培优辅导专题8：圆锥曲线中的“定”问题

专题八圆锥曲线中的“定”问题

近些年，关于圆锥曲线的命题，不管是高考真题还是高考模拟题，都不约而同地大量涌

现出一类“定”问题，即定值、定点以及定直线问题，考生遇见这样的问题都因不得要领，从而内心感到惧怕，但因为这类题在解答之前并不知道其定值、定点之结果，更增添了它的难度，有着很好的区分度，于是这一类题就成为了命题者们青睐的考题，相信在今年或往后的高考中会成为一种趋势.

圆锥曲线中的“定”问题常有以下3类题型：

题型1:定值问题一一解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值.

定值问题的解法：选好参数，求出题目所需的代数表达式，然后对表达式进行直接推理、计算，并在推理计算的过程中消去变量，从而得到定值.这种方法可简记为：一选（选好参变量）、二求（对运算能力要求颇高）、三定值（确定定值）.

题型2:定点问题一一解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线和曲线（中的参数）如何变化，直线和曲线都经过某一个定点.

定点问题的两种解法：一是从特殊入手，求出定点，再进行一般性的证明?二是把直线

或曲线方程中的变量X、y当作常数看待，把相关的参数整理在一起，同时方程一端化为零.既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于X、y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.

题型3：定直线问题一一对于求证某个点不管如何变化，始终在某条直线上的题目，其本质就是求动点的轨迹方程.

2

【解析】（1）由已知可得椭圆方程为 L

2

.2 ,所以直线方程为 y

UIIn UIuI

OP OQ X P X Q y p y Q 1 .

【点评】从直线的斜率和点这两个角度，共引入了

5个参数：k 、x 1、y 1、x 2、y 2 ,用

这5个参数将点P 和点Q 的坐标表示出来（因为点 P 的纵坐标为0,所以可以不求点 Q 的纵

UiU UuU

坐标），然后进行消参，最后求出 OP OQ 的定值.

尽管题目是要求点 P 异于A 、B 两点，但是我们可以大胆假设点 P 和点B 重合，此时点Q

UlU UUIU

就是点P ,从而我们可以猜出 OP OQ 的定值为1.猜出定值，能使定值问题有清晰明确的方 向，也能

X 2 1 ,设I 的方程为y 1

kx ,则由

y 2

y_

2

kx 1 ,消去y 可得2 k 2 x 2 2kx 1

1

0 .设 C X 1,y 1 , D X 2, y 2 ,则

CD

.1 k 2 x 1

x 2∣ d

k 2

2

2

2k 4 2 k 2

2 k 2

2 2 1 k 2 ^^2 k 2

解得k 2 2 ,所以

【证明】（2）设I 的方程为

kx ( k 0 且 k

1）,则点 1

P 的坐标为 一 ,0 .直线

k

BD 的方程为y

— X 1 ,直线AC 的方程为y x 1 1

2

x 1 ,联立两条直线方程，可得 x 2 1

点Q 的横坐标为X Q

Xh

X 2y 1 y 1 y 2

X 1y 2 X 2y 1

y 1 y 2

x 1 x 2 2kx 1x 2 k x 1 X 2 k x 1

X 2

x 1 X 2

2

,由（1）可知

X 1 X 2

2k k 2

X 1X 2 k ,代入上式，可得

2k

2 k 2 2k 2 k 2

k x 1

4k 2 k 2 k x 1

X 2

2 k 2

X 1 X 2

4 2 k 2

X 1

X 2

曰 疋

【解析】(1)依题意，OB 8.3 , BOy 30 ,不妨设B x, y , X 0 ,贝U

2

4 3

24p ,解得P 2 ,所以抛物线的方程为 x 2 4y .

