整除问题和余数与同余问题

整除问题及余数与同余问题

姓名得分

一、整除问题基础训练题

1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？

2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？

3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？

4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？

5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？

6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？

7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？

8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？

9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？

10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？

11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？

12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？

13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？

14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？

15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？

16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。

17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？

18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？

二、整除问题竞赛提高题

1、三位数2ab加299得5ac,如果已知2ab能被9整除，5ab能被11整除，求a+b+c的值。

2、一个三位数能被3整除，去掉它的末位数字后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大的是多少？

3、三个数的和是918，这三个数分别被3，5，11所除得的商都相同，且余数也相同，求这三个数及相同的商、余数。

4、小红买了72本练习册，她忘了单价，只记得总价是□8.1□元（□表示她记不清的数），你知道她一共花了多少钱吗？

5、用1，2，3，4，5，6，7，8，9（每个数字只用一次）九个数字组成3个三位数，这3个数都是9的倍数，3个三位数的和要尽可能小。这3个三位数分别是多少？

6、用0、1、2、3、4五个数字组成一个四位数，它既是3的倍数，也是4的倍数，这样的四位数一共有几个？各是多少？

7、775×765×756×，要使这个连乘积的最后四个数字都是0，在横线上填一个最小的合数，应该是多少？

8、已知自然数111555是两个连续奇数的乘积，那么这两个奇数的和是多少？

9、一次活动，小学生、中学生和解放军共405人参加，他们的人数比是4：3：2。要分组活动，且每组中小学、中学生、解放军的人数都相等，可分几组？每组中小学生、中学生、解放军各多少人？

10、在算式11×20×29×…×2000中，相邻两个因数的差都等于9，那么，乘积的末尾连续零的个数有多少个？

三、余数与同余问题基础训练题

1、下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？

⑴÷85=99……

⑵÷24=56……

2、两个数相除商是4，余数是6，被除数、除数、商与余数的和是121，求被除数。

3、两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数。

4、数713，1103，830，947与某一整数相除，所得余数相同（不为0），求除数。

5、某市举行大型体操会演，小学生队的人数在2000-2150人之间，排成3列则刚好，排成5列则少2人，排成7列则少4人，这队小学生共有多少人？

6、一筐梨，三三数之余一，四四数之余三，五五数之差一。这筐梨最少有多少个？

7、今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物有几何？

8、韩信点兵：卫兵一队列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队，末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。求兵数。

9、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数。

10、346，304，563三个数分别除以同一个自然数，得到的余数相同，那么这个自然数是多少？

11、两个数被13除分别余7和10，为两个数的各被13除余几？

12、用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？

13、用1-9这九个数连续不断排列成一个100位数123456789123456789……这个100位数除以9余几？

14、一个自然数在1000至1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3。求这个自然数。

15、甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张，乙2张，丙1张，丁2张……的顺序发牌。问最后一张（第54张）牌发给了谁？

03.奥数第三讲.除法与余数(答案)

