乘除法速算技巧
公成=一个头加“I”后，头乂头；黒X 尾.连觀来. 例 g 6? V6H-
1J16
解：（61） XG 42
2 X R- I *' 连』匸狀竺fimim 也：7
3 X 77 X J2 15 1 X6ti i X 1 7
二、加尾数 ——尾相加，+苗相加等于KL
公式：头X 头加—Mj 例上 26 X X6=2?36
師甲:2 X X+6=22 6 X 6=36 纳二J 题：3WX 7S 47 X67
公式：用较犬数的首数平方减去1, je 面连写妁. 例：81 （较丿* 数〕X
79=639^
解：8 -1=63 人7 面）4S 99. f-./ 6399. 练习题,61X59 71 X69
29X31 49X51 四、求两个一百零几数的积，一
数加另一議尾数法. 公必一数4另一数尾数,尾X 尾，it 起来，
例：I05X 107=11235
解：105+7=112 5X 7=35 连起来得 HHx
纵；胞;10WX 109 106X KH ULX HIS lOSX 105
（一）乘法速
算
一、加一法 头相同，个位相加之相加之和等于⑷.
三、减I 法
个ft 数是I 和9戌两个首数相差I. it 心來習2236
S5 X25 61 X 44
7
8
12 五、U 求却一9的平方?,常数加尾数法- ＜常数是2E)
舍式I ?数25+尾：尾X 尾F 连起采.
例］、5耳咯閃fU 254-K=33 8xa=64 姓起来得：i3&l.
例2、召密PRfM)解* 2Si3-2S 3X309 匹起來符四00,
红习題匕51 右6" 57 52-
2.求41—9的平方?, ff ?减个位数的补?法.
把个位数补1^10,就能找到个位》的补?,如个也4的补数是& 6的补数炬4?2的tt 数是&
公式’常Sft25W 个?数的补数S 例 1、1fi"=2116
斛；介伸的补数扯2沪心21 R2, IHM3O4
解:个fps 的补StWH 25-2=23 练习也；灯」用45' 49-
补数X 补》，连起来。
4X7=16连起来时2116"
2X2-04 连起来符2W.
3、 求个位数宇是5的数的平方数.
公式；头+1后X 头,尾X 尾 连起來.
例；85-=7225
解：(H+1) Xfi=72 5X5=25 连起来7225 练习也：3扌肘7
扌4n
4. 求91一 的平方数；本数减个位数的补数法。 公式：
本数减个位数的补数；补数X 补数，连起来
例 1、9『8836
解；91TF* GX6=3G
例沢 98=9004
解；93-2-% 2X2-01
练习趣：% 9丁 %
99 六.求任意数与H 的积」 连起来得S83ft.
连起来得9501. 方法？ 练习题；S16X 11 7 II 中间写合数,
4^36X 11 3 4 8
74^XM=X22X 7 8 首尾凰写' 例 J 235Xll=25K5
7
满十进一-
9247 X H 5672 X 1J
七.勺艸来以任意*
公式：任*?禾尾《-r后，接耳其月位补《?
什么叫补能耙一也数补疲1山二位?补战I艸，三位敷补im的載叫
（Jh 7的*卜数丿幺5. 42的补必是昭47J的卅牡是
仇 I. 999X516-51.S4W4
W： 5I（＞L=5I5 5M 的fHUi W 连写为 5I54K4.
例；L 9yVX ；1=7：J92h
jw： 71 1 73 （iT-nrjhj^v补故足加& 连“坷为；曲悅
练习题,的9KHI7 H的XR背血以（V 加9KS2
解！①内、外项『1乘*枳的I加.
2 （内坝丿X
3 f rtJiJi ＞三10 6 “卜顶J X7〔外顶｝=12
10* 12=S2
&免Wi己内、外顶积的和-*52'*.然Fi头X头加］"尽r的头乙fix弘希临.rex；￡ 1- 加‘‘龍”的尽独Z 2X7=11 I ft加2得;H 旌吗为3茁1
纵习a： 4：iX5S 23X46 72XS5 腑X64
洌2、63*82-5166
解：?内、外邛汀I乘.枳和加=,RXfnf5X2 36
a比默记内*外顼枳的和艰然人.头X夹）川心『的头乳bXH-3=5I. Jilxm I- 加*-雪“的尢数乩ax2-oti, I位in B ?./览］连打为引i祐
（二）除法速算
―、加一定理:
凡是?开方ft的个??是1,这牛数大于10的棗方或10的乘方的倍ft时「给10或10 的倍feto上》后一e?w b就是is介数的开方ft-
■/ [<)x jn-ioc
二！（H IM ［
72001 =51■/ ,^X50^2nOO<2W|
二50*1-53
78
二.《—定理*
凡是核开放?的个也敷字是b这6ft小于10的乘方就10的乘方的倍救时，给⑷或 10的倍数藏去*后一也敷的b at是这个》的开方
三，加五定理匸
这个ft大于1<>的素方咸1?的乘方的错数时，给山酸I*）的错
数加上?后一位?的就是这个?的开方根-
74225 = 0>加二.八定理r 如果菽开方?的个位?是4, 大于W的乘方或闻的乘方俗?时「相痉小的給 HI或10的倍ftJC 2|相差大的给《或1D的倍?加乩就是这个ft的开放根?例：4\44= 12 V iflx in=ion _五7帀岸「人ssan 如果?开放?的各位?是I,这个a大于LU的乘方或W的乘方的借?时，相差小的給讯或W的倍数加馬相差大的给1<|戟HI的倍数加h?是这的开方?? 六、逢犬加六定理: 如杲被开方ft的个位救是毎这个?大于W的?方或10的乘方的倍?时，给1"或川的倍数加上被开方*的个?亦就是这个?的开方根. 例：7^ =16?〕1CX 1O=JO(X2；, 5610+8=16 V iox；io^yoo>8ii二 30"1刃9 Jl莎=39 40X .10=1 fiOO> 1521 Jgo I =yy I (MIX 100=1 coco >y801100 = 1=99 方数的个位数字是西 例! 4^ =2520X：^[}^100<625204^5=25 */577^ =76 ■/ 70 X 70=^9(10 L 十儿乘十儿： 口 iJt:头乘M G 例；12X14=? 解：1X1 = 1 2 +仁C 2X4 = 8 I2X 14=168 个 位相乘* 区互补什酣II 加等干10）： 口讥：一个头Jja 1 .C ＞人乘头■用乘丘d 例；23X27=? M ： 2 + 1=3 2X2 = 6 3 X 7 =21 23X 27二621 it ：个位和筋 不觞两位数雯川0山位, 二- = ■ riI IB :J 第一个乘数互补.另一个乘数数庁郴同’ uui ： 一个头加 m 久乘头，用乘F 乙 例：37X44=? W ： 3+1=4 4X4=16 7X4=28 J7X44-I628 注：个位相乘）不勺多两位数婴川0占位* 4JL 卜一乘儿十一： 圮加尾-尾乘AL 不够两位数峻川0占仏 口诀；头乘头，头加头.