方差分析思考与理解练习带答案解析
第九章方差分析
【思考与练习】
一、思考题
1. 方差分析的基本思想及其应用条件是什么？
2. 在完全随机设计方差分析中SS SS SS
、、各表示什么含义？
总组间组内
3. 什么是交互效应？请举例说明。
4. 重复测量资料具有何种特点？
5. 为什么总的方差分析的结果为拒绝原假设时，若想进一步了解两两之间的差别需要进行多重比较？
二、最佳选择题
1. 方差分析的基本思想为
A. 组间均方大于组内均方
B. 误差均方必然小于组间均方
C. 总变异及其自由度按设计可以分解成几种不同来源
D. 组内方差显著大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显著
E. 组间方差显著大于组内方差时，该因素对所考察指标的影响显著
3. 完全随机设计的方差分析中，下列式子正确的是
4. 总的方差分析结果有P<0.05，则结论应为
A. 各样本均数全相等
B. 各总体均数全相等
C. 各样本均数不全相等
D. 各总体均数全不相等
E. 至少有两个总体均数不等
5. 对有k 个处理组，b 个随机区组的资料进行双因素方差分析，其误差的自由度为 A. kb k b -- B. 1kb k b --- C. 2kb k b --- D. 1kb k b --+ E. 2kb k b --+
6. 2×2析因设计资料的方差分析中，总变异可分解为 A. MS MS MS =+B A 总 B. MS MS MS =+B 总误差 C. SS SS SS =+B 总误差
D. SS SS SS SS =++B A 总误差
E. SS SS SS SS SS =+++B A AB 总误差
7. 观察6只狗服药后不同时间点(2小时、4小时、8小时和24小时)血药浓度的变化，本试验应选用的统计分析方法是 A. 析因设计的方差分析 B. 随机区组设计的方差分析 C. 完全随机设计的方差分析
D. 重复测量设计的方差分析
E. 两阶段交叉设计的方差分析
8. 某研究者在4种不同温度下分别独立地重复10次试验，共测得某定量指标的数据40个，若采用完全随机设计方差分析进行统计处理，其组间自由度是
A.39
B.36
C.26
D.9
E. 3
9. 采用单因素方差分析比较五个总体均数得0.05
P ，若需进一步了解其中一个对照组和其它四个试验组总体均数有无差异，可选用的检验方法是
A. Z检验
B. t检验
C. Dunnett–t检验
D. SNK–q检验
E. Levene检验
三、综合分析题
1. 某医生研究不同方案治疗缺铁性贫血的效果，将36名缺铁性贫血患者随机等分为3组，分别给予一般疗法、一般疗法+药物A低剂量，一般疗法+药物A高剂量三种处理，测量一个月后患者红细胞的升高数(102/L)，结果如表9-1所示。问三种治疗方案有无差异？
表9-1 三种方案治疗一个月后缺铁性贫血患者红细胞的升高数(102/L)
编号一般疗法一般疗法+A1 一般疗法+A2
1 0.81 1.3
2 2.35
2 0.75 1.41 2.50
3 0.7
4 1.3
5 2.43
4 0.86 1.38 2.36
5 0.82 1.40 2.44
6 0.8
7 1.33 2.46
7 0.75 1.43 2.40
8 0.74 1.38 2.43
9 0.72 1.40 2.21
10 0.82 1.40 2.45
11 0.80 1.34 2.38
12 0.75 1.46 2.40
2. 在药物敏感试验中，欲比较三种弥散法的抑菌效果，每种方法均采用三种药物，观察其抑菌效果，以抑菌环的直径为观察指标，结果如表9-2所示，试比较三种方法的抑菌效果。
表9-2 三种药物在不同弥散法下的抑菌效果(mm)
药物
弥散法
纸片挖洞钢圈
黄芪27.5 24.3 20.0 27.6 24.6 21.0
26.9 25.0 20.6
27.3 27.7 20.8
大黄20.9 24.6 19.1
21.2 24.7 19.3
20.5 23.9 18.7
21.3 24.8 18.5
青霉素27.4 22.0 29.6 27.6 21.7 30.2 26.9 21.8 29.5 26.7 22.3 30.4
3. 某试验研究饮食疗法和药物疗法降低高胆固醇血症患者胆固醇的效果有无差
别，随机选取14名高胆固醇血症患者，随机等分为两组，分别采用饮食疗法和药物疗法治疗一个疗程，测量试验前后患者血胆固醇含量，结果如表9-3所示，请问两种疗法降胆固醇效果有无差异。
表9-3 不同治疗方法下胆固醇变化情况(mmol/L)
编号
饮食治疗药物治疗
试验前试验后试验前试验后
1 6.11 6.00 6.40 6.35
2 7.59 7.28 7.00 7.10
3 6.42 6.30 6.53 6.41
4 6.94 6.64 7.31 6.83
5 9.17 8.42 6.81 6.73
6 7.61 7.22 8.16 7.65
7 6.60 6.65 6.98 6.52
4. 为研究某中学初一年级、初二年级和初三年级学生周日锻炼时间情况，从这三个年级中各随机抽取20名学生，调查得到学生周日锻炼时间如下表9-4所示。问这三个年级学生周日锻炼时间是否不同？
表9-4 初中不同年级学生的锻炼时间(分)
一年级二年级三年级
37.856 59.164 48.778
70.793 36.650 51.057
86.928 38.511 47.609
58.785 48.945 48.428
73.923 29.367 42.814
61.435 41.988 52.303
64.130 69.419 54.327
67.169 33.109 35.591
49.099 38.872 55.013
62.728 53.401 36.084
52.534 62.814 21.307
45.230 38.454 46.419
40.400 32.802 41.836
44.399 37.683 37.481
33.091 48.944 35.781
63.469 48.869 31.354
41.704 41.920 45.190
62.268 46.859 40.924
58.209 65.067 38.877
63.319 38.403 27.259
经数据分析结果见下表：
表9-5 三个年级之间的t检验结果
组别t P
一年级和二年级 2.85 0.0071
一年级和三年级 4.09 0.0002
二年级和三年级 1.12 0.2710
问：(1) 该资料采用的是何种统计分析方法？
(2) 所使用的统计分析方法是否正确？为什么？
(3) 若不正确，可以采用何种正确的统计分析方法。请作分析？
【习题解析】
一、思考题
1. 方差分析的基本思想是把全部观察值的总变异按设计和需要分解成两个或多个组成部分，然后将各部分的变异与随机误差进行比较，来判断总体均数间的差别是否具有统计学意义。应用条件：各样本是相互独立的随机样本，且服从正态分布，各样本方差齐性。
是各观测值与总均值之差的平方和，即总离均差平方和，表示总变异的大2. SS
总
小；SS组间表示组间变异，指各处理组均值大小的不同，是由处理因素和随机误
差造成的；SS
组内
表示组内变异，指同一处理组内部各观察值之间的变异，是由随机误差造成的。
3. 交互效应是指某一因素的效应随另一因素不同水平的变化而变化，称这两个因素之间存在交互效应。例如：某实验研究A、B两种药物在不同剂量情况下对某病的治疗效果，药物A在不同剂量时，B药的效应不同，或者药物B在不同剂量时，A药的效应不同，则A、B两药间存在交互效应。
4. 重复测量资料中的处理因素在受试者间是随机分配的，受试者内的因素即时间因素是固定的，不能随机分配；重复测量资料各受试者内的数据彼此不独立，具有相关性，后一个时间点的数据可能受到前面数据的影响，而且时间点离得越近的数据相关性越高。
5. 方差分析中备择假设是多个总体均数不等或不全相等，拒绝原假设只说明多个总体均数总的来说差别有统计学意义，并不能说明任意两总体均数之间均有差别。因此，若希望进一步了解两两间的差别，需进行多重比较。
二、最佳选择题
1. C
2. C
3. A
4. E
5. D
6. E
7. D
8. E
9. C
三、综合分析题
1. 解：本题采用完全随机设计的方差分析。
表9-6 三种方案治疗一个月后缺铁性贫血患者红细胞的升高数(102/L)
一般疗法一般疗法+A1 一般疗法+A2 合计
X 0.81 1.32 2.35 0.75 1.41 2.50
0.74 1.35 2.43 0.86 1.38 2.36 0.82 1.40 2.44 0.87 1.33 2.46 0.75 1.43 2.40 0.74 1.38 2.43 0.72 1.40 2.21 0.82 1.40 2.45 0.80 1.34 2.38 0.75 1.46 2.40 i n
12 12 12 36 (n ) i X ∑ 9.43 16.60 28.81 54.84(X ∑) i X
0.7858 1.3833 2.4008
2
i X ∑ 7.4385
22.9828
69.2281
99.6494(2
X ∑)
(1) 方差分析
1) 建立检验假设，确定检验水准
0H ：123μμμ==，即三种方案治疗后缺铁性贫血患者红细胞升高数相同 1H ：321μμμ、、不全相同，即三种方案治疗后缺铁性贫血患者红细胞升高
数不全相同
α=0.05 2) 计算检验统计量
22()/(54.84)/36=83.5396C X N ==∑
22()99.6494-83.5396=16.1098SS X X X C =-=-=∑∑总