第三讲除法与余数 1．老师带来了12个苹果，要分给4个小朋友，并且想让每个小朋友分得的苹果一样多。那么有几种不同的分法呢？王老师这样分：先拿4个苹果，给每个小朋友一个；又拿出4个苹果，给每个小朋友一个苹果；……这样分下去一直到苹果分完为止。李老师这样分：先拿3个苹果，给第一个小朋友；再拿出3个苹果，给第二个小朋友；……这样一直分到最后一个小朋友为止。请小朋友们想一想，这两种分法效果一样吗？再想一想，你认为那一种方法好呢？请说出自己的理由。提示：“平均分”的除法与“包含”除法，这两者既有区别又有联系，是对立统一的。2．在第1题中的问题中，我们学会了一种平均分配东西的方法，我们给它起一个名字叫做“除法”。我们想一想，如果时光倒转，把我们平均分配物品的过程反过来的话，是怎样的一个问题呢？对了，是一个求几个相同数和的问题，要用乘法来解决。也就是说，除法和乘法是很类似的。除法只不过是把乘法的过程反过来算而已。比如：被除数÷除数=商，反过来的话，商×除数=原来的被除数。这是很有趣的一个规律，请大家牢记。因此，对于比较简单的除法算式，我们可以利用乘法口诀反推出结果！请列式计算： (1) 把10块大白兔奶糖平均分给牛牛和壮壮，他们俩每人可以分到几块大白兔奶糖？ (2) 把21本故事书，平均分给小明、小红和小花，他们每人可以分到几本故事书？ (3) 把48台电脑平均分给六个年级，每个年级可以分到几台电脑？总结：当每份都一样多时：平均分除法——总数÷份数= 每份数；包含除法——总数÷每份数= 份数；而对于除法的逆运算：乘法——每份数×份数= 总数。 3．利用乘法口诀计算： 1÷1 = 2÷1 = 2÷2 = 3÷1 = 3÷3 = 4÷1 = 4÷2 = 4÷4 = 6÷2 = 6÷3 = 8÷4 = 12÷3 = 12÷6 = 15÷5 = 18÷3 = 18÷6 = 18÷9 = 24÷3 = 24÷4 = 30÷5 = 36÷6 = 36÷4 = 32÷4 = 81÷9 = 72÷8 = 42÷7 = 63÷9 = 64÷8 = 49÷7 = 45÷9 = 并观察这些算式，你找到了什么规律呢？提示：既可以联想到乘积不变的性质，也可以联想到商不变的性质。可见，乘法与除法是相互依赖的。还有除以1等于自己的规律，除以自己等于1的规律，等等…… 4．会算除法算式固然很重要，但是懂得除法的意义更加重要，除法的意义可以帮助我们把口诀里没有的算式也能算出来。不信的话，请列式计算以下题目： (1) 把30根铅笔平均分装在两个文具盒中，平均每个文具盒中要装几支铅笔？ (2) 60粒草莓，每20粒装成一袋，一共需要装多少袋？ (3) 学校将50个足球平均分给10个班，请问每个班分到多少个足球？ (4) 100朵鲜花，每10朵扎成一束花，一共可以扎成多少束花？

数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案

数论问题之余数问题:余数问题练习题含答案 1.数11 1(2007个1),被13除余多少分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7. 2.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 . 3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位

数. 分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真. 4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17. 5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定

能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 6.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4 因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.

余数性质及同余定理(B级) 1

一、带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．二、余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。知识框架余数性质及同余定理

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．一、同余定理 1、定义整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

数论知识点之整除与余数

整除一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；余数一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的减法定理

小奥数论整除和余数知识点总结及例题

小奥数论整除和余数知识点总结及例题 Prepared on 21 November 2021

1.数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。 b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；ba，不能整除； ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c); ③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）

从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 ① 一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ② 特殊求空格数根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001; 7×143=1001; 根据abc → abc → =abc → ×1001; aaa → aaa → =aaa → ×1001;求能被7整除的空格数系列截判法（用以判别能否被9/99/999整除）除数是几位数就可以从右往左几位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999整除。除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。例如： 2.3余数的判别法 ① 整除是余数为0的情况。a ÷b=c …..0；此时，a=b ×c;b=a ÷c

余数及同余问题小学五年级奥数

余数及同余问题（一） 1、310被一个两位数整除，余数是37，这个两位数是_________。 2、一个数除以23余数是2，把被除数扩大到4倍，余数是________。 3、某数用3除余1，用5除余3，用7除余5，此数最小是________。 4、378×196×251除以17的余数是________。 5、若871和633两个自然数都被同一个两位数相除，所得的余数都是4，除数是__________。 6、有一个整数，用它去除70,98,143得到的三个余数之和是29，则这个数是___________。 7、一个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是__________。 8、有一个等于1的整数，用它去除967，1000，2001，得到相同余数，那么这个整数是_______。 9、在1——3000之间同时被3，5，7除都余2的数有_______个。 10、数713,1103,830,947被一个数整除，所得余数相同（不为0），求这个除数_________。 11、一个数除以7余2，如果把被除数扩大9倍，那么余数是几？_________ 12、账本上记着买机器用去□□12元，其中千位数字和百位数字模糊不清，但采购员还记得这个数减去7能被7整除，减去8能被8整除，减去9能被9整除，你能算出买这台机器用去多少元吗？_________。（二） 1、如果某数除492，2241,3195都余15，那么这个数是________。 2、有一个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12余_______。 3、乘积34×37×41×43除以13的余数是____________。 4、666…66（1999个6）除以7所得的余数是____________。 5、有一个三位数，其中个位上的数字是百位上的数字的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3，这个三位数是_________。

