整除与余数
整除与余数
模块一 整除问题
☆例1、四位数23□□能同时被2,3,5整数，那这个四位数最大是___________.
☆例2、如果六位数2007□□能被105整除，那么后两位是________.
☆例3、有一个数除以5余3，除以7余2，这个数除以35余数是______.
☆例4、某班有49名同学，其中男同学52和女同学8
3参加了数学小组，那么这个班中没有参加数学小组的同学有 名.
☆例5、已知七位数42792AB 能被99整除，那么中间两位AB=_______.
模块二 尾数问题
1、基本规律
（1）几个自然数的和、差、积的尾数等于这几个自然数的个位数的和、差、积的尾数.
（2）两个相邻自然数的乘积的尾数只能是0，2，6之一.
(3)一个自然数的平方的尾数，只能是0,1,4,5,6,9这六个数.
2、自然数n 次方的尾数规律
（1）4n 与9n 的循环周期是2
（2）0n ，1n ，5n ，6n 的尾数是其本身；
（3）其他自然数n次方的循环周期都是4.
☆例1、在1×2×3...×1999×2000的乘积尾部有_____个连续的零.
☆例2、3×3×3×3×3...×3（2009个3相乘）的积的个位数字是_______.
☆例3、19912003×19922004×19932005的个位数字是______.
模块三余数问题
解题方法指导
1、余数的基本性质
余数小于除数
2、余数问题基本关系
（1）被除数=除数×商+余数
（2）除数=（被除数-余数）÷商
（3）商=（被除数-余数）÷除数
3、三大余数定理
（1）余数的加法定理
①a与b的和除以c的余数，等于a ，b分别除以c的余数之和.
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.
②当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数. 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即是2.
（2）余数的乘法定理
①a与b的乘积除以c的余数，等于a ，b分别除以c的余数的积. 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16=368除以5
的余数等于3.即两个余数的积3×1.
当余数的积比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数. 23，19除以5的余数分别是3和4，故23×19=437除以5的余数等于3×4=12除以5的余数，即是2.
（3）同余定理
如果a ，b 除以c 的余数相同，那么a 与b 的差能被c 整除. 例如：17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除.
☆例1、被除数、除数、商与余数之和是165，已知商是11，余数是5，那么被除数是___________.
☆例2、甲、乙两数的和是64，甲数除以乙数商3余8，甲数是_______,乙数是__________.
☆例3、用一个大于0的自然数，分别去除35，59和123，所得的余数相同，则这个数是_________.
☆例4、418×814×1616除以13所得的余数是___________.
☆例5、 3
2011333..333.个除以7所得的余数是_________.
☆例6、如果今天是星期六，再过20082008天是星期_____.
☆☆例7、有一个整数，用它去除160，110，70得到的三个余数之和是50，则这个整数是_______.
☆☆例8、有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人，若把书全部分给第一组，每人4本，有剩余；每人5本，书不够.又若全给第二组，每人3本，有剩余；每人4本，书不够.那么第二组有_________人.
巩固练习
☆练习1、六位数□2008□能同时被9和11整除，那么这个六位数是_________.
☆练习2、一个六位数，前四位是2857，即这个六位数是2857□□.且它能被11和13整除，那么后两位是__________.
☆练习3、在947后面添上三个不同的数字，组成一个能被2,3,5同时整除的最小的六位数，这个数是_________.
☆练习4、在所有各位数字之和等于34，且能被11整除的四位数中，最大的一个是________,最小的一个是_________.
☆练习5、一个三位数百位上是最小的质数，十位上是最小的合数，这个数又是2,3,5的倍数，这个数是_________.
☆练习6、1×2×3×...×99乘积的末尾数字是_______.
☆练习7、2000×2001×2002×2003×2004×121×123×125×127×129的积的末尾有_________个连续的零.
☆练习8、乘积202×203×204×205×206×...×2000×2001×2002是一个多位数，这个多位数的尾部有________个连续的零.
☆练习9、32003+22005的个位数字是_________.
☆练习10、19971997×19991999×20012001×20032003+1的个位数字是
_________.
☆练习11、被除数、除数、商、余数的和是2143，已知商是33，余数是52，被除数是________.
☆练习12、用自然数除以除数，商3余3，被除数、除数、商、余数的和是41，除数是_______.
☆练习13、199911除以8所得的余数是______.
☆练习14、15×38×412×541除以13所得的余数是________.
☆练习15、假如今天是星期六，再过102000天是星期________.
