高等电磁场作业
1－1、证明：
令M A =?? ?，N B =??
?。
所以B A B M B M B M M B A B ?????+???=???+???=???=?????)()(
??，
A B A N A N A N N A B A ?????+???=???+???=???=?????)()(
??， 又因为B A ?????)( ?＝A B ?????)(
?
所以原式＝
ds
A B B A ds
A B B A ds A N B M dv A N B M S
S
s
v
????-???=
????-???=
??-?=
???-????
???)]()([][][][
???
证毕
1－2、证明：
)
()()()(z z y
y x x z z y
y x x z z y
y x x g f g
f g f z
d
z g f g
f g f y
d
y g f g
f g f x
d x g f ++?+++?+++?=?? []??[]z
z
df
g
z
df
g
z
df
g
y y
df
g
y
df
g
y
df
g
x x
df
g
x
df
g
x
df
g
g g g
z df z
df
z
df y
df y df y df x df
x df
x df z y
x g g g z y
x z y x z df z df
z df y df y df y df x df
x df
x df z y
x
g f z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
z
y
y
x
x
z
y x
z y
x z y x z
y
x z y
x z y
x z y x z
y
x
)()()(?+?+?+?+?+?+?+?+?=????
????
???????????????????????????=????
?
??????????
?
??????????
????????????????????=??同理可得
z
y
dg f y dg f y dg f y y dg f y dg f y dg f x x dg f x dg f x dg f f g z z y y x x z z y y x x z z y y x x
)()()(?+?+?+?+?+?+?+?+?=??由
dx
df
g dx
dg f dx
g f d x
x
x
x
x x +=)
( 并依次类推相加可得)(g f ??＝g f ??＋f g
??
证毕
2.1 讨论Maxwell 方程中四个边界条件的独立性。
Maxwell 边界方程中,前两个方程0)(,)(2121=-?=-?E E n J H H n S
是独立的，可以推导
出其余两个方程，过程如下
0=??n
)()()()()()(2121212121=-???--=??+??-?=???-+-???-=-???B B n t t B t B n n E E E E n E E n
所以有c o n s t B B n =-?)(21
，由于在静态场中0)(21=-?B B n ，所以对时变场也有)(21B B n
-?＝0。
当S J H H n
=-?)(21时，
)
()()
()()()()(21
212211212121t
D t D n J J n t
D J t D J n n H H H H n H H n J S ??-???--?-=??--??+?-=???-+-???-=-???=??
由电流连续性方程t
J J J n S
S s
??-?-?
=-?ρ
)(21， S S
S S l
S S S s J S
ds J S
dl n J J
??=??=?=???
?
→→0
'0
lim
lim
所以)()()(2121
21D D n t
t D t D n t t D t D n t J J S S S S
-???=??-???=?????-???-??+??=??ρρ 得const D D n S +=-?ρ)(21
，由于在静态场中此const ＝0，所以对时变场也有
S D D n ρ=-?)(21
所以得证。 2.2验证}exp{?0jkz E z
E -=
是否为可能存在的电磁场。
解：
0}ex p{0
0=?????
????
???-??
????=??-=??jkz E z y x
z
y x t B
E
所以
t
B ??＝0，即B 不随时间而变换。
当在无源区域时，B 恒定即没有电场产生，所以不存在电磁场。
在有源区域时，电场可以由电源产生，因此有可能存在电磁场。
2.3证明边界条件：()
?21=-?E E n
和()
s
D D n
ρ
=-?21?
。
证明：
沿用本讲证明一中的假设条件 有Sh t
B h M S E n E n ??-
=+?-?
)(21
M
表示E n ?关于小盒侧面的线积分 当h 趋于0时，有)(21E E n
-?＝0 同理，有Sh h N S D n D n ρ=+?-?
)(21
N 表示D n
?关于小盒侧面的线积分
当h 趋于0时, S h ρρ=为面密度，有s D D n ρ=-?)(21
3.1对于良导体，无源区域的Maxwell 方程为
???????=??
=??-=??=??0
0E H H j E E H
μωσ
试导出波动方程，并给出波传播的速度v 和波阻抗η
的表达式。
解：t H
H jw E H ??-=-=??=????
σμσμσ
t E
E jw H jw E ??-=-=??-=????
σμσμμ
t H t H H H H ??=??+=????-???=?
σμσμ0)(2
t
E t E H E E ??=??+=????-???=?
σμσμ0)(2
在以上波动方程中可以得到 σμωj k
-=2
? )2
22
2(j
j k -=-=σμωσμω
所以σμω
2
2=
r k
σμ
ω
σμω
ωω
22
2=
=
=r
k v ，)1(2j k
+=
=
=
σ
ωμ
ωμ
ε
μη
4-1 试推导频域Poynting 定理。
)
4
141(221)(21)(21)
(2
1)(21)21(*
***
***
**D E B H w j J E D jw J E B jw H H E E H H E ?-?+?-=-?--?=???-???=???
4-2 相同频率ω的两个电源，置于相同的各向同性的线性媒质中，电源1在空间产生的电磁场为11,H E ；而电源2产生的22,H E ，试证明 ()
1221=?-???H E H
E
2
12
11222112211221)
()()()(E E jw E E H H jw D jw J E B jw H H E E H H E
?+?-?-=-
?--?=?
??-???=???εσμ
同理21211212)(E E jw E E H H jw H E
?+?-?-=???εσμ
所以(
)
122
1=?-???H E H
E
4-3 无限均匀导电媒质中放一电量为Q 的点电荷，试求这电荷随时间的变化规律，并写出空间中任一点的磁场强度和能密度。
因为媒质中无外电场作用，因此E J σ=.
ε
ερQ
dv E Q dv E Ddv dv v v v v
=
???
=??=
??=
????
t
Q
Edv Edv t
Q dv t dv J v
v v
v
??-
=???
??=
??-=??-=
?????