余数与同余问题

余数同余问题 1、用一个自然数去除另一个自然数，不完全商是8，余数是16，被除数、除数、商、余数这四个数的和为463，那么除数为： 2、57、96、148被某自然数整除，余数相同，且不为零，那么284被这个自然数除后余： 3、150、232、396被某个两位数除后都有余数，且余数都是同一个奇数，那么所得的余数是： 4、有一个自然数，用它分别去除81、127、232都有余数，且3个余数的和是33，那么这个自然数是： 5、一个两位数去除251，得到的余数是41，这个两位数是： 6、两个小于100的不同自然数去除440，余数都是35，这两个数的差为： 7、一个两位数除以8，商与余数相同，那么这样的数总和为： 8、有一个除法算式，被除数、除数和商都是整数，且没有余数，被除数、除数、商相加的和是79，被除数和除数相差56，这个算式是： 9、一个整数，减去它除以5后所得余数的4倍，差是234，这个自然数是： 10、2010除以一个两位数ab=（），使所得余数最大。 11、1）一个两位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 2）一个三位数被它的各位数字之和去除，能得到的最大余数是： 12、在大于2010的自然数中，逐个找出“被49除后，商与余数相等的数”，这些数的和是： 13、用一个自然数A去除333，商得4，用所得余数去除自然数B，所得商和余数相加恰好为A，那么B最小为： 14、两个数字之和为10、8的三位数乘积是一个五位数，且这个五位数的后四位是1031，那么这两位三位数之和是： 15、一个自然数除以9的余数和除以8的商的和等于13，那么这个数除以8的余数是： 16、一个自然数除以7的余数和除以8的商的和等于15，则满足条件的所有自然数的和是： 17、10个自然数的和为100，分别除以3，若用去尾法，10个商的和为30，若用四舍五入法，10个商的和为34，那么10个数中被3除余1的数有： 18、一个三位数分别被63、95、143除之后所得的余数之和为19，那这个三位数是： 19、在小于1000的正整数中，被12、15和18除得余数相同的数共有： 20、若M=3x＋x3，当x取1、2、3、……、2010时，能被7整除的M共有： 21、当X取1、2、3、……2010时，有（）个整数X使2x与X2被7除余数相同。 22、已知“2n－N”是一个9的倍数，那么N在1000以内的自然数中有（）种取值。 23、已知N是从1到100的自然数，那么 1）有（）个N的值满足N2－1能被7整除； 2）有（）个N的值满足2n－1能被7整除。 24、甲、乙、丙三数分别为526、539、705，某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数与A除丙数所得余数的比是2：3，那么A是：（） 25、用一个大于1的自然数去除963582、714所得的余数依次成等差数列，那么除数可以是： 26、有一个三位数，它除以19所得到的商与余数之和，恰好等于它除以17所得到的商与余

小奥数论1_整除和余数知识点总结与经典例题

2.2数的整除的判别法 2.2.1末位判别法 2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。

2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除） 2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4.2特殊用法 ①一般求空格数如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ②特殊求空格数根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001;

余数性质及同余定理(B级)

一、带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．一、余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。余数性质及定理知识框架

第讲余数问题

第十讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题：㈠带余除法。一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r 或α＝b×q＋r 当r=0时，我们称α能被b整除。当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。㈡余数周期。这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。㈢同余问题。 1、什么是“同余”？整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。记作：α≡b （mod c）例如：15÷4＝3 (3) 23÷4＝5 (3) 15和23对于除数4同余。记作：15 ≡23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。 2、“同余”的四个常用性质是什么？同余性质1：如果α≡ b (mod m)，则m︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。例如，73 ≡23 (mod 10) 则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。

