2012年高考数学理科(广东卷)解析

2012年高考数学广东卷（理科）解析

参考公式：主体的体积公式V=Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。

锥体的体积公式为1

3

V sh =

，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。 一 、选择题：

1．设i 为虚数单位，则复数

56i

i

-= A ． 65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i -- 2．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则U C M =

A ．U

B ．{1,3,5}

C ．{3,5,6}

D ．{2,4,6}

3．若向量BA

=（2,3），CA =（4,7），则BC =

A ．（-2,-4）

B ．(2,4)

C ．(6,10)

D ．(-6,-10) 4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是

A ．ln(2)y x =+ B

．y = C ．y=12x

??

??? D ．1y x x =+

5．已知变量x ，y 满足约束条件2

11y x y x y ≤??

+≥??-≤?

，则z=3x+y 的最大值为

A ．12

B ．11

C ．3

D ．1- 6．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为

A ．12π B.45π C.57π D.81π

7．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为0的概率是 A.

49 B. 13 C. 29 D. 19

8.对任意两个非零的平面向量α

和β

，定义αβαβββ

?=?

．若平面向量,a b 满足0a b ≥> ，a 与b 的夹角(0,)4π

θ∈，且a b 和b a 都在集合2n n Z ??

∈????

中，则a b =

A ．

12 B.1 C. 32 D. 52

二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9-13题）

9.不等式21x x +-≤的解集为_____。 10. 26

1()x x

+

的展开式中3x 的系数为______。

（用数字作答） 11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2

324a a =-，

则n a = ____。

12.曲线3

3y x x =-+在点（1，3）处的切线方程为 。 13.执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 。

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2

的参数方程分别为)x t

t y =???

=??

为参数

和()x y θ

θθ

?=??=??为参数，则曲线C 1与C 2的交点坐标为_______。 15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足

∠ABC=30°，过点A 做圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA=_____________

。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分12分） 已知函数()2cos()(0,)6

f x x x R π

ωω=+>∈其中的最小正周期为10π

（1）求ω的值； （2）设56516,0,

,(5),(5)235617f f παβαπβπ??

∈+=--=????

，求cos()αβ+的值。 17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频

率分布

直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

[)[)[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100

（1）求图中x 的值；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人， 该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ， 求ξ的数学期望。 18.（本小题满分13分）

如图5所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形， PA ⊥平面ABCD ，点 E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE 。 （1）证明：BD ⊥平面PAC ；

（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A 的正切值. 19. （本小题满分14分） 设数列{}n a 的前n 项和为S n ， 满足1

122

1,,n n n S a n N +*+=-+∈且123,5,a a a +成等差数列。

（1） 求a 1的值；

（2） 求数列{}n a 的通项公式。 （3） 证明：对一切正整数n ，有

1211132

n a a a +++< . 20.（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：22

221(0)x y a b a b

+=>>

的离心率e =

C 上的点到Q （0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；

（2）在椭圆C 上，是否存在点M （m,n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x 2+y 2=1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由。 21.（本小题满分14分）

设a ＜1，集合{}

{

}

2

0,23(1)60A x R x B x R x a x a =∈>=∈-++>，D A B = （1）求集合D （用区间表示）

（2）求函数3

2

()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点。

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A

数学（理科）参考答案

一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.解析：

5(56)65i i

i i

-=--=-- 选D 2.解析：∵集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } ∴U C M ={3,5,6} 选C

3.解析：BC =(24,37)(2,4)BA AC BA CA +=-=--=--

选A

4.解析：函数ln(2)y x =+在区间（-2，+∞）上为增函数；函数y =在区间（-1，+∞）上为减函

数；函数y=12x

??

???

在区间（-∞，+∞

）上为减函数；函数1y x x =+在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，

+∞）上为增函数. 选A

5.解析：1°作出变量x ，y 约束条件2

11y x y x y ≤??

+≥??-≤?

的可行域（如图所示）；

2°解21

y x y =??-=?得最优解（3,2）

3°当32x y =??=?

时，目标函数z=3x+y 的最大值为max 11z =.选B

6.解析：几何体的直观图如图所示，由一个圆柱和 同底的圆锥构成。

圆锥的高14PO =

几何体的体积1=95

94573

V V V p p p =+?创=圆柱圆锥 7.解析：由题意知，个位数与十位数应该一奇一偶.