136135N ν=-=-=总
22()=() i i i i SS n X X X n C =--∑∑∑组间
2229.4316.6028.81()83.539616.0022121212
=++-=
1312k ν=-=-=组间
16.109816.00220.1076SS SS SS =-=-=总组内组间
33N k ν=-=组内 /= 2452.7216/MS SS v F MS SS v =
=
组间组间组间组内
组内组内
方差分析结果见表9-7。
表9-7 完全随机资料的方差分析表
3) 确定P 值，作出统计推断
查F 界值表(附表4)得P <0.01，按α=0.05水准，拒绝0H ，接受1H ，差别有统计学意义，可以认为三种不同方案治疗后患者红细胞升高数的总体均数不全相同。
(2) 用Dunnett-t 法进行多重比较。 1) 建立检验假设，确定检验水准
0H ：任一实验组与对照组的总体均数相同 1H ：任一实验组与对照组的总体均数不同 0.05α= 2) 计算检验统计量
0.0033e MS = 12312n n n ===
0.02T C X X S -===
表9-8 多个样本均数的Dunnett-t 检验计算表 对比组 (1)
均数差值 (2) 标准误 (3) D t
(4) Dunnett -t 界
值 P
一般疗法与一般疗法+A1 0.60 0.02 30 2.32 <0.05 一般疗法与一般疗法
+A2
1.62
0.02
81
2.32
<0.05
3) 确定P 值，作出统计推断
将表9-8中D t 取绝对值，并以计算e MS 时的自由度 33e ν=和实验组数a =k ?1=2(不含对照组)查Dunnett-t 界值表得P 值，列于表中。按α=0.05水准，一般疗法+A1与一般疗法相比，疗效差别有统计学意义，可以认为一般疗法+A1与一般疗法治疗缺铁性贫血疗效不同。同理，可以认为一般疗法+A2与一般疗法治疗缺铁性贫血疗效不同
SPSS 操作 数据录入：
打开SPSS Data Editor 窗口，点击Variable View 标签，定义要输入的变量，group 表示组别 (1为一般疗法，2为一般疗法+药物A 低剂量，3为一般疗法+药物A 高剂量)，x 表示患者红细胞的升高数(102/L)；再点击Data View 标签，录入数据(见图9-1，图9-2)。
图9-1 Variable View 窗口内定义要输入的变量group 和x
图9-2 Data View窗口内录入数据
分析：
Analyze →Compare Means →one-Way ANOVA
Dependent List框：x
Factor框：group
Post Hoc…→Equal Variances Assumed：Dunnett：Control Category：first Continue
Option... →Statistics：Homogeneity of Variances test
Continue
OK
输出结果
Test of Homogeneity of Variances
红细胞升高数(102/L)
Levene
Statistic df1 df2 Sig.
.774 2 33 .469
ANOVA
红细胞升高数(102/L)
Multiple Comparisons
Dependent Variable: 红细胞升高数(102/L) Dunnett t (2-sided) a
a Dunnett t-tests treat one group as a control, and compare all other groups
against it.
2. 解：本题采用析因设计的方差分析。
表9-9 九种不同处理情况下抑菌环的直径(mm)
纸片弥散法1a 挖洞弥散法2a 钢圈弥散法3a
黄芪
1b 大黄2b 青霉素
3b
黄芪
1b
大黄
2b
青霉素
3b
黄芪
1b
大黄 2b
青霉素
3b
合 计
X
27.5 20.9
27.4
24.3 24.6 22.0
20.0 19.1 29.6 27.6 21.2 27.6 24.6 24.7 21.7 21.0 19.3 30.2 26.9 20.5 26.9 25.0 23.9 21.8 20.6 18.7 29.5 27.3 21.3 26.7 27.7 24.8 22.3 20.8 18.5 30.4 i n
4
4
4
4
4
4
4
4
4
36
i X ∑ 109.3 83.9 108.6 101.6 98.0 87.8 82.4 75.6 119.7 866.9
A n
12 12 12
B n
12 12 12
A X ∑
301.8
287.4
277.7
B X ∑
293.3
257.5
316.1
(1) 建立检验假设，确定检验水准 因素A
0H ：三种弥散方法抑菌环直径的总体均数相等 1H ：三种弥散方法抑菌环直径的总体均数不全相等
因素B
0H ：三种药物抑菌环直径的总体均数相等 1H ：三种药物抑菌环直径的总体均数不全相等
AB 交互作用
0H ：不同药物对三种弥散方法的抑菌效果无影响 1H ：不同药物对三种弥散方法的抑菌效果有影响
α=0.05 (2) 计算检验统计量
22()/(866.9)/3620875.4336C X N ===∑
221322.8320875.4336447.3964SS X C =-=-=∑总
136135N ν=-=-=总
22
2
2109.383.9119.7()= (++
+)-20875.4336=436.6339
44
4
i i SS X C =-∑∑处理
18k ν=-=处理
222
2
301.8287.4277.7()24.5072
121212
()20875.4336A A A SS X C =-++∑∑=-=
12A A ν-== 的水平数
24.507
12.25362
A
A A
SS MS ν=
=
= 222
2
293.3257.5316.1()()20875.4336145.4289
121212
B B B SS X n
C =-=++-=∑∑
1 =
2 B B ν= 的水平数-
145.4289
72.71452
B
B B
SS MS ν=
==
266.6978AB A B SS SS SS SS =--=处理
4AB A B νννν=--=处理
266.6978
66.67454
AB
AB AB
SS MS ν=
=
= 10.7625SS SS SS =-=处理总误差
36927N k ν=-=-=误差 10.7625
0.398627
SS MS ν==
=误差
误差误差
12.2536
30.74160.3986A A MS F MS =
==误差
72.7145
182.42470.3986B B MS F MS =
==误差
66.6745
167.27170.3986
AB AB MS F MS =
==误差
方差分析结果见表9-10
表9-10 析因设计资料的方差分析表
变异来源 SS
ν
MS
F
P
总变异
447.3964
35
处 理 436.6339 8
A 24.5072 2 12.2536 30.7416 <0.05
B 145.4289 2 72.7145 182.4247 <0.05 AB 266.6978 4 66.6745 167.2717
<0.05 误 差
10.7625
27
0.3986
(3) 确定P 值，作出统计推断
根据ν，查F 界值表(附表4)得相应P 值。交互作用的F =167.2717，P <0.05，按α=0.05水准，拒绝0H ，接受1H ，差别有统计学意义，可以认为弥散方法和药物抑菌效果两者之间存在交互作用。这时，如要分析A 因素或B 因素的单独效应，应固定在A 因素的基线水平来分析B 因素的作用，或者固定在B 因素的基线水平来分析A 因素的作用。
SPSS 操作 数据录入：
打开SPSS Data Editor 窗口，点击Variable View 标签，定义要输入的变量，g1表示三种弥散方法(1为纸片，2为挖洞，3为钢圈)，g2表示三种药物(1为黄芪，2为大黄，3为青霉素)，x 表示抑菌效果(mm)；点击Data View 标签，录入数据(见图9-3，图9-4)。
图9-3 Variable View 窗口内定义要输入的变量g1、g2和x
图9-4 Data View 窗口内录入数据
分析：
Analyze → General Linear Model → Univariate Dependent List 框：x Fixed Factor 框：g1、g2 OK
Tes ts of Be tw ee n-Subje cts Effe cts
Dependent Var iable: 抑菌效果(mm)436.634a 854.579136.924.00020875.434
120875.43452370.426
.00024.507212.25430.741.000145.429272.714182.420.000266.698466.674167.267.000
10.76327.399
21322.83036447.396
35
Source
Corrected Model I ntercept g1g2
g1 * g2E rror Total
Corrected Total
Type II I Sum of Squares
df
Mean Square F
Sig.R Squared = .976 (Adjusted R Squared = .969)
a.
