线性代数习题,数学

第四章练习题（一）

一、填空题

1. 已知向量组4321,,,αααα线性无关，若向量组21ααk +，32αα+，43αα+，14αα+线性相关，则=k 。

2. 一个向量组含有两个或两个以上的最大无关组，则各个最大无关组所含向量个数必。

3. 已知321,,ααα和321,,βββ是3维向量空间的两个基，若向量ξ在这两个基下的坐标分别为T x x x ),,(321和T y y y ),,(321，且311y y x -=，3212y y y x -+=，32132y y y x +--=，则由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵=C 。

4. n 维向量组)3(,,,21n m m ≤≤ααα ，而m ααα,,,21 中任何一个向量都不能用其余向量线性表示，是该向量组线性无关的条件。

5. 设???

??--=t 27121103121301A ，若齐次线性方程组0=Ax 的基础解系含有3个解向量，则

=t 。

6. 已知???

?---=2115130

1121t A ，若有3阶矩阵B 和C ，使AC AB =，C B ≠，则=t 二、选择题

1. 如果向量β能由向量组m ααα,,,21 线性表示，则（）。

（A ）存在一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得m m k k k αααβ+++= 2211 （B ）对β的线性表示不惟一

（C ）向量组m αααβ,,,,21 线性相关

（D ）存在一组全为零的数m k k k ,,,21 ，使得m m k k k αααβ+++= 2211 2. 向量组m ααα,,,21 线性无关的充分条件是（）。（A ）m ααα,,,21 均不为零向量

（B ）m ααα,,,21 中任意两个向量的分量不成比例

（C ）m ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-m 个向量线性表示（D ）m ααα,,,21 中有一部分向量线性无关

3. 设n 阶方阵A 的秩为n r <，则在A 的n 个行向量中（）。

（A ）必有r 个行向量线性无关（B ）任意r 个行向量均可构成最大无关组

（C ）任意r 个行向量均线性无关（D ）任一行向量均能由其他r 个行向量线性表示 4. 设向量组321,,ααα线性无关，向量1β能由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（）

。（A ）21321,,,ββααα+k 线性无关（B ）21321,,,ββααα+k 线性相关（C ）21321,,,ββαααk +线性无关（D ）21321,,,ββαααk +线性相关 5. 若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则（）。（A ）α必能由δγβ,,线性表示（B ）β必不能由δγα,,线性表示（C ）δ必能由γβα,,线性表示（D ）δ必不能由γβα,,线性表示

6. 已知n 维向量组（Ⅰ）：m ααα,,,21 和（Ⅱ）：s βββ,,,21 的秩都等于r ，那么下述命题不正确的是（）。

（A ）若s m =，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价

（B ）若向量组（Ⅰ）是向量组（Ⅱ）的部分组，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价（C ）若向量组（Ⅰ）能由向量组（Ⅱ）的部分组，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价（D ）若r R s m =),,,,,,,(2121βββααα ，则向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价 7. 若m ααα,,,21 线性相关，且0=+++m m k k k ααα 2211，则（）。（A ）021====m k k k （B ）m k k k ,,,21 全不为零（C ）m k k k ,,,21 不全为零（D ）上述情况都有可能

8. 设向量组r ααα,,,21 能由向量组s βββ,,,21 线性表示，则（）。（A ）当s r <时，向量组r ααα,,,21 必线性相关（B ）当s r >时，向量组r ααα,,,21 必线性相关（C ）当s r <时，向量组s βββ,,,21 必线性相关（D ）当s r >时，向量组s βββ,,,21 必线性相关

9. 已知21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，21,αα是其对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，21,k k 是任意常数，则b Ax =的通解为（）。

（A ）)(21)(2121211ββααα-+

++k k （B ）)(21

)(2121211ββααα++++k k （C ）)(21)(2121211ββββα-+-+k k （D ）)(2

)(2121211ββββα++-+k k

10. 非齐次线性方程组b Ax =中未知数的个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，

则（）。

（A ）m r =时，方程组b Ax =有解（B ）n r =时，方程组b Ax =有惟一解（C ）n m =时，方程组b Ax =有惟一解（D ）n r <时，方程组b Ax =有无穷多解三、计算题 1.

