gh2.69 门店1824,3gh3.26 门店1966,14gh2.97 门店209,30gh 73,91100,95ghgh 需6辆车。用文献[的算法取群体规模6] 计算得: 进化代数分别设为2得到的结果不同:100,0,50,100, 表3 原来算法的结果 实验进化代数运输成本 1201153.12 250964.48 2014中南大学数学建模模拟竞赛第一轮 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：中南大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2014 年 8 月 11 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 商品期货交易策略 摘要 我国的期货发展历史已有十多年，吸引了大量交易者的参与，如何从中获取相对稳定的收益成为交易者非常关注的问题。本文旨在为交易者谋得最大盈利，通过数据分析，找到影响价格因素，对价格波动进行分类并预测，从而建立交易模型。 本文通过对数据抽样，拟合检验，建立主成分分析模型（模型1），找到影响价格因素指标，回归分析检验结果；再建立聚类分析模型（模型2），对波动方式进行分类，并建立小波神经网络预测模型（模型3）对价格趋势作出预测，最后建立期货获利交易模型（模型4），使交易者获得最大盈利。 模型1：主成分分析模型 由于对价格有影响的因素众多，而由SPSS得到的散点图和相关系数表可发现，成交价与B1价、S1价和日期有极其显著的关系，但许多变量之间可能存在信息上的重叠。故选用了主成分分析模型，进行贡献率的判定。利用SPSS软件，将数据标准化（数据见附件1），并获得相关系数表和特征方程，提取特征值大于1的前4 个主成分，通过计算可得到每个主成分前的系数，即特征向量。计算可得出主成分表达式。最后可由主成分综合模型中根据每个因素的贡献率判定对价格的影响因素。最后利用MatlabR2012a 软件进行回归分析检验。 模型2：聚类分析模型 为找到不同波动方式的类型，先利用MatlabR2012a软件绘出时间-盈利走势图，在此基础上选择盈利最大周期，3个交易日；然后选择R性聚类分析，对变量进行相似性度量，对相似性大的变量进行聚类。利用SPSS软件，将10个相关变量进行组内链接，皮尔逊相关测量区间的相关性方法作出聚类图，共分为8组（表2），最后给出分析得到的交易量、持仓量和价格的关系。 模型3：小波神经网络预测模型 为了对价格的后期走势作出预测，按交易者的投资来看必然是短期预测，故采用精确度较高的小波神经网络进行预测。利用MatlabR2012a软件，选取3个输入节点，6个隐含层节点和1个输出节点，对9天的数据进行训练，修正，另外10天的数据进行预测，分别反复训练200次和500次，得到预测结果与实际结果高精确度吻合（见图4-5），说明该预测模型合理。 模型4：期货获利交易模型 根据前两问得出价格相关因素和价格的预测，为使交易者盈利最大，建立期货获利交易模型，在原先盈利函数上扣除手续费、保证金，利用线性规划方法，设立约束条件，目标函数为最大盈利，最后利用MatlabR2012a软件进行求解得到月所有日最大收益为515700元。 关键字：主成分分析聚类分析小波神经网络预测期货获利价格波动最大盈利 §15.4锁具装箱问题 [学习目标] 1.能表述锁具装箱问题的分析过程； 2.能表述模型的建立方法； 3.会利用排列组合来计算古典概型； 4.会利用Mathematica求解锁具装箱问题。 一、问题 某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}6个数（单位从略）中任取一数。由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度有两个要求：一是至少有3个不同的数；二是相邻两槽的高度之差不能为5。满足上述两个条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批。销售部门在一批锁具中随意地抽取，每60个装一箱出售。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中不能互开（“一把钥匙开一把锁”）。但是，在当前工艺条件下，对于同一批中两个锁具是否能够互开，有以下实验结果：若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可能互开；在其它情况下，不可能互开。 团体顾客往往购买几箱到几十箱，他们会抱怨购得的锁具中出现互开的情形。现请回答以下问题： 1．每批锁具有多少个，能装多少箱？ 2．按照原来的装箱方案，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。 二、问题分析与建立模型 因为弹子锁具的钥匙有5个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4，5，6}这6个数中任取一数，且5个槽的高度必须满足两个条件：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能为5。所以我们在求一批锁具的总数时，应把问题化为三种情况，即5个槽的高度由5个不同数字组成、由4个不同数字组成、由3个不同数字组成，分别算出各种情况的锁具个数，然后相加便得到一批锁具的总个数。在分别求这三种情况锁具个数的时候，先求出满足第1个条件的锁具个数再减去不满足第2个条件的锁具个数。在求这三种情况锁具个数的时候，主要依靠排列组合的不尽相异元素的全排列公式。 下面用一个5元数组来表示一个锁具： Key=（h1，h2，h3，h4，h5） 其中h i表示第i个槽的高度，i=1，2，3，4，5。此5元数组表示一把锁，应满足下述条件： 条件1：h i∈{1，2，3，4，5，6}，i = 1，2，3，4，5。 例已知敌方100个目标的经度、纬度如下： 我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。假设我方飞机的速度为1000公里/小时。我方派一架飞机从基地出发，侦察完敌方所有目标，再返回原来的基地。在敌方每一目标点的侦察时间不计，求该架飞机所花费的时间（假设我方飞机巡航时间可以充分长）。 这是一个旅行商问题。