3. 解：本题可采用t 检验分析，但最好采用重复测量资料的方差分析。因重复
测量资料的方差分析计算量较大，故本题不给出笔算结果，仅提供SPSS 软件分
析结果。
(1) 建立检验假设，确定检验水准
处理因素K
H：饮食疗法和药物疗法降低胆固醇值的总体均数相同
H：饮食疗法和药物疗法降低胆固醇值的总体均数不相同
1
时间因素I
H：试验前后患者胆固醇值的总体均数相同
H：试验前后患者胆固醇值的总体均数不相同
1
交互作用KI
H：时间对两种方法降低胆固醇的效果无影响
H：时间对两种方法降低胆固醇的效果有影响
1
α=0.05
(2) 计算检验统计量
本例是最简单的重复测量设计，时间因素只有两个水平，可以用重复测量的方差分析进行计算，由于时间点只有两个水平，可以不考虑球形对称问题。列出方差分析表见表9-11：
表9-11 重复测量资料的方差分析表
变异来源SS
MS F P
ν
总变异14.197 27
处理0.168 1 0.168 0.153
0.703
个体间误差13.196 12 1.100
时间 0.445 1 0.445
13.921
0.003 处理×时间 0.004 1 0.004
0.122
0.733 个体内误差 0.384 12 0.032
(3) 确定P 值，作出统计推断
时间因素和治疗方法之间的交互作用，F 值为0.122， P 值为0.733，按
α=0.05水准，不拒绝0H ，差异无统计学意义，尚不能认为时间和疗法之间存在交互作用；对于时间因素，F 值为13.921，P 值为0.003，P <0.001，按α=0.05水准，拒绝0H ，接受1H ，差别有统计学意义，可以认为试验前后患者胆固醇的值不同；两种治疗方法的F 值为0.153，P 值为0.703，P >0.05，按α=0.05水准，不拒绝0H ，差异无统计学意义，尚不能认为饮食疗法和药物疗法之间具有差别。
SPSS 操作 数据录入：
打开SPSS Data Editor 窗口，点击Variable View 标签，定义要输入的变量，no 表示编号，g 表示分组(1为饮食疗法，2为药物疗法)，t1表示实验前患者胆固醇的值(mmol/L)，t2表示实验后患者胆固醇的值(mmol/L)；击Data View 标签，录入数据(见图9-5，图9-6)。
图9-5 Variable View窗口内定义要输入的变量no、g、t1和t2
图9-6 Data View窗口内录入数据
分析：
Analyze →General Linear Model →Repeated Measures
Within-Subject Factor name：改为t
Number of Levels：键入2 →Add
Define：
Within-Subjects Variables [t]：t1～t2
Between- Subjects Factor [s]：g
Model：→Custom
→Within-Subjects Model：t
→Between-Subjects Model：g
Continue
方差分析习题与答案
统计学方差分析练习题与答案一、单项选择题 1．在方差分析中，（）反映的是样本数据与其组平均值的差异 A 总离差 B 组间误差 C 抽样误差 D 组内误差 2．是（） A 组内平方和 B 组间平方和 C 总离差平方和 D 因素B的离差平方和 3．是（） A 组内平方和 B 组间平方和 C 总离差平方和 D 总方差 4．单因素方差分析中，计算F统计量，其分子与分母的自由度各为（） A r，n B r-n，n-r C r-1.n-r D n-r，r-1 二、多项选择题 1．应用方差分析的前提条件是（） A 各个总体报从正态分布 B 各个总体均值相等 C 各个总体具有相同的方差 D 各个总体均值不等 E 各个总体相互独立 2．若检验统计量F= 近似等于1，说明（） A 组间方差中不包含系统因素的影响 B 组内方差中不包含系统因素的影响 C 组间方差中包含系统因素的影响 D 方差分析中应拒绝原假设 E方差分析中应接受原假设 3．对于单因素方差分析的组内误差，下面哪种说法是对的？（） A 其自由度为r-1 B 反映的是随机因素的影响 C 反映的是随机因素和系统因素的影响 D 组内误差一定小于组间误差 E 其自由度为n-r 4．为研究溶液温度对液体植物的影响，将水温控制在三个水平上，则称这种方差分析是（） A 单因素方差分析 B 双因素方差分析 C 三因素方差分析 D 单因素三水平方差分析 E 双因素三水平方差分析 三、填空题 1．方差分析的目的是检验因变量y与自变量x是否，而实现这个目的的手段是通过
的比较。 2．总变差平方和、组间变差平方和、组内变差平方和三者之间的关系是。3．方差分析中的因变量是，自变量可以是，也可以是。4．方差分析是通过对组间均值变异的分析研究判断多个是否相等的一种统计方法。 5．在试验设计中，把要考虑的那些可以控制的条件称为，把因素变化的多个等级状态称为。 6．在单因子方差分析中，计算F统计量的分子是方差，分母是方差。 7．在单因子方差分析中，分子的自由度是，分母的自由度是。 四、计算题 1．有三台机器生产规格相同的铝合金薄板，为检验三台机器生产薄板的厚度是否相同，随机从每台机器生产的薄板中各抽取了5个样品，测得结果如下： 机器1：0.236,0.238,0.248,0.245,0.243 机器2：0.257,0.253,0.255,0.254,0.261 机器3：0.258,0.264,0.259,0.267,0.262 问：三台机器生产薄板的厚度是否有显著差异？ 2．养鸡场要检验四种饲料配方对小鸡增重是否相同，用每一种饲料分别喂养了6只同一品种同时孵出的小鸡，共饲养了8周，每只鸡增重数据如下：（克） 配方：370，420，450，490，500，450 配方：490，380，400，390，500，410 配方：330，340，400，380，470，360 配方：410，480，400，420，380，410 问：四种不同配方的饲料对小鸡增重是否相同？ 3．今有某种型号的电池三批，它们分别为一厂、二厂、三厂三个工厂所生产的。为评比其质量，各随机抽取5只电池为样品，经试验测得其寿命（小时）如下： 一厂：40，48，38，42，45 二厂：26，34，30，28，32 三厂：39，40，43，50，50 试在显著性水平下检验电池的平均寿命有无显著的差异。 4．一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试。现从各个班级随机抽取了一些学生，记录其成绩如下： 1班：73，89，82，43，80，73，66，60，45，93，36，77 2班：88，78，48，91，51，85，74，56，77，31，78，62，76，96，80 3班：68，79，56，91，71，71，87，41，59，68，53，79，15
生物统计学答案 第八章 单因素方差分析
