函数的零点教案详细(孔祥武)
《函数的零点》教学设计
常州市第一中学孔祥武
一. 设计思想与理念
本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线．”的原则而设计的．教师在充分分析学生已有知识水平和思维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．
二．教材分析：
1. 内容分析
f x的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函
函数()
f x 的实数根；从函数的图像角度看,函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程()0
f x与x轴交点的横坐标.函数的零点从不同的角度,将函数与方程，数与形数的零点就是函数()
有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用．
学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持．在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法.
2. 学情分析：
初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．教学时可通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数，转化为考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度来研究数的问题．本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教材上的例题学生会觉得提不起兴趣，因此尝试在立足教材的基础上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生自主发现，自我建构知识．
3. 教材处理
本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．体会函数与方程之间的转化关系．
对于函数零点判断定理，教师要引导学生从特例中发现感悟这一定理，在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析，引导学生多画图，讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解及应用．
重点：函数的零点存在性定理的理解及运用.
难点：体会函数的零点与方程的根之间的联系；
三．教学目标设计
1．知识与技能
（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念．
（2）理解零点存在性定理的判定条件，会判断函数在某区间上是否存在零点.
2.过程与方法
能够理解函数零点与方程的根之间的关系，能够结合反例找到不间断函数在某个区间上存在零点的判断方法．
3.情感、态度与价值观
在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神．
四．教学过程设计
1．情境问题：
问题一： 函数223y x x =--图象与x 轴交点坐标是什么？
【生】：（-1，0） （3，0）
【师】：你是怎样得到的，
【生】：令0y =解出来的.
问题二：方程2230x x --=的根与函数223y x x =--之间有什么联系？ 【生】：从图象上看，方程的根就是函数图象与x 轴交点的横坐标.
【师】：很好，方程2230x x --=可看作函数2
23y x x =--函数值为0时特殊情形，
函数与方程之间似乎有某种联系， 1,3-是方程2
230x x --=的两根，那么是函数
223y x x =--的什么呢？为了表述方便，我们给它一个名称，把1,3-称为函数223y x x =--的零点.(板书课题)
设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念．零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用——沟通函数与方程的关系．引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便．
2．建构数学
问题三：类似的，函数()y f x =的零点又该怎样定义？
【生】：令0y =，解出()0f x =的根便是函数的零点.
函数的零点：
1、 定义：一般地， 我们把使函数()y f x =的值为0的实数x 称为函数()y f x =的零点.
【师】：函数的零点从本质上来说是什么呢？一张纸还是一支笔啊？
【生】：零点是一个实数．
【师】：很好，去掉修饰语，实数x 称为零点．我们不妨这么记忆，零点不是点，海马不是马.
2、说明：
（1）函数的零点不是点，是个实数.
（2）函数的零点就是相应方程的根，也是函数图象与x 轴交点的横坐标.
函数的零点问题?方程的根的问题?图象与x 轴的交点问题
设计意图：围绕零点概念的剖析，帮助学生理解零点的本质，体会函数的零点与相应方程的根以及函数图像之间的相互转化的思想．
问题四：方程23456345810x x -+=有没有实数根？
【生】：有，用2345843456
0D =-?计算，可以估算．
【师】：很好，还有别的做法吗？
【生】：设2
()345634581f x x x =-+， (1)10f =-<，因图像开口向上，所以2()345634581f x x x =-+的图像和x 轴必有两个交点．
【师】：成功的关键在于把方程交给了函数，从函数角度来看问题.
变化：在区间(1,2)上有根吗？
【生】：(1)1,(2)0f f =->，二次函数图像必定穿越x 轴，在区间(1,2)上有一个根． 变化：在区间(0,1)上有根吗？
【生】：(1)1,(0)1f f =-=，函数图像必定穿越x 轴，在区间(0,1)上有一个根．
设计意图：有意设计了一个不便于从代数角度求根的一元二次方程，“逼迫”学生另辟蹊径，把方程转化为函数，从“形”的角度，来考察二次方程在区间上是否有根，渗透函数与方程思想，数学结合的思想.同时让学生感受端点函数值异号，图像连续，函数有零点，这便是零点存在性定理的“雏形”，为下面引出零点存在性定理埋下伏笔.
问题五：若函数()y f x =在区间[,]a b 上满足()()0f a f b ?<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上一定有零点吗？试举例说明.
