参数方程教案教学内容

参数方程教案

第一节 曲线的参数方程

【教学目标】

1．通过圆及弹道曲线的参数方程的建立，使学生理解参数方程的概念，初步掌握求曲线的参数方程的思路．

2．通过弹道曲线的参数方程的建立及选取不同参数建立圆的参数方程，培养学生探索发现能力以及解决实际问题的能力．

3．从弹道曲线的方程的建立，对学生进行数学的返璞归真教育，使学生体会数学来源于实践的真谛，帮助学生树立空间和时间是运动物体的形式这一辩证唯物主义观点． 【教学重点与难点】

重点：曲线参数方程的探求及其有关概念； 难点：是弹道曲线参数方程的建立． 【教学过程】

一． 复习：

1．满足什么条件时，一个方程才能称作曲线的方程，而这条曲线才能够称作方程的曲线？

曲线方程的概念：(1)曲线C 上任一点的坐标（x,y ）都是方程f(x,y)=0的解；(2)同时以这个方程F(x,y)=0的每一组解(x,y)作为坐标的点都在曲线C 上．那么，这个方程f(x,y)=0就称作曲线C 的方程，而这条曲线C 就称作这个方程f(x,y)=0的曲线．

2．写出圆心在原点，半径为r 的圆O 的方程，并说明求解方法． ⊙O 的普通方程是：x 2

+y 2

=r 2

；

⊙O 的参数方程是： ??

?==θ

θ

sin cos r y r x （θ为参数）

这里，我们从另一个角度重新审视了圆，通过第三个变量θ把圆上任意一点的横、纵坐标x 、y 联系了起来，获得了圆的方程的另一种形式．

二．新课：

1．参数方程的定义：一般地，在直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x,y ，都是某个变数t 的函数

??

?==)

()

(t g y t f x )(*，并且对于t 的每个允许值，由方程组)(*所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组)(*就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y 之间关系的变量t 叫做参变数，简称参数。

2．例：炮兵在射击目标时，需要考虑炮弹的飞行轨迹、射程等等．现在，我们假设一个炮兵射击目标，炮弹的发射角为α，发射的初速度为v 0，求出弹道曲线的方程．(不计空气阻力)。

我们知道弹道曲线是抛物线的一段．现在的问题就是怎样求弹道曲线的方程(即点的轨迹方程)，那么，怎样来求点的轨迹方程？

（1）建系：建立适当的直角坐标系；

以炮口为原点，水平方向为x 轴，建立直角坐标系。 （2）设标，设炮弹发射后t 秒时的位置为M(x ，y)． (3)列式：即找出x 与y 之间的关系。 怎样把x 、y 之间的关系联系起来呢。

这里，炮弹的运动实际上是物理学中的斜抛运动．炮弹在水平方向作匀速直线运动，在竖直方向上作竖直上抛运动．显然在x 、y 分别是炮弹飞行过程中的水平位移和竖直位移(竖直高度)。x 、y 都与时间t 有关．

在水平方向的初速度是v 0cos α，在竖直方向的初速度是v 0sin α. 水平方向的位移，因为水平方向是作匀速直线运动，所以x=v 0cos α;

在竖直方向上，炮弹作竖直上抛运动，即炮弹受重力的作用作初速度不为零的匀减速直线运动．所以y=v 0sin α·t-2

1gt

2

这里我们把水平位移和竖直位移都用时间t 表示出来了，即把x 、y 都表示成了t 的函数，t 应该有一个确定的范围？

令y=0，得t=0或t =

g

v α

sin 20， ∴0≤t ≤

g

v αsin 20。

当t=

g v αsin 20时炮弹刚落地。记g

v α

sin 20为T 。 则)0(21sin cos 200T t gt t v y t

v x ≤≤??

???-?=?=αα 这个方程组表示的是弹道曲线的方程。

前面我们举的圆和弹道曲线这两个例子中，这两个方程组有一个共同的特点，就是曲线上的点的坐标x,y

之间的关系不是直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来的．在圆的参数方程中旋转角θ参与了方程组的建立，且x 、y 都是θ的函数；在弹道曲线的参数方程中时间t 参与了方程组的建立，且x 、y 都是t 的函数。

参数方程的定义：在给定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x 、y 都是某个变量t 的函数??