尾乘尽。例；21X41 = ?斛:2X4=8 2+4=f> 1 Xl = l 21 X4I=861 5/11乘任意数： 口诀：首尼不功下落*中间之和下拉。例： 11X23125=? 解；3+3=5 3 十1=4 1+2=3 2+5=7 2利5分别在首尽 11X23125=254375 注卡和满丨换进". 本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题． 一、乘法凑整 思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：425100?=，81251000?=，520100?= 123456799111111111?= （去8数，重点记忆） 711131001??=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c 积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c) 二、乘、除法混合运算的性质 ⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： ()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=?÷?=÷÷÷≠ ，0n ≠ ⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷ ⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如：a b c a c b b c a ?÷=÷?=÷? ⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则 知识点拨 教学目标 整数乘除法速算与巧算 去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即 ()()a b c a b c a b c a b c ??=???÷=?÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即 ()()a b c a b c a b c a b c ÷?=÷÷÷÷=÷? 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷” 变为“×”．即 ()()()() a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ??=???÷=?÷÷÷=÷?÷?=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ?÷?=÷?÷=÷?÷ 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形． 一， 乘5、15、25、125 【例 1】 下面这些题你会算吗？ ⑴125(408)?+ ⑵(1004)25-? 【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 ⑴125(408)125401258500010006000?+=?+?=+= ⑵(1004)251002542525001002400-?=?-?=-= 【答案】⑴6000 ⑵2400 【巩固】 用简便方法计算下面各题． （1）125(804)?+ （2）(1008)25-? 【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 （1）125(804)1258012541000050010500?+=?+?=+= （2）(1008)251002582525002002300-?=?-?=-= 【答案】⑴10500 ⑵2300 【巩固】 下面这道题怎样算比较简便呢？看谁算的快！ 2625? 【考点】乘法凑整之乘5的倍数 【难度】1星 【题型】计算 【解析】 26不能被4整除，但26可以拆成642?+，这样2625?，可转化为6425??再加上225?，这样 就可速算了． 原式64225=?+?（） 642522560050 650 =??+?=+= 【答案】650 例题精讲 第二讲速算与巧算（乘除法） 一、乘法凑整 （1）8×23×125 （2）25×（200＋4）（3）625×64×25 1、43×20×5 25×91×4 43×76＋76×57 125×32×49×25 【拓展提高】 1、（1）25×25×25×32 （2）125×24×25 2、119×17＋42×119＋119×41 3999×222＋333×334 二、乘法速算 （1）73×77 （2）63×43 （3）25×99 （4）36×11 【拓展提高】 1、（1）317×11 （2）5613×11 2、（1）93×97 （2）49×69 3、（1）924×999 （2）485×999 4、（1）63×37 （2）21×67 游戏一：奇妙的数37 游戏二：神奇的37，67 三、除法凑整 1、（1）6300÷25÷4 （2）88000÷125÷8 2、（1）（860＋215）÷43 （2）（5000－375）÷25 3、（1）9750÷25 （2）2000÷125 【拓展提高】 1、（1）56560÷8÷7 （2）6300÷25÷7÷4 2、（1）135÷（15÷8）（2）625÷（100÷16） 3、（1）54÷26＋115÷26＋65÷26 （2）1560÷（78÷4） （2）（1234567＋2345671＋3456712＋4567123＋56712345＋6712345＋7123456）÷4 四、乘除法的简便运算 （1）204×108÷18 （2）10000÷（625÷8）（3）44000÷25 1、（1）160×24÷6 （2）78×352÷176 2、（1）400÷（25÷4）（2）1920÷（64÷4） 3、（1）3600÷25 （2）64000÷125 【拓展提高】 1、（1）777×75÷15 （2）145×584÷292 2、（1）648÷（18×3）（2）945÷（7×9） 乘除法中的速算与巧算 知识储备 整数乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整” 。要达到“凑整”的目的, 就要将一些数分解、 变形，再运用乘法的交换律、 结合律、分配律以及四则运算中的一些规 则，把某些数组合到一起，使复杂的计算过程简便化。 