教师学生自己画图论证．
【生1】：不一定，1y x
=
在区间(1,1)-上满足条件，却没有零点.
【师】：加一个怎样的条件就能保证上述函数()y f x =在区间(,)a b 上一定有零点？
【生】：感觉只要函数()y f x =在区间[,]a b 上连在一起，不
间断就可以了．
引出零点存在性定理
设计意图：通过问题四学生感觉似乎函数在区间上端点函数值异好，就有零点，教师适时地提出问题五，顺其自然把问题推向纵深，引导学生画图论证，自我探究，寻找反例，接下来定理
的引出便是自然的，水到渠成的．
零点存在定理： 一般地，若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条不间断的曲线，且()()0f a f b ?<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点．
问题六(剖析概念系列①②③④问)：
【师】：学习了这个定理，你有哪些不明白的地方．
（设计意图引导学生自主发现问题）
【生】：①区间从[,]a b 变化为(,)a b ，为什么？
【师】：使零点位置更精确！第一个区间[,]a b 能改为区间(,)a b 吗？
【生】：不可以， 如函数1,[1,1)()1,1x f x x ∈-?=?-=?
， 【师】②何谓“有零点”？
【生】：至少有一个零点
【师】 ③（能逆向吗？）一般地，若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条不间断的曲线，若函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点，则()()0f a f b ?<？能举例吗？
【生】：二次函数2
()4f x x =-
在区间[4,4]-上有零点却不满足．
【师】：④不间断的单调函数()y f x =在区间[,]a b 上有()()0f a f b ?<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上有几个零
点？
【生】：1个.
【师】：变式：二次函数()y f x =在区间[,]a b 上有()()0f a f b ?<,则函数()y f x =在区间(,)a b 上有几个零点？
【生】：1个（这是由二次函数自身的形状决定，引导学生画图感受）
设计意图：在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析，诸如：满足定理的条件就有零点，不满足定理的条件是否就没有零点， 函数在区间上有零点是否一定有()()0f a f b <，引导学生多画图，结合我们熟悉的二次函数的零点讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解，为灵活运用奠定基础．这样达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，
3、典型例题：
例题1：求证：函数32()1f x x x =++在区间(2,1)--存在零点．
解答：(2)(1)0f f --<,函数32()1f x x x =++在区间(2,1)--上不间断.
强调：函数32()1f x x x =++在区间(2,1)--上不间断.注重解题规范．
变式1：求证：方程3
42x x =+在区间(2,0)-上至少有两个实根.
解：令3()42f x x x =--， (2)8820f -=-+-<，(0)20f =-<，(1)10f -=>，
又函数3
()42f x x x =--在区间(2,0)-上连续不间断， 3()42f x x x =--在区间(2,1),(1,0)---上都至少有一个根，所以得证．
教师点评：把方程的根的问题转化为相应函数图象的零点问题处理．
设计意图：例题1设计了一个三次函数的例子，不能像通常二次函数那样从代数角度直接求解函数零点，需要结合零点存在性定理解题，属于浅层次的模仿运用，让学生感悟零点存在性定理是判断函数有无零点的又一种方法．变式训练把问题推向高潮，首先要把方程根的问题转化为函数的零点问题，训练学生函数与方程思想．当然变式1有一定难度，可根据学生层次选择． 例题2：函数()ln 4f x x x =+-有零点的区间为(,1)k k k Z + ∈，求k 的值．
分析1：尝试直接应用定理解题．
函数()ln 4f x x x =+-，(2)ln 220f =-<，(3)ln310f =->，函数()ln 4f x x x =+-在区间(,1)k k k Z + ∈上单调增，故2k =
函数的零点教案
函数的零点 【教学目标】 １、了解函数零点的概念及函数零点的等价描述; 2、能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 3、理解判断函数零点存在性的结论并能研究简单的函数零点的存在性问题; ４、体现、感受并理解方程和函数图象在零点问题中的应用，渗透数形结合思想, 运用数形结合来研究和解决数学问题,并能应用从特殊到一般的数学方法去探索和认识数学知识。 【教学重难点】 １、重点:理解零点的概念利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；应用函数零点存在性的结论研究函数零点的存在问题 2、难点：理解判断函数零点的存在性的结论 【教学过程】 一、概念引入 请同学们一起来看投影上的问题 画出下列函数图象并指出x取何值时,y=0 21 (1)y x 2 (2)y=x2x 3 (3)y=1 x (图象保留) 处理:学生上黑板板书(上黑板画出图像并求出x值) 师：(1)所求x就是对应方程的实数根 (2）从图象上来看,我们所求的x就是什么？
师:这里所求的x 就是我们今天要来研究的函数的零点 那么,什么是函数的零点呢? 二、概念认识 一般地，对于函数ｙ=f(x ），若f(ｘ)＝0则实数x 称为该函数的零点 师:了解了函数零点的定义，同学们对函数零点有怎样的认识？ （１）等价描述：①函数y= f(x ）的零点就是方程ｆ(ｘ)=0的实数根 ②函数y= f （x)的零点就是它的图象与x 轴交点的横坐标 （2）函数的零点是实数,不是点（板书） 师:认识了函数零点的定义后,请同学们来求下面几个函数的零点 练习１:求下列函数的零点 x-32x 1(1)y (2)y=log x - 1 (3)y=2x 1 （投影展示） 归纳:求函数零点的步骤：(板书） (1)令f （x ）=0 (2）解方程f(x ）=０ (３)写出零点 师：通过上面的研究我们认识了函数零点的定义，掌握了函数零点的求法 下面请同学们继续看例1的问题 三、应用例题 例1:求证：二次函数2y x 3x 2有两个不同的零点 练习2：（1）函数2y x 3x k 没有零点，求k 的取值范围 (２）函数2 y x kx 2有零点,求ｋ的取值范围 (3）函数2y kx 3x 2有一个零点，求实数k 的值 (投影展示）(看情况或学生回答） 师:由例1和练习2的研究，请大家总结一下
高一数学函数的零点与二分法教案
