3.1.1方程的根与函数的零点导学案
3.1.1方程的根与函数的零点导学案
教学目标：
知识与技能 理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件．
过程与方法 零点存在性的判定．
情感、态度、价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 教学重点：
重点 零点的概念及存在性的判定．
难点 零点的确定．
教学过程：
一、引入：
先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
○
1方程0322=--x x 与函数322--=x x y ○
2方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y ○
3方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y 分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系
二、定义
1．函数零点的概念
2．函数零点的意义：
3．函数零点的求法
4．二次函数的零点
5．零点存在性的探索：
（Ⅰ）观察二次函数32)(2
--=x x x f 的图象：
○
1 在区间]1,2[-上有零点______；=-)2(f _______，=)1(f _______, )2(-f ·)1(f _____0（＜或＞）
． ○2 在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞）．
（Ⅱ）观察下面函数)(x f y =的图象
○1 在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞）．
○2 在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞）．
○
3 在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞） 由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？
怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点．
三、例题
例1．求函数62ln )(-+=x x x f 的零点个数．问题：
1）你可以想到什么方法来判断函数零点个数？
2）判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性？
例2．求函数2223+--=x x x y ，并画出它的大致图象。
四、练习
1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）0532=++-x x ； （2）3)2(2-=-x x ；
（3）442-=x x ； （4）532522+=+x x x ．
2．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）53)(3+--=x x x f ； （2）3)2ln(2)(--=x x x f ；
（3）44)(1-+=-x e
x f x ； （4）x x x x x f ++-+=)4)(3)(2(3)(．
五、探究与发现
1．已知24581772)(234-+--=x x x x x f ，请探究方程0)(=x f 的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．
2．设函数12)(+-=ax x f x ．
（1）利用计算机探求2=a 和3=a 时函数)(x f 的零点个数；
（2）当R a ∈时，函数)(x f 的零点是怎样分布的？
六、作业
1． 求下列函数的零点：
（1）452--=x x y ； （2）202++-=x x y ；
（3）)13)(1(2+--=x x x y ；
（4）)23)(2()(22+--=x x x x f ．
2． 求下列函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间
上大于零，哪些区间上小于零：
（1）12312+-=
x x y ； （2）1422
+--=x x y ．
3． 已知124)1(2)(2-+++=m mx x m x f ：
（1）m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求m 的值．
4． 求下列函数的定义域：
（1）92-=
x y ； （2）432-+=x x y ； （3）1242-+-=
x x y
七、拓展
研究c bx ax y ++=2，02=++c bx ax ， 02>++c bx ax ，02
<++c bx ax 的相互关系，以零点作为研究出发点，并将研究结果尝试用一种系统的、简洁的方式总结表达．
八、收获与体会
说说方程的根与函数的零点的关系，并给出判定方程在某个区产存在根的基本步骤．
新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之
新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系课 后课时精练新人教B 版必修第一册 A 级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．下列说法中正确的有( ) ①f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为(－1,0)； ②f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1； ③y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴的交点； ④y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标． A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③ 答案 B 解析 根据函数零点的定义，f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1，函数y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标．因此，说法②④正确．故选B. 2．函数f (x )＝x 2 －x －1的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个 答案 C 解析 Δ＝(－1)2 －4×1×(－1)＝5>0，所以方程x 2 －x －1＝0有两个不相等的实根，故函数f (x )＝x 2 －x －1有2个零点． 3．函数f (x )＝2x 2 －3x ＋1的零点是( ) A ．－1 2，－1 B.12，1 C.1 2，－1 D ．－12 ，1 答案 B 解析 方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2 －3x ＋1的 零点是1 2 ，1. 4．函数y ＝x 2 －bx ＋1有一个零点，则b 的值为( )