第八章单因素方差分析 8.1黄花蒿中所含的青蒿素是当前抗疟首选药物，研究不同播期对黄花蒿种子产量的影响，试验采用完全随机化设计，得到以下结果(kg/小区)[47]： 重复2月19日3月9 3月28日4月13日 日 1 0.26 0.14 0.1 2 0.03 2 0.49 0.24 0.11 0.02 3 0.36 0.21 0.15 0.04 对上述结果做方差分析。 答：所用程序及结果如下： options linesize=76 nodate; data mugwort; do date=1 to 4; do repetit=1 to 3; input yield @@; output; end; end; cards; 0.26 0.49 0.36 0.14 0.24 0.21 0.12 0.11 0.15 0.03 0.02 0.04 ; run; proc anova; class date; model yield=date; means date/duncan; run; One-Way ANOVA Analysis of Variance Procedure Class Level Information Class Levels Values DATE 4 1 2 3 4 Number of observations in data set = 12 One-Way ANOVA Analysis of Variance Procedure Dependent Variable: YIELD Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F Model 3 0.18515833 0.06171944 14.99 0.0012 Error 8 0.03293333 0.00411667 Corrected Total 11 0.21809167
方差分析与回归分析习题答案
第九章 方差分析与回归分析习题参考答案 1. 为研究不同品种对某种果树产量的影响，进行试验，得试验结果（产量）如下表，试分析果树品种对产量是否有显著影响. （0.05(2,9) 4.26F =，0.01(2,9) 8.02F =） 解 ： r=3, 12 444n n 321=++=++=n n , T=120 ,120012 1202 2===n T C 计 算 统 计 值 722 8.53, 389 A A A e e SS f F SS f = =≈…… 方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F 值 临界值 显著性 品种A 72 2 36 8.53 误差 38 9 4.22 总 计 110 11 结论:由于0.018.53(2,9)8.02, A F F ≈>=故果树品种对产量有特别显著影响. 2. 解 ： 22..4,3,12,180122700 l m n lm C x n ======= 计算 统 计 值 90310.52 51.43,3.56 3.56 A A B B A B e e e e S f S f F F S f S f = =≈==≈ 方差来源 平方和 自由度 F 值 临界值 显著性 品种 试验结果 行和??=i x T i 行均值.i x A 1 10 7 13 10 40 10 A 2 12 13 15 12 52 13 A 3 8 4 7 9 28 7 试验 结果 燃料B B 1 B 2 B 3 推进器 A A 1 14 13 12 39 13 A 2 18 16 14 48 16 A 3 13 12 11 36 12 A 4 20 18 19 57 19 65 59 56 180 16.25 14.75 14 15
方差分析
方差分析（Analysis of variance，简称ANOVA）为资料分析中常见的统计模型，主要为探讨连续型（Continuous）资料型态之因变量（Dependent variable）与类别型资料型态之自变量（Independent variable）的关系，当自变项的因子中包含等于或超过三个类别情况下，检定其各类别间平均数是否相等的统计模式，广义上可将T检定中变异数相等（Equality of variance）的合并T检定（Pooled T-test）视为是方差分析的一种，基于T检定为分析两组平均数是否相等，并且采用相同的计算概念，而实际上当方差分析套用在合并T检定的分析上时，产生的F值则会等于T检定的平方项。 方差分析依靠F-分布为机率分布的依据，利用平方和（Sum of square）与自由度（Degree of freedom）所计算的组间与组内均方（Mean of square）估计出F值，若有显著差异则考量进行事后比较或称多重比较（Multiple comparison），较常见的为Scheffé's method、Tukey-Kramer method与Bonferroni correction，用于探讨其各组之间的差异为何。 在方差分析的基本运算概念下，依照所感兴趣的因子数量而可分为单因子方差分析、双因子方差分析、多因子方差分析三大类，依照因子的特性不同而有三种型态，固定效应方差分析（fixed-effect analysis of variance）、随机效应方差分析（random-effect analysis of variance）与混合效应方差分析（Mixed-effect analaysis of variance），然而第三种型态在后期发展上被认为是Mixed model的分支，关于更进一步的探讨可参考Mixed model 的部份。 方差分析优于两组比较的T检定之处，在于后者会导致多重比较（multiple comparisons）的问题而致使第一型错误（Type one error）的机会增高。因此比较多组平均数是否有差异则是方差分析的主要命题。 在统计学中，方差分析（ANOVA）是一系列统计模型及其相关的过程总称，其中某一变量的方差可以分解为归属于不同变量来源的部分。其中最简单的方式中，方差分析的统计测试能够说明几组数据的平均值是否相等，因此得到两组的t测试。在做多组双变量t测试的时候，错误的几率会越来越大，特别是I型错误。因此，方差分析只在二到四组平均值的时候比较有效。 背景和名称[ 方差分析（ANOVA）是一种特殊形式的统计假设测试，广泛应用于实验数据的分析中。统计假设测试是一种根据数据进行决策的方法。测试结果（通过原假设进行计算）如果不仅仅是因为运气，则在统计学上称为显著。统计显著的结果（当可能性的p值小于临界的“显著值”）则可以推翻原假设。 在方差分析的经典应用中，原假设是假设所有数据组都是整体测试对象的完全随机抽样。这说明所有方法都有相同效果（或无效果）。推翻原假设说明不同的方法，会得到不同的效果。在操作中，假设测试限定I类型错误（假阳性导致的假科学论断）达到某一具体的值。实验者也希望II型错误（假阴性导致的缺乏科学发现）有限。II型错误受到多重因素作用，例如取样范围（很可能与试验成本有关），相关度（当实验标准高的时候，忽视发现的可能性也大）和效果范围（当对一般观察者来说效果明显，II型错误发生率就低）。 ANOVA的模式型态[编辑]
方差分析选择题及答案
第10章 方差分析与试验设计 三、选择题 1.方差分析的主要目的是判断 （ ）。 Ａ. 各总体是否存在方差 Ｂ. 各样本数据之间是否有显著差异 Ｃ. 分类型自变量对数值型因变量的影响是否显著 Ｄ. 分类型因变量对数值型自变量的影响是否显著 2.在方差分析中，检验统计量Ｆ是 （ ）。 Ａ. 组间平方和除以组内平方和 Ｂ. 组间均方除以组内均方 Ｃ. 组间平方除以总平方和 Ｄ. 组间均方除以总均方 3.在方差分析中，某一水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 随机误差 Ｂ. 非随机误差 Ｃ. 系统误差 Ｄ. 非系统误差 4.在方差分析中，衡量不同水平下样本数据之间的误差称为 （ ）。 Ａ. 组内误差 Ｂ. 组间误差 Ｃ. 组内平方 Ｄ. 组间平方 5.组间误差是衡量不同水平下各样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 6.组内误差是衡量某一水平下样本数据之间的误差，它 （ ）。 Ａ. 只包括随机误差 Ｂ. 只包括系统误差 Ｃ. 既包括随机误差，也包括系统误差 Ｄ. 有时包括随机误差，有时包括系统误差 7.在下面的假定中，哪一个不属于方差分析中的假定 （ ）。 Ａ. 每个总体都服从正态分布 Ｂ. 各总体的方差相等 Ｃ. 观测值是独立的 Ｄ. 各总体的方差等于0 8.