一. 教学内容： 函数的零点与二分法 二. 学习目标 1、理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。 2、理解零点的意义，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程的根的关系； 3、通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用． 4、在函数与方程的联系中，初步体会事物间相互转化的辩证思想；体验探究的过程、发现的乐趣。 三. 知识要点 1、函数的零点 一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零，即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。 归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现的。 说明： （1）函数的零点是一个实数，即当函数的自变量取这一实数时函数值为零； （2）对于函数的零点问题我们只在实数范围内讨论； （3）方程的根、函数的图象与x 轴交点的横坐标以及函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式 2、函数零点的意义： 函数)x (f y =的零点就是方程0)x (f =的实数根，亦即函数)x (f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 归纳：方程0)x (f =有实数根?函数)x (f y =的图象与x 轴有交点?函数)x (f y =有零点． 3、函数零点存在性的判定方法 对于函数相对应的方程能求解的，可以直接求解方程的实数根，从而确定函数的零点；对于函数相对应的方程不能直接求解的，又该怎样处理？ 如果函数)x (f y =在区间[]b ,a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)b (f )a (f
高中数学函数的零点教学设计
第4讲与函数的零点相关的问题 函数零点的个数问题 1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x 的函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个. 2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,g(x)=2x-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象: 由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B. 3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个实数解,则实数a的取值范围为. 解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1, 当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=的图象与y轴交点的纵坐标-a<1,得-1 答案:(-1,0)∪(0,+∞) 4.(2015北京卷)设函数f(x)= ①若a=1,则f(x)的最小值为; ②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是. 解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示: 由图可知f(x)的最小值为-1. ②当a≤0时,显然函数f(x)无零点; 当0 2.4函数的零点 【学情分析】 本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形． 初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．如果带着这样的疑问学习，必然会激发其求知欲，从而提高学习的效率．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。 【学习内容分析】 本节课是在学生学习了《一次函数和二次函数》的基础上，学习函数与方程的第一课时，通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念及存在个数问题，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求函数零点的近似值》做准备．本节内容有函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、探究函数零点存在性。 函数零点是研究当函数的值为零时，相应的自变量的取 值，反映在函数图象上，也就是函数图象与轴的交点横坐标。 由于函数的值为零亦即，其本身已是方程的形式，因而函数的零点必然与方程有着不可分割的联系，事实上，若方程 有解，则函数存在零点，且方程的根就是相应函数的零点，也是函数图象与轴的交点横坐标．顺理成章的，方程的求解问题，可以转化为求函数零点的问题。这是函数与方程关系认识的第一步。 零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件。如果函数在区间[a,b]上的图象是一条不间断的曲线，并且满足f(a)·f(b)<0，则函数在区间(a,b)内至少有一个零点，但零点的个数，需结合函数的单调性等性质进行判断．方程的根与函数零点的研究方法，符合从特殊到一般的认识规律，从特殊的、具体的二次函数入手，建立二次函数的零点与相应二次方程的联系，然后将其推广到一般的、抽象的函数与相应方程的情形；零点存在性的研究，也同样采用了类似的方法，同时还体现了“数形结合思想”及“转化与化归思想”。 【课程目标】 一.知识与技能目标 通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系， 二.过程与方法目标 体现从特殊到一般的认识规律,通过合作探究理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，通过对现实问题的分析，体会用函数系统 2016年全国高中青年数学教师优秀课展示与培训活动交流课案 课 题：3.1.1 方程的根与函数的零点 教 材：人教A 版高中数学·必修1 【教材分析】 本节课的内容是人教版教材必修1第三章第一节，属于概念定理课。“函数与方程”这个单元分为两节，第一节：“方程的根与函数的零点”，第二节：“用二分法求方程的近似解”。 第一节的主要内容有三个：一是通过学生已学过的一元二次方程、二次函数知识，引出零点概念；二是进一步让学生理解：“函数()y f x =零点就是方程()0f x =的实数根，即函数 ()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标”；三是引导学生发现连续函数在某个区间上存在零 点的判定方法：如果函数()y f x =在区间[],a b 上图象是连续不断的一条曲线，并且有 ()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根。这些内容是求方程近似解的基础。本节课的 教学主要是围绕如何用函数的思想解决方程的相关问题展开，从而使之函数与方程紧密联系在一起。为后续学习二分法求方程的近似解奠定基础，本节内容起着承上启下的作用，承接以前学过的方程知识，启下为下节内容学习二分法打基础。 【教学目标】 1.理解函数零点的概念；掌握零点存在性定理，会求简单函数的零点。 2.通过体验零点概念的形成过程、探究零点存在的判定方法，提高学生善于应用所学知识研究新问题的能力。 3.通过本节课的学习，学生能从“数”“形”两个层面理解“函数零点”这一概念，进而掌握“数形结合”的方法。 