☆练习16、三个数23，51，72，分别除以同一个大于1的自然数，得到同一个余数，则这个余数是________.
☆练习17、一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是_______.
☆练习18、学校买来101个乒乓球、67个乒乓球拍和33个乒乓球网；如果把这三种物品平均分给每个班，这三种物品剩下的物品的数量相同.那么，这个学校应有_______个班.（班数大于1）
☆☆练习19、一个六位数的各位数字都不相同，它能被11整除，且最左一个数字是3，这样的六位数中最小的是____________.
03.奥数第三讲.除法与余数(答案)
第三讲除法与余数 1．老师带来了12个苹果，要分给4个小朋友，并且想让每个小朋友分得的苹果一样多。那么有几种不同的分法呢？ 王老师这样分：先拿4个苹果，给每个小朋友一个；又拿出4个苹果，给每个小朋友一个苹果；……这样分下去一直到苹果分完为止。 李老师这样分：先拿3个苹果，给第一个小朋友；再拿出3个苹果，给第二个小朋友；……这样一直分到最后一个小朋友为止。 请小朋友们想一想，这两种分法效果一样吗？再想一想，你认为那一种方法好呢？请说出自己的理由。 提示：“平均分”的除法与“包含”除法，这两者既有区别又有联系，是对立统一的。2．在第1题中的问题中，我们学会了一种平均分配东西的方法，我们给它起一个名字叫做“除法”。我们想一想，如果时光倒转，把我们平均分配物品的过程反过来的话，是怎样的一个问题呢？ 对了，是一个求几个相同数和的问题，要用乘法来解决。也就是说，除法和乘法是很类似的。除法只不过是把乘法的过程反过来算而已。比如：被除数÷除数=商，反过来的话，商×除数=原来的被除数。这是很有趣的一个规律，请大家牢记。 因此，对于比较简单的除法算式，我们可以利用乘法口诀反推出结果！请列式计算： (1) 把10块大白兔奶糖平均分给牛牛和壮壮，他们俩每人可以分到几块大白兔奶糖？ (2) 把21本故事书，平均分给小明、小红和小花，他们每人可以分到几本故事书？ (3) 把48台电脑平均分给六个年级，每个年级可以分到几台电脑？ 总结：当每份都一样多时：平均分除法——总数÷份数= 每份数； 包含除法——总数÷每份数= 份数； 而对于除法的逆运算：乘法——每份数×份数= 总数。 3．利用乘法口诀计算： 1÷1 = 2÷1 = 2÷2 = 3÷1 = 3÷3 = 4÷1 = 4÷2 = 4÷4 = 6÷2 = 6÷3 = 8÷4 = 12÷3 = 12÷6 = 15÷5 = 18÷3 = 18÷6 = 18÷9 = 24÷3 = 24÷4 = 30÷5 = 36÷6 = 36÷4 = 32÷4 = 81÷9 = 72÷8 = 42÷7 = 63÷9 = 64÷8 = 49÷7 = 45÷9 = 并观察这些算式，你找到了什么规律呢？ 提示：既可以联想到乘积不变的性质，也可以联想到商不变的性质。可见，乘法与除法是相互依赖的。还有除以1等于自己的规律，除以自己等于1的规律，等等…… 4．会算除法算式固然很重要，但是懂得除法的意义更加重要，除法的意义可以帮助我们把口诀里没有的算式也能算出来。不信的话，请列式计算以下题目： (1) 把30根铅笔平均分装在两个文具盒中，平均每个文具盒中要装几支铅笔？ (2) 60粒草莓，每20粒装成一袋，一共需要装多少袋？ (3) 学校将50个足球平均分给10个班，请问每个班分到多少个足球？ (4) 100朵鲜花，每10朵扎成一束花，一共可以扎成多少束花？
数论问题之余数问题-余数问题练习题含答案
数论问题之余数问题:余数问题练习题含答 案 1.数11 1(2007个1),被13除余多少 分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007 6后余3,所以答案为7. 2.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)6443 19=339 2,212=4096 ,4096 19余11 ,所以余数是11 . 3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位
数. 分析:1013-12=1001,1001=7 11 13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真. 4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班 分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17. 5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数. 分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定
能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数. 101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14. 6.求下列各式的余数: (1)2461 135 6047 11 (2)2123 6 分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4 ):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4 因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.