在方差分析中，所提出的原假设是210:μμ=H = ···=k μ，备择假设是（ ） Ａ. ≠≠H 211:μμ···k μ≠ Ｂ. >>H 211:μμ···k μ> Ｃ. < 方差分析简介（一） 方差分析是我们从心理统计这门课就提到一个基本的统计方法。但或许很多人到做研究生毕业论文的时候，还没搞清楚到底方差分析是怎么一回事。我们的老师对很多基本的地方也是含糊不清。我就我几年学习和应用的理解，粗略讲一下方差分析是怎么回事。 什么是方差分析？就是对方差的分析。有人说你这不废话么？这还真不是废话。t检验就不是对方差的分析。独立样本t检验是对两个样本均值的差异进行检验，而相关样本t检验是对两个样本差异的均值进行检验。而方差分析就是对引起样本数据出现差异的若干因素影响孰强孰弱的分析。换句话说，当样本数据差异较小的时候，t检验会认为不存在差异，但方差分析可以从这较小的差异中分析出实验处理和随机误差谁对这个差异贡献更大。所以说在控制水平一定的情况下，方差分析更容易得到显著性水平高，但power较低的结果。（因为虽然差异贡献大，但本身差异不大。翻译为人话就是这个研究结果虽然显著但没什么意义。） 既然是对方差的分析，那么研究者对数据就有一定的要求。不是什么样的数据都适合做方差分析。这其中最重要最重要的，违反了就无从可谈的就是至少要等距数据(interval data)。因为至少等距数据才能做参数检验。称名数据(nominal data)和顺序数据(ordinal data)只能做非参数检验。既然要分析方差，就得有均值，有方差。 第二重要的是要正态分布的数据。为什么要强调数据正态分布呢？这要从平均数说起，平均数，从定义上来说，是一组数据中唯一对其离均差之和为0的数值。如果数据呈正态分布，平均数就是一组数据中最具有代表性的那个值。好比说一次考试全班的平均分为81.6分，我们大概可以知道有两个事实：1）多数同学考试分数是七八十分，2）如果你高于82分说明你考的还算不错，低于81分就说明考得不够理想。这个高低差距越大，这个结论的信心就越强。这两个结论是基于考试分数是基本上的正态分布推断出来的。如果不是正态分布怎么样呢？拿工资说话，以我所在的圣安东尼奥市为例，这个城市适合工作年龄的人，大约有55%的“蓝领”，30%的“白领”，14%学生或自由职业者，和1%的绝对高收入者。这个差别有多大呢？“蓝领”的税后工资大约是年收入25,000～45,000，白领大约是50,000～80,000，而超高收入者，例如蒂姆邓肯同学，他的税后收入大约是20,000,000。如果算个平均数，统计局说圣安东尼奥市人民平均收入高达50,000，大家过着幸福美满的生活。那55%的蓝领和14%的学生肯定想抽这个发 第九章 t 检验和方差分析 在科研中，我们往往是根据样本之间的差异，去推断其总体之间是否有差异。样本差异可能是由抽样误差所致，也可能是由本质的不同所致。应用统计学方法来处理这类问题，称为“差异的显著性检验”。若已知总体为正态分布，进行差异的显著性检验，称为“参数性检验”，SAS 中MEANS 、TTEST 、ANOVA 、GLM 等均属此类检验；若未知总体分布，进行差异的显著性检验，称为“非参数性检验”，SAS 中采用NPAR1WAY 过程。 第一节 t 检验 9.1.1 简介 t 检验是用于两组数据均值间差异的显著性检验。它常用于以下场合： 1．样本均值与总体(理论)均值差别的显著性检验 检验所测得的一组连续资料是否抽样于均值已知的总体 根据大量调查的结果或以往的经验，可得到某事物的平均数(例如生理生化的正常值)，以此作总体均值看待。 SAS 中采用MEANS 过程，计算出观察与总体均值的差值，再对该差值的均值进行t 检验。 2.同一批对象实验前后差异的显著性检验(自身对照比较)或配对资料差异的显著性检验(配对比较检验) 比如，在医学研究中，我们常常对同一批病人治疗前后的某些生理生化指标(如血压、体温等)进行测量，以观察疗效；或对同一批人群进行预防接种，以观察预防效果；或把实验对象配成对进行测定，比较其实验结果。 SAS 中采用MEANS 过程，计算出两样本观察的差值(如治疗前、后实验数据的差值)，再对该差值的均值进行t 检验。 3．两样本均值差异的显著性检验 作两样本均值差异比较的两组原始资料各自独立，没有成对关系。两组样本所包含的个数可以相等，也可以不相等。每组观测值都是来自正态总体的样本。 设1X 与2X 为两样本的均值，1n 与2n 为两样本数，21s ，22s 为两样本方差，分两种情形，其数学模型为： (1)方差齐(相等)时： ) /1/1(212 21n n s x x t +-= )2/(])1()1[(212 222112-+-+-=n n s n s n s 统计中经常会用到各种检验，如何知道何时用什么检验呢，根据结合自己的工作来说一说： t检验有单样本t检验，配对t检验和两样本t检验。 单样本t检验：是用样本均数代表的未知总体均数和已知总体均数进行比较，来观察此组样本与总体的差异性。 配对t检验：是采用配对设计方法观察以下几种情形，1，两个同质受试对象分别接受两种不同的处理；2,同一受试对象接受两种不同的处理；3，同一受试对象处理前后。 u检验：t检验和就是统计量为t,u的假设检验，两者均是常见的假设检验方法。当样本含量n较大时，样本均数符合正态分布，故可用u检验进行分析。当样本含量n小时，若观察值x符合正态分布，则用t检验（因此时样本均数符合t 分布），当x为未知分布时应采用秩和检验。 F检验又叫方差齐性检验。在两样本t检验中要用到F检验。 从两研究总体中随机抽取样本，要对这两个样本进行比较的时候，首先要判断两总体方差是否相同，即方差齐性。若两总体方差相等，则直接用t检验，若不等，可采用t'检验或变量变换或秩和检验等方法。 其中要判断两总体方差是否相等，就可以用F检验。 简单的说就是检验两个样本的方差是否有显著性差异这是选择何种T检验（等方差双样本检验，异方差双样本检验）的前提条件。 在t检验中，如果是比较大于小于之类的就用单侧检验，等于之类的问题就用双侧检验。 卡方检验 是对两个或两个以上率（构成比）进行比较的统计方法，在临床和医学实验中应用十分广泛，特别是临床科研中许多资料是记数资料，就需要用到卡方检验。方差分析 用方差分析比较多个样本均数,可有效地控制第一类错误。方差分析(analysis of variance,ANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首先提出，以F命名其统计量，故方差分析又称F检验。 其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。我们要学习的主要内容包括 单因素方差分析即完全随机设计或成组设计的方差分析（one-way ANOVA）：用途：用于完全随机设计的多个样本均数间的比较，其统计推断是推断各样本所代表的各总体均数是否相等。完全随机设计（completely random design）不考虑个体差异的影响，仅涉及一个处理因素，但可以有两个或多个水平，所以亦称单因素实验设计。在实验研究中按随机化原则将受试对象随机分配到一个处理因 第五节方差分析的SPSS操作 一、完全随机设计的单因素方差分析 1．数据 采用本章第二节所用的例1中的数据，在数据中定义一个group变量来表示五个不同的组，变量math表示学生的数学成绩。数据输入格式如图6－3（为了节省空间，只显示部分数据的输入）： 图 6-3 单因素方差分析数据输入 将上述数据文件保存为“6-6-1.sav”。 2．理论分析 要比较不同组学生成绩平均值之间是否存在显著性差异，从上面数据来看，总共分了5个组，也就是说要解决比较多个组（两组以上）的平均数是否有显著的问题。从要分析的数据来看，不同组学生成绩之间可看作相互独立，学生的成绩可以假设从总体上服从正态分布，在各组方差满足齐性的条件下，可以用单因素的方差分析来解决这一问题。