?σσρ1
由上两式可得
t
Q
??σ1＝
ε
Q
)exp(0t Q Q Q t
Q ε
σε
σ-
=?=
???
因为源Q 为点电荷，因此其所产生的电场E
为散度场，所以E ??=0
（亦可由0)(4443
03
02
0=?
??=
????
==R
R e
Q E R
R e
Q R
R
R e Q E
π
ππε
σ
ε
σεσ
）
0=??=??-
∴E t
B ,即B
不随时间而变化。
所以00===t B B
(电荷刚放入媒质时没有电荷变化，因此此时B ＝0) 根据时域Poynting 定理，E E w w w t
S m e P ?-++??
-=??σ)(
因为0=?=?=B E H E S
μ，且0==m P w w ，所以S ??＝0
2
20
2
20
2
20
2
2
00
2
00
2
8)2exp(8)2exp(284)
2exp(R
Q t R
Q d R
Q d R
Q d E w w d w
E
w t
t
t
t
e et t
e
e πεε
σ
πεττε
σ
ε
σ
πετπτε
σ
σ
τστσ-
-
=
-
-
=-
-=-=-=?
-=??∴
?
???
错！前提为连续分布的电荷系统！
而2
20
08R
Q w e πε=
，
∴
能量密度即为)
2ex p(
82
20
t R
Q w et
ε
σ
πε=
5-1
证明:在自由空间),(00εμ的电磁场中，垂直于任意表面的电磁场力密度（单位面积上电磁场力的法向分量）为
])?()?()?()?([2
120202020n
H n E n H n E F n ?-?-?+?=
μεμε 假设单位面积的法向分量为n
，
因此在垂直表面的E 中，可以分解成平行n 的1E ，其大小为n E ?；垂直n
的2E ，其大小为n E ?.
因为1E
与n
平行，根据式（5—19）可得2
01)(2
1n E F e
?=
ε。而2E 与n 垂直，亦
可得202)(2
1
n E F e ?-=ε，
E 与H 相互垂直，因此1H 将与n 垂直，其大小为n H
?;2H 与n 平行，其大小
为n H
?。
同理2
01)(21n H F h ?-=μ，202)(2
1n H F h ?=μ.
整个表面所受的电磁场力密度将为这四个力密度之和，所以
])?()?()?()?([2
120202020n H n E n H n
E F n ?-?-?+?=
μεμε
5-2
试导出频域情况下电磁场动量守恒定理。
6-1 试证明在Coulomb 规范下
t J A t
μ?
με
-=??)(2
22
－
式中，
J J r t r r d v t v
=????
'-'
'?
(,)4π
证： Coulomb 规范下??=
A 0，波动方程变为
???
???
?-=???+-=?-?ε
ρ???
μεμ?
με22
2
2
)(t J A t
ε
ρ?-
=?2
满足泊松方程，容易证明?ρπε(,)(,)
r t r t r r d v v
=
'-'
'?
4 因为?
-'
=--'2
14
r r r r πδ()以及δ函数的选择性，任意矢量 f r t (,)可表示为
v d r r t r f v d r r t r f v d r r t r f t r f v
v
v
''
-'-?=''
-?
'-=''-'=
?
?
?
ππ
δ4),(1
4),()(),(),(2
2
再利用????=???-?
A A A （)2
，得
f r t f r t R
d v f r t R
d v v
v
(,)(,)(,)=????
''-???''?
?
44ππ
即任意矢量
f 可分解为无旋部分和无散部分之和
设电流源t l J J J +=，其中l J , J t 分别表示
J 的无旋部分和无散部分，即
J J r t r r d v l v
=-???'-''?
(,)
4π
J J r t
r r d v t v
=????
'-'
'?
(,4π
),(1
1),(),(t r J r r r r t r J r r t r J '??'
-+'-??'='-'??
因为??'=
J r t (,)0，以及
),(1),(1),(1),(t r J r r r r t r J r r t r J r r t r J '??''
-+'-'??'-='-?''-='-?'
所以，由
????'
'
-'??+'
-?'?=''-'??'?-'-'??'?=s
v
v v
l v d r r t r t ds r r n t r J v d r r t r J v d r r t r J J
π
ρ?
πππ4)
,(4?),(4),(]4),([
由电流连续性方程可知，因为场源
J 和ρ分布在有限空间内，而体积v 为均匀无界空间，所以上式右边第一项面积为零。再将Coulomb 规范下标位的表达式
?ρπε(,)(,)
r t r t r r d v v
=
'-''?
4代入上式右边第二项，便得到t
J l
??=??
ε 将t l J J J
+=和(6-22)代入(6-17)的第一式，得到
t J A t
μ?
με
-=?-?)(2
22
即在Coulomb 规范下，矢位
A 只由电流源的无散部分决定。
6－2 试导出导电率为σ的媒质中矢位
A 和标为?的波动方程。
解：在导电率为σ的媒质中
E t
D
J H σ??++=??
??=-
E B
t
?? 知 B A =??，t
A
E ?-?-
??＝
将其代入E t
D
J H σ?+?+=??
和??= D ρ两式可得到 ??
?
???
?-=?+????--?+?-?-?????ερ????μσ???μεμ)()()(22
t A t A
t
A t J A ＋＝
应用????=???-?
A A A ()2
，上式整理后得
???
???
????--=?+?+???+-=?-?-?A t
t A J A t t
?
ερ?μσ???
μεμ?
μσ
?
με22
2
2)()(
在第二个式子左右两边各加t
t
?-?-??
μσ
??
με
2
2，可以整理得到
???
????
+?+???--=?-?-?+?+???+-=?-?-?)
()()
()(2
22
222
μσ???με?ερ??μσ?
με
μσ???
μεμ?
μσ?
με
t
A t t t
t
A J A t t
此时便得到格式较为规范的矢位
A 和标为?的波动方程。
7-1 试证明：在Coulomb 规范下，无源区域中的电磁场量 E 、
B 可用两个函数表示。
证明：Coulomb 规范中??=
A 0，所以有
??