我们依次给基地编号为1，敌方目标依次编号为2，3，…，101，最后我方基地再重复编号为102（这样便于程序中计算）。距离矩阵102102)(?=ij d D ，其中ij d 表示表示j i ,两点的距离，102,,2,1, =j i ，这里D 为实对称矩阵。则问题是求一个从点1出发，走遍所有中间点，到达点102的一个最短路径。 上面问题中给定的是地理坐标（经度和纬度），我们必须求两点间的实际距离。设B A ,两点的地理坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，过B A ,两点的大圆的劣弧长即为两点的实际距离。以地心为坐标原点O ，以赤道平面为XOY 平面，以0度经线圈所在的平面为XOZ 平面建立三维直角坐标系。则B A ,两点的直角坐标分别为： )s i n ,c o s s i n ,c o s c o s (11111y R y x R y x R A )s i n ,c o s s i n ,c o s c o s (22222y R y x R y x R B 其中6370=R 为地球半径。 B A ,两点的实际距离 ?? =R d arccos ， 化简得 ]s i n s i n c o s c o s )(a r c c o s [c o s 212121y y y y x x R d +-=。 求解的模拟退火算法描述如下： （1）解空间 解空间S 可表为{102,101,,2,1 }的所有固定起点和终点的循环排列集合，即 }102,}101,,3,2{),,(,1|),,{(102101211021===ππππππ的循环排列为 S 其中每一个循环排列表示侦察100个目标的一个回路，j i =π表示在第i 次侦察j 点，初始解可选为)102,,2,1( ，本文中我们使用Monte Carlo 方法求得一个较好的初始解。 （2）目标函数 此时的目标函数为侦察所有目标的路径长度或称代价函数。我们要求 ∑=+= 101 1 211 102),,,(min i i i d f π ππππ 2012年数学建模竞赛试题 注意事项（请参赛队员详细阅读！） 1. 凯里学院校内数学建模竞赛丁2012年6月29日8: 00至7月 1日20 : 00举行。 2. 参赛队可在A、B两题中任选其中一题，可以使用各种图书资料、网络信息、计算机和软件以及各种实验手段。 3. 答卷论文请提交WORD文档方式的A4纸电子稿。并按下列要求制作。 论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少 2.5厘米的贞边距； 从左侧装订。 封面：只需填上所选论文题目（注明A或B）及参赛队序号，其他一律不要。 首页：论文题目、摘要（含模型的主要特点、建模方法和主要结果）。 正文：问题提出、问题分析、模型假设、符号说明、模型建立、模型求 解、计算方法设计和软件实现、模型结果分析和检验、模型优缺点分析等。 4. 论文从第三页开始编写贞码，贞码必须位丁每贞贞脚中部，用阿拉伯数字从“ 1”开始连续编号。 论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三 级标题用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用 小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词）， 在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如［1］［3］等；引用书籍还必须指出贞码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： ［编号］作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： ［编号］作者，论文名，杂志名，卷期号：起止贞码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： ［编号］作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 5. 竞赛评奖以模型假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的活晰程度为主要标准。 6. 答卷（电子稿）务必丁2012年7月1日20:00 —22:00交到凯里学院数学实验室潘东云或雷学红老师处。 凯里学院数学建模领导小组 2012年06月28日 §6 决策树法 对较为复杂的决策问题，特别是需要做多个阶段决策的问题，最常用的方法是决策树法。决策树法是把某个决策问题未来发展情况的可能性和可能结果所做的预测用树状图画出来。其步骤如下： 1、用方框表示决策点。从决策点画出若干条直线或折线，每条线代表一个行动方案，这样的直线或折线称为方案枝。 2、在各方案枝的末端画一个园圈，称为状态点，从状态点引出若干直线或折线，每条线表示一个状态，在线的旁边标出每个状态的概率，称为概率枝。 3、把各方案在各个状态下的损益期望值算出标记在概率枝的末端。 4、把计算得到的每个方案的损益期望值标在状态点上，然后通过比较，选出损益期望值最小的方案为最优方案。 例1某厂准备生产一种新产品，产量可以在三种水平n1、n2、n3中作决策。该产品在市场上的销售情况可分为畅销、一般和滞销三种情况，分别为S1、S2、S3。通过调查，预测市场处于这三种情况的概率分别为0.5、0.3、0.2。三种决策在各种不同市场情况下的利润见下表： 表1 基于各种决策的各种市场情况的利润表（万元） 我们可以计算每种决策下利润的期望值： 实行在水平n1下生产的利润的期望值为：90×0.5+30×0.3-60×0.2=42 实行在水平n2下生产的利润的期望值为：60×0.5+50×0.3-10×0.2=43 实行在水平n3下生产的利润的期望值为：10×0.5+9×0.3-6×0.2=6.5 由于在水平n2下生产利润的期望值最大，因而应选择产量水平n2生产。 可以应用决策树帮助解决这样的决策问题，把各种决策和情况画在图1上： 图1 图中的方框（□）称为决策点，圆圈（○）称为状态点，从方框出发的线段称为对策分支，表示可供选择的不同对策。在圆圈下面的线段称为概率分支，表示在此种对策下可能出现的各种情况。