数论知识点之整除与余数
整除 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个 数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这 个数能被7、11或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则 拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)． 性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a． 性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）； 性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac； 余数 一、三大余数定理： 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的 余数。 例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2.余数的减法定理
小奥数论整除和余数知识点总结及例题
小奥数论整除和余数知识 点总结及例题 Prepared on 21 November 2021
1.数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。 b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；ba，不能整除； ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯 定是a的倍数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c); ③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能 整除c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能 整除c，且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9； 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）
从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除； 两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 ① 一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ② 特殊求空格数 根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001; 7×143=1001; 根据abc → abc → =abc → ×1001; aaa → aaa → =aaa → ×1001;求能被7整除的空格数 系列截判法（用以判别能否被9/99/999整除） 除数是几位数就可以从右往左几位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999整除。 除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。 例如： 2.3余数的判别法 ① 整除是余数为0的情况。a ÷b=c …..0； 此时，a=b ×c;b=a ÷c
小奥数论1_整除和余数知识点总结与经典例题
1.数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质 2.1.1定义 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。 2.1.2表达式和读法 b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除； 2.1.3基本性质 ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的 倍数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c); ③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能整除 c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c， 且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法 2.2.1末位判别法 2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除） 各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9； 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除） 从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除） 2.2.4.1基本用法 从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除； 如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4.2特殊用法 ①一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ②特殊求空格数 根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001;
第讲余数问题
