《复变函数》作业
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《复变函数》作业
一．判断题
1．若函数f(z)在z 解析，则f(z)在z 的某个邻域内可导。（ ）
0 0
2．若函数f(z) =u(x, y) +iv(x, y) 在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( )
3．若z 是f(z) 的m阶零点，则z 是1/ f(z) 的m阶极点。（ ）
0 0
4．有界整函数必为常数。（ ）
5．若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ）
6．若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，则在区域D内恒等于常数。（ ）
7．若函数f(z)在z 解析，则f(z)在z 连续。（ ）
0 0
8．若{z}收敛，则{Re z}与{Im z}都收敛。( )
n n n
9．若函数f(z)在z 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。（ ）
0
10．若函数f(z)在z 可导，则f(z)在z 解析。（ ）
0 0
11．若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。（ ）
12．cos z与sin z的周期均为2kπ。（ ）
13．若函数f(z)在z 解析，则f(z)在z 处满足Cauchy-Riemann 条件。（ ）
0 0
14．如z 是函数f(z)的本性奇点，则lim f(z) 一定不存在。( )
0
z→z0
15．若f(z)在区域D内解析，且f'( z) ≡0，则f(z) ≡C（常数）。（ ）
16．若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z) ≠0(?z∈D)。（ ）
17．存在整函数f(z) 将复平面映照为单位圆内部。（ ）
18．若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域D内为常数。（ ）
19．若函数f(z)在z处满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)在z解析。（ ）
0 0
20．若lim f(z) 存在且有限，则z是函数f(z)的可去奇点。( )
0
z→z0
21．若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有∫Cf(z)dz=0。（ ）。
22．函数 与 在整个复平面内有界。（ ）
sin z cos z
23．如果函数f(z)在D={z:| z|≤1}上解析，且| f( z) |≤1(| z|=1) ，则| f( z) |≤1(| z|≤1) 。（ ）
1 1 1
24．存在一个在零点解析的函数f(z)使f( ) =0 且f( ) = ,n=1,2,...。（ ）
n+1 2n 2n
二．
填空题
z
1．函数e的周期为__________。
+∞
n
2．幂级数 nz 的和函数为__________。
∑
n=0
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z
e
3．Res( ,0) =_____________。
n
z
dz
4．∫ n =__________。
|z?z| =1
0 ( z?z)
0
5．若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________。
6．若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。
1
7．设f(z) = 2 ，则f(z) 的定义域为__________。
z +1
8．sin 2 z+cos2 z=___________。
∞
n
9．幂级数 nx 的收敛半径为__________
∑
n=0
1
10．设f(z) = 2 ，则f(z)的孤立奇点有__________。
z +1
z
e
11．Res( ,0) =____________，其中n为自然数。
n
z
n+2 1
12．若z = +i(1+ )n，则lim z =__________。
n n
1?n n n→∞
13．函数sin z的周期为___________。
14．设 2 2 2 。
f(z) =( x +2xy) +i(1?sin( x +y ),?x+iy∈C，则lim f(z) __________
z→z0
15．函数f(z) =| z| 的不解析点之集为________。
16．方程 5 3 在单位圆内的零点个数为________。
2z ?z +3z+8 =0
三．计算题
z
1．∫ 2 dz.
|z| =2 (9 ?z )( z+i)
z+1 1 dz
2．求∫e sin zdz+ ∫ 。
| z| =1 2πi | z| =3 (z?1)( z?4)
3．求 4 ，在|z|<1 内根的个数
z ?5z+1=0
1
4．∫ dz.
|z| =1 cos z
1
5．设f(z) = ，求f(z) 在D={z: 0 <| z|<1}内的洛朗展开式。。
( z?1)(z?2)
6．求 9 6 2 在|z|<1 内根的个数。
z ?2z +z ?8z?2 =0
2
3λ +7λ+1
7．设f(z) =∫C λ?z dλ，其中C={z:| z|=3}，试求f'(1+i).
z
e
8．设f(z) = 2 ，求Re s( f(z), ∞).
z ?1
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z?1
9．求复数w= 的实部与虚部。
z+1
?1 +i?2 ?1?i?2
10．求? ? +? ? .
? 2 ? ? 2 ?
n
?2 ?i?
11．lim ? ? .
n→∞? 6 ?
12．求函数 3 的幂级数展开式。
sin( 2z )
sin z3
13．求函数 6 在0 <| z|<+∞内的罗朗展式。
z
四．证明题
1．若函数f(z)在z 处可导，则f(z)在z 连续。
0 0
2．若数列{z}收敛，则{Re z}与{Im z}都收敛
n n n
3．若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且f(0) =0，则f(z) ≡0(?z∈C) 。
4．证明方程 4 在1<| z|<2内仅有3个根。
z ?6z+3 =0
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