??
?=??=-?0)(22
2
2
????με??μεt A t 在频域，作规范变换ωψ??j -='，有00)(02
22=??=-??='?ψψ??jw 所以，ψ和?满足相同的方程。如果我们选取j ωψ?= 则'=?0。
所以???
?
?
????=????==+'?-=0)(A A B A j t
A
E
ω???－＝
7-2 试导出在柱坐标系中无源区域的电磁场量
E ,
H 用纵向分量E z 和H z 表示的表示式。 对于柱形系统，设广义正交曲线坐标系为（1v 、2v 、3v ），1,33==h z v ，矢量A 的旋度可以表示为
221111221212
122
121
122133111()(
)
1
1
(
)
z z z f h A h A u h A u h A u h h v v h h v h h v A u A u h z
h z
?
??
?
?????
?
????=
-
+-
+-
上式中第二、三项皆是横向分量，可以写成
1122122
1211
1t z z z A h A u h A u h h v h h v ?
?
????=
-
1221331
1
z t A A u A u h z
h z
?
?
????=
-
根据上两式可由均匀各项同性线性媒质中的麦克斯维方程组的两个旋度方程得
t
t z z t jw H
E E μ-=??+??
（1）
t t z
z t jw E H
H ε=??+?? （2）
(2)式代入（1）可得t z
z z t z z t t H H
E jw H k ??
??
+????+??=ε2
而对于柱形系统中沿＋z 方向传播的波，可以假定场量随时间t 和坐标z 的变化规律为
z
jwt e
γ-，可推得
()()z t z
t z z t z z
t z
H
H H
H
γ????=???-???=-? （后项为0）
2
()()z z t
z t t z z t
t H
H H
H γ????=???-???=- （前项为0）
所以（1）式变为t z
t z t t H H
E jw H k 2
2
γγε-?-??=
同理可求得t z
t z
t t E E
H
jw E k 2
2
γ
γε-?-??-=
因此令2
2
2
γ
+=k
k c 可以最终得到
2
1()t t z
t z c
E jw H
E k εγ=-??-?
)(12
z t z
t c
t
H E
jw k H
?-??=
γε
8-1 试证明图所示的有耗多媒质区域的频域电磁场唯一性定理：如果 （1） 区域内的源已知；
（2） 区域外边界上切向电场或切向磁场已知；
（3） 区域内媒质交界面上切向电场和切向磁场连续，
则区域内电磁场唯一确定。
证明：设此有源区域产生两组场 E H 11,和
E H
22
,，其差场满足
??=-??=??
???δωμδδωεδ
E j H
H j E
其中，μμμ='-''j ，εεε='-''j 。应用频域Poynting 定理
0)(?)(2
*
2
*
=-+???
?
dv E
H
j ds n
H E v
s
δε
δμωδδ
?
?
?
??+??=??2*2
21
*
11*
?)(?)(?)(s s i s
ds n
H
E ds n
H E ds n
H E
δδδδδδ 因为区域外边界上切向电场或切向磁场已知，所以外边界的线积分为0
?
?
?
??+??=??l
l
i s
dl n
H
E dl n
H E ds n
H E ?)(?)(?)(*
2
2*
11*
δδδδδδ l 为交界线，且在交界线上，n n
i ??-=，所以得到 ?
?
?
??-??=??l
i l
i s
ds n
H
E ds n
H E ds n
H E ?)(?)(?)(*2
2*
11*
δδδδδδ 由条件（3）可知21??E n E n
i i ?=?，21??E n E n i i ?=?，21??H n H n i i ?=?，21??H n H n i i
?=? )(?)?()
?()?()?()(?222212211111H E n H n
E H n E E n H E n H H E n i i i i i i
δδδδδδδδδδδδ??=??-=??-=??=??=??∴
综合边界条件可得
() *
δδ
E H n
d s s
??=?
0 于是
()'-'=?
μδεδ H E d v v
2
2
()''+''=?
μδεδ
H
E
d v v
2
2
对于有耗媒质，''>μ0，''>ε0, 于是，δ E =0，δ
H =0。
所以区域内电磁场唯一确定
8-2 试讨论Poisson 方程ερ?-=?2
解的唯一性问题。
证明：设有两解分别为1?和2?，考虑差值函数21??δ?-=，满足()02
2
=+?u
k
δ
应用Green 第一恒等式
????=
???-?
s
v
ds n
dv ?)(2
φ
?φ?φ? 上式中令δ??=，δ?φ=，则有
()
????=
?-
s
v
ds n
u u
dv δδδ?2
可见，只要满足边界s 上的?给定; 或边界s 上的
n
???给定；
或边界s 上一部分的?给定，另一部分的
n
???给定；
中三个条件中的任何一条，都有0=δ?，即21??=，?被唯一确定。
9-1： 证明：如果源
J 1和
J 2均在体积v 内，则互易定理为
[
]
()()
E H E H n
d s s
12210?-??=?
证：由Lorenty 互易原理的积分形式可得
()()
E H E H d s E J E J d v v
s
1221
2112?-??=?-???
当源源
J 1和 J 2均在体积v 内时，设v 外的空间1v 为无源空间。
所以
?
+='??-?0
0)(1221s s ds n H E H E
，s 为包围v 的球面，0s 为半径∞→r 的球面。
由于两组源都分布在有限空间内，所以在无限远处的辐射场为沿r 方向的TEM 波，其中
E n H ?'=η
1
因而有 0)()(122
1122
11221=?-?=??'-??'='??-'??H H H
H H E n H
E n n H E n H E
ηη
于是
?
?
='??-??
='??-?s
s ds n H E H E ds n H E H E 0)(0)(122112210
将n n
-='代入上一式可得[]
()() E H E H n
d s s
12210?-??=?