已知T

)

3,2,0,1(1=α，T

)

5,3,1,1(2=α，T

a )1,2,1,1(3+-=α，

T a )8,4,2,1(4+=α及T b )5,3,1,1(+=β，

（1）b a ,为何值时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合？

（2）b a ,为何值时，β有4321,,,αααα的惟一线性表示式？并写出该表示式。 2. 已知3阶矩阵A 与3维向量x ，使得向量组x A Ax,x,2

线性无关，且满足

x 2A 3Ax x A 23-=，

（1）记)(x A Ax,x,P 2

=，求3阶矩阵B ，使1

PBP

A -=；

（2）计算行列式E A +。

3. 设向量组 ,)3,1,1,1(1T

=α ,)1,5,3,1(2T

--=α ,)2,1,2,3(3T p +-=α

T p ),10,6,2(4--=α，

（1）p 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量T

)10,6,1,4(=α用4321,,,αααα 线性表示。

（2）p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求它的秩和一个最大无关组。 4. 已知两个向量组分别为

????? ??-=????? ??=????? ??-=769,103,321321ααα和????

? ??=????? ??=????? ??-=01,12,110321b a βββ，

它们具有相同的秩，且3β能由321,,ααα线性表示，求b a ,的值。

5. 已知3维向量组

,332,131,235,0114321????

? ??--=????? ??-=????? ??=????? ??=αααα

和3阶矩阵A ，满足21αA α=，32αA α=，43αA α=，求4A α。 6. 已知三阶矩阵O B ≠，且B 的每个列向量都是下列方程组的解向量。

???

??=-+=+-=-+0

3,02,022321

321321x x x x x x x x x λ （1）求λ的值：（2）证明0=B 。

7. 设T

)3,2,1,1(1=α，T

)1,1,1,1(2-=α，T )5,3,3,1(3=α，T

)6,5,2,4(4-=α，

T )7,5,1,3(5=α

（1）证明51,αα线性无关；

（2）求向量组的一个包含51,αα的最大无关组。 8. 设线性方程组

???????=++=++=++=++,

,,,

343

242413332323132322

221313

21211a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x （1）证明：若4321,,,a a a a 两两不相等，则此线性方程组无解；

（2）设k a a ==31，)0(42≠-==k k a a ，且已知T

)1,1,1(1-=β，T

)1,1,1(2-=β是该方程组的两个解，写出此方程组的通解。

四、证明题

1. 已知321,,ααα是3维向量空间V 的一个基，又3211αααβ-+=，

321222αααβ+--=，3213343αααβ-+=，

（1）证明321,,βββ也是V 的一个基；

（2）求向量321αααξ++=在基321,,βββ下的坐标。 2. 设向量组T

)

1,0,0,1(1-=α，T

)

1,0,1,0(2-=α，T

)

1,1,0,0(3-=α，

T )0,3,1,2(4-=α，证明321,,ααα是一个最大无关组，并将4α用最大无关组线性表示。 3. 设A 是n 阶矩阵，)(,,,21n m m ≤ααα 是n 维列向量，且0≠m α，如果21αA α=，

32αA α=，m m αA α=-1, ，0=m A α，证明向量组m ααα,,,21 线性无关。

4. 设A 为n m ?矩阵，B 为n k ?矩阵，且n R R <+)()(B A ，证明齐次线性方程组0=Ax 与0=Bx 有非零公共解。

5. 设非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为r ，r n -ηηηη,,,,210 是它的

1+-r n 个线性无关的解，证明：00201,,,ηηηηηη----r n 是其对应的齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系。

6. 设A 与B 分别为n m ?与s n ?矩阵，AB C =，已知n R =)(A ，s R =)(B ，证明矩阵

C 的列向量组线性无关。

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案第一部分客观题（共30分）一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )

(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（）

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东北大学考试试卷（A 卷） 2010 — 2011学年第二学期课程名称：线性代数（共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ，且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα，所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。解由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++，显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

教材：线性代数(DOC)