A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．3 答案 C 解析 因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2 －4＝0，所以b ＝±2. 5．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )? ?? ??x －1a <0的解集为( ) A ．(－∞，a )∪? ?? ??1a ，＋∞ B ．(a ，＋∞) C.? ????－∞，1a ∪(a ，＋∞) D.? ?? ??－∞，1a 答案 A 解析 ∵a <－1，∴a (x －a )? ????x －1a <0?(x －a )? ?? ??x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，由函数f (x ) ＝(x －a )·? ?? ??x －1a 的图像可得所求不等式的解集为(－∞，a )∪? ?? ??1a ，＋∞. 二、填空题 6．函数f (x )＝? ???? 2x －4，x ∈[0，＋∞， 2x 2 －3x －2，x ∈－∞，0的零点为________． 答案 2，－1 2 解析 当x ≥0时，由2x －4＝0，得x ＝2；当x <0时，由2x 2 －3x －2＝0，得x ＝－12或 2(舍去)．故函数f (x )的零点是2，－1 2 . 7．已知函数f (x )＝ax 2 －5x ＋2a ＋3的一个零点为0，则f (x )的单调递增区间为________． 答案 ? ????－∞，－53 解析 由已知，得f (0)＝2a ＋3＝0，∴a ＝－32，∴f (x )＝－32x 2 －5x ，∴f (x )的单调递 增区间为? ????－∞，－53. 8．已知a 为常数，则函数f (x )＝|x 2 －9|－a －2的零点个数最多为________． 答案 4 解析 令g (x )＝|x 2 －9|，h (x )＝a ＋2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图像，如图所示．
高中数学《方程的根与函数的零点》导学案
3．1.1方程的根与函数的零点 1．函数零点的概念 函数的零点：□1对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 注意：函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根． 2．方程的根与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数根?□2函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?□3函数y＝f(x)有零点． 3．零点的存在性定理 □4如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意：(1)函数y＝f(x)在(a，b)内有零点，f(a)·f(b)＜0不一定成立． (2)若连续不断的曲线y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)·f(b)＜0，y＝f(x)在(a，b)内一定有零点，但不能确定有几个． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．() (2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1,0)，(x2,0)．() (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有
f(a)·f(b)<0.() 答案(1)×(2)×(3)× 2．做一做 (1)(教材改编P88T1)函数f(x)＝x2＋3x的零点是________． (2)(教材改编P88例1)若函数f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)<0，则函数f(x)在区间(2,5)上零点的个数是________． (3)已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，则可以确定零点所在区间为________．答案(1)0和－3(2)1(3)(1.25,1.5) 『释疑解难』 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且在两端点处的函数值f(a)，f(b)异号，则函数y＝f(x)的图象至少穿过x轴一次，即方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数根c. (2)零点的存在性定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数．如图(1)(2)，虽然都有f(a)·f(b)<0，但图(1)中函数在区间(a，b)内有4个零点，图(2)中函数在区间(a，b)内仅有1个零点． (3)零点的存在性定理是不可逆的，因为f(a)·f(b)<0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出f(a)·f(b)<0.如图(3)，虽然在区间(a，b)内函
方程的根与函数的零点
