《运筹学》知识点全总结

一、线性规划：基本概念

1、下面的表格总结了两种产品A 和B 的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S ：

满足所有线性规划假设。

（1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型； （2）用代数方法建立一个相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。

5、普里默（Primo ）保险公司引入了两种新产品：特殊风险保险和抵押。每单位特殊风险保险的利润是5美元，每单位抵押是2美元。

管理层希望确定新产品的销售量使得总期望利润最大。工作的要求如下：

（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。 （2）用代数形式建立相同的模型。

8、拉尔夫·艾德蒙（Ralph Edmund ）喜欢吃牛排和土豆，因此他决定将这两种食品作为正餐的全部（加上一些饮料和补充维生素的食品）。拉尔夫意识到这不是最健康的膳食结构，因此他想要确定两种食品的食用量多少是合适的，以满足一些主要营养的需求。他获得了以下营养和成本的信息：

拉尔夫想确定牛排和土豆所需要的份数（可能是小数），以最低的成本满足这些需求。

（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。 （2）用代数形式建立相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。 二、线性规划的what-if 分析

1、G.A.T 公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为3美元。因为该产品具有极大的需求，公司决定增加该产品原来每天1000件的生产量。但是从卖主那里可以购得的玩具配件（A,B ）是有限的。每一玩具需要两个A 类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每天2000增加到3000。同时，每一玩具需要一个B 类

资源 每单位产品资源使用量 可用资源

产品A 产品B Q R S 2 1 3 1 2 3 2 2 4 利润/单位 3000美元 2000美元 部门 每单位工时 可使用工时

特殊风险 抵押 承保 管理 索赔 3 0 2 2 1 0 2400 800 1200 成分 每份各种成分的克数 每天需要量（克）

牛排 土豆 碳水化合物 蛋白质 脂肪 5 20 15 15 5 2 ≥50 ≥40 ≤60 每份成本 4美元 2美元

的配件，但卖主却无法增加目前每天1000的供应量。

因为目前无法找到新的供货商，所以公司决定自己开发一条生产线，在公司内部生产玩具配件A 和B 。据估计，公司自己生产的成本将会比从卖主那里购买增加2.5美元每件（A,B ）。管理层希望能够确定玩具以及两种配件的生产组合以取得最大的利润。

将该问题视为资源分配问题，公司的一位管理者为该问题建立如下的参数表：

（1）为该问题建立电子表格模型并求解。

（2）因为两类活动的单位利润是估计的，所以管理层希望能够知道，为了保持最优解不变，估计值允许的变动范围。针对第一个活动（生产玩具），运用电子表格，求出该活动单位利润从2美元增加到4美元每次增加50美分时问题的最优解和总利润。在最优解不变的前提下，单位利润可以偏离其初值3美元多少？

（3）针对第二个活动（生产配件），重复（2）的分析，该活动的单位利润从-3.5美元增加到-1.5美元（第一种活动的单位利润固定在3美元）。

（4）运用Excel 灵敏度报告来找到每个活动单位利润的允许变动范围。

（5）运用Excel 灵敏度报告来描述在最优解不变的前提下，两个活动单位利润最多同时能改变多少。 4、K&L 公司为其冰激凌经营店供应三种口味的冰激凌：巧克力、香草和香蕉。因为天气炎热，对冰激凌的需求大增，而公司库存的原料已经不够了。计这些原料分别为：牛奶、糖和奶油。公司无法完成接收的订单，但是为了在资源有限的条件下使利润最大化，公司需要确定各种口味产品的最优组合。

巧克力、香草和香蕉三种口味的冰激凌的销售利润分别为每加仑1.00美元、0.90美元和0.95美元。公司现在有200加仑牛奶、150磅糖和60加仑奶油的库存。这一问题代数形式的线性规划表示如下：