在概率分支上注明了该情况出现的概率。在每一个概率分支的末端注明了对应对策和对应情况下的收益（利润）。在计算时，我们把相应的期望值写在相应的状态点旁边，再由比较大小后选择最优决策，在图上用∥表示舍弃非最优的对策，并在决策点上注明最优决策所对应的期望利润。 图2 利用决策树还可以解决多阶段的决策问题。 例2 某公司在开发一种新产品前通过调查推知，该产品未来的销售情况分前三年和后三年两种情况。因此生产该产品有两种可供选择的方案：建造大厂和建造小厂。如果建造大厂，投资费用5000万元，当产品畅销时，每年可获利2000万元，当产品滞销时，每年要亏损120万元。如果建造小厂，投资费用1000万元，当产品畅销时，每年可获利300万元，当产品滞销时，每年仍可获利150万元。若产品畅销可考虑在后三年再扩建，扩建投资需2000万元，随后三年每年可获利1000万元；也可不再扩建。预测这六年该产品畅销的概率为0.6，滞销的概率为0.4。试分析该公司开发新产品应如何决策？ 根据问题的各种情况可以画出决策树如下：这是一个两阶段的决策问题。注意到图中有两个决策点，反映建小厂的方案中可以分成前三年和后三年两个阶段，并在后三年还要做出一次决策。 图3 把各种数据填到图适当的位置后，由后向前计算获利的期望值。由图可见应采用决策：建造大厂。 500 900 1000*3=3000 300*3=900 6.5 数学模型的分类 按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策） 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 （这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 （这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法 （当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法 （很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法 （如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法 （赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 算法简介 1、灰色预测模型（必掌握） 解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。 满足两个条件可用： ①数据样本点个数少，6-15个 ②数据呈现指数或曲线的形式 2、微分方程预测（高大上、备用） 微分方程预测是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但其中的要求，不言而喻。学习过程中 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。 3、回归分析预测（必掌握） 求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变化； 样本点的个数有要求： ①自变量之间协方差比较小，最好趋近于0，自变量间的相关性小； ②样本点的个数n＞3k+1，k为自变量的个数； 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的 案例分析1: 自行车外胎的使用寿命 问题： 目前，自行车在我国是一种可缺少的交通工具。它小巧、灵活、方便、易学，而且价格适中，给广大居民带来了不小的益处。但是，自行车也有令人头痛的地方，最常见的问题莫过于扎胎了。扎胎的原因有很多，但相当一部分是由于外胎磨损，致使一些玻璃碴、小石子很容易侵入、扎破内胎。为了减少不必要的麻烦，如何估计自行车外胎的寿命，及时更换? 分析： 分析角度：由于题目里未明确指出我们是应从厂家角度，还是应从用户角度来考虑这个问题，因此需要我们自己做出合理判断。若从厂家角度，我们面对的应当是一大批自行车外胎的平均寿命的估计。这样的估计要求一定精确度和相对明确的使用环境；而从用户角度来说，面对的仅是个人的一辆车，不需要很高的精确度，这样的寿命估计更简单，易于随时了解，下面仅从用户角度进行分析。 产品的使用者需要了解产品的寿命，是基于安全性及更换的费用来考虑的。我们将这两个标准作为主要标准来分析，首先值得注意的两个关键性问题是如何定义寿命、何时为寿命的终止。寿命的定义要做到科学，直观，有可比性，在航空工业中航天飞机的使用寿命是用重复使用的次数来衡量，而工厂机器设备的寿命则以连续工作的时间来定义。本题外胎的寿命亦可用时间来表征，但由于外胎的寿命直接与其磨损速度相关；而磨损速度又与使用频率及行驶速度相互联系，致使外胎的寿命不一定与使用时间成正比(这种非正比关系使我们不能拿一辆—天跑200公里的自行车与一天只跑1公里的自行车进行寿命比较)，降低了可比性。如换成自行车的路程寿命来比较，就好得多。产品寿命是在安全性和更换费用相互制约下达到的一个点，在这个点上，外胎的安全系数降到用户不可接受的最低值，更换费用(寿命越长，在一定意义上更换费用越低)也达到了最大限度的节省。 弄清了上面两个问题后，我们继续明确建立模型需要解决哪些问题及建立模型的重点难点。 自行车使用过程中，一来影响因素多，二来这些因素之间彼此相关，十分复杂，要做到比较准确地估计使用寿命，不但要对外胎的性能有相当的了解，而且对使用环境更不能忽视。当然我们由于是站在用户角度上来考虑的，相对地就可忽略一些次要的影响因素。 这样的数学模型面对着两个主要问题。一、自行车使用寿命与外胎厚度的关系，二、外胎能够抵御小石子破坏作用的最小厚度。后者可处理得相对简略些(如只考虑一块具有一般特征的小石子对外胎的破坏作用)，而重点(也是难点)是第一个问题。车重、人重、轮胎性质(力学的、热学的、甚至化学的)和自行车使用频率等都左右着它们的关系。这么多相关因素，不必一一都加以考虑(用户是不会在意这么多的)，有些因素，可以先不考虑，在模型的改进部分再作修改，采取逐步深入的方法，如：摩擦损耗有滑动摩擦和滚动摩擦损耗两种，由于滚动摩擦占用的时间(或路程)显然占绝对优势，因此可重点考虑。但滑动摩擦造成的一次损坏又比滚动摩擦大，在刹车使用过频的情况下，就不能不考虑了。 