方程的根与函数的零点 教学重点：确定方程实数根的个数 教学难点：通过计算器或计算机做出函数的图象 教学方法：探讨法 教学过程： 引入问题 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？ 通过复习二者之间的关系引出新课（板书课题）： 1．函数零点的定义： 对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.这样，函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标，故有 2．一般结论 方程()0f x =有实数根?函数()y f x =的图象与x 轴有交点?函数()y f x =有零点 3．函数变号零点具有的性质 对于任意函数()y f x =，只要它的图象是连续不间断的，则有 （1）当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。如函数2()23f x x x =--的图象在零点1-的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点1-时，函数值由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值又由负变成正（见教材第102页“探究”题）。 （2）在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 4．注意点 （1）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。 （2）如方程有二重实数根，可以称函数有二阶零点。 5．勘根定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点， 即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的实数根。 例1．求函数()ln 26f x x x =+-的零点个数。 分析：求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根，有几个实数根的方法，其步骤是：
教学案例《方程的根与函数的零点》
《方程的根与函数的零点》教学案例 肃南一中程斌斌 一、教学内容分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教课书数学I必修本（A版）》第94-95页的第三章第一课时3.1.1方程的根与函数的的零点。 函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在现实生活注重理论与实践相结合的今天，函数与方程都有着十分重要的应用，再加上函数与方程还是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程在整个高中数学教学中占有非常重要的地位。 就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．渗透“方程与函数”思想。 总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。 二学生学习情况分析 地理位置：学生大多来自基层，学生接触面较窄，个性较活跃，所以开始可采用竞赛的形式调动学生积极性；学生数学基础的差异不大，但进一步钻研的精神相差较大，所以可适当对知识点进行拓展。 程度差异性：中低等程度的学生占大多数，程度较高的学生占少数。 知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础对于它根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有多大问题。这也为我们归纳函数的零点与方程的根联系提供了知识基础。但是学生对其他函数的图象与性质认识不深（比如三次函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出函数与方程的内在联系，因此理解函数的零点、函数的零点与方程根的联系应该是学生学习的难点。加之函数零点的存在性的判定方法的表示抽象难懂。因此在教学中应加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系，并充分提供不同类型的二次函数和相应的一元二次方程让学生研讨，从而直观地归纳、总结、分析出二者的联系。 三、设计思想 教学理念：培养学生学习数学的兴趣，学会严密思考，并从中找到乐趣 教学原则：注重各个层面的学生 教学方法：启发诱导式 四、教学目标
八年级数学下册函数零点导学案无答案新人教版
广东省阳东广雅中学 八年级数学下册《函数零点》导学案 新人教版 一、【课前自主预习环节】 预习课本86—88页内容，尝试回答以下问题 问题1 从不同的角度看21y x =-,你有什么样的理解？ 问题2 在21y x =-中，令0y =,得0.5x =,你对0.5x =又有怎样的理解？你认为“零点”这个名字的实际意义是什么？ 问题3 对于一般函数y=f(x)，你认为该如何定义它的零点呢？ 问题1：如何判断一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，有无实根？ 问题2：如何判断二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，的图象与x 轴有几个交点？ 问题3：与二次函数2 23y x x =--相应的一元二次方程是什么？这个二次函数的图象与x 轴的交点坐标是什么？相应的一元二次方程的两个根是什么？你能看出图象与x 轴的交点和相应的一元二次方程的根之间有什么关系吗？ 问题4：二次函数的图像与x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系可以推广到一般情况吗？ 问题5：什么是函数的零点？（零点的概念） 问题6：函数的零点是一个点吗？函数()y f x =的零点，方程()0f x =的根，函数 ()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标之间的关系是什么？ 问题7： 已知函数()2 21f x x x =-- （1）：判断函数零点的个数，并说明理由； （2）：根据课本方法判断该函数在区间（2，3）上存在零点吗？在区间（-1，1）上是否存在零点？ （3）：回顾刚才两个问题的解决，你能用符号语言总结一下如何判断二次函数f(x)在区间（a,b)上是否存在零点？ （4）：上述结论对任意函数是否仍然成立？并验证：函数1,0 1,0 x y x ≥?=?-
函数与方程、零点
函数与方程 一、考点聚焦 1．函数零点的概念 对于函数))((D x x f y ∈=，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点，注意以下几点： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。 （2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。 （3）一般我们只讨论函数的实数零点。 （4）求零点就是求方程0)(=x f 的实数根。 2、函数零点的判断 如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(
方程的根与函数的零点题型及解析
方程的根与函数的零点 题型及解析 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
