高考圆锥曲线中定点与定值问题(题型总结超全)

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题

一、解答题

1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，

可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得

。设x轴上的定点为，可得

，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。

解得。

∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）证明：

由题意设直线的方程为，

由消去y整理得，

设，，

要使其为定值，需满足，

解得

.

故定点的坐标为

.

点睛：解析几何中定点问题的常见解法

(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当1

2

k =时，弦MN

的长为. （1）求抛物线C 的标准方程；

（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；

（2）由（1）可设()()()

222

1122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则1

2

MN k t t =

+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=

()1212:220NQ x t t y t t -++=.

由()1,0-在直线MN 上1

1

t t ?=（1）；

由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1）代入()121221t t t t ?=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．

（2）设()()()

222

1122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则122

11

222

=

MN t t k t t t t -=-+， 则()

21

2

:2MN y t x t t t -=

-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；

()1212:220NQ x t t y t t -++=.

由()1,0-在直线MN 上11tt ?=，即1

1

t t =

（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1）代入()121221t t t t ?=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-

3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2

:0C y mx m =>过点

()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ?的重心的纵坐标为2

3

-

. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；

（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值. 【答案】（1）方程为2

4y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=

【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；

（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入2

4y x =得22220x b x b -++=（

），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ?的重心的纵坐标2

3

-

，化简可12k k + 的值；

因为PAB ?的重心的纵坐标为23

-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，

所以()()()()()()

1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=

+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--

()()()()12212121x b x x b x ????=-+--+-+--????

()()()12122122x x b x x b =-+-+--

()()()22212220b b b b =-+-+--=.

所以120k k +=.

4．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，

2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．

【答案】(1) 22

143

x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关

于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明

.

（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，

由()

2

2

1{ 14

3

y k x x y =-+

=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，

设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0?>且2

122

2

122

834{ 412

34k x x k

k x x k +=+-?=

+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以111

4

1PA x AF x λ-==-. 同理222

41PB x BF

x λ-=

=

-，且1141x x --与2241x x --异号，

所以12121212443321111x x x x x x λλ??

---=

+=--+ ?----?

?

()()1212123221

x x x x x x +-=-+

-++

()

22

222

38682412834k k k k k --=-+

--++

0=. 所以， 12

λλ-为定值0.

当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.

同理222

3PB my BF

my λ-=

=

，且113my my -与223

my my -异号，

所以()1212121212

333

2y y my my my my my y λλ+---=+=-

()()

36209m m ?-=-

=?-.

又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.

【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+

()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.

5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ； （2）求证： OA OB ?是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析

【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长

公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；

（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，

由2

1{

4x ky y x

=+-得2

440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =-

()()1122,,,OA x y OB x y ==，

∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ?=+=+++，

()2121212

2

2

144143

k y y k y y y y k k =++++=-++-=-，

∴OA OB ?是一个定值.

点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.

6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22

221(0,0)x y a b a b

+=>>的

离心率为3

,右焦点为求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆

交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.

【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 的距离为定值2

. 【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；

（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；

有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB

的距离

2

d==，当AB的斜率不存在时,

11

x y

= ,可得

,

1

x d

==依然成立.所以点O 到直线

点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．

7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()

22

22

10

x y

b a

a b

-=>>渐近线方

程为y=，O

为坐标原点，点(M在双曲线上．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）已知,P Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求

22

11

OP OQ

+的值．

【答案】（Ⅰ）

22

1

26

x y

-=；（Ⅱ）

22

111

3

OP OQ

+=.

【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ

⊥，可设出直线,

OP OQ的方程，代入双曲线方程求得点,P Q的坐标可求得22

111

3

OP OQ

+=。

（Ⅱ）由题意知OP OQ ⊥。 设OP 直线方程为y kx =，

由2

2

1{ 26x y y kx -== ，解得22

2

22

6

3{ 63x k k

y k =

-=

-， ∴()

22222222

6166||333k k

OP x y k k k +=+=+=---。 由OQ 直线方程为1y x k =-.以1

k

-代替上式中的k ，可得

()22

2

22

16161||3113k k OQ k k ????+-?? ?+??????==-??