?==)()(t g y t f x ※，

且对于的t 每一个允许值，由※所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，则※就叫做曲线的参数方程，叫参变数，简称参数。

相对于参数方程来说，以前的方程是有所不同的。为了区别起见，我们把以前学过的方程称作曲线的普通方程。

参数可以有明确的几何意义(旋转角θ——几何的)，也可以有明显的物理意义(时间t ——物理的)．事实上，除此之外，还可以是没有明显意义的变数．即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作参数． 曲线参数方程的建立，不但能使曲线上点的坐标较容易通过参数联系起来，同时某些情况下还可较好地反映变数的实际意义，如弹道曲线中，x 表示炮弹飞行的水平位移，y 表示炮弹飞行的竖直高度．求出炮弹的最大水平射程和相应的最大竖直高度？ ∵当t=g

v αsin 20时炮弹刚落地

∴x=v 0cos αg v αsin 20=g v α2sin 20，2α=2π，即α=4

π，得x 最大=g v 20

当4π

α=,t=g v αsin 0,y 最大=v 0sin g v αsin 0-2

22

sin 21g v g o α=g v 2sin 220

α=g v 420。

【练习】

1． 动点M 作等速直线运动，它在x 轴、y 轴方向的速度分别为9和12，运动开始时点M 位于A （1，1），求

M 点轨迹的参数方程。 2． 求半径为5，圆心在点（2，-5）的圆的参数方程。

3．求经过两个不同的N（x1，y1）,M(x2,y2)的直线的参数方程。

4．物体从H米的高处以初速度v米/秒沿水平方向抛出，写出物体所经过路径的参数方程。

5．作水平飞行的飞机速度为150米/秒，飞行高度为H=720米，若飞机从这个高度进行投弹。求：

（1）炮弹离开飞机后的轨迹的参数方程。

（2）飞机与目标的水平距离多少时，投弹才能命中目标？

（3）从抛出炮弹到命中的时间？

【小结】

（1）曲线的参数方程的概念。

（2）参数方程的优越性：①当建立两个变量之间的直接联系比较困难，可以利用参数建立两个变量之间的间接的联系。②参数一般带有物理意义和几何意义，可以利用它们的物理意义和几何意义来解决实际问题。

【课程后反思】

1．未来社会对人才素质的要求越来越高．高素质人才的培养对学校教育提出了更高的要求．由于人的素质是多方面的，因此课堂教学的目的不但要向学生传授科学知识，而且还要努力发展学生的思维，提高学生的能力，培养学生的个性品质．显然这种多元化的教学目标对于全面提高学生的素质有着重要的作用．本节课的3个教学目标正是据于这样的思考而制定的．

2．这节课按如下步骤逐渐展开：

(1)圆的参数方程；

(2)弹道曲线的参数方程；

相对于弹道曲线来说，学生对圆感到既熟悉，又简单．从简单而又熟悉的圆开始研究，符合循序渐进的原则，缩短了学生思维的“跨度”，加快了学生思维的步伐，为学生利用类比的方法，进一步研究弹道曲线的方程(参数方程)，提供了可参照的“样本”．这对于发展学生的思维品质，培养学生的合情推理能力都是十分有益的．

在探求弹道曲线的参数方程中，如果按教材中直接取炮口为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，并直接由物理学中的匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式得参数方程

通过圆及弹道曲线的参数方程的特点分析，让学生自行给这类方程命名，这种把命名权交给学生的做法极大地尊重了学生的主体地位，强化了学生的主体意识．在此基础上，引导学生给出曲线参数方程的一般定义．旨在培养学生由具体到抽象的推理能力．

将两个例子作了进一步研究．通过对圆的参数方程的不同表述，使学生体会到对同一个问题，可以选取不同的变数作参数．既培养了学生发散思维的能力，又培养了学生优化选择的意识．而对炮弹最大水平射程和相应的最大竖直高度的求解，一方面可使学生明了本题中通过参数t 联系起来的x 、y 的最大值，有着鲜明的实际意义(几何的)，另一方面又与前面提出的炮弹射击目标的例子中需要考虑的射程问题前后呼应，使学生领略到数学源于实践又服务于实践的真谛．

第二节 求曲线的参数方程

一。复习：

1． 什么是曲线的参数方程？

2． 样求曲线的参数方程：①建立坐标系，

②选好适当的参数，与时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。直线运动的物体可以把位移作为参数。 ③把x,y 分别表示为参数t 的函数，并且联立。

二．几种常用曲线的参数方程

1． 直线：是参数）

t t y y t

x x (sin cos 00?