方程的根与函数的零点题型及解析1.求下列函数的零点 （1）f（x）=x3+1；（2）f（x）=；（3）y=﹣x2+3x+4；（4）y=x2+4x+4． 分析：根据函数零点的定义解f（x）=0，即可得到结论． 解：（1）由f（x）=x3+1=0得x=﹣1，即函数的零点为﹣1；（2）由f（x）==0 得x2+2x+1=0得（x+1）2=0，得x=﹣1，即函数的零点为﹣1．（3）由y=﹣x2+3x+4=0，可得（x﹣4）（x+1）=0，所以函数的零点为4，﹣1；（4）y=x2+4x+4，可得（x+2）2=0，所以函数的零点为﹣2． 2.①求函数f（x）=2x+x﹣3的零点的个数；②求函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数；③求函数的零点个数是多少？ 分析：①由题意可判断f（x）是定义域上的增函数，从而求零点的个数；②由题意可 得，函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2的交点个数，数形结合可得结论．③由函数 y=lnx 的图象与函数y=的图 象只有一个交点，可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数． 解：①∵函数f（x）=2x+x﹣3单调递增，又∵f（1）=0，故函数f（x）=2x+x﹣3 有且只有一个零点 ②函数f（x）=log 2x﹣x+2的零点的个数，即函数y=log 2 x 的图象和直线y=x﹣2 的交点个数，如图所示：故函数y=log 2 x 的图象（红色部分）和直线y=x﹣2（蓝 色部分）的交点个数为2，即函数f（x）=log 2 x﹣x+2的零点的个数为2；③函数 f（x）=lnx-（1／x）的零点个数就是函数y=lnx的图象与函数y=1／x的图象 的 交点的个数，由函数y=lnx 的图象与函数y=1／x的图象只有一个交点，如图 所示， 可得函数f（x）=lnx-（1／x）的零点个数是1 3.①已知方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，求实数a的取值范围 ②已知a是实数，函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个 零点，求a的取值． ③已知函数f（x）=x2﹣2ax+4在区间（1，2）上有且只有一个零点，求a的取值范围 分析：①由已知，函数f（x）在区间（2，3）内有一个零点，它的对称轴为x=3／2，得出不等式组，解出即可； ②若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f（0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，解得答案；③若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有一个零点，则△=0，经检验不符合条件；则函数f（x）=x2﹣2ax+4有两个零点，进而f （1）f（2）＜0，解得答案 解：①若函数f（x）=﹣x2+ax﹣3在区间（0，1）与（2，4）上各有一个零点，则f （0）＜0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（4）＜0，即-3＜0，a-4＞0，2a-7＞0，4a-19＜0，解得：a∈（4，19／4）；②∵令f（x）=x2﹣3x+a，它的对称轴为x=3／2，∴函数f （x）在区间（2，3）单调递增，∵方程x2﹣3x+a=0在区间（2，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（2，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：f（2）＜0，f（3）＞0，即a-2＜0，9-9+a＞0，解得0＜a＜2；③解：若函数f（x）=x2﹣2ax+4只有
高中数学《方程的根与函数的零点》公开课优秀教学设计一
2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出
方程的根与函数的零点练习答案
方程的根与函数零点综合练习题答案 一、选择题 1．下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( ) A ．f (x )＝3x 2－4x ＋5 B ．f (x )＝x 3－5x －5 C ．f (x )＝ln x －3x ＋6 D ．f (x )＝e x ＋3x －6 2．设函数f (x )＝1 3 x －lnx (x ＞0)则y ＝f (x )( ) A ．在区间????1e ，1，(1，e )内均有零点 B ．在区间??? ?1 e ，1， (1，e )内均无零点 C ．在区间????1e ，1内有零点；在区间(1，e )内无零点D ．在区间????1 e ，1内无零点，在区间(1，e )内有零点 3．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 4．函数y ＝3 x －1x 2的一个零点是( ) A ．－1 B ．1 C ．(－1,0) D ．(1,0) 5．若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3，则x 1＋x 2＋x 3的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．不确定 6．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一实数根 B ．至多有一实数根 C ．没有实数根 D ．有惟一实数根 7．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()(0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( ) A ．至多有一个 B ．有一个或两个 C ．有且仅有一个 D ．一个也没有 9．函数f (x )＝2x －log 12 x 的零点所在的区间为( ) A.??? ?0，1 4 B.????14，12 C.??? ?1 2，1 D ．(1,2) 10．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( ) A.(－1,0) B 11．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点是2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )
高考复习专题函数零点的求法及零点的个数