9-2： 证明无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。
证：设有一理想磁体，在无限靠近该导体的表面上有面磁流ms J
，在空间有一任意磁流源
2m J ，ms J 在空间各处产生的电磁场为 E H 11, ，2m J
在空间各处产生的电磁场为 E H 22, ，
根据互易原理，有
dv H J dv H J v
m v
ms ?
?
?=
?)()(122
由于在理想磁体表面磁场只有法向分量，而ms J 为切向磁流，故02
=?H
J ms
。于是
012=??
dv H J v
m
又由于2m J 任意，所以
E 10=。
所以无限靠近理想磁体表面的面磁流不产生电磁场。
11-1 一点电荷q 放置在夹角为600的导体拐角中，电荷距拐角尖点的距离为r 0,与拐角的最小夹角为θ。试利用镜像原理求解点电荷在拐角中产生的电位。如果拐角的夹角改为500,问能否应用镜像原理？为什么？ 解：因为3
π
α=
，所以将产生5个镜像电荷，另拐角的一边为x 轴正方向，则其镜像电荷
角度分别为θθπθπ,3
4,3
2±±。
具体电荷坐标分别为
))3
4sin(
),3
4cos(
()),3
2sin(
),3
2cos(
(),sin ,cos (θπθπθπθπθθ±±±±±r r r r r r
点电荷在拐角产生的电位可以等效为六个电荷在自由空间产生的和电位，因此由电位公式
2
1
2
02
0])()
[(4y y x x q
-+-=
πφ
可以得到的电位为
∑
=-+-=
Φ5
2
1
2
2
])()
[(4i i i y y x x q
π
i x 和i y 分别是具体电荷坐标。
当夹角为0
50=α时，不满足n
180=
α（n 为正数），所以镜像电荷将产生无穷个，无法应
用镜像原理。
11-2 如图所示，接地无限大导体平板上突起一半径为a 的半球形，在x d =处有一点电荷q 。试利用镜像原理求解该电荷产生的电位。
解：在接地无限大导体作用下，点q 产生一个镜像电荷q ’，根据平面板的镜像原理可知q ’＝－q ，x ’＝－d 。
将半球形看成一个完整球形，则此两个电荷又分别产生一个镜像电荷，根据球形腔的镜像原理可以得到它们的电荷大小和位置分别为q ’’＝d
a q, x ’’＝
d
a 2
, q ’’’＝－
d
a q, x ’’’＝ －
d
a 2
所以
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
])
[(4]
)
[(4]
)
[(4]
)
[(4y d
a x d aq y d x q
y d
a x d aq y d x q
++
-
++-
+-
+
+-=
Φππππ
11-3 如图11-10所示，一密度为λ的无限长均匀分布的线电荷，平行放置在半径为R 的接地导体圆柱外x a =。试尝试用镜像原理求解该问题。
解：设点c 为系统的零电势点，设N 点为镜像电荷所在点，密度为'λ。
d
R r R
a r p
--
--=21ln
2'
ln
2πε
λπε
λ?
，θθcos 2,cos 22
22221ad d
a r aR R a r -+=-+=
其中， θ为op 与oM 的夹角，1r 为pM 长度，2r 为pN 长度，d 为oN 长度。
因为圆柱接地，所以a
R d d
R r R
a r p
2
21,'ln 'ln 0=-=?--=-?=λλλλ?
所以电位为 1
2ln
2Rr ar πε
λ
?=
12-1 试利用镜像原理求解如图12-6所示的线电荷λ在三层介质中 产生的电位。
解：利用介质镜像原理先确定0 区域2有两个边界，对它们分别应用镜像原理可以得到如下镜像电荷分布 (a) 由这些规律可以推出区域2电位表达式为 [][]??? ? ??? ?++++-- ++-? +-+-+Φ∑∞ =∏2 22 1212 2 1121211 )12(1 ln )12(1 ln ) 1 1( ) 1(y h k x y h k x r r r r k k r r r r r r r εεεεεεεεεεε πε λ＝ 在区域3中，其只有一条与区域2的边界。因为区域2无电荷，故不对区域3产生影响。区域1对它的影响可以看成上图（a ）中区域1中的电荷对区域3的影响，依照介质镜像原理，在这些电荷上乘以因子3 312r r ε ε +，如图所示 (b ) 由这些规律可以推出区域2电位表达式为 [] )12(1 ln ) 1 1( 12)1(2 20 1121213 31 y h k x k k r r r r r r r r r ++-?+-+-++Φ∑ ∞ =∏εεεεεεε ε επε λ＝ 在区域1中，其只有一条与区域2的边界h x =。为了保证h x =介质边界条件，在区域2中－ h x =处加电荷 11－＋εελr r 。区域3对它的影响可以看成上图（a ）中区域3中的电荷对区 域1的影响，依照介质镜像原理，在这些电荷上乘以因子3 12r ε +，如图所示 (c ) 由规律可以推出区域3电位表达式为 []} )12(1 ln )1 1 ( ) ( 12 )(1{ln )1(0 2 2 11 1 2 1213 12 2 10 ∑ ∞ =+I ++++-+-+-+-+= Φ k k r r k r r r r r r r y h k x y h x εε ε εεεε εεπε λ 13-1 求13-2所示的同轴线TM 模的场分布。 b z 图13-2 同轴线 解: 令电Hertz 矢量 ∏∏e e z = ，则边界条件为∏ e r a r b ===0。 自然边界条件是在圆周方向场单值。于是， z j m m e e m m n BN n AJ β??ρρ±? ?? ? ??+=∏ sin cos )]()([ 由边界条件得 ???=+=+0 )()(0)()(nb BN nb AJ na BN na AJ m m m m 于是： J n a N n b J n b N n a m m m m ()()()()= 上式便是确定n 的本征方程。确定了n 后，由2 2 2 β -=k n 便可确定传播常数β，进而得 电Hertz 矢量为 z j m m m m e e m m n N na N na J n J A β??ρρ±? ?? ? ??- =∏ sin cos )]()()()([ 代入?? ????? ? ? ??=?∏?=∏??=∏-∏=∏?=0?)?(2 222z e t e t t e e z e t t H z t z t H t z E z E ??ε??ε??με???? 便可得到同轴线TM 模的场分布。 13-2 证明jkz e -)(ln ρψ＝是齐次标量波动方程的一个解。若取z e ?ψ=∏ ，计算由此ψ所形成的T M 波。在z =常数的平面上画出瞬时电力线和磁力线分布。什么样的实际系统可以支 持这样的波？ 证：ψρψψψψψ2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 )(ln k e k z x y z jkz -=-=??= ??+ ??+ ??= ?- 02 2 =+??ψψk 满足其次标量波动方程。 z e z jkz e ?)(ln ?-==∏ ρψ 代入?? ????? ? ? ??=?∏?=∏??=∏-∏=∏?=0?)?(2 222z e t e t t e e z e t t H z t z t H t z E z E ??ε??ε??με???? 便可得到TM 模的场分布。 14-1 图14-3所示为一同轴线-矩形波导探针激励装置。假设探针电流为无限细线电流形式 = ,2 ,0 )(sin 00z a x d y y d k I I = ≤≤-= 试求由此电流所激励的T E 10模的振幅。 解：已知 P e h z d s n n s n =???20 ? ?--+- ?+- =?- =v v z z j zn n n n n n dv e J e e P dv J E P C n ) (2)(11β ? ? --+ ?-- =?