???+=?+=αα α为倾斜角，t 为动点M 离开定点M 0的位移，当t>0时，M 点在M 0的上方。当t< 0时，M 点在M 0的下方。

当t=0时，M 点与M 0点重合。

???

????++=++=λ

λλλ11212

1y y y x x x ，表示过P 1（x 1,y 1）,P 2(x 2,y 2)点的直线的参数方程，（但不包括P 2点）； {

00(x x mt t y y nt =+=+为参数），

是表示过P 0（x 0,y 0），m

n tg k ==α的直线的参数方程； 当m 2

+n 2

=1,参数|t|表示动点M 离开定点M 0的距离。 m 2

+n 2

≠1，参数t 没有明确的几何意义。 2．圆：{

00cos sin x x r y y r αα=+=+，（θ是参数）

3.椭圆：为参数，表示离心角）θθ

θ

(sin cos ??

?==b y a x

4．双曲线：为参数）θθθ(sec ?

??==btg y a x 例1：OA 是圆的直径，长是2a ，直线OB 与⊙交于M 1，与经过A 点的圆的切线交于B ，MM 1⊥OA ，MB ‖OA ，以O

为原点，OA 方向为轴的正方向建立直角坐标系，求M 点的轨迹方程。 分析：点M 是随OM 1的变化而变化，∴设∠xoM 1=θ，θ为参数。 解：M 点的坐标为（x,y ）, 设∠xoM 1=θ，θ为参数。 x=OC=|OM 1|cos θ=|OA|cos θcos θ=2acos 2

θ; y=AB=|OA|tg θ=2atg θ;

M 点的参数方程是

{

2

2cos 2x a y atg θθ

== 例2．求抛物线x 2

=4y 的过焦点弦的中点的轨迹方程。

分析：过焦点弦的中点是与过焦点的直线的斜率k 有关，∴选过焦点的直线的斜率k 作为参数。

解：设过焦点的弦的中点M （x,y ）, 焦点坐标是（0，1），所在直线的斜率为k ，那么直线方程为y-1=kx,

{

214y kx x y =+=→x 2-4kx-4=0，由违达定理x 1+x 2=4k ，∴x=122

x x +=2k ，代入y=kx+1中得y=2k 2+1∴过焦点的弦的中点的轨迹方程是{

2221

x k y k ==+

例3．过M 点（2，-1），倾斜角为135°的直线与圆x 2

+y 2

=4相交于A 、B 两点，求：① AB 的中点坐标；②|AM||BM|；③|AB|。

解：①过点（2，-1），倾斜角为135°的直线的参数方程是

:

002cos13521sin1351x t y t ?=+=???

?=-+=-+??,代入圆方程x 2+y 2=4, 得t 2

1+t 2

1t 2=1

AB 中点对应的参数t=122

t t +

代入直线的参数方程，

得1

221

12

x y ?=-=?

???=-+=??，∴AB 中点的坐标是(11,22)：

②|AM|·|BM|=|t 1t 2|=1;

③|AB|=|MB-MA|=|t 1-t 2

=

评注：这里利用了直线的点角式参数方程中的参数的几何意义。 【练习】

（1）下列哪个点在曲线

??

?+==θ

θθ

sin cos 2sin y x 上（ ） A ．)2,2

1(-；B ．)21,43(-；C ．)3,

2( ；D ．)3,1(。

（2）直线?

??-=+=t y t

x 3221的倾斜角（ ）

A ．);3

2(-arctg B ．23arctg

-；C ．23

arctg -π；D ．3

2arctg -π。 （3）直线l 经过P （-3，2），倾斜角为π65，且与曲线?