第十讲余数问题 常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题： ㈠带余除法。 一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r， 使得α÷b＝q……r 或α＝b×q＋r 当r=0时，我们称α能被b整除。 当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。 带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。 ㈡余数周期。 这其中又分为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。 ㈢同余问题。 1、什么是“同余”？ 整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。 记作：α≡b （mod c） 例如：15÷4＝3 (3) 23÷4＝5 (3) 15和23对于除数4同余。 记作：15 ≡23 （mod4） 可以理解为15和23除以4的余数相同。 2、“同余”的四个常用性质是什么？ 同余性质1：如果α≡ b (mod m)， 则m︱（α－b） 若两数同余，他们的差必是除数的倍数。 例如，73 ≡23 (mod 10) 则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。
同余性质2：如果α≡ b (mod m)， c ≡ d (mod m), 则α±c ≡ b ± d (mod m) 两数和的余数等于余数的和。 两数差的余数等于余数的差。 例如，73 ≡3 (mod 10) 84 ≡4 (mod 10) 73+84 ≡3+4≡7 (mod 10) 84－73≡4－3≡1 (mod 10) 同余性质3：如果α≡ b (模m)， c ≡ d (模m), 则α× c ≡b×d (模m) 两数积的余数等于余数的积。 例如，73 ≡3 (模10) 84 ≡4 (模10) 73×84 ≡3×4≡2 (模10) 同余性质4：如果α≡ b (模m) 则αn≡b n (模m) 某数乘方的余数，等于余数的乘方。 例如，40≡1 （mod13） 4031≡131≡1 （mod13） 很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。 4、“物不知其数”。 与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。 我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。例2、例3 绝招二：加同补。例4、作业4 、学案3 绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。
四年级奥数 整除与余数
四年级奥数整除与余数 【导言】我们学习的除法算式有两种情况，一种是被除数除以除数以后，余数为0，即数的整除性；另一种是被除数除以除数以后，余数不为0，即有余数的除法。一个有余数的除法包括四个数：被除数÷除数=商……余数。这个关系也可以表示为：被除数=除数×商+余数。下面来总结一下整除和有余数除法的特征： 整除： 1.能被2整除的特征：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。 2.能被3整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。 3.能被4（或25）整除的特征：如果一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数能被4（或25）整除。 4.能被5整除的特征：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。 5.能被8（或125）整除的特征：如果一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数能被8（或125）整除。 6.能被9整除的特征：如果一个数的各位数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除。
7.能被11整除的特征：如果一个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除。 有余数的除法： 1.一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。 2.一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。 3.一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。 4.一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差除以11的余数相同。（如果奇位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，可用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得的余数与11的差即为所求）。 【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。 【解题步骤】能被5整除的数的末位是0或5，能被9整除的末位是各位上的数字之和能被9整除，即1+4+A+5+2+B能被9整除。当B=0时，A取6；当B=5时，A取1。所以这个6位数是141525或146520 【巩固练习】 1.已知一个五位数是A1A72能被12整除，求这个五位数。 【答案】由于12=3×4，且3和4是互质的，所以能被12整除的数也就是说即能被3整除又能被4整除。当A1A72能被3整除时，则有A+1+A+7+2=10+2A能被3整除，A可以取1和4,；因为这个5位数的末两位是72，能被4整除，所以该数可以被4整除。所以
专题二整除及余数问题汇总