函数零点的求法及零点的个数 题型1：求函数的零点。 [例1] 求函数 22 3-=x x y [解题思路]求函数 =y 02223=+--x x x 的根 [解析]令 32220x x x --+=∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴即函数 222 3+--=x x x y [反思归纳] 题型2[例2] 求函数f(x)=lnx ＋[解题思路]求函数2x －6=0的解的个数 [解析]方法一：易证调递增， 又有(1)(4)0f f ?<方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数 即求ln 62y x y x =?? =-?的交点的个数。画图可知只有一个。 有两种常用方法： )(x f y =的图像联系起来，并利 ()a x ax x f --+=3222 ,如果a 的取值范围。 ()x f y =在区间 ，但由于涉及到a 作 显然在[]1,1-上没有零点, 所以 令 =, 解得 a =
①当 a =时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; ②当()()()( 111-=?-a a f f 上也恰有一个零点。 ③当 () y f x =在[ - ()()20824401 1121010a a a a f f >? ??=++>??-<--0 04)2m m ＜0； ≥,0,0解得0＜m ≤1，综上可得m 大，另一根比r 小?a ·f （r ） r ?? ? ????>?>->-=?.0)(,2, 042r f a r a b a c b Δ
方程的根与函数的零点》说课稿
《方程的根与函数的零点》说课稿 1教材分析 1.1地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课. 新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课.所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识. 之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要.本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础.用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础. 从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合
从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台. 1.2教学重点 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理. 2学情分析 2.1学生具备必要的知识与心理基础. 通过前面的学习，学生己经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础. 方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础. 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点. 高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任.具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位. 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象.函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成
方程的根与函数的零点教案(新)
《方程的根与函数的零点》教案 一、课题：方程的根与函数的零点 二、课型：新授课 三、课时安排：1课时 四、教学目标：以一元二次函数的图象与对应的一元二次方程的 关系为突破口， 探究方程的根与函数的零点的关系式.发现并掌握在某区间上图象连续的函数存在零点的判定方法，探究过程中体验发现乐趣，体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想，培养学生分析问题、解决问题的能力. 五、教学重点：函数零点的概念与函数零点存在性. 六、教学难点：探究函数零点存在性. 七、教学内容分析： 函数与方程是中学数学的重要内容，既是 初等数学的 基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带，也是中学数学四大数学思想之一，因此函数与方程便自然地成为了高考考查的焦点，在整个高中数学中占有非常重要的地位. 八、教学方法：启发诱导式. 九、教学工具：黑板与多媒体. 十、教学步骤： 1.导入新课 解方程比赛： （学生口答） （逐层加深） （无法解） 2.引入课题 以下一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像有什么关系？ （1） （2） (3) 通过一元二次方程的实数根与相应的二次函数的图像可得出结论：一元二次方程的实数根就是与之相应的一元二次函数的图像与X 轴的交点的横坐标. 从而引出函数零点的概念：对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点. 注意：（1）“零点”不是一个点； （2）函数零点的意义：就是一元二次方程的实数根，亦是一元二 （3）等价关系：方程y=f(x)的图象与x 函数y=f(x)有零点. 通过上面的关系式的探讨，求函数零点主要方法有：（1）定义法（求方程的实数根）；（2）图象法（利用函数图象确定）. ()1320 x +=求下列方程的根： 032)2(2 =--x x 0 2)3(3=-+x x (4)ln 260 x x +-=0 322=--x x 322--=x x y 0122=+-x x 122+-=x x y 0322=+-x x 322+-=x x y
方程的根与函数的零点导学案
《方程的根与函数的零点》导学案 一．学习目标 1.结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的关系． 2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法． 二．学习重点、难点 重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断． 难点：准确认识零点的概念，能利用判定定理判断零点的存在或确定零点． 三．学习过程 （一）课前思考 问题1 判断方程2 230x x --=根的个数，并求解 问题2 作出函数223y x x =--的图象，并思考函数图象与问题1中方程的根有什么联系？ 思考结论： 问题 3 上述关系对于一般的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠及其相应的二次函数()20y ax bx c a =++≠是否也成立呢？