- =v v z z j zn n n n n n dv e J e e P dv J E P C n ) (1)(1 1β 在10 TE 激励波中，其产生的场为 z j z j y y e a x e e E ββπ--==sin ，z j w z j x y e a x Y e h H ββπ---==sin w a b w abY dxdy a x Y P ==?? ? 2 10sin 2π 式中，w Y 是10 TE 模的波导纳，β是传播常数。 短路波导中的探针，等效于原来的探针加上至于无限长波导中l z 2-=处（设原位置为z ＝0）的它的镜像。若假定辐射到z>0区域的场为z j y e a x c E βπ-+ +=sin 则可以得到 ) cos 1)(1(] )(sin )(sin [1020 0101 20000d k e abk Y I dy e y d k I dy y d k I abY C l j w l j w --= -- -- =--+ ?? ββ 所以，由探针向z>0处所辐射的10 TE 模的总横向场为 z j l j w y e a x d k e abk Y I E ββπ----=sin )cos 1)(1(020 y w x E Y H -= 14-2 已知 r j m e H H ?-=β， H m 为常矢量，试证明： )(2 H H H ?-=????βββ。 证：H H H 2 )(?-???=???? z 图14-3 同轴线一波导探针激励装置 H e H j r H H r j m 2 22 22)(βββ-==??=??- )()()()]([)(m m m r j r j m H H j H e e H H ?-=?-?=???=???=????-?-βββββ 代入可得)(2 H H H ?-=????βββ 14-3 一平面波在无界等离子体中传播。传播方向与外加磁场 B B z 00= 平行，张量介电常数为 εεεεεε=?????? ? ? ?? 1 0 00 0 2213 j -j , 试求本征波的传播常数和场表示式。 解：考虑非互易媒质r r μμεε00,。在无源情况下，满足 ??????-=??=??H j E E j H r r μωμεωε00 于是 E k E r r ?=????με2 考虑无限大空间的均匀平面波，设 r j m e E E ?-=β 式中，m E 为常矢。 应用矢量公式，可以证明 )(2 E E E ?-=????βββ 代入得 E k E E r r ?=?-εμβββ2 02 )( 把E 分解成平行于传播方向 β的ιE 分量和垂直于 β的t E 分量，即 t E E E +=ι 则可得 )(][)(2 02 2 t u t t tt r t E E k E E E +?+++=-+ιιι ιιεεε ε μββ 即 0)(2 02 2 0=?-?-ιι ε μβ ε μE k E I k t r t tt r 0)(2 0=?+?ιιιιεεμE E k t t r 写成矩阵形式为 0= ??? ?????? ??? ? ?-l t u t t tt E E I ε εελε ιι 式中，r k μβ λ2 02 = 。上式便是求传播常数β的本征方程。 使E 有非零解的充要条件是 0= det ??? ? ?? ? ?--u t t tt I ε εελειι 求得了λ后，可得传播常数 λμβr k 0= 在此题中，0 0 00 0 det 31221=??? ? ? ?????--ελεεελε-j j 即 0)(2 21=--k λε 设 k >1ε，则 ?? ?-=+=k k 1211ελελ λ1和λ2对应的本征矢分别为 ??????????-=0 1jh h E ??? ? ? ?????=0 2jh h E 式中，h 为任意常数。 因此，在纵向磁化时，对应有两个本征波，一个是xoy 平面的右旋(相对于0E )圆极化波1E ，对应的传播常数为)(000 1k r +=εεμμωβ 另一个本征波是xoy 平面的左旋(相对于0E )圆极化波2E ，对应的传播常数为 )(000 2k r -=εεμμωβ 15-1 试证一维、二维标量波动方程的标量Green 函数分别为 x x jk e k j x x G ' --- ='2),(0 )(4 ),()2(0 0ρρρρ'-= ' H j G 式中，ρ'' ,x 为源点坐标，ρ ,x 为场点坐标。 思考与练习一 1．证明矢量3?2??z y x e e e -+=A 和z y x e e e ???++=B 相互垂直。 2. 已知矢量 1.55.8z y e ?e ?+=A 和4936z y e ?.e ?+-=B ，求两矢量的夹角。 3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明矢量A 和B 处处垂直。 4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的一般表达式。 5．根据算符?的与矢量性，推导下列公式： ()()()()B A B A A B A B B A ??+???+??+???=??)( ()()A A A A A 2??-?=???2 1 []H E E H H E ???-???=??? 6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明： u du df u f ?=?)(， ()du d u u A A ??=??， ()du d u u A A ??=??，()[]0=????z ,y ,x A 。 7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的方向规定为从源点指向场点。证明下列结果， R R R R =?'-=?， 311R R R R -=?'-=?，03=??R R ，033=??'-=??R R R R )0(≠R （最后一式在0=R 点不成立）。 8. 求[])sin(0r k E ???及[])sin(0r k E ???，其中0E a ,为常矢量。 9. 应用高斯定理证明 ???=??v s d dV f s f ，应用斯克斯（Stokes ）定理证明??=??s L dl dS ??。 10.证明Gauss 积分公式[]??????+???=??s V dv d ψφψφψφ2s 。 11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ??、()[]321q ,q ,q F ???、()3212q ,q ,q f ?的表达式。 12. 从梯度、散度和旋度的定义出发，简述它们的意义，比较它们的差别，导出它们在正交曲线坐标系中的表达式。 习题： 1. 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。当该导线以速度 24x y m v e e s =+在磁感应强度22363x y z B e x z e e xz T =+-的磁场中移动时，求 感应电动势。 解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有 ()in v B dl ε=??? 根据已知条件，得 2233()|(24)(363)|z x y x y z z v B e e e x z e e xz ==?=+?+- 210854(1236)x y z e x e x e x =-++- x dl e dx = 故感应电动势为 0.5 20[10854(1236)]13.5in x y z x e x e x e x e dx V ε=-++-?=-? 2.长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒定磁场 0z B e B =中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。 解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即 ()in v b dl ε=??? 