单因素方差分析不仅可以检验多组均值之间是否存在差异，同时还可进一步采取多种方法进行多重比较，发现存在差异的究竟是哪些均值。 3．单因素方差分析过程 （1）主效应的检验 假如我们现在想检验五组被试的数学成绩（math）的均值差异是否显著性，可依下列操作进行。 ①单击主菜单Analyze/Compare Means/One-Way Anova…，进入主对话框，请把math选入到因变量表列（Dependent list）中去，把group选入到因素（factor）中去，如图6-4所示： 图6-4：One-Way Anova主对话框 ②对于方差分析，要求数据服从正态分布和不同组数据方差齐性，对于正态性的假设在后面非参数检验一章再具体介绍；One-Way Anova可以对数据进行方差齐性的检验，单击铵钮Options，进入它的主对话框，在Homogeneity-of-variance项上选中即可。设置如下图6-5所示： 图6-5：One-Way Anova的Options对话框 点击Continue，返回主对话框。 ③在主对话框中点击OK，得到单因素方差分析结果 4．结果及解释 （1）输出方差齐性检验结果 Test of Homogeneity of Variances MATH Levene Statistic df1 df2 Sig. 1.238 4 35 .313 上表结果显示，Levene方差齐性检验统计量的值为1.238，Sig=0.313>0.05，所以五个组的方差满足方差齐性的前提条件，如果不满足方差齐性的前提条件，后面方差分析计算F统计量的方法要稍微复杂，本章我们只考虑方差齐性条件满足的情况。 （2）输出方差分析主效应检验结果（方差分析表） 第九章方差分析 【思考与练习】 一、思考题 1. 方差分析的基本思想及其应用条件是什么？ 2. 在完全随机设计方差分析中SS SS SS 、、各表示什么含义？ 总组间组内 3. 什么是交互效应？请举例说明。 4. 重复测量资料具有何种特点？ 5. 为什么总的方差分析的结果为拒绝原假设时，若想进一步了解两两之间的差别需要进行多重比较？ 二、最佳选择题 1. 方差分析的基本思想为 A. 组间均方大于组内均方 B. 误差均方必然小于组间均方 C. 总变异及其自由度按设计可以分解成几种不同来源 D. 组内方差显著大于组间方差时，该因素对所考察指标的影响显著 E. 组间方差显著大于组内方差时，该因素对所考察指标的影响显著 3. 完全随机设计的方差分析中，下列式子正确的是 4. 总的方差分析结果有P<0.05，则结论应为 A. 各样本均数全相等 B. 各总体均数全相等 C. 各样本均数不全相等 D. 各总体均数全不相等 E. 至少有两个总体均数不等 5. 对有k 个处理组，b 个随机区组的资料进行双因素方差分析，其误差的自由度为 A. kb k b -- B. 1kb k b --- C. 2kb k b --- D. 1kb k b --+ E. 2kb k b --+ 6. 2×2析因设计资料的方差分析中，总变异可分解为 A. MS MS MS =+B A 总 B. MS MS MS =+B 总误差 C. SS SS SS =+B 总误差 D. SS SS SS SS =++B A 总误差 E. SS SS SS SS SS =+++B A AB 总误差 7. 观察6只狗服药后不同时间点(2小时、4小时、8小时和24小时)血药浓度的变化，本试验应选用的统计分析方法是 A. 析因设计的方差分析 第六章数值变量资料的统计分析 数值变量资料又称计量资料，通常是指每个观察单位某项指标量的大小，一般具有计量单位。这类资料按分析的内容一般可分为两种：一种是比较几种处理之间的效应，简单地讲就是比较各处理组观察值均数、方差的大小；另一种是寻找指标间的关系，即某个（或某些）指标的取值是否受其它指标的影响。本章主要介绍不同设计类型的数值变量资料的比较。 §6.1 样本均数与总体均数比较的 t 检验 t检验亦称 student's t 检验，主要用于下列三种情况：(1)样本均数与总体均数比较；(2)配对数值变量资料的比较；(3)两样本均数的比较。 Stata用于样本均数与总体均数比较的 t 检验的命令是： ttest 变量名= #val 这里，＃val 表示总体均数。 命令中可以选用 if 语句和 in 语句对要分析的内容加一些条件限制。 对已知样本含量、均数和标准差的资料，欲将其与某总体均数进行比较，Stata 还提供了更为简洁的命令是： ttesti #obs #mean #sd #val 这里，#obs 表示样本含量，#mean 表示样本均数，#sd 表示样本标准差， #val 表示总体均数。 §6.2 两样本均数比较的t检验 一、配对设计ｔ检验 医学研究中常将受试对象配成对子，对每对中的两个受试对象分别给予两种不同的处理，观察两种处理的结果是否一致，称为配对(设计)研究。有时以同一个受试对象先后给予两种不同的处理，观察两种处理的结果是否相同，这种配对称为自身配对。配对设计的优点是能消除或部分消除个体间的差异，使比较的结果更能真实地反映处理的效应。 配对t检验首先计算每对结果之差值，再将差值均数与0作比较。如两种处理的效应相同，则差值与0没有显著性差异。 检验假设 H0为：两种处理的效应是相同，或总体差值均数为 0。 stata用于配对样本t检验的命令是： Ttest变量1=变量2 这里，这里“变量 1”和“变量 2”是成对输入的配对样本。 ttest 命令容许使用[if 表达式]和[in范围]条件限制。 或者： gen d=0 ttest d=0 二、成组设计ｔ检验 基于MATLAB 的方差分析 （重庆科技学院 数理学院） 摘要：方差分析是重要的，应用广泛的实验数据统计分析方法，其实质是检验多个变量均 值的一致性。运用MATLAB 软件进行单因子及双因子方差分析。 关键字：方差分析，MATLAB,单因子，双因子。 1 引言 方差分析是分析试验（或观测）数据的一种统计方法。在工农业生产和科学研究中， 经常要分析各种因素及因素之间的交互作用对研究对象某些指标值的影响。在方差分析中，把试验数据的总波动（总变差或总方差）分解为由所考虑因素引起的波动（各因素的变差）和随机因素引起的波动（误差的变差），然后通过分析比较这些变差来推断哪些因素对所考察指标的影响是显著的，哪些是不显著的。 2 单因子方差分析 某个可控制因素A 对结果的影响大小可通过如下实验来间接地反映，在其它所有可控制因素都保持不变的情况下，只让因素A 变化，并观测其结果的变化，这种试验称为“单因素试验”。因素A 的变化严格控制在几个不同的状态或等级上进行变化，因素A 的每个状态或等级成为因素A 的一个水平。若因素A 设定了s 个水平，则分别记为 A 1，A 2，…，A s 。 数学模型： 2(,),1,2,...,.i i X N i s μσ= (1) 显著性影响问题转化为因素A 不同水平下各随机变量总体的均值是否相等问题，即检验假设 012:s H μμμ== =是否成立 (2) 记号 ij x ： 不同水平下的试验结果，i=1,2,…,s ；j=1,2,…,n i ； n=n 1+n 2+…+n s ：试验总数； 总平均：11 1i n s ij i j x x n ===∑∑； t检验和方差分析的前提条件及应用误区 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289- t检验和方差分析的前提条件及应用误区用于比较均值的t检验可以分成三类，第一类是针对单组设计定量资料的；第二类是针对配对设计定量资料的；第三类则是针对成组设计定量资料的。后两种设计类型的区别在于事先是否将两组研究对象按照某一个或几个方面的特征相似配成对子。无论哪种类型的t检验，都必须在满足特定的前提条件下应用才是合理的。 