（二）课堂学习 函数零点的定义：______________________________________________________________ ______________________________________________________________ 例1 求函数)1lg()(-=x x f 的零点． 变式练习：求下列函数的零点． （1）65)(2+-=x x x f （2）12)(-=x x f 解题小结__________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 动手探究： 已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，且过点()(),A a f a 、()(),B b f b ，请在下列四个坐标系中分别作出函数()y f x =的一个可能图象． 思考：函数满足什么条件，在区间()b a ,上一定有零点？ 探究结论__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 定理：__________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ A · B · A · B · A · B · A · B ·
函数与方程的含参零点问题
函数与方程的含参零点问题 ?方法导读 函数与方程问题常以基本初等函数或分段函数为载体,考查函数零点的存在区间、确定零点的个数、参数的取值范围、方程的根或函数图象的交点等问题.函数与方程不仅考查考生计算、画图等方面的能力,还考查考生函数与方程、数形结合及转化化归等数学思想的综合应用.在解决函数零点问题时,既要注意利用函数的图象,也要注意根据函数的零点存在性定理、函数的性质等进行相关的计算,把数与形紧密结合起来. ?高考真题 【·天津卷理·】已知,函数,若关于的方程 恰有个互异的实数解,则的取值范围是______. ?解题策略 本题属于分段函数的零点问题,所以需要分类讨论: 当时,由,推出, 当时,由,推出, 再分别画出它们的图象,由图象可知, 当直线和的图象有两个不同的交点,而直线和 的图象无交点时满足条件. ?解题过程 当时,由,得, 当时,由,得,
令,作出直线,函数的图象如图所示, 的最大值为,由图象可知,若恰有个互异的实数解,则 ,得. ?解题分析 1.求函数零点问题,是高考试卷中的热点问题,这类问题要通过学生的直观想 象能力,画出函数图象求解比较直观、易理解; 2.本题由求解问题,通过变形转化为求和 的问题,然后通过图象可以顺利求解; 3.分类讨论思想贯穿整个高中阶段的数学学习中,在每年的高考试卷做题中都 会出现,尤其是解决综合题型时,很多学生不知道该如何分类讨论,所以学生在 平时的训练中要有意识的加以培养和应用. ?拓展推广 1.判断函数零点个数的常见方法 (1)直接法:解方程,方程有几个解,函数就有几个零点;
(2)图象法:画出函数的图象,函数的图象与轴的交点个数即为函数的零点个数; (3)将函数拆成两个常见函数和的差,从而 ,则函数的零点个数即为函数与函数 的图象的交点个数; (4)二次函数的零点问题,通过相应的二次方程的判别式来判断. 2.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法 (1)解方程,当对应方程易解时,可通过解方程,看方程是否有根落在给定区间 上; (2)利用零点存在性定理进行判断; (3)画出函数图象,通过观察图象与轴在给定区间上是否有交点来判断. 3.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 (1)把函数零点问题转化为方程根的问题 利用函数的零点方程的根,把求函数零点的相关问题转化为求方程根的问题,通过方程的根所满足的条件建立不等式来解决问题. (2)把函数零点问题转化为函数图象与坐标轴的交点问题 利用函数的零点函数的图象与轴的交点,把函数零点的相关问题转化为图象与坐标轴的交点问题,再利用数形结合的思想方法来解决问题. (3)把零点问题分离变量后转化为函数值域问题 将函数零点问题先转化为方程根的问题,然后进行变量分离,将参数分离出来转化为求函数值域问题,这种方法思路简洁,学生容易想到. (4)把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题
《方程的根与函数的零点》测试题
《3.1.1 方程的根与函数的零点》测试题 一、选择题 1.(2012天津)函数在区间(0，1)内的零点个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考查目的：考查函数零点的概念与零点存在性定理的应用. 答案：B. 解析：∵函数在区间(0，1)上连续且单调递增，又∵，，∴根据零点存在性定理可知，在区间内函数零点的个数有1个，答案选B. 2.(2010浙江)已知是函数的一个零点.若，，则( ). A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的概念、函数的性质和数形结合思想. 答案：B. 解析：(方法1)由得，∴.在同一直角坐标系中，作出函数，的图象，观察图象可知，当时，；当时，，∴，. (方法2)∵函数、在上均为增函数，∴函数在上为增函数，∴由，得，由，得. 3.若是方程的解，则属于区间( ).
A. B. C. D. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：D. 解析：构造函数，由，知，属于区间(1.75，2). 二、填空题 4.若函数的零点位于区间内，则 . 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 答案：2. 解析：∵函数在定义域上是增函数，∴函数在区间上只有一个零点. ∵，，，∴函数的零点位于区间内，∴. 5.若函数在区间(-2，0)与(1，2)内各有一个零点，则实数的取值范围. 考查目的：考查函数零点的概念，函数零点的存在性定理和数形结合思想. 答案：. 解析：由题意画出函数的草图，易得，即，解得. 6.已知函数，设函数有两个不同的零点，则实数 的取值范围是. 考查目的：考查函数零点的概念、函数与方程的关系和数形结合思想. 答案：.