1、 乘法的运算定律 乘法交换律：a>b=b 冶 乘法结合律：(a >b) >c=a >(b >C) 乘法分配律：(a + b) >C=ac + bc 2、 除法的运算性质 (1) a -b=a >C 说b > c) (c 工 0) (2) a — b=(a 十 c)十(b 十 c 芳(0) (3) a — b — c=a —(t )) (4) a — (b — c)=a -> 3、 乘除分配性质 (1) (a + b ) X c=a X c + b c (2) (a — b ) X c=a X c — b X c (3) (a + b ) —c=a —+ b — c (4) (a — b ) —c=a —— b — c 注意: 除数不能为零。 4、 两数之和乘以这两数之差的积等于这两个数的平方差。 2 . 2 (a + b) > (a — b)= a — b 5、 乘法凑整法：这是利用特殊数的乘积特性进行速算， 如5> 2 = 10, 25 X 4 = 100, 125 > 8 = 1000, 625X 8= 5000 , 625X 16= 10000等等。大家要记住这些结果。 思维引导 例1、计算: (1) 999+ 999X 999 (2) 1111X 9999 (3) 125X 25X 32 (4) 576X 422 + 576 + 577 X 576 跟踪练习：计算：(1) 9999 + 9999 X 9999 (2) 140X 299 (3) 808X 125 (4) 461 + 5 X 4610 + 461 X 49 例 2、计算：34X 172— 17X 71 X 2— 34 第二讲乘法中的巧算1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式： 5×2=10 25×4=100 125×8=1000 例1计算①123×4×25 ② 125×2×8×25×5×4 2.分解因数，凑整先乘。 例 2计算① 24×25 ② 56×125 ③ 125×5×32×5 3.应用乘法分配律。 例3 计算① 175×34＋175×66 ②67×12+67×35＋67×52+6 例4 计算① 123×101 ② 123×99 4.几种特殊因数的巧算。 例5一个数×10，数后添0；一个数×100，数后添00；一个数×1000，数后添000； 以此类推：如：15×10=150 15×100=1500 15×1000＝15000 例6一个数×9，数后添0，再减此数； 一个数×99，数后添00，再减此数； 一个数×999，数后添000，再减此数；… 以此类推。 如：12×9＝120-12＝108 12×99＝1200－12＝1188 12×999＝12000-12=11988 例7 222×11 2456×11 [分析]为了速算,可以记一句口诀:“两头一拉，中间相加”。 2 2 2 2 4 4 2 222×11=2442 2 4 5 6 2 7 0 1 6 2456×11=27016 例8、16×5 [分析]一个数×5,可以除以“2”添上“0”。 16×5=(16÷2) ×10=80 例924×15 [分析]一个数×15，“加半添0”。 24×15=（24+12）×10=360 例4 从10到20×之间的两位数相乘（十几×十几） 13×14 [分析]个位数相加后再加“10”，然后乘“10”，个位数相乘后，所得两个数相加。 13×14=182 想：（3+4+10）×10=170 3×4=12 170+12=182 例5 62×68 81×89 [分析] 62×68，一首数6+1=7，头×头是： 7×6=42，尾×尾是2×8=16， 42与16在一起：4216 81×89，一首数8+1=9，头×头9×8=72， 尾×尾是1×9=9，因为9小于10，所以72与9相联时，在9的前面添一个0。答案是81×89=7209 例6 72×32 68×48 [分析] 72×32头乘头+尾是7×3+2=23 尾×尾是:2×2=4 因为4小于10,所以23与4相联时,在4前边补一个0,答案是: 72×32=2304 68×48头乘头+尾是6×4+8=32 尾×尾8×4=64 答案是: 68×48=3264 练习: 14×5 114×5 19×17 3728×11 1295×11 16×18 36×15 72×15 78×72 84×86 62×42 31×71 43×25×4125×（19×8） 50×13×2 25×32×125 125×64 9×37+9×63 102×43 65×99+65 125×798 45×123-45×23 一、乘法中的巧算 1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式： 5×2=1025×4=100125×8=1000 例1计算 ①123×4×25 ②125×2×8×25×5×4 解：①式=123×（4×25）=123×100＝12300 ②式=（125×8）×（25×4）×（5×2）=1000×100×10=1000000 2.分解因数，凑整先乘。 例2计算 ①24×25 ②56×125 ③125×5×32×5 解：①式=6×（4×25）=6×100=600 ②式=7×8×125=7×（8×125）=7×1000=7000 ③式=125×5×4×8×5=（125×8）×（5×5×4）=1000×100=100000 3.应用乘法分配律。 例3计算 ①175×34＋175×66 ②67×12+67×35＋67×52+6 解：①式=175×（34+66）=175×100=17500 ②式=67×（12＋35＋52＋1）＝67×100＝6700（原式中最后一项67可看成67×1） 例4计算 ①123×101 ②123×99 解：①式=123×（100＋1）=123×100＋123＝12300＋123=12423 ②式=123×（100-1）=12300-123=12177 4.几种特殊因数的巧算。 例5一个数×10，数后添0；一个数×100，数后添00；一个数×1000，数后添000；以此类推。 如：15×10=15015×100=150015×1000＝15000 例6一个数×9，数后添0，再减此数；一个数×99，数后添00，再减此数；一个数×999，数后添000，再减此数；…以此类推。 如：12×9＝120-12＝10812×99＝1200－12＝118812×999＝12000-12=11988 例7一个偶数乘以5，可以除以2添上0。 如：6×5＝3016×5＝80116×5=580。 例8一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。 如2222×11＝24442 例9一个偶数乘以15，“加半添0”. 