同余性质2：如果α≡ b (mod m)， c ≡ d (mod m), 则α±c ≡ b ± d (mod m) 两数和的余数等于余数的和。两数差的余数等于余数的差。例如，73 ≡3 (mod 10) 84 ≡4 (mod 10) 73+84 ≡3+4≡7 (mod 10) 84－73≡4－3≡1 (mod 10) 同余性质3：如果α≡ b (模m)， c ≡ d (模m), 则α× c ≡b×d (模m) 两数积的余数等于余数的积。例如，73 ≡3 (模10) 84 ≡4 (模10) 73×84 ≡3×4≡2 (模10) 同余性质4：如果α≡ b (模m) 则αn≡b n (模m) 某数乘方的余数，等于余数的乘方。例如，40≡1 （mod13） 4031≡131≡1 （mod13）很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。 4、“物不知其数”。与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。例2、例3 绝招二：加同补。例4、作业4 、学案3 绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。

余数与同余解析

六余数和同余 1.有余数的除法各部分之间的关系：被除数=除数×商＋余数被除数－余数﹦商×除法 2.除法算式的特征:余数＜除数 3.有关余数问题的性质：性质1：如果两个整数a,b除以同一个数m，而余数相同，那么a和b的差能被m整除。性质2：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的差就一定能被这个数整除。性质3：对于同一个除数，如果两个整数同余，那么他们的乘方仍然同余。解答同余类型题目的关键是灵活运用性质，把求一个比较大的数字除以某数的余数问题转化为求一个较小数除以这个数的余数，使复杂的问题变得简单化。 1.把题目转化为算式就是：□÷7﹦□……□ 余数要比除数7小，商和余数相同，题中商和余数可能是0、1、2、3、4、5、6，带入原式。根据被除数﹦商×除法＋余数，算得： 0×7＋0﹦0；1×7＋1﹦8；2×7＋2﹦16；3×7＋3﹦24； 4×7＋4﹦32；5×7＋5﹦40；6×7＋6﹦48。所求被除数可能是：0、8、16、24、32、40、48。一个三位数被37除余17，被36除余3，那么这个三位数是多少？有啥好方法吗？这道题可采取经典的余数处理方法------凑。这个凑，可不是漫无目的的凑。而是有理有据才行。 1、找一个最小的自然数，满足除以37余17，当然17即可满足。 2、很显然，这个数除以36并不余3，作适当调整。 3、为了不改变37的那个余数，每次可加上一个37. 4、每加一次37，除以36的那个余数就增加1（记住，不要计算被除数是多少，而采取的是余数的性质。被除数扩大一倍，余数也扩大一倍，被除数增加几，余数也会增加几（或者除以除数的余数）） 5、因为我们要求的数除以36要余3，现在只是余17，即达到36后再多出3，即余39（注意，这里用的是扩展余数），还差39-17=22.所以要增加22个37. 6、结果是17+22×37即为答案。在作除法运算时，我们有这样的经验： (1)一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有5×1+3=8，5×2+3=13，5×3+3=18，5×4+3=23， (2)一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4. 389÷5=77......余4，389÷7=55......余4，389÷11=55 (4) 由此，我们可以来讨论下面的两个问题.