解析：函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的实数根，画出函数图象与直线，观察图象可得满足题意的实数的取值范围是. 三、解答题 7.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根？ ⑴； ⑵. 考查目的：考查方程有实数根等价于函数的图象与轴交点的情况. 解析：⑴方程可化为，作出函数的图象，与轴有两个交点，故原方程有两个实数根； ⑵方程可化为，作出函数的图象，开口向上，顶点坐标为，与轴没有交点，故原方程没有实数根． 8.求出下列函数零点所在的区间. ⑴；⑵. 考查目的：考查函数零点的存在性定理. 解析：⑴∵函数的定义域为，且在定义域上单调递增，在 上最多只有一个零点.又∵，， ，∴函数的零点所在的区间为. ⑵∵函数的定义域为R，且在定义域上单调递减，∴函数在R上最多只有一个零点，又∵，，，∴函数零点所在的区间为.
《方程的根与函数的零点》导学案
第1课时方程的根与函数的零点 1.了解方程的根与函数零点的概念,会利用零点的概念解决简单的问题. 2.理解零点存在性定理,会利用零点存在性定理判断零点的存在性或者零点所在的范围. 3.能够运用函数思想、数形结合思想和化归思想解决方程的根的问题. 一个小朋友画了两幅图:
问题1:上面的两幅图中哪一幅能说明图中的小朋友一定渡过河? 显然,图1说明了此小朋友一定渡过河,但对于图2,则无法判断,用数学的角度来看,如果把小朋友运动的轨迹当作函数图象,小河看作x轴,那么问题即转化为函数图象与x轴是否存在交点. 问题2:(1)什么是函数的零点,零点是点吗?
(2)二次函数的零点个数如何判断? (1)对于函数y=f(x),我们把使的实数x叫作函数y=f(x)的零点.由定义可知零点是一个实数不是点. (2)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,当时,有两个零点;当Δ=0时,有零点;当 时,没有零点. 问题3:函数y=f(x)的零点,方程f(x)=0的根,函数y=f(x)与x轴交点的横坐标,这三者有什么关系? 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 事实上,方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点. 问题4:(1)零点存在性定理的内容是什么? (2)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上满足零点存在性定理的条件,即存在零点,那么在(a,b)上到底有几个零点呢? (3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区间(a,b)内有零点,那么你认为 f(a)·f(b)与0的关系是怎样的?请举例说明. (1)零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. (2)至少有一个. (3)如图所示,可以小于0,可以等于0,也可以大于0.
函数与方程(零点问题)
§2.8 函数与方程 函数零点问题 学习目标;(1)理解函数零点定义，会应用函数零点存在性定理 (2)体会函数与方程的转化思想 一 知识导练 1. (必修1 P43练习3改编) 函数32()2f x x x x =-+的零点是____________． 解析：解方程x3－2x2＋x ＝0得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0或1. 导航：函数零点的求解 2．(必修1 P111复习13改编)已知函数()23x f x x =-，则函数f(x)的零点个数是____． 解析：解法1：令f(x)＝0，则2x ＝3x ，在同一坐标系中分别作出y ＝2x 和y ＝3x 的图象，由图知函数y ＝2x 和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2. 解法2：由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内． 导航：函数零点个数的判定 3.给出以下三个结论：（1）0一定是奇函数的一个零点； （2）单调函数有且仅有一个零点； （3）周期函数一定有无穷多个零点. 其中正确的结论共有_____个。 4．(必修1 P97习题8)若关于x 的方程27(13)20x m x m -+--=的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m 的取值范围为_____________． 解析：设f(x)＝7x2－(m ＋13)x －m －2，则???? ?f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，解得－4
方程的根与函数的零点说课稿
《方程的根与函数的零点》说课稿 1 教材分析 1.1 地位与作用 本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课． 新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识．之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础． 从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台． 1.2 教学重点 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理． 2 学情分析 2.1 学生具备必要的知识与心理基础． 通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础． 2.2学生缺乏函数与方程联系的观点． 高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位． 例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务． 2.3直观体验与准确理解定理的矛盾． 从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．