专题二：整除、余数问题 【一】基础训练 1.用1～6这6个数字(每个数字只能用一次)，组成一个六位数abcdef ，使得三位数abc 、bcd 、cde 、def 能依次被4、5、3、11整除。求这个六位数。 解：因为5|bcd ，所以5d =。又因11|def ，所以， d f e +-是11的倍数。但是1e ≤≤6， 35611d f ≤+≤+=，因此，只能d f e +-=0，即5+f e =。又e ≤6，1f ≥，故只能1f =，6e =。 又因3|cde ，即3|56c ，所以，5c +能被3整除。而4|abc ，可知c 为偶数，只能4c =。进一行推知2b =，3a =。故324561abcdef =。 2.只修改21475的某一位数字，就可以使修改后的数能被225整除。怎样修改？ 解题思路： 本题有四种符合要求的答案，就看你考虑问题是不是全面了。因为225＝25×9，所以要修改后的数能被225整除，就是既能被25整除，又能被 9整除。被25整除不成问题，末两位数75不必修改，只要看前面三个数字。有2＋1＋4＋7＋5＝19＝18＋1＝27－8，不难得出上面四种答案。 解： 3.如果六位数1992□□能被105整除，那么它的最后两位数是多少？
解：因为199299÷105＝1898……9，所以199299－9＝199290就是105的倍数，所以填的两位数是90。 4.某个七位数1993□□□能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？ 解题思路： 依题意，能同时被2和5整除的数，其个位一定是0，其次该数若是8和9的倍数就一定是2、3、4、6的倍数，所以所求的数只需满足能被7，8，9整除。 (1)若能被9整除，百位与十位的和就是5或14，后三位有可能是500，410，320，230,140，050，950，860，770，680，590；(2)把上面的数用8来检查，即8的倍数应该检查末三位， 只有320和680；(3)最后用7来检查，只有320可以。所以最后的三位数是320。解： 5.用数字6、7、8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除。这个六位数是多少？ 解题思路： 168＝7×3×8，要是7的倍数，那么这个题中就一定是abcabc的形式。 abcabc＝1001×abc，那么abc必须是3和8的倍数，6＋7＋8＝21，保证了3的倍数，而要满足能被8整除就只有768，所以六位数是768768。
小奥数论整除和余数知识点总结及例题完整版
小奥数论整除和余数知识点总结及例题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
1.数论——数的整除和余数 2.1基本概念和基本性质 整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b 整除，或者说b能整除a。 b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；ba，不能整除； ①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯 定是a的倍数； ②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c); ③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a或b皆能 整除c; ④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能 整除c，且ab互质，则ab的积能整除c; ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。 173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9； 简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x 再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。 从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除； 奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。余数的判断法与整数位的判断法一致。 2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）
从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除； 两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。 ① 一般求空格数 如果中间有空格，则利用加减性加或减除数7的倍数，分别从右边和左边抵消缩减位数，到最后看7的哪个倍数与缩减后的末位数相同，并看7的哪个倍数与缩减后的首位数相同，则前一个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。 395864□82365，答案为5 463925□01234，答案为1和8 ② 特殊求空格数 根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143整除，因为： 7×11×13=1001; 77×13=1001; 99×11=1001; 7×143=1001; 根据abc → abc → =abc → ×1001; aaa → aaa → =aaa → ×1001;求能被7整除的空格数 系列截判法（用以判别能否被9/99/999整除） 除数是几位数就可以从右往左几位一截，将截取的段位数相加再截取，直至不能再截取，看相应的数能否被相应的除数9/99/999整除。 除数是11时，也可以用两位一截判别法，因为根据整数的因数性，能被99整除的数，肯定能被11整除。 例如： 2.3余数的判别法 ① 整除是余数为0的情况。a ÷b=c …..0； 此时，a=b ×c;b=a ÷c
有余数的除法练习题及答案