如24×15＝（24+12）×10＝360 解：原式＝24×（10+5） ＝24×（10＋10÷2） =24×10+24×10÷2（乘法分配律） ＝24×10+24÷2×10（带符号搬家） ＝（24+24÷2）×10（乘法分配律） 小学数学速算与巧算方法例解 速算与巧算 在小学数学中，关于整数、小数、分数的四则运算，怎么样才能算得既快又准确呢？这就需要我们熟练地掌握计算法则和运算顺序，根据题目本身的特点，综合应用各种运算定律和性质，或利用和、差、积、商变化规律及有关运算公式，选用合理、灵活的计算方法。速算和巧算不仅能简便运算过程，化繁为简，化难为易，同时又会算得又快又准确。 一、“凑整”先算 1.计算：（1）24+44+56 （2）53+36+47 解：（1）24+44+56=24+（44+56） =24+100=124 这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. （2）53+36+47=53+47+36 =（53+47）+36=100+36=136 这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来. 2.计算：（1）96+15 （2）52+69 解：（1）96+15=96+（4+11） =（96+4）+11=100+11=111 这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. （2）52+69=（21+31）+69 =21+（31+69）=21+100=121 这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 3.计算：（1）63+18+19 （2）28+28+28 解：（1）63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+（2+18）+（1+19） =60+20+20=100 这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. （2）28+28+28 =（28+2）+（28+2）+（28+2）-6 =30+30+30-6=90-6=84 这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变 计算：（1）45-18+19 （2）45+18-19 解：（1）45-18+19=45+19-18 =45+（19-18）=45+1=46 这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. （2）45+18-19=45+（18-19） =45-1=44 这样想：加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和 相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如：1，2，3，4，5，6，7，8，9 1，3，5，7，9 2，4，6，8，10 3，6，9，12，15 4，8，12，16，20等等都是等差连续数. 1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成： （1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9 =5×9 中间数是5 =45 共9个数 （2）计算：1+3+5+7+9 =5×5 中间数是5 =25 共有5个数 （3）计算：2+4+6+8+10 =6×5 中间数是6 =30 共有5个数 （4）计算：3+6+9+12+15 乘除法速算方法 乘除法速算方法 你可以到书城买本速算的书来看看啊 例如：11×12=132，结果是这样来的：将11这个数字拆开为“1”和“1”， 将12两个数字相加，即1+2=3（作为中间数）由于11×12的末尾是2，所以得数的末尾也就是2，将三个数字连在一起就是132.. 像11×13=143 11×15=165 11×17=187.. 这些知识速算书必定有的，当然在看速算书的基础上还要经常做口算第【1】讲；乘除法的速算、 【专题要点】 乘除法速算的基本思路和加减法速算一样，都是“凑整”。根据题中数的特点，把能凑整的数利用乘、除法的运算定律和性质进行凑整的计算。 几种特殊的巧算方法如下： 1、“头同尾合十”的巧算方法；用十位上的数乘以十位上的数加1的积作为前两位数，用个位上的数相乘作为后两位数（如果积不满十，十位上要补写0）。 2、“尾同头合十”的巧算方法：十位上数字的乘积加上个位数字的和，再乘以100，最后积上个位数字的积。 3、两位数、三位数乘11的方法：（1）头做积的头；（2）尾做积的尾；（3头尾相加（或三位数的前两位数与后两位数的和）作积的中间数。如果满10（100）要向前进“1”。 例题1、简便计算下列各题 （1）4×8×25×125 （2）（400－125）×8 ＝（4×25）×（8×125） （利用乘法分配律） ＝100×1000 ＝400×8－125×8 ＝100000 ＝3200×1000 遇到因数5，找个因数2 ＝2200 遇到因数25，找个因数4 遇到因数125，找个因数8 （3）8×64＋61×8 （4）98×101 （利用乘法分配律） （利用乘法分配律） ＝8×（64＋61） ＝98×（100＋1） ＝8×125 ＝98×100＋98×1 ＝1000 ＝9800＋98 ＝9898 乘除法中的速算与巧算 知识储备 整数乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”。要达到“凑整”的目的，就要将一些数分解、变形，再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某些数组合到一起，使复杂的计算过程简便化。 1、乘法的运算定律 乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配律：(a＋b)×c=ac＋bc 2、除法的运算性质 （1）a÷b=(a×c)÷(b×c) (c≠0) （2）a÷b=(a÷c)÷(b÷c) (c≠0) （3）a÷b÷c=a÷(b×c) （4）a÷(b÷c)=a÷b×c 3、乘除分配性质 （1）（a＋b）×c=a×c＋b×c （2）（a－b）×c=a×c－b×c （3）（a＋b）÷c=a÷c＋b÷c （4）（a－b）÷c=a÷c－b÷c 注意：除数不能为零。 4、两数之和乘以这两数之差的积等于这两个数的平方差。 (a＋b)×(a－b)=a2－b2 5、乘法凑整法：这是利用特殊数的乘积特性进行速算，如5×2＝10，25×4＝100，125×8＝1000，625×8＝5000，625×16＝10000等等。