1 【证明】(2)法1:由(1)知y -X

2 ,所以y 4

1

X .设点 P X 0,y 0 , Q X 1, 1 ,则 X 0 0 ,

2

且I 的方程为 y y °

1

尹

X X 0 ,即

1 y

2 X 0

X

IlLILH

HHH

是圆上一点， 则 PM QM 0 ,即卩m X 0 m 2

2

3x

4

2

X I 2 n 2

0 ,

m

--------- m

n ny ° y °

2x 0

2

2

3x 0

4

1

2

2 2

2

0,

m ----- n

n n m

2 x 0

4

1

V 4

X 2 ?令 y 1,可得 X 1 -

?设 M m, n

4

2X 0

X 0 4

n y 0 n 1 0,整理可得

2x 0

因为y 。 2

些，所以

4

2

该式子要对任意的满足 y ° —( X 0 0 )的X 0

4

m 0

1 n O

,由此解得 m 0

,所以以PQ 为直径的圆恒过定点

C C

n 1

n 2

n m 2

2 0

法2 :由对称性可知该定点必在

y 轴上，设为M 0,n .

1

y ° 3X 0 X X o n y °

所以y

1 y ^X 0X

1 X .设点P 2

1

x 0 ?令 y 4

2

X I

0 ,整理可得—2 2

X 0,y 0 , Q X 1,

1 ,可得X 1

0 ,该式子要对任意的满足

y

。

1 ,则 X 0

0 , J .由 PM r

ny ° y 2

X

。

X

4

2X 0

0,因为y 且I 的方程为

IiLIliID

QM 0 ,可

2

渔，所以

4

0 )的y °恒成立，所以

X OB Sin30

4 長,y OB cos30 12 ,因为点B 4..3,12在x 2 2py 上，所以

恒成立，所以 0,1

法3 :由对称性可知该定点必在 y 轴上.

1

-X ?设点 P x ）,y o , Q X 1, 1 ,则 X o 2

Q 0, 1 ,以PQ 为直径的圆为X X 2 y 1 y 1 0 ,与y 轴交于点M 1 0,1和

1 3

M 2 0, 1 ；取X 0 1 ,此时P 1壬,Q , 1 ,以PQ 为直径的圆为 4 3 X 1 X -

2

y 1 4

y 1 0 ,与y 轴交于点M 3 0,1 和M 4 0,

7 4

.由此可知，该定点

为M 0,1 ,下证

M 0,1 就是所求的点.

IlLlLr

IlLlUL X 2 4 UULr

,MQ X

-, 2 ,所以 MP

UILU 2

X 。

4

2y ° 2 0 ,所以以

因为MP

X 0, y 0

MQ

2X 0

2

PQ 为直径的圆恒过定点 0,1

O 例 3

(1)若椭圆E 的焦距为1 ,求椭圆E 的方程;

(2)设F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点， P 为椭圆E 上的第一象限内的点， 直线F 2P 交

y 轴于点Q ,并且F 1P FQ ,证明：当a 变化时，点P 在某定直线上.

1 5

【解析】(1)因为焦距为1,所以2a 2 1 —,解得a 2 -,所以椭圆E 的方程为

4 8

8X 2 8y 2 I 5 3 .

,由此解得n

1 ,所以以PQ 为直径的圆恒过定点

0,1

1 口 1 1

2 A

y y o X o X X o ,即 y —x o x X o .令 y

2 2 4

1 ,可得X 1

2

X

2 X 0

4

?取 X 。

2 ,此时 P 2,1 ,

1

由（1）知y -X 2 ,所以y

4

0 ,且I 的方程为

2

设椭圆E : X

2

a

1 a 2

1的焦点在X 轴上.

【证明】(2)设P x, y , Q 0,y 1 , R c,0 , F 2 c,0 ,其中C . 2a 2 1 ,由题设知

UlIlr X 0 C . F i P X c, y UJIU ,

F i Q c,y i IulIr UlUU 是 F i P F i Q CXC y ιy 0 …①.F 2、P 、Q 三点共线，所以 即 X 2 y 2 C 2

以，即y i 0 C 2 X 0 ,又因为— a

旦…②?将②代入①, X C

可得 2

Cy C CXC 0 , X C X y 1

0 上. 2

y i a 2 i …③，于是X a 2 , y i a 2 ,即点P 在直线

模块2练习巩固 整合提升

练习 i ：椭圆笃I T i (a b 0的中心为原

点

a b

的距离为 2 2 .