【学情分析】 1.学生具备的知识与能力 (1)初中已经学过一元二次方程的根、一元二次函数的图象与x 轴的交点横坐标之间的关系。 (2)从具体到抽象，从特殊到一般的认知规律。 2. 学生欠缺的知识与能力 (1)超越函数的相关计算及其图象性质. (2)通过对具体实例的探究,归纳概括发现的结论或规律,并将其用准确的数学语言表达出 《函数零点》教学设计 一、教学目标： 1.函数零点理解函数零点的概念，了解函数的零点与方程根的联系； 2.理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质，并运用其解决有关一元 二次方程根的分布问题； 3.通过函数零点内容的学习，分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题，转变学生对 数学学习的态度，加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识。 二、教学重点：函数零点存在性的判断。 三、教学难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用。 四、教学方法： 在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，在合作交流中完成学习任务，尝试指导与自主学习相结合。 五、教学过程： 1、实例引入 解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x． 意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情． 2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系． 问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？ 学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标． 意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备． 3、一般函数的图象与方程根的关系． 问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！ 师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln(x－2)，y＝(x－1)(x＋2)(x－3)．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论： 方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标． 意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫 4、函数零点． 概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为（D ）A．(0，0)，(4，0) B．0，4 C．(–4，0)，(0，0)，(4，0) D．–4，0，4 设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解． 说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值． ②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根． 5、归纳函数的零点与方程的根的关系． 问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？ （1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根； ②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点． （2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言． 以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础． 6、零点存在性定理的探索． 探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______； f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）． 在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）． （2）观察函数的图象： ①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）． ②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）． ③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）． 意图：通过归纳得出零点存在性定理． 7、零点存在性定理： 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线， 并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点． 即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？ ，2]；（2）f(x)=e x-1+4x-4，x∈[0，1]． （1）f(x)=log2x，x∈[1 2 函数的零点教案设计 ※教案背景 （1）、课题：函数的零点 （2）、教材版本：人教B版数学必修（一）第二章2.4.1函数的零点 （3）、课时：1课时 ※教材分析 （1）本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。 函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。 （2）本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。 ※教学目标： 1、知识与技能 （1）理解函数（结合二次函数）零点的概念。 （2）领会函数零点与相应方程的根的关系，掌握零点存在的判定条件。 2、过程与方法 （1）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。 （2）让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生的观在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。 ※教学重点：是函数零点的概念及求法 ※教学难点：是利用函数的零点作图教学方法： ※教学方法：以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，视频等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。 ※教学环节 （一）、课前延伸 1、知识链接，温故知新 求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象。 