假设：C=巧克力冰激凌的产量（加仑），V=香草冰激凌的产量（加仑），B=香蕉冰激凌的产量（加仑） 最大化：利润=1.00C+0.90V+0.95V 约束条件

牛奶：0.45C+0.50V+0.40B ≤200（加仑） 糖： 0.50C+0.40V+0.40B ≤50 （加仑） 奶油：0.10C+0.15V+0.20B ≤60 （加仑） 且 C ≥0，V ≥0，B ≥0

使用Excel 求解，求解后的电子表格和灵敏度报告如下图所示（注意，因为在（6）中将会讨论牛奶约束，所以该部分在下面的图中隐去了）。

不用Excel 重新求解，尽可能详尽地回答下列问题，注意，各个部分是互不干扰、相互独立的。

A B C D E F G 1 巧克力 香草 香蕉 2 单位利润

1.00 0.90 0.95 3 4 原料 每加仑冰激凌所用原料

所需原料 可用原料 5 牛奶 0.45 0.5 0.4 180 ≤ 200 6 糖 0.5 0.4 0.4 150 ≤ 150 7 奶油 0.1 0.15 0.2 60 ≤ 60 8 9 巧克力 香草 香蕉 总利润 10

每加仑

300

75

341.25

资源 每种活动的单位资源使用量 可获得的资源总量

生产玩具 生产配件 配件A 配件B 2 1 -1 -1 3000 1000 单位利润 3美元 -2.5美元

可调单元格 单元格 名称 最终价值

成本削减 目标系数

增加上限 降低下限 $C$10 每加仑巧克力用

量 0 -0.0375 1 0.0375 1E+30 $D$10 每加仑香草用量 300 0 0.9 0.05 0.0125 $E$10 每加仑香蕉用量

75

0.95

0.0214

0.05

约束 单元格 名称 最终价值

影子价格

右端值 增加上限

降低下限

$F$5 所用牛奶量 $F$6 所用糖量 150 1.875 150 10 30 $F$7

所用奶油量

60

1

60

15

3.75

（1）最优解和总利润是多少？

（2）假设香蕉冰激凌每加仑的利润变为1.00美元，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响？ （3）假设香蕉冰激凌每加仑的利润变为92美分，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响？ （4）公司发现有3加仑的库存奶油已经变质，只能扔掉，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响？ （5）假设公司有机会购得15磅糖，总成本15美元，公司是否应该购买这批糖，为什么？ （6）在灵敏度报告中加入牛奶的约束，并解释如何减少各种产品的产量？

5、大卫、莱蒂娜和莉迪亚是一家生产钟表的公司业主以及员工，大卫、莱蒂娜每周最多工作40个小时，而莉迪亚每周最多能工作20个小时。

该公司生产两种不同的钟表：落地摆钟和墙钟。大卫是机械工程师，负责装配钟表内部的机械部件；而莱蒂娜是木工，负责木质外壳的手工加工；莉迪亚负责接收订单和送货。每一项工作所需时间如下表所示：

每生产并销售一个落地摆钟产生的利润是300美元，每个墙钟为200美元。

现在，三个业主希望能够得到各种产品产量的最优组合，以使得利润最大化。 将会讨论牛奶约束，所以该部分在下面的图中隐去了）。 （1）为该问题建立线性规划模型。

（2）如果落地摆钟的单位利润从300美元增加到375美元，而模型的其他不变，最优解是否会改变。然后用该模型检验如果墙钟的单位利润也从200美元变动到175美元，最优解是否会改变。

（3）在电子表格上建立和求解该问题的原始模型。

（4）运用Excel 分析，如果落地摆钟的单位利润在150美元到450美元之间每增加20美元给最优解和总利润带来的影响（墙钟单位利润不变）。然后同样分析，当墙钟的单位利润在50美元岛50美元之间每增加20美元给最优解和总利润带来的影响（落地摆钟单位利润不变）。而模型的其他不变，运用灵敏度报告确定最优解是否会改变？用这些信息来估计每种钟单位利润允许取值范围。