①个位数为奇数，十位数为偶数共有5×5=25个两位数； ②个位数为偶数，十位数为奇数共有5×4=20个两位数； 两类共有25+20=45个数，其中个位数为0，十位数为奇

数的有10,30,50,70,90共5个数。

∴位数为0的概率是

545=1

9选D 8.解析：∵||cos || αβααβθβββ?==?? ∴a b =1||cos 2||

n a b

θ?=3b a

=

2||

cos 2||

n b a

θ?=,

∴2

12cos 4n n q =

∵(0,)4πθ∈ ∴2

121cos 1,24

n n q <=<即1224n n <<

∴123n n =，∵12n n 3，∴13,n = a b =1||3

cos 22||

n a b θ?== 选C

二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。 （一）必做题（9-13题） 9. 1

{|}2

x x ?

；10. 20 ；11. n a = 2n-1___；12. 2x-y+1=0 ；13. 8 ； （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14.（1,1） ；

9.解析：[图象法]：折点——参考点——连线；运用相似三角形性质。 [分类讨论] 由不等式21x x +-≤得

22002122121x x x x 祆 ?-< 镲镲 眄 镲 -?＃镲铑

>或或 解得1

2

x ?

10.解析：261

()x x +的展开式的通项为

261231661()()r r r r r

r T C x C x

x

--+== 令1233r -= 得3r = ∴2

61()x x

+的展开式中3x 的系数为3620C =

11.解析：设递增的等差数列{}n a 的公差为d （0d >），由2

324a a =-得

212(1)4d d +=+- 解得2d = 舍去负值2d =∴21n a n =-

12.解析：32'(3)'31y x x x =-+=-，1'|2x y ==

由点斜式得所求的切线方程为32(1)y x -=- 即210x y -+=

13.解析：1°2,1,1i k s ===T11

()(12)21

s s i k =??

2°4,2,2i k s ===T11

()(24)422s s i =??

3°6,3,4i k s ===T11

()(46)83

s s i k =??

8i =并不会“8i <”故输出s 的值为 8

14.解析：曲线C 1的普通方程为：2(0)x y x = ；曲线C 2的普通方程为：222x y +=

解222(0)2

x y x x y ì?= ?í?+=??得11x y ì=??í?=??

∴曲线C 1与C 2的交点坐标为（1,1）

15.解析：连结OA ，则OA ⊥AP

∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∠APO=30°，

∴tan PA

AOC

OA

?=

PA =三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.解：（1）由210T p p w =

=得15

w = （2）由（1）知1()2cos()56

f x x p

=+

∵5156

(5)2cos[(5)]2cos()2sin 353625f p p p p a a a a +=++=+=-=-

∴3sin 5a =，4

cos 5a =

∵51516

(5)2cos[(5)]2cos 656617f p p p b b b -=-+==

∴8cos 17b =，15

sin 17

b =

∴4831513

cos()cos cos sin sin 51751785

αβαβαβ+=-=?-?=-

17. 解：（1）图中学生期中考试数学成绩在 [80,90)的频率 f 5=1-10（0.054+0.01+0.006×3）=1-0.82=0.18 ∴x

=0.018

（2）学生成绩不低于80分的频率f=10（0.018+0.006）=0.24 成绩不低于80分的学生人数为50f=50×0.24=12 成绩不低于90分的学生人数为50×10×0.006=3 ∴随机变量x 的取值为0,1,2，期中考试数学成绩在 [80,90)的学生数为12-3=9,

292126(0)11C p C x ===，11

932129(1)22C C p C x ′===，232

121

(2)22

C p C x === 随机变量x 的分布列为

随机变量x 的数学期望()22222

E x ===

18.解：（1）∵PA ⊥平面ABCD ，BD ì平面ABCD ∴BD ⊥PA

∵PC ⊥平面BDE ，BD ì平面BDE ∴BD

⊥PC ∵PA ∩PC=P ∴

BD ⊥平面PAC ；

(2)设AC ∩BD=O ，连结OE

∵PC ⊥平面BDE 。

∴∠BEO 为二面角B-PC-A 的平面角 ∵BD ⊥平面PAC ，AC ì平面PAC ∴AC ⊥BD ，∴ABCD 为正方形 ∵AD=2，∴，

AC=

在Rt △PAC 中3PC =

=

∵PC ⊥平面BDE ，OE ì平面BDE ∴PC ⊥OE ，∴△PAC ∽△OEC ∴

OE OC

PA PC

=

∴133

OC OE PA PC =

??