最后，需对得出的结果用简单清晰的文字进行说明，以供用户参考。 案例分析2：城市商业中心最优位置分析 问题： 城市商业中心是城市的基本构成要素之一。它的形成是一个复杂的定位过程。商业中心的选址涉及到各种因素制约，但其中交通条件是很重要的因素之一。即商业中心应位于城市“中心”，如果太偏离这一位置，极有可能在城市“中心”地带又形成一个商业区，造成重复建设。 某市对老商业中心进行改建规划，使居民到商业中心最方便。如果你是规划的策划者，如何建立一个数学模型来解决这个问题。 在数学建模中常用的方法：类比法、二分法、量纲分析法、差分法、变分法、图论法、层次分析法、数据拟合法、回归分析法、数学规划（线性规划，非线性规划，整数规划，动态规划，目标规划）、机理分析、排队方法、对策方法、决策方法、模糊评判方法、时间序列方法、灰色理论方法、现代优化算法（禁忌搜索算法，模拟退火算法，遗传算法，神经网络）。 用这些方法可以解下列一些模型：优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。拟合与插值方法（给出一批数据点，确定满足特定要求的曲线或者曲面，从而反映对象整体的变化趋势）：matlab可以实现一元函数，包括多项式和非线性函数的拟合以及多元函数的拟合，即回归分析，从而确定函数；同时也可以用matlab实现分段线性、多项式、样条以及多维插值。 在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键因素。其中包括无约束规则（用fminserch、fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非线性规则、（用fmincon实现）多目标规划（有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和正向）整数规划。 回归分析：对具有相关关系的现象，根据其关系形态，选择一个合适的数学模型，用来近似地表示变量间的平均变化关系的一种统计方法（一元线性回归、多元线性回归、非线性回归），回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型（经验公式）；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制。相对应的有线性回归、多元二项式回归、非线性回归。 逐步回归分析：从一个自变量开始，视自变量作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程：当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉；引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步；对于每一步都要进行值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对作用显著的变量；这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。（主要用SAS来实现，也可以用matlab软件来实现）。 聚类分析：所研究的样本或者变量之间存在程度不同的相似性，要求设法找出一些能够度量它们之间相似程度的统计量作为分类的依据，再利用这些量将样本或者变量进行分类。 系统聚类分析—将n个样本或者n个指标看成n类，一类包括一个样本或者指标，然后将性质最接近的两类合并成为一个新类，依此类推。最终可以按照需要来决定分多少类，每类有多少样本（指标）。 系统聚类方法步骤： 1.计算n个样本两两之间的距离 2.构成n个类，每类只包含一个样品 3.合并距离最近的两类为一个新类 4.计算新类与当前各类的距离（新类与当前类的距离等于当前类与组合类中包含的类的距离最小值）， 若类的个数等于1，转5，否则转3 5.画聚类图 6.决定类的个数和类。 判别分析：在已知研究对象分成若干类型，并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式，然后对未知类型的样品进行判别分类。 距离判别法—首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心，计算新个体到每类的距离，确定最短的距离（欧氏距离、马氏距离） Fisher判别法—利用已知类别个体的指标构造判别式（同类差别较小、不同类差别较大），按照判别式的值判断新个体的类别 Bayes判别法—计算新给样品属于各总体的条件概率，比较概率的大小，然后将新样品判归为来自概率最大的总体 模糊数学：研究和处理模糊性现象的数学（概念与其对立面之间没有一条明确的分界线）与模糊数学相关的问题：模糊分类问题—已知若干个相互之间不分明的模糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个模糊概念来反映更合理准确；模糊相似选择—按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见的问题，但是用来比 SARS传播的数学模型 (轩辕杨杰整理) 摘要 本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合. 应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对北京入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在10月以前能恢复正常. 最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性. 1．