若是单组设计，必须给出一个标准值或总体均值，同时，提供一组定量的观测结果，应用t检验的前提条件就是该组资料必须服从正态分布；若是配对设计，每对数据的差值必须服从正态分布；若是成组设计，个体之间相互独立，两组资料均取自正态分布的总体，并满足方差齐性。之所以需要这些前提条件，是因为必须在这样的前提下所计算出的t统计量才服从t分布，而t检验正是以t分布作为其理论依据的检验方法。 值得注意的是，方差分析与成组设计t检验的前提条件是相同的，即正态性和方差齐性。t检验是目前医学研究中使用频率最高，医学论文中最常见到的处理定量资料的假设检验方法。t检验得到如此广泛的应用，究其原因，不外乎以下几点：现有的医学期刊多在统计学方面作出了要求，研究结论需要统计学支持；传统的医学统计教学都把t检验作为假设检验的入门方法进行介绍，使之成为广大医学研究人员最熟悉的方法；t 检验方法简单，其结果便于解释。简单、熟悉加上外界的要求，促成了t检验的流行。但是，由于某些人对该方法理解得不全面，导致在应用过程中出现不少问题，有些甚至是非常严重的错误，直接影响到结论的可靠性。将这些问题归类，可大致概括为以下两种情况：不考虑t检验的应用前提，对两组的比较一律用t检验；将各种实验设计类型一律视为多个单因素两水平设计，多次用t检验进行均值之间的两两比较。以上两种情况，均不同程度地增加了得出错误结论的风险。而且，在实验因素的个数大于等于2时，无法研究实验因素之间的交互作用的大小。 ．在方差分析中，（）反映地是样本数据与其组平均值地差异 总离差组间误差 抽样误差组内误差 ．是（） 组内平方和组间平方和 总离差平方和因素地离差平方和 ．是（） 组内平方和组间平方和 总离差平方和总方差 ．单因素方差分析中，计算统计量，其分子与分母地自由度各为（） ，， ， 二、多项选择题 ．应用方差分析地前提条件是（） 各个总体报从正态分布各个总体均值相等各个总体具有相同地方差 各个总体均值不等各个总体相互独立 ．若检验统计量近似等于，说明（） 组间方差中不包含系统因素地影响组内方差中不包含系统因素地影响 组间方差中包含系统因素地影响方差分析中应拒绝原假设 方差分析中应接受原假设 ．对于单因素方差分析地组内误差，下面哪种说法是对地？（） 其自由度为反映地是随机因素地影响 反映地是随机因素和系统因素地影响组内误差一定小于组间误差 其自由度为 ．为研究溶液温度对液体植物地影响，将水温控制在三个水平上，则称这种方差分析是（） 单因素方差分析双因素方差分析三因素方差分析 单因素三水平方差分析双因素三水平方差分析 三、填空题 ．方差分析地目地是检验因变量与自变量是否，而实现这个目地地手段是通过地比较. ．总变差平方和、组间变差平方和、组内变差平方和三者之间地关系是. ．方差分析中地因变量是，自变量可以是，也可以是.个人收集整理勿做商业用途 ．方差分析是通过对组间均值变异地分析研究判断多个是否相等地一种统计方法. ．在试验设计中，把要考虑地那些可以控制地条件称为，把因素变化地多个等级状态称为.个人收集整理勿做商业用途 ．在单因子方差分析中，计算统计量地分子是方差，分母是方差. ．在单因子方差分析中，分子地自由度是，分母地自由度是. 四、计算题 ．有三台机器生产规格相同地铝合金薄板，为检验三台机器生产薄板地厚度是否相同，随机从每台机器生产地薄板中各抽取了个样品，测得结果如下：个人收集整理勿做商业用途机器： 机器： 方差分析实例分析 摘要：为研究货架的高度和宽度两个因素的影响，本文基于shelf 数据，分别对高度和宽度进行方差分析。首先对数据进行高度和宽度进行分组，并进行描述性统计分析。其次，利用Bartlett 检验进行方差其次性检验，以检验数据在不同的水平下方差是否相同。最后，利用aov()函数进行单因素方差分析、交互作用的双因素方差分析。其结果表明：单因素方差分析结果表明：高度的bottom 、middle 、top 三个水平设置要求不相同，宽度的reg 、wide 两个水平设置要求相同。三个高度设置的需求和两个宽度设置的要求之间的关系是一样的。 关键词：方差其次性检验；方差分析；高度；宽度；货架 1 引言 方差分析是在20世纪20年代发展起来的一种统计方法，它是由英国统计学家费希尔在进行实验设计时为解释实验数据而首先引入的。从形式上看，方差分析是比较多个总体的均值是否相等；但是其本质上是研究变量之间的相互关系。方差分析主要用于研究一个数值因变量与一个或多个分类自变量的关系。方差分析（analysis of variance ,ANOV A ）就是通过检验各总体的均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。 本文基于shelf 数据，分别对高度和宽度进行方差分析。首先对数据进行高度和宽度进行分组，并进行描述性统计分析。其次，利用Bartlett 检验进行方差其次性检验，以检验数据在不同的水平下方差是否相同。最后，利用aov()函数进行单因素方差分析和有交互作用的双因素方差分析，以说明三个层次高度的要求是否相同，两个层次的宽度要求是否相同，以 及宽度设置的需求和高度之间的关系。 2货架数据描述性统计分析 对shelf 数据进行三个层次高度进行分组，分别分为bottom 、middle 、top 三个层次。对宽度进行reg 、wide 两个层次进行分组。表1给出了shelf 数据的原始数据表，表2给出了高度 三个层次的描述性统计结果，表3给出了宽度两个层次的描述性统计结果。 从表2可看出，bottom 的平均值为55.8，方差为6.136；middle 的平均值为77.2，方差为9.628；top 的平均值为51.5，方差为2.716。其结果表明：三个水平的货架高度平均值存在差异，但是其方差也有差别。表3可看出，reg 的平均值为60.8，方差为129.4050；wide 的平均值为62.2，方差为165.2775。货架的宽度wide 的方差较大，其说明货架的宽度wide 的波动性较大。 height width Mean reg wide bottom 58.20 55.70 55.8 bottom 53.70 52.50 bottom 55.80 58.90 Mean 55.90 55.70 middle 73.00 76.20 77.2 middle 78.10 78.40 middle 75.40 82.10 Mean 75.50 78.90 T检验及其与方差分析的 区别 Last revision on 21 December 2020 T检验及其与方差分析的区别 假设检验是通过两组或多组的样本统计量的差别或样本统计量与总体参数的差异来推断他们相应的总体参数是否相同。 t 检验：1.单因素设计的小样本（n＜50）计量资料 2.样本来自正态分布总体 3.总体标准差未知 4.两样本均数比较时，要求两样本相应的总体方差相等 ?根据研究设计t检验可由三种形式： –单个样本的t检验 –配对样本均数t检验(非独立两样本均数t检验) –两个独立样本均数t检验 （1）单个样本t检验 ?又称单样本均数t检验(one sample t test),适用于样本均数与已知总体均数μ0的比较,其比较目的是检验样本均数所代表的总体均数μ是否与已知总体均数μ0有差 别。 ?已知总体均数μ0一般为标准值、理论值或经大量观察得到的较稳定的指标值。 ?单样t检验的应用条件是总体标准未知的小样本资料( 如n<50),且服从正态分布。（2）配对样本均数t检验 ?配对样本均数t检验简称配对t检验(paired t test),又称非独立两样本均数t检验,适用于配对设计计量资料均数的比较,其比较目的是检验两相关样本均数所代表的未知总体均数是否有差别。 ?配对设计(paired design)是将受试对象按某些重要特征相近的原则配成对子，每对中的两个个体随机地给予两种处理。 ?