通过学生熟悉一元二次方程入手，观察函数图像与x轴的交点与相应方程根的关系，让学生建立数型结合的思想。（用投影仪展示函数图象） 【百度搜索】https://www.360docs.net/doc/9b7262656.html,/testdetail/26588/ 用二分法求方程的近似解 １、二分法的概念 对于在区间[a, b]上连续不断且)(a f ·)(b f < 0的函数)(x f y =, 通过不断把函数 )(x f 的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似 值的方法叫二分法。 ２、用二分法求函数)(x f 的零点的近似值的步骤： （１）确定区间[a, b], 验证：)(a f ·)(b f < 0，确定精确度ε （２）求区间(a , b)的中点1x （３）计算)(1x f 若)(1x f =0, 则就1x 是函数的零点 若)(a f ·)(1x f <０，则令b =1x （此时零点x 0∈(a, 1x )） 若)(1x f ·)(b f <０，则令a =1x （此时零点x 0∈(1x , b)） （４）判断是否达到精确度ε 即若 | a – b | <ε, 则得到零点的近似值为a （或b ），否则重复（２）～（４） 3、用二分法求函数零点的条件： 若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。 例题讲解： 例1：下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ） 解：应选B ，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。 例2、 利用二分法求方程x x -=31 的一个近似解（精确到0.1）。 解：设()31-+=x x x f ，则求方程x x -=31 的一个近似解，即求函数()x f 的一个近似零 点。∵()0212<-=f ，()03 1 3>=f ，∴取区间[]3,2作为计算的初始区间。 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 方程的根与函数的零点教案说明 一、教材分析 1、教材的地位与作用 本节对“方程的根与函数零点”的认识，是从初中一次、二次函数与其相应的方程关系的 具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究, 其学习平台是学生已经掌握了 函数的概念、函数的性质以及基本初等函数等相关知识. 对本节课的研究，不仅为“用二分法求方程的近似解”这一“函数的应用”做好准备，而且揭示了方程与函数之间的本质联系，这种 联系正是中学数学重要的思想方法之一——“函数与方程思想”的理论基础，起到了承前起后 的作用 . 2、内容分析 “方程的根与函数的零点”一课的主要教学内容有函数的零点的定义和函数零点存在的 判定方法 ( 即零点存在定理) ，不仅为后继学习做铺垫, 而且从中学数学内容结构来看, 本课的内容也可以看作是函数概念的一个子概念，是函数概念外延的一次扩充。给出函数零点概念 的目的是把函数与方程联系起来，用函数的观点统领中学代数知识，把所有的中学代数问题 都统一到函数的思想之下，从这个角度看本节课还应承载建立函数与方程数学思想的任务. “函数的零点”这个概念体现了联系的观点、整体地看问题，通过转化解决问题，蕴涵 了数形结合、化归的数学思想。因此在概念的教学中不但要注重知识的学习，而且要把它作 为一个载体，通过概念的获得培养学生的抽象概括等能力，领会数形结合、化归等数学思想. 教学的重点是理解函数零点与相应方程根的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 教学的难点是连续函数在某个区间上存在零点的判定方法的深入理解与初步应用. 3、教学目标分析 课程标准要求“结合二次函数图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了 解函数的零点与方程根的联系”. 第三章“函数的应用”的课程目标之一是“通过本章的学习，使学生学会用二分法求方 程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系. “ 因此 , 本节课具体目标如下： 1．能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与x 轴的交点横坐标以及相应函数零点的关系. 2．正确理解函数零点存在的结论, 了解图象连续不断的意义及作用；知道结论只是函数 存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个. 3．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数. 4．能顺利将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，写出与方程对应的函数, 并会判断存在零点的区间（可使用计算器）． 4、教学方法分析 用成语串联堂课，激发学生的学习兴趣 , 按照 MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则 “和二主方针”。运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机 给，提高能力，增长才干，采用学导式、启发式和观察探索法相结合的方法。 二．教学诊断分析 <<函数的零点>>教学设计 尚志市一曼中学:张丽颖 一、内容和内容解析 本节课是在学生学习了《基本初等函数（Ⅰ）》的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图象的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图象，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识，解决方程根的存在性问题，为下一节《用二分法求方程的近似解》做准备． 从教材编写的顺序来看，《方程的根与函数的零点》是必修1第三章《函数的应用》一章的开始，其目的是使学生学会用二分法求方程近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系．利用函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的．方程的根与函数的零点的关系、用二分法求方程的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”和“数形结合的思想”，建立和运用函数模型中蕴含的“数学建模思想”，是本章渗透的主要数学思想． 从知识的应用价值来看，通过在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度去思考局部问题的思想． 基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断． 二、目标和目标解析 1．通过对二次函数图象的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想,领会函数零点与相应方程实数根之间的关系， 2．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。 3．