2013届钻石卡学员学习计划---数学三第十五单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版线性代数第一章行列式第1章第1节二阶与三阶行列式（P1——P4）第1章第2节全排列及其逆序数（P4——P5）第1章第3节n阶行列式的定义（P5——P8）第1章第4节对换（P8——P9）第1章第5节行列式的性质（P9——P15）第1章第6节行列式按行（列）展开（P16——P21）第1章第7节克拉默法则（P21——P25）本单元中我们应当学习—— 1．行列式的概念和性质，行列式按行（列）展开定理． 2．用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式． 3．用克莱姆法则解齐次线性方程组．

2013届钻石卡学员学习计划---数学三第十六单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版线性代数第二章矩阵及其运算第2章第1节矩阵（P29——P32）第2章第2节矩阵的运算（P33——P42）第2章第3节逆矩阵（P42——P47）第2章第4节矩阵分块法（P47——P54）

2013届钻石卡学员学习计划---数学三线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组第3章第1节矩阵的初等变换（P57——P65）本单元中我们应当学习—— 1．矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的概念和性质． 2．矩阵的线性运算、乘法运算、转置以及它们的运算规律. 3. 方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 4．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件. 5. 伴随矩阵的概念，用伴随矩阵求逆矩阵． 6．分块矩阵及其运算．

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案(全)

第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4.

(2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2. 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个) 4 2(1个)

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。典型例题解析例1 设均为3阶矩阵，且，则。解：答案：72 因为，且

所以例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。解：答案：A 因为，所以A可进行。关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。例3 已知求。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得。

例4 设矩阵求。解：方法一：伴随矩阵法可逆。且由得伴随矩阵则=

方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例4 设矩阵求的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解：。

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

线性代数试卷及答案

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；

考研线性代数重点内容和典型题型

考研线性代数重点内容和典型题型线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学们学习有帮助。行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等）的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx 年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、

伴随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx 年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次（非齐次）线性方程组的求解（含对参数取值的讨论）.主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、

袁晖坪线性代数教材习题答案提示

第一章行列式与Cramer 法则第一章知识清单 1.行列式定义： () ()() 121211********* 212121,n n n n n i i i j j j n i j i j i j i j n n nn a a a a a a a a a a a a ττ? +=-∑L L L L L L 说明1）()()()12 1 ,n n n k i k k i i i t k t i τ====∑∑L ()k k k t i i i ：在左边比打的数的个数. 说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成 2.计算方法基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：10 n i k jk k D i j a A i j ==?=? ≠?∑ 常用方法：利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。 3.行列式性质（5条）行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。 4.克莱姆法则

?????? ?=++=++=++n n nn n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ221122222212111212111 .n A x b =即：解：12,,,T n D D D x D D D ??= ???L ，.n D A = 推论：0.n n A x o A =?=有非零解基本作业建议 A 组：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)； B 组：一（1），（6）；二（3），（4）一（A ）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否; (2): () ()() 24531452131ττ+-. 一（A ）5： () () ()()() () ()()23412143123412342132341411,a a a a a a a a ττ--. 一（A ）6(5)：32 1 42 2 222222223234 21 21 21 21 21212121 044444444222269696969 6 6 6 6 ,,i r r r r r r i a b c d a b c d a b c d a b c d D a b c d a b c d ---=++++++++=== ==== =++++++++ 一（A ）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法： 1 1123,,,n i i i c r r i n D D =-=∑=========L 提公因式方法一：上三角式； 1 23,,,i r r i n D -=====L 方法二：箭形行列式 12312 3 1231231 2 3 10 n n n n n a a a a a b a a a a a b a a a a a b a a D a a a b ------=== --L L L L M M M M M M L 加边方法三： 1231,2,311000100010001 L L L L L M M M M M M L n i r r i n a a a a b b b b +=------===== -- ()123 23 123231 232312323000n n n n n n n n a a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c a a a a a c a a a c D ------=-=L L L L L L M M M M M M M M M M L L 拆解方法四：略.