大家要记住这些结果。 思维引导 例1、计算：（1）999＋999×999 （2）1111×9999 （3）125×25×32 （4）576×422＋576＋577×576 跟踪练习：计算：（1）9999＋9999×9999 （2）140×299 （3）808×125 （4）461＋5×4610＋461×49 例2、计算：34×172－17×71×2－34 跟踪练习：计算：42×68＋61×2×34－3×68 例3、用简便方法计算：8700÷25÷4 跟踪练习：9600÷25÷4 例4、用简便方法计算：625÷25 跟踪练习：42800÷25 例5、简算：29×31 跟踪练习：简算：68×72 例6、计算：11111×11111 跟踪练习：计算：22222×22222 例7、计算：63×275÷7÷11 跟踪练习：计算：123×456÷789÷456×789÷123 例8、计算：1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）跟踪练习：计算：15÷（9÷11）÷（11÷34）÷（34÷63）例9、计算：99999×22222＋33333×33334 跟踪练习：计算：9999×7778＋3333×6666 例10、计算：98989898×99999999÷10101010÷11111111 跟踪练习：计算：199999998×2200220022÷18÷100010001 第2讲：乘除法巧算速算 本讲，我们来学习一些比较复杂的用凑整法和分解法等方法进行的乘除的巧算。这些计算从表面上看似乎不能巧算，而如果把已知数适当分解或转化就可以使计算简便。 对于一些较复杂的计算题我们要善于从整体上把握特征，通过对已知数适当的分解和变形，找出数据及算式间的联系，灵活地运用相关的运算定律和性质，从而使复杂的计算过程简化。 实际进行乘法、除法以及乘除法混合运算时，可利用以下性质进行巧算： ①乘法交换律：A×B=B×A ②乘法结合律：A×B×C=A×(B×C) ③乘法分配律：(A+B)×C=A×C+B×C 由此可以推出：A×B+A×C=A×(B+C) (A-B) ×C =A×C-B×C ④除法的性质：A÷B÷C=A÷C÷B=A÷（B×C） 利用乘法、除法的这些性质，先凑整得10、100、1000……会使计算更简便。 例1：计算236×37×27 分析：在乘除法的计算过程中，除了常常要将因数和除数“凑整”，有时为了便于口算，还要将一些算式凑成特殊的数。例如，可以将27变为“3×9”，将37乘3得111，这是一个特殊的数，这样就便于计算了。 解：原式=236×（37×3×9） =236×（111×9） =236×999 =236×（1000－1） =236000－236 =235764 随堂小练： 计算下面各题： （1）132×37×27 （2）315×77×13 例2：计算333×334＋999×222 分析：表面上，这道题不能用乘除法的运算定律、性质进行简便计算，但只要对数据作适当变形即可简算。 解：原式=333×334＋333×（3×222） =333×（334＋666） =333×1000 =333000 随堂小练： 计算下面各题： （1）9999×2222＋3333×3334 （2）37×18＋27×42 例3：计算20012001×2002－20022002×2001 分析：仔细观察每一个数，找出它们的共同特点，20102010可分解成201010001 这是四位数的复写如10001×abcd=abcdabcd，三位数的复写1001×abc=abcabc，二位数的复写101×ab=abab。这个规律在简便运算中经常用到。根据题中的数的特点，如果把20012001变形为2001×10001，把20022002变形为2002×10001，那么计算起来就非常方便。 乘除法中的速算与巧算 教学目标 1、速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。 2、乘、除法的巧算方法主要是利用乘、除法的运算定律和运算性质以及积、商的变化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成整十、整百、整千…的数，或者使这道题计算中的一些数变得易于口算，从而使计算简便。 教学重难点 1、乘除法的运算法则。 2、通过对算式进行变形，将其中的数转化成整十、整百、整千… 的 数。 教学内容 例1 :计算325- 25 分析与解答：在除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。利用这一性质，可以使这道计算题简便。 325-25 =(325X 4) + ( 25 X 4) = 1300 - 100 =13 计算下面各题。 1,450-25 2 , 525+ 25 3,3500- 125 4 , 10000-625 5, 49500-900 6 , 9000-225 例2:计算25x 125X 4X 8 分析与解答：经过仔细观察可以发现：在这道连乘算式中，如果先把25与4相乘，可以得到100；同时把125与8相乘，可以得到1000；再把100与1000相乘就简便了。这就启发我们运用乘法交换律和结合律使计算简便。 25x 125X4x 8 =(25x 4)x( 125X 8) =100 x1000 =100000 练习二计算下面各题。 125X 15x 8x 4 25 x 24 25 x 5x 64x 125 125X 25 x 32 75 x 16 125 x 16 例3:计算(1)( 360+108)+ 36 (2)( 450- 75)- 15 分析与解答：两个数的和(或差)除以一个数，可以用这个数分别去 乘法心算速算法（完整版） - 世界之大，无奇不有，数学运算，奥妙无穷。算法探秘，妙趣横生，激励人们去探索、去研究，在探索中不断的激发求知的欲望，不断获得新知，不断获得新知后的快乐。让我们在求知的欲望中去学习、去探究、去创新、去体会获得新知后的快乐。 一、有趣的乘法 数学运算有灵气，有人气，有妙不可言的规律，请看有趣的乘法1、3、6、9： 1、有趣的乘法1 一心一意的1，永远拥护最高领导，最高领导正中间，一次分开占两边，最高领导你是几，就看你有几个1，最高领导我公平，你有几个我是几，最高领导我唯一；若要出现不公平，最少的有几我是几，最高领导不唯一，最高领导有几个，你们相差几个我是几加1。 