应用配对设计可以减少实验的误差和控制非处理因素，提高统计处理的效率。 ?配对设计处理分配方式主要有三种情况： ①两个同质受试对象分别接受两种处理，如把同窝、同性别和体重相近的动物配成一对，或把同性别和年龄相近的相同病情病人配成一对； ②同一受试对象或同一标本的两个部分，随机分配接受两种不同处理，如例资料； ③自身对比(self-contrast)。即将同一受试对象处理（实验或治疗）前后的结果进行比较，如对高血压患者治疗前后、运动员体育运动前后的某一生理指标进行比较。 （3）两独立样本t检验 两独立样本t 检验(two independent samples t-test)，又称成组t 检验。 ?适用于完全随机设计的两样本均数的比较,其目的是检验两样本所来自总体的均数是否相等。 ?完全随机设计是将受试对象随机地分配到两组中，每组对象分别接受不同的处理，分析比较处理的效应。或分别从不同总体中随机抽样进行研究。 ?两独立样本t检验要求两样本所代表的总体服从正态分布N(μ1，σ12)和N(μ2，σ 2)，且两总体方差σ12、σ22相等,即方差齐性(homogeneity of variance, 2 homoscedasticity)。 ?若两总体方差不等,即方差不齐，可采用t’检验,或进行变量变换,或用秩和检验方法处理。 t 检验中的注意事项 1.假设检验结论正确的前提作假设检验用的样本资料，必须能代表相应的总 方差分析习题与答案标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 统计学方差分析练习题与答案一、单项选择题 1．在方差分析中，（）反映的是样本数据与其组平均值的差异 A 总离差 B 组间误差 C 抽样误差 D 组内误差 2．是（） A 组内平方和 B 组间平方和 C 总离差平方和 D 因素B的离差平方和 3．是（） A 组内平方和 B 组间平方和 C 总离差平方和 D 总方差 4．单因素方差分析中，计算F统计量，其分子与分母的自由度各为（） A r，n B r-n，n-r C D n-r，r-1 二、多项选择题 1．应用方差分析的前提条件是（） A 各个总体报从正态分布 B 各个总体均值相等 C 各个总体具有相同的方差 D 各个总体均值不等 E 各个总体相互独立 2．若检验统计量F= 近似等于1，说明（） A 组间方差中不包含系统因素的影响 B 组内方差中不包含系统因素的影响 C 组间方差中包含系统因素的影响 D 方差分析中应拒绝原假设 E方差分析中应接受原假设 3．对于单因素方差分析的组内误差，下面哪种说法是对的（） A 其自由度为r-1 B 反映的是随机因素的影响 C 反映的是随机因素和系统因素的影响 D 组内误差一定小于组间误差 E 其自由度为n-r 4．为研究溶液温度对液体植物的影响，将水温控制在三个水平上，则称这种方差分析是（） A 单因素方差分析 B 双因素方差分析 C 三因素方差分析 D 单因素三水平方差分析 E 双因素三水平方差分析 三、填空题 1．方差分析的目的是检验因变量y与自变量x是否，而实现这个目的的手段是通过的比较。 2．总变差平方和、组间变差平方和、组内变差平方和三者之间的关系是。3．方差分析中的因变量是，自变量可以是，也可以是。4．方差分析是通过对组间均值变异的分析研究判断多个是否相等的一种统计方法。 5．在试验设计中，把要考虑的那些可以控制的条件称为，把因素变化的多个等级状态称为。 6．在单因子方差分析中，计算F统计量的分子是方差，分母是方差。7．在单因子方差分析中，分子的自由度是，分母的自由度是。 四、计算题 1．有三台机器生产规格相同的铝合金薄板，为检验三台机器生产薄板的厚度是否相同，随机从每台机器生产的薄板中各抽取了5个样品，测得结果如下： 机器1：,,,, 方差分析 1.分发统一的含铜0.100 mg/L的样品到6个实验室，各实验室5次测定值如表，试比较不 解：以铜测定值为观测量，实验室为控制变量，通过单因素方差分析分别对实验室的影响进行分析。 操作：分析、一般线性模型、单变量 用SPSS验证： 1、打开SPSS输入数据，点击分析→一般线性模型→单变量，打开单变量对话框； 2、选择“铜测定值”进入因变量框，选择“实验室”进入固定因子框； 3、打开“两两比较”框，选择“实验室”进入两两比较实验框，在嘉定方差齐性中 选择“LSD”、“S-N-K”、“Ducan”,点击继续； 4、点击确定，运行结果，如下图。1-1 主体间因子 N 实验室1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 (I-J) 下限上限 LSD 1 2 .00000 .00120 3 1.000 -.00248 .00248 3 -.00300*.001203 .020 -.00548 -.00052 4 .00100 .001203 .414 -.00148 .00348 5 .00000 .001203 1.000 -.00248 .00248 6 .00160 .001203 .196 -.00088 .00408 2 1 .00000 .001203 1.000 -.00248 .00248 3 -.00300*.001203 .020 -.00548 -.00052 4 .00100 .001203 .414 -.00148 .00348 5 .00000 .001203 1.000 -.00248 .00248 6 .00160 .001203 .196 -.00088 .00408 3 1 .00300*.001203 .020 .0005 2 .00548 2 .00300*.00120 3 .020 .00052 .00548 4 .00400*.001203 .003 .00152 .00648 5 .00300*.001203 .020 .00052 .00548 6 .00460*.001203 .001 .00212 .00708 4 1 -.00100 .001203 .414 -.00348 .00148 2 -.00100 .00120 3 .41 4 -.00348 .00148 3 -.00400*.001203 .003 -.00648 -.00152 5 -.00100 .001203 .414 -.00348 .00148 6 .00060 .001203 .622 -.00188 .00308 5 1 .00000 .001203 1.000 -.00248 .00248 2 .00000 .00120 3 1.000 -.00248 .00248 3 -.00300*.001203 .020 -.00548 -.00052 4 .00100 .001203 .414 -.00148 .00348 6 .00160 .001203 .196 -.00088 .00408 6 1 -.00160 .001203 .196 -.00408 .00088 2 -.00160 .00120 3 .196 -.00408 .00088 3 -.00460*.001203 .001 -.00708 -.00212 4 -.00060 .001203 .622 -.00308 .00188 5 -.00160 .001203 .19 6 -.00408 .00088 基于观测到的均值。 误差项为均值方 (错误) = 3.62E-006。 *. 均值差值在 0.05 级别上较显著。方差分析简介
(整理)sas第九章 t检验和方差分析.
t检验、u检验、卡方检验、F检验、方差分析
spss方差分析操作示范-步骤-例子
第9章方差分析思考与练习-带答案
t检验与方差分析
基于MATLAB的方差分析
t检验和方差分析的前提条件及应用误区精编版
方差分析习题与答案
方差分析实例分析
T检验及其与方差分析的区别
方差分析习题与答案
方差分析