四年级奥数整除与余数

四年级奥数整除与余数【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。下面来总结一下整除和有余数除法的特征：整除： 1.能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。 2.能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。 3.能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。 4.能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。 5.能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。 6.能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。

7.能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。有余数的除法： 1.一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。 2.一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。 3.一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。 4.一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。所以这个6位数是141525或146520 【巩固练习】 1.已知一个五位数是A1A72能被12整除，求这个五位数。【答案】由于12=3×4，且3和4是互质的，所以能被12整除的数也就是说即能被3整除又能被4整除。当A1A72能被3整除时，则有A+1+A+7+2=10+2A能被3整除，A可以取1和4,；因为这个5位数的末两位是72，能被4整除，所以该数可以被4整除。所以

专题二整除及余数问题汇总

专题二：整除、余数问题【一】基础训练 1.用1～6这6个数字(每个数字只能用一次)，组成一个六位数abcdef ，使得三位数abc 、bcd 、cde 、def 能依次被4、5、3、11整除。求这个六位数。解：因为5|bcd ，所以5d =。又因11|def ，所以， d f e +-是11的倍数。但是1e ≤≤6， 35611d f ≤+≤+=，因此，只能d f e +-=0，即5+f e =。又e ≤6，1f ≥，故只能1f =，6e =。又因3|cde ，即3|56c ，所以，5c +能被3整除。而4|abc ，可知c 为偶数，只能4c =。进一行推知2b =，3a =。故324561abcdef =。 2.只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除。怎样修改？解题思路：本题有四种符合要求的答案，就看你考虑问题是不是全面了。因为225＝25×9，所以要修改后的数能被225整除，就是既能被25整除，又能被 9整除。被25整除不成问题，末两位数75不必修改，只要看前面三个数字。有2＋1＋4＋7＋5＝19＝18＋1＝27－8，不难得出上面四种答案。解： 3.如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？

解：因为199299÷105＝1898……9，所以199299－9＝199290就是105的倍数，所以填的两位数是90。 4.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？解题思路：依题意，能同时被2和5整除的数，其个位一定是0，其次该数若是8和9的倍数就一定是2、3、4、6的倍数，所以所求的数只需满足能被7，8，9整除。 (1)若能被9整除，百位与十位的和就是5或14，后三位有可能是500，410，320，230,140，050，950，860，770，680，590；(2)把上面的数用8来检查，即8的倍数应该检查末三位，只有320和680；(3)最后用7来检查，只有320可以。所以最后的三位数是320。解： 5.用数字6、7、8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？解题思路： 168＝7×3×8，要是7的倍数，那么这个题中就一定是abcabc的形式。 abcabc＝1001×abc，那么abc必须是3和8的倍数，6＋7＋8＝21，保证了3的倍数，而要满足能被8整除就只有768，所以六位数是768768。

小奥数论整除和余数知识点总结及例题完整版

小奥数论整除和余数知识点总结及例题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

有余数的除法练习题及答案

有余数的除法练习题及答案有余数的除法练习题及答案一、填空 1、在除法中,余数应比除数小,也就是除数必须比余数大。 2、被除数=除数×商+ 余数。 3、除数6,商是9,余数是5．被除数是59。 4、□÷6=□……□,余数可能是（ 5、4、3、2、1）。 □÷5=4……□,余数可能是（4、3、2、1）。 5、一个数除以9有余数,余数最大是8,最小是1。 6、○□□△○□□△○□□△……第25个图形是（○）。 7、○▲□○▲□○▲□○…… 第23个图形是（▲）。 9、有12个羽毛球。平均分给5人,每人分2 个,还剩2个。 10、35个小朋友坐船,每条船坐8人,至少要（5）条船。 11、有9个桃子,每盘放2个,还剩（1 ）个 12、有26个桔子,如果每袋装4个,可装（6）袋,还剩（2）个;如果每袋装5个,可装（5）袋,还剩（1）个;如果每袋装6个,可装（4）袋,还剩（2）个。 13、两个数相除,余数是6,除数最小是（7 ） 14、用21根长度相等的小棒,可以摆出5个正方形,还剩1根。 15、( )里最大能填几？（1）（9）×6＜57 （2）（6）×7＜43 （3）（7）×5＜38 三）列竖式计算下面各题。（答案略） 53÷7= 52÷6= 34÷5= 35÷8= 34÷5= 54÷8= 五、解决问题 1、姐姐买来一束花,有11枝,每5枝插入一个花瓶里,可插几瓶？还剩几枝？ 11÷5=2（瓶）······1（枝）答:可插2瓶,还剩1枝。 2、○○○○●●○○○○●●○○○○●●……那么第21颗棋子是什么色的？第43颗棋子是什么色？（列式计算） 21÷6=3（组）······3（颗） 43÷6=7（组）······1（颗）答:第21颗棋子是白色,第43颗棋子是白色。 2、妈妈买了21米花布,每4米做一个窗帘,可做几个窗帘？余几米布？ 21÷4=5（个）······1（米）答:可做5个窗帘,余1米布。 3、有25片扇叶,每台电扇装3片,这些扇叶够装几台电扇？ 25÷3=8（台）······1（片）答:这些扇叶够装8台电扇。 4、王老师买来一条绳子,长20米,剪下5米修理球网,剩下多少米？剩下的每2米做一根跳绳,可以做几根跳绳？还剩多少米？ 20-5=15（米） 15÷2=7（根）······1（米）答:可以做7根跳绳,还剩1米。