(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

工程数学线性代数课后答案

习题解答 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: 解(1)原式= 2x( - 4) X3 + OX (-1)x(-1)+ 1X1X8 -1x(-4)x(-1)-2X (-1)X8-OX1X3 = -4； (2) 原式=acb 十 bac + cba - c‘ - a 3 - b' =3abc — a 3 — — c 3 ; (3) 原式=1?&?c 2 + l*c*a 2 + l'a*62-l*6*a 2-l*c ,62-l*a*c 2 =be 2 + ca 2 十 ab 2 — ba' — cb 2 ~ ac 2 = c 2(6-a) + aZ>(6-a)-c(A 2-a 2) = (a-6)(Z )-c)(c-a); (4) 原式=x(x + y)y + yx(x + y) + (?r + y)yx - (x + yV - d - =-2(x 3+y ). 2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1) 1 2 3 4； (2) 4 1 3 2； ⑶3 4 2 1; (4) 2 4 1 3; ⑸1 3 …(2n - -1) 2 4 …(: 加) ； (6) 1 3 …(2n - ?1) (In) (2n - 2) … 2. 解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0; (2) 此排列的首位元素的逆序数为0；第2位元素1的逆序数为1;第3位元素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 + 1 + 2 = 4； (3) 此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元素2的逆序数为2；末位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4) 类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2, 1,故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3; (5) 注意到这2刃个数的排列中，前n 位元素之间没有逆序对.第n + 1位元素2与它前面的n - 1个数构成逆序对，故它的逆序数为“?1;同理，第” +2 倍元素4的逆序数为” -2;…；末位元素2n 的逆序数为0.故此排列的逆序数 2 0 1 仃) 1 -4 -1 -1 8 3 1 1 1 ⑶ a b c a 2 b 2 c 2 ? t

线性代数复习提纲2017

线性代数复习提纲（2017）第一章行列式复习重点：第1、3、4、5节. 课本：P2，例2，例3；P11，例2；P15，例1；P22，例2；P26，例5. 练习册：P2，4; P4，一(1，2，3); P6，三(1);P7，三(2,3). 第二章矩阵复习重点：第3、5节. 课本：P34，例2；P42，例1，例3, 例4;P54,例1；P57，例2;P59，例1，例4. 练习册：P10，1;P11，三，四；P12，2;P14，一(1,4,6);P16,九;P45，三(2); P48，三(2); P51，三(2). 第三章向量组的线性相关性复习重点：第2、3节. 课本：P72，例2；P72，例3；P80，例4;P86,例9；P88，例1;P90，例2; P92，例2; P93，例4; P95，21. 练习册：P18，四;P19，1,2,3；P22，四(2)(4);P40,三;P45,三(3); P48,三(3). 第四章线性方程组复习重点: 第2、3节. 课本：P103, 例1;P106, 例1;P107,例2，例3；练习册：P25，四；P29，三(3)(4);P41，四; P43，三(4)；P49，三(5). 第五章矩阵对角化复习重点: 第1、2节.

课本：P116, 例1，例2；P120，例4；P122，例1;P123, 例2;P128，例6;P130，例7. 练习册：P31，1;P32，2，3;P33，4;P34，一(1),二(1); P44, 一(4);P47，一(4)；P52，三(6). 第六章二次型复习重点: 第2、3节. 课本：P141，例1; P143，例2; P145，例3; P149，例3. 练习册:P37,3;P38，一(1);三(1)(2);P49,三(7);P55,五.

(完整版)线性代数试卷及答案详解

《线性代数A 》试题（A 卷）试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：

《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题3分，共18分）

1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 112 21122 000?? ?- ? ?-?? ； 4、； 5、 4； 6、 2 。三．解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分）所以1 278144103X A B -?? ?==-- ? ??? .―――――（8分）四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111 4 3111431132102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? = → ? ? --- ? ? ? ?---???? 11 1 431 2 12011310 1131000000 0000000000 0000--???? ? ? ---- ? ? →→ ? ? ? ? ? ?? ???――――（5分）从而12345,,,,ααααα的一个极大线性无关组为12,αα，故秩 12345{,,,,}ααααα＝2（8分）