（5）象（4）中一样，只是每增加20美元变为每增加50美元，给最优解带来的影响。

（6）依次对每个业主用Excel 分析，如果他们决定将自己的最大可用工时增加5小时每周，那么给最优解和总利润带来的影响。

（7）运用Excel 分析，如果只是大卫将最大可用工时变为35、37、39、41、43、45时最优解和总利润的变化。然后同样分析，莱蒂娜将可用工时进行上述改变时的情况。最后分析，当莉迪亚将最大可用工时变为15、17、19、21、23、25时最优解和总利润的变化。

（8）生成Excel 灵敏度报告，用它来决定每种钟的单位利润和每个业主的最大可用工时的允许变化范围。

任务

所需时间（小时） 落地摆钟 墙钟 组装机械配件 雕刻木质外壳 运输 6 8 3 4 4 3

（9）为了增加总利润，三个业主同意增加他们三个人中的一个人的工作时间，增加该人的工作时间必须能够最大限度地增加总利润。运用灵敏度报告，确定应该选择哪一个人（假设模型的其他部分没有任何变动）。

（10）解释为什么有一个人的影子价格是0。

（11）如果莉迪亚将工作时间从每周的20小时增加到25小时，是否可以用影子价格分析该变动对结果的影响？如果影子价格有效，总利润将增加多少？

（12）在（1）中加入另一变动，即大卫的工作时间从每周40小时减少到35小时，重新分析。 三、运输问题和指派问题

1、研究分析一下拥有如下所示参数表的运输问题：

单位成本（美元） 供应 1 2 3 1 2 3 9 7 6 6 12 7 8 10 6 4 3 2 需求

4

2

3

（1）画出这个问题的网络表示图。

（2）用电子表格描述这个问题，然后使用Excel 得到最优解决方案。 2、考虑拥有如下所示参数表的运输问题：

（1）画出这个问题的网络表示图。

（2）用电子表格描述这个问题，然后使用Excel 得到最优解决方案。

3、考斯雷司（Cost-Less ）公司从它的工厂向它的四个零售点供应货物，从每一个工厂到每一个零售点供应货物，从每一个工厂到每一个零售点的运输成本如下所示：

工厂1、2、3、4每个月的生产量为10、20、20、10个运输单位。零售点1、2、3、4每个月所需货物量为20、10、10、20个运输单位。

配送经理兰迪·史密斯现在需要确定每个月从每一个工厂制中药运送多少给相应零售点的最佳方案。兰迪的目标就是要使总的运输成本最小。

（1）把这个问题描述为一个运输问题并写出相应的出发地、供应量、目的地、需求量和单位成本。 （2）用电子表格描述这个问题，然后使用Excel 得到最优解决方案。

目的地 出发地

单位成本（美元） 供应

1 2 3 4 1

2 3 3 2 4 7 4 3 6 3 8 4 2 5 5 2 3 需求 3 3 2 2 零售点

工厂 单位成本（美元） 1 2 3 4 1

2 3 4 500 200 300 200 600 900 400 100 400 100 200 300 200 300 100 200 销 地

产 地

4、恰德费尔（Childfair ）公司拥有三个生产折叠婴儿车的工厂，并运往四个配送中心。工厂1、2和3枚月产量为12、17、11个运输单位。同时配送中心每月需要10个运输单位的货物。从每一个工厂到每一个配送中心的路程如下表所示：

每一个运输单位的运输成本为每英里100.5美元。

（1）把这个问题描述为一个运输问题并写出相应的出发地、供应量、目的地、需求量和单位成本。 （2）用电子表格描述这个问题，然后使用Excel 得到最优解决方案。

5、汤姆想要在今天买3品脱的家酿酒，明天买另外的4品脱。迪克想要销售5品脱的家酿酒，今天的价钱为每品脱3.00美元，而明天的价钱是每品脱2.70美元。哈里想要销售4品脱的家酿酒，今天的价钱为每品脱2.90美元，而明天的价钱为每品脱2.80美元。