(i ) 求该椭圆的标准方

'

程；

Uln UUU UUU

(2) 设动点P 满足： OP OM ON ,其中M 2 2 、N 是椭圆上的点，直线 O ,离心率e ——，左焦点到右顶点

OM 与ON 的 1 斜率之积为-，证明: 2

存在两个定点

F i

、

F 2 ,使得PFllPF 为定值. 【解析】（i ）由e 2 椭圆的标准方程为- 4 E 二 a a

2

y_

2

2 ,解得 a 2 , C .2 ,

所以b 2

【证明】（2）设P X,y ,

M X i , y i N X 2,y 2 UlU ,则由OP UU U OM UUuI ON 可得 χ,y X i , y i 2 X 2,y 2 X i 2X 2, y i 2y 2 ,即 X X i 2X 2 , y y i 2y 2 .因为点 在椭圆X 2 2y 2 4上，所以 2 x i 2y i 2 4, χ∣ 2yf 4 ,于是

X 2 2y 2 2 2 χi 4 χ2 4 χi X 2 2 2

y i 4y 2 4y i y 2 20 4 X i X 2 2y i y 2 .由题设条件知 k OM k

ON

X i X 2

i 厂Ir 2,因此χ1χ2 2 2

2y i y 2 0,所以χ2 2y 2 20,所以P 点是椭圆? 70 上的点，其左焦点为 F i i0,0 ,右焦点为F 2 io,0 , PFl IPF 为定值4 5 . 【点评】要证明存在两个定点 F i 、F 2 ,使得PF IPF I 为定值，即要证明点 P 的轨迹在

练习2:若椭圆C 的方程为冷

a

过点0,1 ,且离心率为e -

3

(1)求椭圆的方程;

B ,直线I 的方程为X 4 , P 是椭圆上任一点，直线PA 、

点为F ?设过点T t,m 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点

y 1 0, y 2 0.

(1)设X 1

2 , X 2 -,求点T 的坐标;

(2)设t 9 ,求证：直线 MN 必过X 轴上的一定点(其坐标

PB 分别交直线l 于G 、H 两点，求 UiUU IuliH GF 1 HF 2 的值;

(3)过点Q

1,0任意作直线m (与X 轴不垂直)与椭圆 C 交于M 、N 两点，与y 轴交

UUUi 于点R ,且RM IHIU UUIr IHlr MQ , RN NQ ,证明

为定值.

【解析】(1) b 1, e 3 ,所以椭圆的方程为 (2) A 3,0 , B 3,0 ,设 P X Q ,Y Q , 4,y ι ,

H 4,y 2 .

因为A 、

G 三点共 IulI H HF 2 y o

y 1 ,即 y 7y o , 同理， V ULiH

_ y 2

o

?于是 GF 1 2.2 4,

χo 3 7 X Q 3

X Q 3

2：

2 4, y o UiH

r ,所以GF 1 IHIH HF 2 2 2 4 2 2 4

=

VQ

V

L-

线，所以 X

Q

X Q X Q X Q

7y°_

3 , 7y p X o 9

65

^9"

【证

明】

(3)

X 3,y 3

UUUi

R 0,t ,由 RM IIUlD MQ 可得

X

3

X 3, y 3 t X 3, y 3 y 3

1),代入椭圆方程, 可得2 9t 2

UuLr

同理，由RN

UIllr

NQ 可得

9t 2

.两式相减，可得

练习3:在平面直角坐标系

XOy 中，已知椭圆 9

2 2

X y

1的左、右顶点为 5

A 、

B ,右焦

?y 2 1 ( a b 0), F 1、F 2是它的左、右焦点，椭圆 C

b

(2)设椭圆的左、右顶点为A 、

M X 1, %、N X 2,y 2 ,其中 m 0,