根据已知条件，导体棒上任意半径r 处的速度为 v e r ωΦ= r dl e dr = 故感应电动势为 20000 1()()2 l l L in z r v b dl e r e B e dr B rdr B l V εωωωΦ=??=??==??? 3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。 解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E 和磁感应强度B 的 关系，将,,H B D E J E μεσ===代入即可，注意在非均匀媒质中,,μεσ是空间坐标的函数。 考察麦克斯韦第一方程，有 11 ()B H B B μ μμ ??=?? =??+?? 2 1 1 B B μμ μ =- ??+?? D E J J t t ε ??=+=+?? 所以 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? 而 ()D E E E εεερ??=??=??+??=，于是，微分形式的麦克斯韦方程用E 和B 表示为 E B B J t μμμε μ ?????=++ ? B E t ???=- ? 0B ??= E E εερ??+??= 对于无耗媒质，0σ=，因此有0J =。 4.试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J t ρ???=-?。 解：对麦克斯韦第一方程D H J t ???=+ ?两边取散度，得 1 麦克斯韦方程组的微分形式 是：.D H J t ???=+? ,B E t ???=-? ,0B ?= ,D ρ?= 2静电场的基本方程积分形式为： 0C E dl =? S D d s ρ=? 3理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。 6电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界 。7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。8.电场强度E 的单位是， 电位移D 的单位是 。9．静电场的两个基本方程的微分 形式为 0E ??= ρ?= D ；10.一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安培力作用 3.0 0n S n n n S e e e e J ρ??=??=???=???=?D B E H 4.D E ε= ,B H μ= ,J E σ= 5. J t ρ ??=- ? 6.2ρ?ε?=- 12??= 12 12n n εεεε??=?? 7.唯一性定理 8.V/m C/m2 1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A ，并令 B A =?? 的依据是（c.0B ?= ） 2. “某处的电位0=?，则该处的电场强度0=E ” 的说法是（错误的 ）。 3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ) l n (0 1 a a D C -= πε ）。 4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2 ）。 5. N 个导体组成的系统的能量∑==N i i i q W 1 21φ，其中i φ是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。 6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（a/m2 ） 7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性） 分布。 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一定为零 ）。 8. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（1/r2 ）。 10. 半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于 （整个空间 ）。 三、海水的电导率为4S/m ，相对介电常数为81，求频率为1MHz 时，位幅与导幅比值？ 三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为： cos x m E e E t ω= 则位移电流密度为：0sin d x r m D J e E t t ωεεω?==-? 其振幅值为：304510.dm r m m J E E ωεε-==? 传导电流的振幅值为：4cm m m J E E σ== 因此： 3112510 .dm cm J J -=? 四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。 试求：（1）空间的电场强度分布；（2）导体球的电容。（15分） 四、解：由高斯定理 D S S d q =?得2 4q D r π= 24D e e r r q D r π== 空间的电场分布2 04D E e r q r επε== 导体球的电位 2 0044E l E r e r r a a a q q U d d d r a πεπε∞∞∞====??? 导体球的电容04q C a U πε= = 五、两块无限大接地导体板分别置于x=0和x=a 处，其间在x=x0处有一面密度为σ2C/m 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体板间的电场和电位。（20分） 解：()2 102d 00;d x x x ?=<<()22 02d 0 d x x a x ?=<< 得： ()()11100;x C x D x x ?=+<< ()()2220x C x D x x a ?=+< < A．电磁场理论B基本概念 1．什么就是等值面？什么就是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过; ★所有的等值面均互不相交; ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线(通量线)---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向, 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如,电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么就是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？(图) 右手定则就是指当食指指向矢量A的方向,中指指向矢量B的方向,则大拇指的指向就就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则,即矢量积C=A*B的方向就就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用: ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向与传播方向。 3．什么就是电偶极子？电偶极矩矢量就是如何定义的？电偶极子的电磁场分布就是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量与间距的乘积,方向由负电荷指向正电荷。 4、麦克斯韦积分与微分方程组的瞬时形式与复数形式; 积分形式: 微分方式: (1)安培环路定律 (2)电磁感应定律 (3)磁通连续性定律 (4)高斯定律 5、结构方程 6、什么就是电磁场边界条件？