-- ???

。 ∴()(

)(

)()

2

2222222

2111

3311

+=3616161k k k k k k OP OQ

+--+==+++。 8．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E :

22221(0)x y a b a b +=>>经过点P (2,1)

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M ，N 满足OM NO =，直线PM 、PN 分别交椭圆于A ，B ．探求直线AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．

【答案】（1）22

182

x y +=；（2）直线AB 过定点Q （0，﹣2）. 【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情

况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。

x 1+x 2=2841kt

k -

+，x 1x 2=2

2

4841

t k -+， 又直线PA 的方程为y ﹣1=1112y x --（x ﹣2），即y ﹣1=111

2

kx t x +--（x ﹣2），

因此M 点坐标为（0，

()111222

k x t x ---），同理可知：N （0， ()221222

k x t x ---）

，

当且仅当t =﹣2时，对任意的k 都成立，直线AB 过定点Q （0，﹣2）.

9．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左，右

焦点分别为12,F F .过原点O

的直线与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 上的点，若1

4

PM PN k k =-，

11

0F N FM ?=，且1F MN ?

的周长为4+（1）求椭圆C 的方程； （2） 设椭圆在点P 处的切线记为直线'，点12,,F F O 在'上的射影分别为,,A B D ，过P 作'的垂线交x

轴于点Q ，试问

12F A F B

OD PQ

?

是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) 2

214

x y +=;(2)1. 【解析】试题分析; （1）设(),M m n ，则(),N m n --，∴ 22

221m n a b

+=，设()00,P x y ，

,AP BP y n y n k k x m x m -+==-+，以及14

AM BM k k ?=-， ()22

4..1a b =????，由11

0F N FM ?=,由椭圆的定义可

得()224..2a c +=+，结合()222

..3a b c =+??，综合()()()

123可得：

224,1a b ==，可得椭圆C 的方程；

（2）由（1

）知(

))

12

,F F ，直线的方程为：

0014x x

y y +=，由此可得 121F A F B ?=.，又∵PQ ⊥'，∴ PQ 的方程为()00004y y y x x x -=-，可得03,04x Q ??

???

则可得PQ =

，又OD =

，∴ 1PQ OD ?=.，故

121F A F B

OD PQ

?=. 当直线'平行于x 轴时，易知121F A PQ OD F B ====，结论显然成立. 综上，可知

12F A F B

OD PQ

?

为定值

1.

有12F N F M =

，则()11122224..2F N F M MN F N F M c a c ++=++=+=+ ∵()2

2

2

..3a b c =+??，综合()()()123可得： 2

2

4,1a b ==

∴椭圆C 的方程为： 2

214

x y +=. （2）由（1

）知(

))

12

,F F ，直线的方程为：

0014

x x

y y += 即： 00440x x y y +-=

，所以1F A =

=

2F B =

=

∴201220

1631163x F A F B x -?=

==-. ∵PQ ⊥'，∴ PQ 的方程为()00004y y y x x x -=

-，令0y =，可得034x x =，∴ 03,04x Q ??

???

则PQ ==

=

又点O 到直线'

的距离为OD =

，∴1PQ OD ?=

=.

∴

121F A F B

OD PQ

?=. 当直线'平行于x 轴时，易知121F A PQ OD F B ====，结论显然成立. 综上，

121F A F B

OD PQ

?=. 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大．

10．【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2

＝4x 相交于不同的A ，B 两点,O 为坐标原点．

(1) 如果直线l 过抛物线的焦点且斜率为1，求AB 的值；

（2）如果4OA OB ?=-，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点. 【答案】（1）8；（2）证明见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；

（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y 的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b 的值，即得到定点的坐标．

令b 2－4b ＝－4，∴b 2

－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．∴若·＝－4，则直线l 必过一定点．

点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

11．【黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>，

1

1.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点10,3S ??- ???

的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ?若存在，求出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由.