林匹克训练题库余数与同余

余数与同余 216两数相除，商是499，余数是3，被除数最小是几？ 217两个数被13除分别余7和10，这两个数的和被 13除余几？ 218用108除一个数余100，如果改用36除这个数，那么余数是几？ 2191111除以一个两位数，余数是66，求这个两位数。 220用1—9这9个数码连续不断地排列成一个100位数 89… 这个100位数除以9余几？ 221把自然数从小到大依次无间隔地写成一个数。问：从第1个数码到第300个数码所构成的数除以9余几？ 222求这样的三位数，它除以9所得的余数等于组成它的三个数字的平方和。 223求下列各数除以11的余数： 224将自然数1—40从左至右依次排列成一个71位数，求这个数除以11的余数。 225已知大小两数之和是789，大数去掉个位数字后等于小数。求大数。 226分别求满足下列条件的最小自然数： (1)用3除余2，用5除余1，用7除余1； (2)用3除余1，用5除余2，用7除余2； (3)用3除余2，用7除余4，用11除余1。 227一个自然数在1000到1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3。求这个自然数。 228A，B，C三人绕校园一周的时间分别为6分、7分、11分。由开始点A出发后，B比A晚1分钟出发，C比B晚5分钟出发，那么A，B，C初次同时通过开始出发的地点是在A出发后多少分钟？

229有一类自然数，其中每一个数与2的和都是5的倍数，与5的差都是6的倍数。问：这类自然数中最小的是几？ 230有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数。请按从小到大的顺序写出这类自然数中的前三个。 231在一个四位数除以19的竖式中，每商一次后的余数都是8。满足条件的四位数有哪些？ 232一个自然数，减去它除以7所得余数的5倍，结果是100，求原来的自然数。 233两数相除商9余4。如果被除数、除数都扩大到原来的3倍，则被除数、除数、商、余数之和等于2583。求原来的被除数和除数。 234甲、乙、丙、丁四人分扑克牌，先给甲3张，再给乙2张，再给丙1张，最后给丁2张，然后再按照甲3张、乙2张，……的顺序发牌。问：最后一张(第54张)牌发给了谁？ 235节日的街上挂起了长长一排彩灯，从第1盏开始，按照5盏红灯、4盏黄灯、3盏绿灯、2盏蓝灯的顺序周而复始地排下去。问：第2000盏灯是什么颜色？ 236右图中，从A点出发沿顺时针方向绕正方形走，到B点拐第1个弯，在哪个点拐第67个弯？ 237某班学生列队时，排三路纵队多1人，排四路纵队多2人，排五路纵队多3人。问：这班学生至少有多少人？ 238有一个数除以3余2，除以4余1。问：此数除以12余几？ 2392000除以自然数a的不完全商是46，求a。 240678除以一个数的不完全商是13，并且除数与余数的差是8，求除数和余数。 241从6月 25日12时起，过10000分钟后是哪月哪日的几时几分？ 242求1 2＋2 2＋…＋99 2除以4的余数。 243计算下列各式的余数： (1)81547×118÷7；(2)2758×3361÷9； (3)9642×2879×4787÷13；(4)2461×135×6047÷11；