11×11 =121 111×11=1221 1111×11=12221 111×111 = 12321 1111×111=123321 11111×111=1233321 1111×1111 =1234321 11111×1111=12344321 111111×1111=123444321 11111×11111=123454321 111111×11111=1234554321 1111111×11111=12345554321 根据以上运算结果，通过分析、归纳、总结，得出：任意两个只含数字1的数（其中有一个数位数不超过9位）的积，其积中最大的数字是这两个因数中较小一个因数的位数，最大的数字的个数等于这两个因数的位数差（大减小）加1，最大的数字总是集中在中间，其两侧数字关于这些最大的数字对称。也就是积的最高位是1，向右逐位递增1至到最大数字，过最大的数字后右逐位递减1至到1。例如： 111111*********×111111111=1234567899999987654321 2、有趣的乘法3 33×33=1089 333×33=10989 3333×33=109989 333×333=110889 3333×333=1109889 33333×333=11099889 3333×3333=11108889 33333×3333=111098889 333333×3333=1110998889 根据以上运算结果，通过分析、归纳、总结，得出：任意两个只含数字3的数的积，如果两个因数的位数有一个是1，则它们的积中只含数字9，9的个数等于这两个因数中较大一个因数的位数。如果两个因数的位数都大于1，则它们的积中只含数字1、0、8、9，并且1与8的个数总保持相同，都等于较小一个因数的位数减1，“1”一个挨一个的集中在最左边，紧挨最右边一个1的是0，0只有一个，所有8也都紧挨着，8右边总是只有一个9。当两个因数的位数相同时，0右边是8，当两个因数的位数不相同时，0与8之间还有9，此处9的个数等于这两个因数的位数差。例如： 3333333333×33333=111109999988889 3、有趣的乘法6和9 66×66=4356 666×66=43956 6666×66=439956 666×666=443556 6666×666=4439556 66666×666=44399556 6666×6666=44435556 66669×6666=444395556 666666×6666=4443995556 99×99=9801 999×99=98901 9999×99=989901 999×999=998001 9999×999=9989001 99999×999=99899001 9999×9999=99980001 99999×9999=999890001 999999×9999=9998990001 6666666666×66666=444439999955556 第二讲乘法中的巧算 1. 两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式: 例1计算①123X 4X 25 2. 分解因数，凑整先乘。 例2计算①24 X 25 3. 应用乘法分配律。 例 3 计算① 175 X 34 + 175X 66 4.几种特殊因数的巧算 例5 一个数X 10,数后添0； 一个数X 100,数后添00； —个数X 1000,数后添000； 以此类推：如：15X 10=150 15 X 100=1500 15 X 1000= 15000 例6 一个数X 9,数后添0,再减此数； 一个数X 99,数后添00,再减此数； 一个数X 999,数后添000,再减此数; 以此类推。 例 7 222 X 11 2456 X 11 ［分析］为了速算,可以记一句口诀：“两头一拉，中间相加” 2 2 2 2 4 4 2 222 X 11=2442 2 4 5 6 2 7 0 1 6 2456X 11=27016 例 8、16X 5 ［分析］一个数X 5,可以除以“ 2”添上“ 0”。 16X 5=(16 - 2) X 10=80 例 9 24 X 15 ［分析］一个数X 15,“加半添0”。 5X 2=10 25X 4=100 125X 8=1000 ② 125 X 2X 8X 25X 5X 4 ② 56 X 125 ③ 125 X 5X 32X 5 例4计算①123 X 101 ② 123 X 99 如：12X 9= 120-12 = 108 12 X 99= 1200- 12= 1188 12 X 999= 12000-12=11988 ②67X 12+67X 35+ 67X 52+6 第二讲 乘法中的巧算 1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘 . 为此，要牢记下面这三个特殊的等式： 例 1 计算① 123X 4X 25 ② 125 X 2X 8X 25X 5X 4 3. 应用乘法分配律。 4. 几种特殊因数的巧算 例5 一个数X 10,数后添0； 一个数X 100,数后添00； —个数X 1000,数后添000； 以此类推：如： 15X 10=150 15 X 100=1500 15 X 1000= 15000 例6 一个数X 9,数后添0,再减此数； 一个数X 99,数后添00,再减此数； 一个数X 999,数后添000,再减此数; 以此类推 女口： 12X 9= 120-12 = 108 12 X 99= 1200— 12= 1188 12 X 999= 12000-12=11988 例 7 5X 2=10 25X 4=100 125X 8=1000 2. 分解因数,凑整先乘。 例 2 计算① 24 X 25 ② 56 X 125 ③ 125 X 5X 32X 5 例 3 计算① 175X 34＋175X 66 ②67X 12+67X 35 + 67X 52+6 例 4 计算① 123X 101 ② 123X 99 222 X 11 2456 X11 ［分析］为了速算，可以记一句口诀：“两头一拉，中间相加”。 222 X 1仁2442 2456 X 11=27016 例& 16X 5 ［分析］一个数X 5,可以除以“ 2”添上“ 0”。 16X 5=(16 -2) X 10=80 例9 24 X 15 ［分析］一个数X 15, “加半添0”。 24 X 15= (24+12)X 10=360 例4 从10到20 X之间的两位数相乘(十几X十几) 13X 14 ［分析］个位数相加后再加“10”，然后乘“10”，个位数相乘后，所得两个数相加。 13X 14=182 想：(3+4+10)X 10=170 3 X 4=12 170+12=182 例 5 62 X 68 81 X 89 ［分析］62 X 68, 一首数6+仁7,头X头是： 7X6=42,尾X尾是2X 8=16, 42 与16 在一起：4216 81 X 89, 一首数8+仁9,头X头9X 8=72, 尾X尾是1X 9=9,因为9小于10,所以72与9相联时，在9的前面添一个0。