汤姆想要知道他要如何进行购买才能在满足他的口渴需求的基础之上，使他的购买成本达到最小值。为这个问题建立电子表格模型并解决它。

9、万诺特（Onenote ）公司为四个顾客在三个工厂生产一种产品。在未来一周内这三个工厂的产量为60、80、40单位。公司决定向顾客1供应40个单位，向顾客2供应60个单位，向顾客3至少要供应20个单位。顾客3和4都想要尽可能多地购买剩下的产品。从工厂i 运送单位数量的产品给顾客j 的净利润如下表所示（单位：美元）：

管理层希望知道为了使利润最大，应当向顾客3和4提供多少单位的产品以及应当从每一个工厂向每一个顾客运送多少单位的产品。用电子表格描述这个问题并求解。

14、考虑拥有如下所示成本表的指派问题（单位：美元）：

最优解是A-3，B-1，C-2，总的成本是10美元。 （1）画出这个问题的网络表示图。

（2）在电子表格上对这个问题进行描述，并使用Excel 得到最优解。

零售点 工厂 到配送中心的距离 （英里） 1 2 3 4 1 2 3 800 1100 600 1300 1400 1200 400 600 800 700 1000 900 顾客 工厂 到每一个顾客的单位净利润（美元） 1 2 3 4 1 2 3 800 500 600 700 200 400 500 100 300 200 300 500 工作

人员

相关成本（美元） 1 2 3 A B C 5 3 2 7 6 3 4 5 4

15、考虑拥有如下所示的成本表的指派问题（单位：美元）：

（1）画出这个问题的网络表示图。

（2）在电子表格上对这个问题进行描述，并使用Excel 得到最优解。

16、四艘货船要从一个码头向其他的四个码头运货（分别积为1、2、3、4）。每一艘船都能够运送到任何一个码头。但是，由于货船和货物的不同，装船、运输和卸货成本都有些不同。如下表所示（单位：美元）：

目标是要把这四个不同的码头指派给四艘货船，使总运输成本最小。 （1）请解释为什么这个问题符合指派问题模型。 （2）在电子表格中描述这个问题并求解。

17、张、王、李、赵4位教师被分配教语文、数学、物理、化学4门课程，每位老师教一门课程，一门课

程由一位老师教。根据这四位老师以往教课的情况，

他们分别教这四门课程的平均成绩如下表：

四位教师每人只能教一门课，每一门课只能由一个教

师来教，要确定哪一位教师上哪一门课，使四门课的

平均成绩之和为最高。用Excel Solver 求此指派问题

的最优解。

四、网络最优化问题

4、过纽约ALBANY 的北——南高速公路，路况通过能力如下图所示，图中弧上数字单位：千辆/小时，问该路段能否承受10000辆/小时的北——南向流量压力？

工作 被指派者 到每一个顾客的单位净利润（美元） 1 2 3 4 A B C D 8 6 7 6 6 5 8 7 5 3 4 5 7 4 6 6 码头

货船

相关成本（美元） 1 2 3 4 A B C D 500 600 700 500 400 600 500 400 600 700 700 600 700 500 600 600 语文 数学 物理 化学 张 王 李 赵 92 68 85 76 82 91 77 63

83 90 74 65 93 61 83 75

5、在一个不断扩建的小型飞机场里，一家本地的航空公司购买了一辆新的牵引车作为拖车，在飞机之间搬运行李。因为机场在三年后将安装一个新的机械化行李搬运系统，所以到那时牵引车将被淘汰。然而，由于高负荷工作，其使用与维护成本会随着年份急剧增加。因此使用一两年后进行重置可能更加经济。下面的表格（0表示现在）给出了第i 粘膜买的拖车在第j 年末卖出的总净折现成本（美元，购买价格减去交易抵偿，加上使用与维护费用）。

为了使得三年内拖车的总成本最低，管理层希望确定何时（如果可能的话）进行拖车置换是最合理的。

（1）将这个问题作为最短路问题，建立一个网络模型。 （2）为这个问题建立电子表格模型并求解

到j

从i

（美元） 1 2 3 0 1 2

8000 18000 10000 31000

21000

12000