??==θθsin 4cos 2y x 相交于A 、B 两点，求：|PA||PB|。

（4）已知⊙O 的半径为a(a>0)，若以过原点的弦所在直线的斜率k 为参数，求圆的参数方程：若以过原点的

弦长t 为参数，求圆的参数方程。 【小结】

1．样求曲线的参数方程： ①建系：建立适当直角坐标系，

②选参：选择适当的参数，与时间有关的运动物体，可以选择时间作为参数；旋转的物体，可以选择旋转角作为参数。直线运动的物体可以把位移作为参数。 ③设标：设曲线上任意一点M 的坐标为（x,y ） ④列式：把x,y 分别表示为参数t 的函数，并且联立。 2．常用曲线的参数方程：

（1）直线：①是参数）t t y y t x x (sin cos 00????+=?+=αα；②??

?????

++=

++=λλλλ11212

1y y y x x x ；③{

00(x x mt t y y nt =+=+为参数），

（2）圆：

{

00cos sin x x r y y r αα

=+=+，（θ是参数）, →(x-x 0)2+(y-y 0)2=r

2

（3）椭圆：为参数，表示离心角）θθθ(sin cos ???==b y a x ,→22221x y a b

+= （4） 双曲线：为参数）

θθ

θ(sec ???==btg y a x ；→22

221x y a b -= （5） 抛物线：{

2

22x pt y pt

==,→y 2=2px

3．参数方程的应用：

①利用直线的点角式参数方程的参数t 的几何意义； ②把曲线上的点坐标用参数形式表示。

第三节 参数方程和普通方程的互化

【教学目标】

1．掌握把参数方程与普通方程互化的基本思路。。 2．理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的 3．基本掌握消去参数的常用方法．

4．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力． 【教学重点与难点】

使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法． 【教学过程】

1． 复习：曲线参数方程的定义。 2． 参数方程与普通方程之间的互化：

参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数可以协调x 、y 的变化．基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．即想办法消去参数k ，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了．参数方程

参数方程化为普通方程：消参，即消去参数方程中的参数；

普通方程化为参数方程：选参，即通过适当选择参数，将普通方程化为参数方程。 例1：消去参数t ，将曲线的参数方程化为普通方程：??

???-==2021gt h y t

v x 。

解：将x=v 0t 变为t=0v x

，代入2式中，得y=h-20

22v gx .

例2：已知参数方程??

?==θ

θ

sin cos t y t x

(1)消去参数t ，将曲线的参数方程化为普通方程，并说出方程表示的是什么曲线？ (2) 消去参数θ，将曲线的参数方程化为普通方程，并说出方程表示的是什么曲线？

解：（1）从①得θ

cos x t =

，代入②得：x tg x y ?==

θθ

θ

cos sin ，表示直线。 （2）利用三角公式：sin 2

θ+cos 2

θ=1，得x 2

+y 2

=t 2

，表示以原点为圆心圆。

例3：消去参数t ，将曲线的参数方程化为普通方程)2,0[),0(sin cos π∈>>?

??==t b a t b y t

a x ，并说出方程表示的

是什么曲线？

解：三角公式：sin 2

t+cos 2

t=1，得:122

22=+b

y a x ,表示椭圆。

消参的基本方法——①代入消参法；②加减（乘除）消参法 ；③利三角恒等变换或代数恒等变换 例4：求下列曲线的所表示的图形：（t 是参数）

（1）????

?-=+=1

21t y t x ；（2）???=+=t

y t x 2cos 1cos 解：（1）从①得t =x-1，代入②得y=2(x-1)-1=2x-3,注意到t ≥0，∴x ≥1。 ∴参数方程表示射线：y=2x-3,(x ≥1)。

利用三角公式：Cos2t=2cos 2

t-1，把①化为：cost=x-1，代入②得：y=2(x-1)2

-1=2x 2

-4x-3, 且cost ∈[-1,1]，∴x ∈[0,2]，∴参数方程表示抛物线y=2x 2

-4x-3, x ∈[0,2]的一部分。