有余数的除法练习题及答案 有余数的除法练习题及答案一、填空 1、在除法中,余数应比除数小,也就是除数必须比余数大。 2、被除数=除数×商+ 余数。 3、除数6,商是9,余数是5．被除数是59。 4、□÷6=□……□,余数可能是（ 5、4、3、2、1）。 □÷5=4……□,余数可能是（4、3、2、1）。 5、一个数除以9有余数,余数最大是8,最小是1。 6、○□□△○□□△○□□△……第25个图形是（○）。 7、○▲□○▲□○▲□○…… 第23个图形是（▲）。 9、有12个羽毛球。平均分给5人,每人分2 个,还剩2个。 10、35个小朋友坐船,每条船坐8人,至少要（5）条船。 11、有9个桃子,每盘放2个,还剩（1 ）个 12、有26个桔子,如果每袋装4个,可装（6）袋,还剩（2）个;如果每袋装5个,可装（5）袋,还剩（1）个;如果每袋装6个,可装（4）袋,还剩（2）个。 13、两个数相除,余数是6,除数最小是（7 ） 14、用21根长度相等的小棒,可以摆出5个正方形,还剩1根。 15、( )里最大能填几？ （1）（9）×6＜57 （2）（6）×7＜43 （3）（7）×5＜38 三）列竖式计算下面各题。（答案略） 53÷7= 52÷6= 34÷5= 35÷8= 34÷5= 54÷8= 五、解决问题 1、姐姐买来一束花,有11枝,每5枝插入一个花瓶里,可插几瓶？还剩几枝？ 11÷5=2（瓶）······1（枝） 答:可插2瓶,还剩1枝。 2、○○○○●●○○○○●●○○○○●●……那么第21颗棋子是什么色的？第43颗棋子是什么色？（列式计算） 21÷6=3（组）······3（颗） 43÷6=7（组）······1（颗） 答:第21颗棋子是白色,第43颗棋子是白色。 2、妈妈买了21米花布,每4米做一个窗帘,可做几个窗帘？余几米布？ 21÷4=5（个）······1（米） 答:可做5个窗帘,余1米布。 3、有25片扇叶,每台电扇装3片,这些扇叶够装几台电扇？ 25÷3=8（台）······1（片） 答:这些扇叶够装8台电扇。 4、王老师买来一条绳子,长20米,剪下5米修理球网,剩下多少米？剩下的每2米做一根跳绳,可以做几根跳绳？还剩多少米？ 20-5=15（米） 15÷2=7（根）······1（米） 答:可以做7根跳绳,还剩1米。
整除与有余数除法
第二十一讲 整除与有余数除法 【】 同学们，我们在二年级就已经学过“有余数的除法”，下面，向大家介绍整除与有余数除法的基础知识与基本方法。 1、整除：两个数相除时（除数不为0），它们的商是整数。例如： 12÷4＝3 我们就说“12被4整除”或“4整除12”。 2、有余数除法：两个整数相除时（除数不为0），它们的商不是整数。例如： 13÷7＝713 我们就说“13不能被7整除”，可写成：13÷7=1……6,我们称6为13除以7的余数，这种带有余数的除法叫有余数除法，可表示为：被除数÷除数＝商……余数. 有时为了讨论方便和统一，也将两整数整除时称作余数为零。 3、被除数＝除数×商＋余数 4、可被2整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是偶数，那么这个数能被2整除。 5、可被3整除的数的特征是：如果一个数的个位数字的各位上的数字之和能被3整除，那么这个数能被3整除。 6、可被5整除的数的特征是：如果一个数的个位数字是0或5，那么这个数能被5整除。 7、数的整除有两个简单的性质： （1）如果甲、乙两个整数都能被整数丙整除，那么甲、乙两数的和以及甲、乙两数的差也能被丙整除。 （2）几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 【典型例题】 例一、一个除法运算，被除数是10，除数比10小，则可能出现的所有不同的余数的和是多少？ 仿练一、哪些数除以5，能使商与余数相同？ 例二、两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数。 仿练二、两个数的和是444，较大的数除以较小的数所得的商是4余24，这两个数各是多少？ 例三、下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？ 仿练三、被除数、除数、商与余数的总和是100，已知商是12，余数是5，求被除数与除数；
整除问题及余数与同余问题
整除问题及余数与同余问题 姓名得分 一、整除问题基础训练题 1、六位数26AAA1能被9整除，A是几？ 2、各位数字都是5，能被21整除的最小自然数是多少？ 3、已知3A4A7A9A5能被11整除，A是几？ 4、若五位数12ABC能被1125整除，则ABC只能是多少？ 5、已知五位数7□4□5能被75整除，且各个数位上的数字各不相同，那么方框里的数字有几种填法？ 6、既能被9整除，也能被25整除的最小四位数是多少？
7、在自然数5537的前后各填一个数字，使重新得到的六位数是45的倍数，那么填上去的两个数字之和是几？ 8、有一个自然数，它是一个7、三个5、四个3、六个2的连乘积，在这个数的因数中，最大的两位数是多少？ 9、三个均小于20的质数，它们的和是30，它们的乘积是多少？ 10、在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？ 11、50×49×48×…×2×1的乘积中，末尾有多少个零？ 12、已知自然数a有两个因数，那么4a有多少个因数？
13、三个自然数的乘积是1224，其中第一个自然数与第二个自然数的和等于第三个自然数，求第三个自然数是多少？ 14、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，两个数的和是66，这两个数各是多少？ 15、三个连续自然数的最小公倍数是360，这三个自然数分别是多少？ 16、已知三个质数的倒数和等于215／429，求它们的和。 17、有一列数1、1、2、3、5、8、13、21、34…，从第3个数开始，每个数都是它前边两个数的和，那么前100个数中，有多少个偶数？ 18、将分母为15的所有最简假分数按由小到大的顺序依法排列，第1998个最简假分数化成带分数，整数部分是多少？
整除与带余数除法练习题及答案
整除与带余数除法练习题 1. 有一个数，除以3余数是1，除以4余数是3，这个数除以12余数是_____. A.7 B.8 C.9 D.10 2. 一个两位数,用它除58余2,除73余3,除85余1,这个两位数是_____. A.14 B.15 C.16 D.17 3. 学习委员收买练习本的钱,她只记下四组各交的钱,第一组 2.61元,第二组3.19元,第三组2.61元,第四组3.48元,又知道每本练习本价格都超过1角,全班共有_____人. A.41 B.42 C.43 D.44 4. 五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人排一行,多出一个人；如果10人排一行，同样多出一个人.这两个班最少共有_____人. A.91 B.95 C.96 D.93 5. 一个数能被3、5、7整除，若用11去除则余1，这个数最小是_____. A.210 B.220 C.230 D.240 6. 