答案是81 X 89=7209 例 6 72 X 32 68 X 48 ［分析］72 X 32头乘头+尾是7X 3+2=23 尾X尾是：2 X 2=4 因为4小于10,所以23与4相联时,在4前边补一个0,答案是：72 X 32=2304 68X 48头乘头+尾是6X 4+8=32 尾X尾8X4=64 答案是:68 X 48=3264 第二课速算与巧算（二） 【课堂导入】 乘除法的巧算方法主要是利用乘除法的运算定律和运算性质以及积商的变化规律，通过对算式适当变形，将其中的数转化成如整十、整百、整千的数，或者使计算中一些书变得易于口算，从而使计算简便。 【经典例题】 例1、计算 1、325÷25 2、3150÷45 分析：在除法里，被除数和除数同事扩大相同的倍数或同时缩小至原来的几分之一，商不变。 练习1、计算下列各题 1、450÷25 2、525÷25 3、3500÷125 4、10000÷625 5、49500÷900 6、9000÷225 例2、计算25×125×4×8 分析：乘法交换律和乘法结合律 练习2、计算下列各题 1、125×15×8×4 2、25×24 3、125×16 4、35×45×4 5、125×25×32 6、25×5×64×125 例3、计算下列各题 1、﹙360＋108﹚÷36 2、1÷2＋3÷2＋5÷2＋7÷2 分析：两个数的和、差除以一个数，可以用这个数分别取除这两个数，再求出两个商的和。 练习3、计算下面各题 1、﹙720＋96﹚÷24 2、﹙4500－90﹚÷45 3、2652÷26 4、1976÷19 5、73÷36＋105÷36＋146÷36 6、﹙10000－1000－100－10﹚÷10 例4、计算158×61÷79×3 分析：计算时可以根据运算定律和性质调换或换乘数或除数的位置，只要记住，数字要跟着前面符号一起移动。 练习4、计算下列各题 1、238×36÷119×5 2、138×27÷69×50 3、1000×32÷125×25 4、406×312÷104÷203 例5、计算下列各题 1、103×96÷16 2、200÷﹙25÷4﹚ 分析：乘除法的开括号原则（与加减法的添去括号原则类似）：括号前是乘号，添、去括号不改号，括号前是除号，添去括号要改号。 练习5、计算下面各题 1、612×366÷183 2、1000÷﹙125÷4﹚ 1.十几乘十几： 口诀：头乘头,尾加尾,尾乘尾. 例：12×14=? 1×1=1 ２＋４＝６ ２×４＝８ 12×14=168 注：个位相乘,不够两位数要用0占位. ２.头相同,尾互补(尾相加等于10)： 口诀：一个头加１后,头乘头,尾乘尾. 例：23×27=? ２＋１＝３ ２×３＝６ ３×７＝21 23×27=621 注：个位相乘,不够两位数要用0占位. ３.第一个乘数互补,另一个乘数数字相同：口诀：一个头加１后,头乘头,尾乘尾. 例：37×44=? 3+1=4 4×4=16 7×4=28 注：个位相乘,不够两位数要用0占位. ４.几十一乘几十一： 口诀：头乘头,头加头,尾乘尾. 例：21×41=? 2×4=8 2+4=6 1×1=1 21×41=861 ５.11乘任意数： 口诀：首尾不动下落,中间之和下拉. 例：11×23125=? 2+3=5 3+1=4 1+2=3 2+5=7 2和5分别在首尾 11×23125=254375 注：和满十要进一. ６.十几乘任意数： 口诀：第二乘数首位不动向下落,第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字,加下一位数,再向下落. 例：13×326=? 13个位是3 3×3+2=11 3×6=18 13×326=4238 注：和满十要进一. 二位数乘法速算总汇 1、两位数的十位相同的，而个位的两数则是相补的（相加等于10）如：78×72= 37×33= 56×54= 43×47 = 28×2246×44 （1）分别取两个数的第一位，而后一个的要加上一以后，相乘。（2）两个数的尾数相乘，（不满十，十位添作0）78×72=5616 37×33=1221 56×54= 3024 43×47= 2021 （7+1）×7=56 （3+1）×3=12 （5+1）×5=30 （4+1）×4=20 8×2=16 7×3=21 6×4=24 3×7=21 口决：头加1，头乘头，尾乘尾 2、两个数的个位相同，十位的两数则是相补的如：36×76= 43×63= 53×53= 28×88= 79×39 （1）将两个数的首位相乘再加上未位数（2）两个数的尾数相乘（不满十，十位添作0）36×76=2736 43×63=2709 3×7+6=27 4×6+3=27 6×6=36 3×3=9 口决：头乘头加尾，尾乘尾 3、两位数的十位差1，个位的两数则是相补的。如：48×52 12×28 39×11 48×32 96×84 75×65 即用较大的因数的十位数的平方，减去它的个位数的平方。48×52=2496 12×28 = 336 39×11= 819 48×32=1536 2500-4=2496 400-64=336 900-81=819 1600-64=1536 口决：大数头平方—尾平方 4、一个乘数十位加个位是9，另一个乘数十位和个位是顺数如：36 × 45 = 72 × 67 = 45 × 78 = 81 × 23 = 27 × 89 = 1、解：3+1=4 4×4=16 5的补数是 5 4×5=20 所以36 × 45 = 1620 2、解：7+1=8 8×6=48 7的补数是23 8×3=24 所以72 × 67 = 4824 3、解：4+1=5 5×7=35 8的补数是2 5×2=10 所以45 × 78 = 3510 5、10-20的两位数乘法如：12×13= 13×15= 14×15= 16×18= 17×19= 19×18= (1)尾数相乘，写在个位上（满十进位）(2)被乘数加上乘数的尾数12×13=156 13×15= 195 14×15=210 16×18= 288 2×3=6 3×5=15 4×5=20 6×8=48 12+3=15 13+5=18 14+5=19 16+8=24 口决：尾数相乘，被乘数加上乘数的尾数（满十进位） 6、任何二位数数乘于11 如：15×11= 16×11= 88×11= 34×11= 59×11= 76×11= （1）两数中间拉（2）十位加个位（满十进位）15×11= 165 88×11=968 1、5 两头拉8、8 两头拉1+5=6 十位加个位，写中间8+8=16 写中间（满十进位）尾乘尾，十位数加个位数，首乘首 7、99乘任意两位数如：99×23= 99×57= 99×34= 99×68= 99×74= （1）差多少减多少（2）差多少就写多少（写在个位上）99×23=2277 