【答案】(1) 椭圆方程为2

212

x y +=;(2) 以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .

当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为2

2

1x y +=. 故若存在定点Q ，则Q 的坐标只可能为()0,1Q . 下面证明()0,1Q 为所求：

若直线l 的斜率不存在，上述己经证明. 若直线l 的斜率存在，设直线1

:3

l y kx =-

， ()()1122,,,A x y B x y ，

∴QA QB ⊥，即以线段AB 为直径的圆恒过点()0,1Q .

点睛：这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为0 ，再者就是向量坐标化的意识。还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。

12．【四川省成都市新津中学2018届高三11月月考】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>

且过点)

.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过点P 的直线1交椭圆C 于,A B 两点，求证： 22

PA PB +为定值.

【答案】（1）22

142

x y +=；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）

由椭圆的离心率2

c e a ==求得222a c =，由222a b c ++，得22b c =，

将点)

代入22

2212x y b b +=，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）设()(),022P m m -≤≤， ∴直线l 的方程

是()2

y x m =-与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将22

PA PB +用m 表示，化简

后消去m 即可得结果

.

()()2

222222

121211224,,2

m x x m x x PA PB x m y x m y -∴+==

∴+=-+-+ ()()()()()()222222

112212115444x m x m x m x m x m x m ??

=-+-+-+-=-+-?

?

()()()222

212121212125522222244

x x m x x m x x m x x x x m ????=+-++=+-+-+???? 222

52454

m m m ??=---=??（定值），22PA PB ∴+为定值. 【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属

于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

13．【北京朝阳日坛中学2016-2017学年高二上学期期中】已知椭圆22

22:1(0)x y a b a b

Γ+=>>的离心率为

2

3

，半焦距为(0)c c >，且1a c -=，经过椭圆的左焦点F ，斜率为()110k k ≠的直线与椭圆交于A ， B 两点， O 为坐标原点． （I ）求椭圆Γ的标准方程．

（II ）设()1,0R ，延长AR ， BR 分别与椭圆交于C ， D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证： 12

k

k 为定

值．

【答案】（I ）22

195

x y +=；（II ）见解析.

【解析】试题分析：（I ）依题意,得2{ 31

c a a c =

-=,再由222b a c =-求得2b ,从而可得椭圆的标准方程;

（II ）设()33,C x y ， ()44,D x y ，可求得直线的方程为()1

111

y y x x =--,与椭圆方程联立,由韦达定理可求

得2

113145y y y x =--,进一步可求1111594,55x y C x x ??- ?--??, 同理2222594,55x y D x x ??- ?--??

,从而可得2k ,化简运算即

可.

试题解析：

（I ）由题意，得2{ 31

c a a c =-=解得3

{ 2

a c ==，

∴222

5b a c =-=，

故椭圆Γ的方程为22

195

x y +=．

点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的

方法一般就是根据条件建立,,a b c 的方程，求出22,a b 即可，注意222

,c

a b c e a

=+=

的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,x x x x +?，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用． 14．【2017－2018学年高中数学（苏教版）选修1－1 课时跟踪训练】已知平面内的动点P 到定直线l ：x

＝P 到定点F 0)(1)求动点P 的轨迹C 的方程；

(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB ，交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为k 1、k 2，问k 1·k 2是否为定值？

【答案】(1)

22142

x y += (2) k 1·k 2＝－12 【解析】试题分析：（1）设出点P ，利用两点间的距离公式分别表示出P 到定直线的距离和到点F 的距离的

比，建立方程求得x 和y 的关系式，即P 的轨迹方程．（2）设出N ，A ，则B 的坐标可知，代入圆锥曲线的方程相减后，可求得k 1·k 2＝－1

2

证明原式． 试题解析：

(1)设点P (x ，y )，依题意，有

＝

.整理，得＋＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为＋

＝1.