问题的重述 SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作： （1） 对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2） 建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3） 根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响. （4） 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价 题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确： 合理性定义 要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义 要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息. 2.1早期模型简述 早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型， 该模型假定初始时刻的病例数为0N ， 平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的范围内K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变. 平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之内，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是： t k N t N )1()(0+?= 考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉. 2.2早期模型合理性评价 根据早期模型对北京疫情的分析与预测，其先将北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天范围内K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出北京3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1. 模拟退火算法 摘要：阐述了模拟退火算法的基本原理及实现过程,运用MATLAB语言实现了该算法。并将其运用到解决旅行商问题的优化之中。数值仿真的结果表明了该方法能够对函数进行全局寻优,有效克服了基于导数的优化算法容易陷入局部最优的问题。该方法既可以增加对MATLAB 语言的了解又可以加深对模拟退火过程的认识,并达到以此来设计智能系统的目的。 关键词：模拟退火算法，全局寻优，搜索策略 simulatedannealing algorithm Abstract：This paper describes the basic principles and processes simulatedannealing algorithm, using MATLAB language implementation of the algorithm. And use it to solve the traveling salesman problem among optimization. Simulation results show that the method can be a function of global optimization, effectively overcome the derivative-based optimization algorithm is easy to fall into local optimum. This method not only can increase the MATLAB language can deepen understanding and awareness of the simulated annealing process, and in order to achieve the purpose of the design of intelligent systems. Keywords:simulatedannealing algorithm,Global optimization,strategy Problem A Warmer Days or Sour Grapes ? The high quality of wines（葡萄酒）produced in the Finger Lakes Region（五指湖区）of upstate （北部）New York is widely known. Proximity（接近）to lakes tempers the climate and makes it more suitable for growing several varieties of premium（独特）grapes: R iesling（雷司令）, G ewürztraminer（琼瑶浆）, C hardonnay（霞多丽）, M erlot（梅洛）, P inot Noir（黑比诺）, and Cabernet F ranc（品丽珠）. (There are many more, but we will restrict（限制）the discussion to these six to simplify（简化）the modeling.) Each variety has its own preferred “average temperature” range but is also different in its susceptibility（感受性）to diseases and ability to withstand（抵抗）short periods of unusually cold temperature. As our local climate changes, the relative suitability of these varieties will be changing as well. A forward-looking winery（酒厂）has hired your team to help with the long-term planning. You will need to recommend a) the proportion（比例）of the total vineyard（葡萄园）to be used for growing each of the above six varieties; b) and when should these changes be implemented （实施）(based on observed temperatures and/or current market prices for each type of wine). Naturally, the winery is interested in maximizing its annual profit. But since the latter （后者）is weather-dependent, it might vary a lot year-to-year. You are also asked to evaluate the trade-offs （权衡）between optimizing the expected/average case versus the worst(-realistic-)scenario（情景）. Things to keep in mind: Climate modeling is complicated（复杂）and predicting the rate of “global warming” is a hotly debated area. For the purposes of this problem, assume that the annual average temperature in Ithaca（伊萨卡）, NY will increase by no more than 4°C by the end of this century. It is not all about the average temperature – a short snap（临时）of sub- zero（零度）temperature in late Ferburay or early March (after the vines already started getting used to warmer weather) is far more damaging than the same low temperature would be in the middle of the winter. It takes at least 3 years for a newly planted vine to start producing grapes suitable for winemaking. Problem B Outlook of Car-to-Car Tech SAN FRANCISCO -- After more than a decade of research into car-to-car communications, U.S. auto safety regulators took a step forward today by unveiling their plan for requiring cars to have wireless gear that will enable them to warn drivers of danger. 第十章 插值与拟合方法建模 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍，请参阅有关的书籍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据 ),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段 多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 b x x x a n =<<<= 10 那么分段线性插值公式为 n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11 1 11 =≤<--+--= ----- 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。 根据地图的比例，18 mm 相当于40 km 。 关于中国人口增长趋势的研究 【摘要】 本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行建模预测。 首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2007至2020年的人口数目进行了预测，得出在2015年时，中国人口有13.59亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2007至2050年的人口数目进行了预测，同时还用1990至2005年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2030年时，中国人口有14.135亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究，本文利用动态模拟的方法建立模型三，并对数据作了如下处理：取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。在此基础上，预测出人口的峰值，适婚年龄的男女数量的差值，人口老龄化程度，城镇化水平，人口抚养比以及我国“人口红利”时期。在模型求解的过程中，还对政府部门提出了一些有针对性的建议。此模型可以对未来人口做出细致的预测，但是需要处理的数据量较大，并且对初始数据的准确性要求较高。接着，我们对对模型三进行了改进，考虑人为因素的作用，加入控制因子，使得所预测的结果更具有实际意义。 在灵敏度分析中，首先针对死亡率发展因子θ进行了灵敏度分析，发现人口数量对于θ的灵敏度并不高，然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为0.8850，最后对妇女生育率进行了灵敏度分析，发现在生育率在由低到高的变化过程中，其灵敏度在不断增大。 最后，本文对模型进行了评价，特别指出了各个模型的优缺点，同时也对模型进行了合理性分析，针对我国的人口情况给政府提出了建议。 关键字：Logistic模型灰色预测动态模拟 Compertz函数商品期货交易数学建模
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