同学们进行队列训练,如果每排8人,最后一排6人；如果每排10人，最后一排少4人.参加队列训练的学生最少有_____人. A.46 B.47 C.48 D.49 7. 把几十个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份4个余3个.这堆苹果共有_____个. A.71 B.72 C.76 D.67 8. 一筐苹果,如果按5个一堆放,最后多出3个.如果按6个一堆放,最后多出4个.如果按7个一堆放,还多出1个.这筐苹果至少有_____个. A.147 B.148 C.149 D.150 9. 除以3余1,除以5余2,除以7余4的最小三位数是_____. A.170 B.171 C.172 D.173 10. 有一筐鸡蛋,当两个两个取、三个三个取、四个四个取、五个五个取时，筐内最后都是剩一个鸡蛋；当七个七个取出时，筐里最后一个也不剩.已知筐里的鸡蛋不足400个,那么筐内原来共有_____个鸡蛋. A.300 B.301 C.302 D.303
第十讲整除与有余数的除法
第十讲整除与有余数除法 ●知识要点和基本方法 1．整除：两个整数相除时(除数不为0)，它们的商是整数。 2．有余数除法：两个整数相除时(除数不为0)，它们的商不是整数。 ●被除数÷除数=商……余数 ●被除数=除数×商+余数 3．有时也将两整数整除时称作余数为0。 4．可被2整除的数的特征：个位数为偶数。 5．可被3整除的数的特征：各位上数字之和是3的倍数。 6．可被5整数的数的特征：个位数为0或5。 7．如果甲、乙两个整数都能被整数丙整除，那么甲、乙两数的和以及甲、乙两数的差也能被丙整除。 8．几个整数相乘，如果其中一个因数能被某个整数整除，那么它们的积也能被这个整数整除。 一．哪些数除以7，能使商与余数相同？ 二．两个整数相除商是12，余数是8，并且被除数与除数的差是822，求这两个整数？ 三．下面算式中的两个方框内应该填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？ ÷ 25 =104…… 四．从4、0、5、7四个数中任先三个，组成能同时被2、3、5整除的数，并将这些数从小到大排列。 五．四位数7A2B能被2、3、5整除，求这样的四位数？ 六．首位数字是9，各位上的数字互不相同，并且能同时被2、3整除的七位数中，最小是几？ 七．哪些数除以5，能使商与余数相同？
八．两个数的和是444，较大的数除以较小的数所得商是4余24，这两个数各是多少？ 九．已知大数比小数多104，大数比小数的15倍多6，求大数和小数。 十．被除数、除数、商与余数的总和是100，已知商是12，余数是5，求被除数和除数？十一．四位数3AA1能被3整除，则A是多少？ 十二．四位数8A1B能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少？(不同字母代表不同数字) 十三．从写有7、4、1、0、9的五张卡片中取出四张，组成若干个被3整除的四位数，把这些数按照从小到大的顺序排列起来，第三个数应该是多少？ 十四．120除以某数，余数是16，如果130除以这个数，正好没有余数，某数是多少？ 十五．一个两位数被9除余7，被7除余5，这个两位数是多少？ 十六．一个两位数除以13的不完全商是6，除以7所得的余也是6，这个两位数是多少？(不完全商是指商的后面有余数) 十七．在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被2、3、5整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少？ 十八．求能被2、3、5整除的最大的三位数是多少？最小的三位数是多少？
最新人教版二年级下册混合运算与有余数的除法练习题
一.填空 1.23+6—11这道题中先算____________,再算____________。 2.在没有括号的算式里，只有加、减法或只有乘、除法，都要 __________________________计算。 3.一道除法题，除数是 4.小米把被除数的十位数字和个位数字看颠倒了，结果除得的商是21.这道题正确的商应该是__________. 4.在没有括号的算式里，如果有乘、除法，又有加、减法，要先算 ______________,后算-____________. 5.在有余数的除法算式里，余数___除数。 6.46里面最多有______个7。75里面最多有_____个8。 7.□÷4＝□……□这个算式中，余数最大是_______. 二．判断 1.47÷5＝9…… 2. 2.28÷4＝6 (4) 3.二月份28天业就是4个星期零1天. 4.22个苹果每人分2个可以分给11个人。 三、计算 1.列竖式计算 73÷954÷932÷828÷3 28÷636÷744÷864÷8÷ 2.脱式计算。 72÷9＋1278－28÷472－5×7
48÷8÷116－2×5（25－556÷863÷72×4÷24 ）÷ 四、连一连 29÷425÷849÷832÷523÷717÷5 ......1 (2) 五．把下列算式合并为综合算式。 3×3＝982－18＝6444－37＝772÷9＝864÷8＝863÷7＝ 9____________________________________________________ 五．解决问题 1.47个同学坐车去郊游，每辆车最多坐7人。他们至少需要租几辆车？ 2.小波有15元，玩具熊6元一个，他最多能买几个？ 3.一些糖果不到40个，平均分给5个班，剩下4颗。平均分给7个班，也剩下4颗，这些糖果一共有几颗？
整除与余数
整除与余数 整除问题与余数问题是数学中的重要问题，也是重点中学招生命题的热点之一，这部分知识概念多，抽象性，综合性和应用的广泛性较强。 知识要点： 一.数的整除特征： 1.能被2整除的数，末位是0，2，4，6，8； 2.能被3或9整除的数，各个数位数字之和能被3或9整除； 3.能被5整除的数，末位为0或5； 4.能被4或25整除的数，末两位数能被4或25整除； 5.能被8或125整除的数，末三位数能被8或125整除； 6.能被11整除的数，奇数位数字和与偶数位数字和的差（大数减小数）能被 11整除； 7.能被7，11，13整除的数，这个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的 数字所表示的数的差分别能被7，11，13整除。 二.整除的性质： 1.如果两个数都能被同一个自然数（0除外）整除，那么它们的和（或差）也 能被这个自然数整除； 2.如果一个数a能被另一个自然数b（0除外）整除，那么a的整数倍也能被b整 除； 3.如果一个数能被某个自然数（0除外）整除，这个自然数又能被另一个自然 数（0除外）整除，那么这个数也能被后一个自然数（0除外）整除。 三.被除数、除数、商和余数的关系：被除数=除数×商+余数（其中0≤余数＜ 除数） 四.如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，那么余数 也随着扩大或缩小相同的倍数。