通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辨证关系．掌握函数零点存在性的判断． 《函数的零点》课堂教学设计 一．教学内容 本课内容选自经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的人教版普通高中课程标准试验教科书，数学必修①，B 版第二单元《函数》中的《函数的零点》，新授课，第一课时。 1．知识背景 2．4节《函数与方程》作为新课程改革试验教材中的新增内容，其课程目标是想 通过对本节的学习，使学生学会用二分法求函数零点近似解的方法，从中体会函数与方程之间的联系，同时达到“方法构建、技术运用、算法渗透”这一隐性的教学目标。建立实际问题的函数模型，利用已知函数模型解决问题，作为一条主线贯穿了全章的始终，而方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解，是在建立和运用函数模型的大背景下展开的。方程的根与函数的零点的关系、用二分法求函数零点的近似解中均蕴涵了“函数与方程的思想”，这也是本章渗透的主要数学思想． 2．本节内容 《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步 探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。 二．教学目标 知识与技能:（1）通过对二次函数增图像的描绘，理解函数零点的概念，体会我们在 研究和解决问题过程的一般思维方法。 （2）通过对一般函数图像的描绘分析，领会函数零点与相应方程之间的 关系，掌握零点存在的判定条件。 （3）培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。 过程与方法: 通过画函数图像，分析零点的存在性。 情感态度与价值观: 使学生再次领略“数形”的有机结合，渗透由抽象到具体的思想, 理解动与静的辨证关系,体会数学知识之间的紧密联系。 三．教学重点 重点：理解零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点． 具体流程设计 一、创设情境 画函数322--=x x y 的图像，并观察其图象与其对应的一元二次方程0322=--x x [师生互动] 师：引导学生通过配方，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系。 教案 课题：零点存在定理 授课人： 一、内容及内容解析： 本章位于全书的第3章，零点主要是解决方程求解的问题，应用函数思想的方法，把方程与函数相结合，它在较难方程的求根方面有巨大的贡献，而零点存在定理能确定零点的存在范围，从而近似的确定零点的值，也即方程的近似根. 各个内容之间的联系： 方程的根?零点?零点存在定理 ? 二分法 二、三维目标： 知识与技能:会使用零点存在定理解决问题，准确确定根的范围，并且使用二分法找到相应方程的近似解. 过程与方法:通过分析零点附近的值的关系，得到0)()( 课题：§3.1.1方程的根与函数的零点 教学目标： 知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件． 过程与方法零点存在性的判定． 情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．教学重点： 重点零点的概念及存在性的判定． 难点零点的确定． 教学程序与环节设计： 创设情境组织探究尝试练习探索研究作业回馈课外活动结合二次函数引入课题． 二次函数的零点及零点存在性的． 零点存在性为练习重点． 进一步探索函数零点存在性的判定． 重点放在零点的存在性判断及零点的确定上． 研究二次函数在零点、零点之内及零点外的函数值符号，并尝试进行系统的总结． 教学过程与操作设计： 环节 教学内容设置 师生双边互动 创 设 情 境 先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： ○ 1方程0322 =--x x 与函数322 --=x x y ○ 2方程0122=+-x x 与函数122 +-=x x y ○ 3方程0322=+-x x 与函数322 +-=x x y 师：引导学生解方程， 画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念． 生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？ 组 织 探 究 函数零点的概念： 对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点． 函数零点的意义： 函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数 根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标． 即： 方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 函数零点的求法： 求函数)(x f y =的零点： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法． 生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ○ 1 代数法； ○ 2 几何法． 题目：《函数的零点》教学设计 一、教学内容分析 1、学习任务分析 本节课的设计思想是以多媒体网络教学平台为依托，用电子白板进行画图，为学生描绘一个数学图形的世界，营造一个探究学习的环境，让他们经历回顾旧知、探求新知、发现规律、解决问题、总结规律的全过程。《函数的零点》通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索一般函数零点存在性的判定，这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，对函数图像进行全新的认识，在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值。函数与方程高中数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。 研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解.更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．即体现了函数与方程的思想,又渗透了数形结合的思想.总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。 2、学生情况分析 本节课的学习障碍为零点概念的认识。零点的概念是在分析了二次函数图像的基础上，由图像与x轴的位置关系得到的一个全新概念，学生可能会设法画出图像找到所有任意函数可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍。新教材关注学生的学习兴趣和认知特点，一方面注意控制教材内容总量，精选学生终身学习必备的基础知识和基本技能，另一方面也适当降低了某些知识的难度要求，改变了原有教材中原理性知识过深、过难的现象，本节课就充分体现了这一点。