它们就是如何得到的？(图) 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发,得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式(近似式)。 边界条件就是在无限大平面的情况得到的,但就是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7、不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义; (1)导电媒质分界面的边界条件 ★导电媒质分界面上不存在传导面电流,但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上,电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量与磁感应强度的法向分量永远就是连续的 (2)理想导体表面的边界条件 ★理想导体内部,时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流与面电荷。 一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（） 7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 《电磁场与电磁波基础》复习题 一、 填空题： （第一章）（第二章）（第三章）（第四章）（第五章）（第六章） （第一章） 1、直角坐标系下，微分线元表达式 z e y e x e l z y x d d d d ++= 面积元表达式 2、圆柱坐标系下，微分线元表达式z e e e l z d d d d ++=φρρφρ， 面积元表达式z e l l e S z d d d d d φρρφρρ == z e l l e S z d d d d d ρφρφφ ==φρρφρd d d d d z z z e l l e S == 3、圆柱坐标系中，ρe 、e ? 随变量? 的变化关系分别是φρφ e e =??，ρφφe -e =?? 4、矢量的通量物理含义是 矢量穿过曲面的矢量线的总和； 散度的物理意义是 矢量场中任意一点处通量对体积的变化率； 散度与通量的关系是 散度一个单位体积内通过的通量。 5、散度在直角坐标系 F z F y F x F V S d F F div Z Y X S V ??=??+??+??=??=?→?0lim 散度在圆柱坐标系 z F F F F div Z ??+??+??=φρρρρφρ1)(1 6、矢量微分算符（哈密顿算符）?在直角坐标系的表达式为 z z y y x x e e e ??+??+??=? 圆柱坐标系 z e z ??+??+??=? φρρφρe e 球坐标系分别 ? θθφθ??+??+??=?sin e e r e r r r 7、高斯散度定理数学表达式 ???=??V s S d F dV F ，本课程主要应用的两个方面分别是 静电场的散度 、 恒定磁场的散度 ； 2010-2011 学年第 1 学期末考试试题（A 卷） 电磁场与电磁波 使用班级： 08050641X-3X 一、简答题（30分，每题6分） 1 根据自己的理解，解释什么是场？标量场？矢量场？并举例说明。 场是某一物理量在空间的分布； 具有标量特征的物理量在空间的分布形成标量场；如电位场、温度场。 具有矢量特征的物理量在空间的分布形成矢量场；如电场、磁场。 2写出电流连续性方程，并说明其意义。 ()()t t r t r J ??- =??,,ρ 电荷守恒定理 3 写出坡印廷定理，并说明各部分的意义。 ? ???+?+?=??-V V S V V t d d )2121(d d d )(J E B H D E S H E 等式左边表示通过曲面S 进入体积V 的电磁功率。 等式右边第一项表示单位时间内体积V 中所增加的电磁能量 等式右边第二项表示单位时间内电场对体积V 中的电流所做的功； 在导电媒质中，即为体积V 内总的损耗功率。 4 根据自己的理解，解释镜像法的基本原理。 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，在保持边界条件不变的情况下，将边界面移去，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。 5 写出麦克斯韦方程组，并说明每个方程的意义。 麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场 麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场 麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线 麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场 ??? ?????? ? ?=??=????-=????+=??ρD B t B E t D J H 高等电磁场理论 教学目的：光学、电子科学与技术和信息与通讯工程等专业研究生的理论基础课。内容提要： 第一章电磁场理论基本方程 第一节麦克斯韦方程 第二节物质的电磁特性 第三节边界条件与辐射条件 第四节波动方程 第五节辅助位函数极其方程 第六节赫兹矢量 第七节电磁能量和能流 第二章基本原理和定理 第一节亥姆霍兹定理 第二节唯一性定理 第三节镜像原理 第四节等效原理 第五节感应原理 第六节巴比涅原理 第七节互易原理 第三章基本波函数 第一节标量波函数 第二节平面波、柱面波和球面波用标量基本波函数展开 第三节理想导电圆柱对平面波的散射 第四节理想导电圆柱对柱面波的散射 第五节理想导电劈对柱面波的散射 第六节理想导电圆筒上的孔隙辐射 第七节理想导电圆球对平面波的散射 第八节理想导电圆球对柱面波的散射 第九节分层介质中的波 第十节矢量波函数 第四章波动方程的积分解 第一节非齐次标量亥姆霍兹方程的积分解第二节非齐次矢量亥姆霍兹方程的积分解第三节辐射场与辐射矢量 第四节口径辐射场 第五节电场与磁场积分方程 第五章格林函数 第一节标量格林函数 第二节用镜像法标量格林函数 第三节标量格林函数的本征函数展开法 第四节标量格林函数的傅里叶变换解法 第五节并矢与并矢函数 第六节自由空间的并矢格林函数 第七节有界空间的并矢格林函数 第八节用镜像法建立半空间的并矢格林函数第九节并矢格林函数的本征函数展开 第六章导行电磁波 第一节规则波导中的场和参量 第二节模式的正交性 第三节规则波导中的能量和功率 第四节常用规则波导举例 第五节规则波导的一般分析 第六节波导的损耗 第七节波导的激励 第八节纵截面电模和磁模 第九节部分介质填充的矩形波导 第十节微带传输线 第十一节耦合微带线 第十二节介质波导 第十三节波导和微带不连续性的近似分析第十四节其它微波毫米波传输线简介 电磁场与电磁波总结 第1章 场论初步 一、矢量代数 A ? B =AB cos θ A B ?=AB e AB sin θ A ?( B ? C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元 x y z =++l e e e d x y z 矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz 单位矢量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系 矢量线元 =++l e e e z d d d d z ρ?ρρ?l 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e z z z ρ??ρρ? 3. 球坐标系 矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位矢量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ? θ??