在Rt △BOE 中tan ∠BEO 3BO

EO

=

= 即二面角B-PC-A 的正切值为3。 19.解：（1）∵1

122

1,,n n n S a n N +*+=-+∈且123,5,a a a +成等差数列

∴112321232132222272(5)S a a a S a a a a a a ì==-????=+=-í???+=+??

解得1231519a a a ì=????=í????? （2）∵1

122

1n n n S a ++=-+………………………………………………①

∴ 1221n

n n S a -=-+……………………………………………………② ②-①化得132

(2)n

n n a a n +=+

∵215325a a ==+= ∴132(*)n

n n a a n N +=+

∴

1131

2222

n n

n n a a ++=?，

1131(1)

222

n n

n n a a +++=?

故数列{

12n n a +}成首项为113122a +=，公比也为3

2

的等比数列，于是有 31()22n n n a +=∴3()122

n n n

a =-， 32n n

n a =- （3）∵1

111133232322(32)0n n n n n n n n n a ------=--=?=- （当n=1时，取等号。）

∴1

3

0n n a -?， ∴

111

3

n n a -￡ （当且仅当n=1时，取等号。

） ∴211211()11111131331[1()]133323213

n

n n n a a a --+++<++++=

=-<- 20.解：（1

）∵c

e a =

==

,(0)a c k ==>

∴b k =

故椭圆C 的方程为22

2213x y b b

+=

设(,)

()P x y b y

b -＃为椭圆上的任一点则22233x b y =-

2222222||(2)24432(1)34PQ x y y y b y b =+-=--++=-+++

①当1b 3时，在1y =-，|PQ|取得最大值3，于是有2

639b += 解得1b =

②当01b <<时，在y b =-，|PQ|取得最大值3，于是有2449b b ++= 解得1b =或5b =- 均与“01b <<”矛盾，舍去。

∴1b =，所求的椭圆C 方程为2

213

x y +=

（2）假设点M （m,n ）存在，则2

213

m n += ， 即2233m n +=

圆心O 到直线l

的距离1d =

∴221m n +>

1

||2AB ==△OAB

的面积1

||2

OAB

S AB d ==

1

112

==

22

2m n +=时取等号）

解2

2

22332m n m n ?+=??+=??得2232

12m n ì??=??í??=????

∴所求点M

的坐标为((2222

----、、 21.解：设2

()23(1)6g x x a x a =-++，方程()0g x =的判别式2

1

9(1)489()(3)3

a a a a D =+-=-

- ①当

1

13

a <<时，0D <，{}

223(1)60B x R x a x a R =∈-++>=，{|0}D A B A x x ===> 即集合D=(0,)+

②当1

03

a <

时，0D ，方程()0g x =

的两根13[(1)04x a =+- ，

23

[(1)4x a =

++。{}

223(1)60B x R x a x a =∈-++>

33[(1)[({|1)44}x a a x x 或<+++=>

33[(1)[(1)4{|04}D A B A x x x a a 或==<+-++=<>

即集合D=33(0[(1)[(1))4

4

a a +-

+++ ，）（

③当0a ￡时，0D >，方程()0g x =的两根13

[(1)04

x a =

+- ，

23

[(1)04

x a =

++>。 {}

223(1)60B x R x a x a =∈-++>

33[(1){|0[(1)44}x a x x a 或=≤<+++>

{3|[(1)4}a A B A x D x ===++>

即集合D=

3

[(1))4

a +++ （ （2）令3

2

2

'()[23(1)6]'66(1)66()(1)0f x x a x ax x a x a x a x =-++=-++=--=得

32()23(1)6f x x a x ax =-++的极值点为,1a

①当

1

13

a <<时， 集合D=(0,)+ 32()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内有两个极值点为,1a 。

②当1

03

a <

时，∵311[(1)1()433a a a +

∴3[(1)14

a +≤成立，

∵311[(1)1()433

a a a +>?

>--?>-

∴3

[(1)14a ++≥成立

31[(1)33(0,]43

a a a a a <+?<-?<-?∈

此时，3

2

()23(1)6f x x a x ax =-++在D 内仅有一个极值点为a 。 ③当0a ￡时，

∵31

1

[(1)14

3

3

a a a ++

>?-?-，

∴32

()23(1)6f x x a x ax =-++在D=

3[(1))4

a +++ （没有极值点。