难度适中，知识要点突出，层次分明，符合学生的认知特点，学生在学习本节内容之前已经学习了函数的图象和性质,理解了函数图象与性质之间的关系,尤其熟悉二次函数,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数的零点提供了直观认识,并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持;学生有一定的方程知识的基础,熟悉从特殊到一般的归纳方法,这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依据.但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程，发现函数零点的存在性事造成了一定的难度。又加上函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括。因此教学中尽可能提供学生动手实践的机会，让学生亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图象和一元二次方程通过直观感受发现并归纳出函数零点的 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． < A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.() 1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选 C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 · 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 《方程的根与函数的零点》 教学设计及教学反思 一、背景分析 1、学习任务分析 函数与方程是中学数学的重要内容，既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的连接纽带。在新课程教学中有着不可替代的重要位置.为什么要引进函数的零点?原因是要用函数的观点统帅中学数学,把解方程问题纳入到函数问题中.引入函数的零点,解方程的问题就变成了求函数的零点问题. 就本章而言，本节通过对二次函数的图象的研究判断一元二次方程根的存在性以及根的个数的判断建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形．它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展。之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解（3.2）更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系．即体现了函数与方程的思想,又渗透了数形结合的思想.总之，本节课渗透着重要的数学思想“特殊到一般的归纳思想”“方程与函数”和“数形结合”的思想，教好本节课可以为学好中学数学打下一个良好基础，因此教好本节是至关重要的。 2、学生情况分析 学生在学习本节内容之前已经学习了函数的图象和性质,理解了函数图象与性质之间的关系,尤其熟悉二次函数,并且已经具有一定的数形结合思想,这为理解函数的零点提供了直观认识,并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持;学生有一定的方程知识的基础,熟悉从特殊到一般的归纳方法,这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依据.但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图象与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程，发现函数零点的存在性事造成了一定的难度。又加上函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括。因此教学中尽可能提供学生动手实践的机会，让学生亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图象和一元二次方程通过直观感受发现并归纳出函数零点的概念；在函数零点存在性的判定方法的教学时 《函数的零点》教学设计 常州市第一中学孑L祥武 一.设计思想与理念 本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线. ”的原则而设计的?教师在 充分分析学生已有知识水平和思维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探 索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，弓I导学生不断地提出新问题，解决 新问题. 二.教材分析： 1.内容分析 函数f(X)的零点，是中学数学的一个重要概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看，即为相应方程f (x) = 0的实数根；从函数的图像角度看，函数的零点就是函数f (x)与x轴交点的横坐标?函数的零点从不同的角度，将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用. 学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方 程近似解》提供理论支持?在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数 形结合的思想方法? 2.学情分析： 初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程 的根?教学时可通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数， 转化为考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度来研究数的问题. 本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教材上的例题学生会觉得提不 起兴趣，因此尝试在立足教材的基础上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生 自主发现，自我建构知识. 3.教材处理 本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一 元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形?体会函数与方程之间的转化关系. 【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 (1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义:函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标,即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(2.4函数的零点的教学设计
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