θ cos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ????????????=-?? ????????????????????? sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ???? ?????? ? ?=-????????????-?????? θ?θ?θ? θθ?θ?θ?? sin 0cos cos 0sin 0 10r r z A A A A A A ???? ?????? ??=-???????????????? ??θ??θθθθ 三、矢量场的散度和旋度 电磁场与电磁波试题及答案 1.麦克斯韦的物理意义：根据亥姆霍兹定理，矢量场的旋度和散度都表示矢量场的源。麦克斯韦方程表明了电磁场和它们的源之间的全部关系：除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。 1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。 2.答非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为,,0,D B H J E B D t t ρ????=+ ??=-??=??=??，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁 场也是电场的源。 1.简述集总参数电路和分布参数电路的区别： 2.答：总参数电路和分布参数电路的区别主要有二：（1）集总参数电路上传输的信号的波长远大于传输线的几何尺寸；而分布参数电路上传输的信号的波长和传输线的几何尺寸可以比拟。（2）集总参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位可近似认为相同，无分布参数效应；而分布参数电路的传输线上各点电压（或电流）的大小与相位均不相同，呈现出电路参数的分布效应。 1.写出求解静电场边值问题常用的三类边界条件。 2.答：实际边值问题的边界条件可以分为三类：第一类是整个边界上的电位已知，称为“狄利克莱”边界条件；第二类是已知边界上的电位法向导数，称为“诺依曼”边界条件；第三类是一部分边界上电位已知，而另一部分上的电位法向导数已知，称为混合边界条件。 1.简述色散效应和趋肤效应。 2.答：在导电媒质中，电磁波的传播速度（相速）随频率改变的现象，称为色散效应。在良导体中电磁波只存在于导体表面的现象称为趋肤效应。 1.在无界的理想媒质中传播的均匀平面波有何特性？在导电媒质中传播的均匀平面波有何特性？ 2. 在无界的理想媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减，幅度相差一个实数因子η（理想媒质的本征阻抗）；时间相位相同；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为TEM 波。 在导电媒质中传播的均匀平面波的特点如下：电磁场的振幅随传播距离增加而呈指数规律衰减；电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；在空间相互垂直，与传播方向呈右手螺旋关系，为色散的TEM 啵。 1. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。 2. 时变场的一般边界条件 2n D σ=、20t E =、2t s H J =、20n B =。 (或矢量式2n D σ=、20n E ?=、 2s n H J ?=、20n B =) 1. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。 2. 答矢量位,0B A A =????=；动态矢量位A E t ??=-?- ?或A E t ??+=-??。库仑规范与洛仑兹规范的作用都 是限制A 的散度，从而使A 的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。 1. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 2. s A ds φ=??? 是矢量A 穿过闭合曲面S 的通量或发散量。若Ф> 0，流出S 面的通量大于流入的通量，即通量由S 面内向外扩散，说明S 面内有正源若Ф< 0，则流入S 面的通量大于流出的通量，即通量向S 面内汇集，说明S 面内有负源。若Ф=0，则流入S 面的通量等于流出的通量，说明S 面内无源。 1. 证明位置矢量 x y z r e x e y e z =++ 的散度，并由此说明矢量场的散度与坐标的选择无关。 2. 证明在直角坐标系里计算 ，则有 ()()x y z x y z r r e e e e x e y e z x y z ? ? ?????=++?++ ?????? 3x y z x y z ???= ++=??? 若在球坐标系里计算，则 23 22 11()()()3r r r r r r r r r ????= ==??由此说明了矢量场的散度与坐标的选择无关。 一、选择题 1、以下关于时变电磁场的叙述中，正确的是（ ） A 、电场是无旋场 B 、电场和磁场相互激发 C 、电场与磁场无关 2、区域V 全部用非导电媒质填充，当此区域中的电磁场能量减少时，一定是（ ） A 、能量流出了区域 B 、能量在区域中被消耗 C 、电磁场做了功 D 、同时选择A 、C 3、两个载流线圈之间存在互感，对互感没有影响的的是（ ） A 、线圈的尺寸 B 、两个线圈的相对位置 C 、线圈上的电流 D 、空间介质 4、导电介质中的恒定电场E 满足（ ） A 、0??=E B 、0??=E C 、??=E J 5、用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（ ） A 、镜像电荷是否对称 B 、电位方程和边界条件不改变 C 、同时选择A 和B 6、在静电场中，电场强度表达式为3(32)()y x z cy ε=+--+x y z E e e e ，试确定常数 ε的值是（ ） A 、ε=2 B 、ε=3 C 、ε=4 7、若矢量A 为磁感应强度B 的磁矢位，则下列表达式正确的是（ ） A 、=?B A B 、=??B A C 、=??B A D 、2=?B A 8、空气（介电常数10εε=）与电介质（介电常数204εε=）的分界面是0z =平面， 若已知空气中的电场强度124= +x z E e e 。则电介质中的电场强度应为（ ） A 、1216=+x z E e e B 、184=+x z E e e C 、12=+x z E e e 9、理想介质中的均匀平面波解是（ ） A 、TM 波 B 、TEM 波 C 、TE 波 10、以下关于导电媒质中传播的电磁波的叙述中，正确的是（ ） A 、不再是平面波 B 、电场和磁场不同相 C 、振幅不变 D 、以T E 波的形式传播 二、填空 1、一个半径为α的导体球作为电极深埋地下，土壤的电导率为 σ，略去地面的影响，则电极的接地电阻R = 2、 内外半径分别为a 、b 的无限长空心圆柱中均匀的分布着轴向电流I ，设空间离轴距离为()r r a <的某点处，B= 3、 自由空间中，某移动天线发射的电磁波的磁场强度 一 习题答案（第二章） 2.4 由E =-?? 已知?=+2ax b 得2E a =-??=- x ax 根据高斯定理：0 .E ?= ρ ε得 电荷密度为： 00.E ==? -2a ρεε 2.6 取直角坐标系如图所示，设圆盘位于xoy 平面，圆盘中心与坐标原点重合 方法1： 由 ' 04s s ds R ρ?=πε? 在球坐标系求电位值，取带点坐标表示源区电磁场理论习题解读
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