例一.从1、2、3、4、5、6这6个数任意取3个数组成三位数，其中能被6整除的有几个？ 例二.有一个四位数2 5mm，它能被9整除，则m代表。 例三.将从1开始的自然数的平方连续写成一个自然数，当写到16 42 时，这 个自然数14916第一次能被11整除，当写到的平方时，这个自然数第二次能被11整除。 课堂练习： 1.写出一个能同时被2、3、5整除的最小的三位数。 2.在2、3、5、7、9中任选四个数字，组成被3和5除都余2的四位数，请写 出四个这样的四位数。 课后练习： 1.两数相除，商是3，余数是10，被除数。除数、商和余数的和是143，被除 数和除数分别是多少？ 2.678除以一个数，商是13，并且除数与余数的差是8，除数是，余数 是。
二年级下册有余数的除法解决问题练习题(可直接打印)
有关余数的解决问题1 姓名： 1、有38盆花，每组摆5盆，可以摆几组？还多几盆？9、一个袋子最多可以装5个苹果，36个苹果最多能装满几个袋子？ 2、李老师有69个橘子，每人分7个，够分给9 个小朋友吗？10、一个水果盘最多可以放4个桃子，现在有33 个桃子，最多能放满几个水果盘？ 3、19名同学去郊游，平均每辆车能坐4人，至少需要几辆车？11、一副手套8元，50元可以买几副手套？还剩多少元？ 4、小熊要运53个南瓜，每次能运8个，把这些南瓜全部运完，需要几次？12、一双袜子6元，50元可以买几双袜子？还剩多少元？ 5、有26名同学去划船，每条船限乘3人，至少需要几条船？13、农民伯伯采了65个柚子，每9个装一箱，可以装几箱？还剩几个柚子？ 6、做一套衣服需要3米布，20米布最多能做几套衣服？迢、一排字按“从小爱数学从小爱数学……” 的顺序依次排列，第39个字是什么字？（要答） 7、一串糖葫路上有8个山楂，75个山楂可以串几 串糖葫芦？ 15如果今天是星期三，再过22天是星期几? &李老汉卖西瓜，每个西瓜卖6元，王妈妈拿了 40元，最多能买几个西瓜？16、如果今天是星期三，再过35天是星期几?
有关余数的解决问题2 姓名： 1、做一套衣服要用3米布，25米布可以做几套衣 服？还剩几米？ 8、有17名老师乘车去开会，每车限乘 4人，至 少 需要乘几辆车？ 2、一共有35颗糖，每个小朋友分4颗，最后发 现还剩3颗，一共有多少个小朋友呢？ 9、有一串珠子是按蓝蓝黄蓝蓝黄 的规律排 列，第29颗珠子应该是什么颜色？ 3、有23盒粉笔，最少拿走几盒就可以使 5个班 分 得的粉笔一样多？每个班分得多少盒？ 10、有30个桃，至少拿走几个，剩下的才能平均 分给7名同学？ 13、按3朵红花，2朵黄花的顺序依次排列，第 24朵 应该是什么颜色的花？ 6、一个大盒子，里面放着6个中等的盒子，每个 中等的盒子里又放着4个小盒子，一共有多少个 盒子？ 7、每件衣服要4颗纽扣，30颗纽扣最多可以订多 少 件衣服？ 14、有52个苹果，平均分给9个小朋友，每人能 分到多少个？还剩下多少个？要想每人分到 6个, 还需要 多少个苹果？ 4、有一排数 1 3 5 1 3 5 1 3 第20个数是几？ 5… …按此规律， 5、有一排数 2 1 3 2 1 3 2 1 3… …，按这样的 规律排列，第25个数是几？这25个数之和是多 少？ 11、有40个包子，每个盘子能装6个，至少需要 多 少个盘子才能装完？ 12、有40个包子，每个盘子能装6个，能装满几 个 盘子？
质数与合数整除和余数
小学奥数知识清单 15、质数与合数 质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。 合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。 分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分析质因数的标准表示 形式： 其中a 1、a 2、a 3……a 1都是合数N 的质因数 约数个数：P=(r 1＋1)×(r 2＋1)×(r 3＋1)×……×(r n ＋1) 所有约数的和： 例如20、 1988有多少个约数？1988所有约数的和是多少 互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。 解：1998=2×3×3×3×37 =21×33×37 约数有：（1+1）×（3+1）×（1+1）=16（个） 约数和：（20+21)( 30+31+ 32+33)( 370+371)= 4560
16、约数与倍数 约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。 最大公约数的性质： （1）几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。 （2）几个数的最大公约数都是这几个数的约数。 （3）几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。 （4）几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。 例如12的约数有1、2、3、4、6、12； 18的约数有：1、2、3、6、9、18； 那么12和18的公约数有：1、2、3、6； 那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6； 求最大公约数基本方法： （1）分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 （2）短除法：先找公有的约数，然后相乘。 （3）辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。 公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小