99×57= 5643 99×34=3366 100-23=77 100-57=43 100-34=66 99-77=22 99-43=56 99-66=33 8、任意两位数平方如：23×23= 36×36= 42×42= 56×56= 78×78= 92×92= (1)尾数的平方，写在个位上，（满十进位）(2)首尾数相乘再扩大两倍，写在十位上，（满十进位）(3)首数的平方23×23= 529 36×36= 1296 3×3=9 写在个位上6×6=36 写在个位上， 乘法的速算与巧算 一、乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 小学阶段要求记住的数的三对好朋友： 2×5=10,4×25=100，8×125=1000 利用三对数的好朋友简化计算： 5×24= 5×36= 25×16= 25×24= 125×16= 125×64= （1）列出25乘以4的1倍到9倍的式子和答案 （2）列出125乘以8的1倍到9倍的式子和答案 如果其中的一个乘数不是5、25、125，而是15、35、45…，能否利用这种方法巧算？ 84×75= 56×625= 48×75= 二、乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c； a×(b-c)=a×b-a×c 提取公因式：a×b+a×c=a×(b+c)； a×b-a×c=a×(b-c) ⒈补数：两数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千…就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 （1）求补数的方法：高位找9，个位找10 例题1、 21的补数：100-21=79（十位是9-2=7，个位是10-1=9） 例题2、 38的补数：100-38=62（十位是9-3=6，个位是10-8=2） 例题 3、137的补数：1000-137=863（百位是9-1=8，十位是9-3=6，个位是10-7=3） 例题4、求1684392的补数： （2）练习：写出36,25，83，482,353,1689346的补数 ⒉提取公因数的特征：①要有公因数或“疑似”公因数②要有互补数 提取公因数的方法：①直接提取法②倍数法③拆分法 ⑴直接提取法：①有公因数②有互补数 例题5、 3×4+3×6= 例题6、 23×36+23×64= 例题7、 149×25+149×74+149= 例题8、 125×99+125= 练习： 1、 36×56+36×44= 2、 72×382+72×618= 3、 99×87+87= 4、167835×52+832165×52= ⑵倍数法：①有“疑似公因数”②有倍数 例题9、 36×56+72×22= 例题10、35×84+35×16= 例题11、222×999+333×334= 练习：1、78×38+76×11= 2、 34×82+164×33= 3、 167835×52+832165×52= 4、 32×148+96×284= 5、9955×73+12×146+219×7= ⑶拆分法：①有“疑似公因数”②有互补数（互为补数的数不能拆）例题12、 36×54+79×64= 例题13、 58×654+42×704= 例题14、 62×35+64×65= 练习： 1、78×34+44×22= 2、17×30+70×25= 3、169×82+179×25= 本节课主要学习乘、除法的速算与巧算．要求学生理解乘、除法的意义及其关系，能根据乘、除法之间的关系验算乘除法；并且掌握积的变化规律以及商不变的性质，并能合理利用，解决相关问题． 一、乘法凑整 思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：425100?=，81251000?=，520100?= 123456799111111111?= （去8数，重点记忆） 711131001??=（三个常用质数的乘积，重点记忆） 理论依据：乘法交换率：a×b=b×a 乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c) 乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c 积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c) 二、乘、除法混合运算的性质 ⑴商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即： ()()()()0a b a n b n a m b m m ÷=?÷?=÷÷÷≠ ，0n ≠ ⑵在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b ÷÷=÷÷ ⑶在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）． 例如：a b c a c b b c a ?÷=÷?=÷? ⑷在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则 去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即 ()()a b c a b c a b c a b c ??=???÷=?÷ ②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即 ()()a b c a b c a b c a b c ÷?=÷÷÷÷=÷? 添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷” 变为“×”．即()()()() a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c ??=???÷=?÷÷÷=÷?÷?=÷÷ ⑸两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即 ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ?÷?=÷?÷=÷?÷ 上面的三个性质都可以推广到多个数的情形． 一， 乘5、15、25、125 【例 1】 下面这些题你会算吗？ 知识点拨 教学目标 例题精讲 整数乘除法速算与巧算整数乘除法速算巧算(教师版)
第二讲 速算与巧算(乘除法)
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