(2)由题意，设N (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)，

＋＝1，＋＝1.k 1·k 2＝

·

＝

＝

＝－，为定值．

15．【河北省鸡泽县第一中学2017-2018学年高二10月月考】如图，已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的

左焦点为()1,0F -，过点F 做x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，且3AB =．

(1)求椭圆C 的标准方程：

(2)若M ，N 为椭圆上异于点A 的两点，且直线,AM AN 的倾斜角互补，问直线MN 的斜率是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

22143

x y +=;(2) 12-.

试题解析:

（1）由题意可知1c =，

令x c =-，代入椭圆可得2b y a =±，所以

2

23b a

=，又221a b -=， 两式联立解得： 224,3a b ==， 22143

x y ∴+= .

又直线AM 的斜率与AN 的斜率互为相反数，在上式中以k -代替k ，可得

22

412334N k k x k --=-+， 3

2N N

y kx k =--+, 所以直线MN 的斜率()21

2

M N M N MN M N M N k x x k y y k x x x x ++-===---，

即直线MN 的斜率为定值，其值为1

2

-.

点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

16．【北京市西城鲁迅中学2016-2017学年高二上学期期中】过点()0,1M 且与直线:1l y =-相切，设圆心

C 的轨迹为曲线E ， A ， B （A 在y 轴的右侧）为曲线E 上的两点，点()0,(0)P t t >，且满足

(1)AB PB λλ=>．

（Ⅰ）求曲线E 的方程． （Ⅱ）若6t =，直线AB 的斜率为1

2

，过A ， B 两点的圆N 与抛物线在点A 处共同的切线，求圆N 的方程．

（Ⅲ）分别过A ， B 作曲线E 的切线，两条切线交于点Q ，若点Q 恰好在直线l 上，求证： t 与QA QB ?均为定值．

【答案】(1) 24x y = (2) 22

323125222x y ?

???++-=

? ?????

(3)见解析 【解析】试题分析：（1）由抛物线定义得曲线E 为抛物线，根据基本量可得其标准方程（2）先根据直线AB

方程与抛物线方程解出A ,B 两点坐标，再利用导数求出在点A 处的切线的斜率，则得圆心与A 连线的直线

方程，设圆一般式方程，利用三个条件解方程组得圆N 的方程．（3）设211,4x A x ?? ???， 2

22,4x B x ?? ???，

(),1Q a -，则利用导数求出在点A 处的切线的斜率，利用点斜式写出切线方程2

11240x ax --=，同理可得

2

22240x ax --=，即得2240x ax --=两根为12,x x ，利用韦达定理化简直线AB 斜率得2

a ，即得AB 方

程为12

a

y x =+，因此1t =，再根据向量数量积可计算得QA QB ?

=0

由2

4{

2120

x y x y =-+=，得()6,9A ， ()4,4B -．

∵24x y =，即2

14

y x =

， 1

2

y x '=

． ∴抛物线24x y =在点A 处切线的斜率

1

632y '=?=．

∴圆C 的方程为2222

323323442222x y ?

???????++-=-++- ? ? ? ?????????，

整理得22

323125222x y ?

???++-=

? ??

???． （Ⅲ）设211,4x A x ?? ???， 2

22,4x B x ?? ??

?， (),1Q a -，

过点A 的切线方程为()211

142

x x y x x -=-， 即211240x ax --=，

同理得222240x ax --=，

∴122x x a +=， 124x x =-， 又∵22

12

1212444

AB

x x x x

k x x -

+==-，

整理得

2

22

48

42110

4

a

a a

+

=--++++=，

∴t与QA QB

?均为定值．

点睛：1.求定值问题常见的方法有两种

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

2．定点的探索与证明问题

(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y kx b

=+，然后利用条件建立,k b等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．

(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．

17．【南宁市2018届高三毕业班摸底联考】已知抛物线上一点到焦点的距离为.

（l）求抛物线的方程；

（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值.

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由焦半径定义和点在抛物线上建立两个方程，两个未知数，可求得抛物线方程。（2）由（1）知抛物线的方程，及，，设过点的直线的方程为,代入

得,由韦达定理可求得为定值上。

（2）∵点在抛物线上，且.

∴

∴，设过点的直线的方程为，即，

代入得，