构造直角三角形利用勾股定理
专题构造直角三角形运用勾股定理解题
重点强化一作垂线→构造直角三角形
1．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，求BC的长．
解：过A点作AD⊥BC于D点．在Rt△ACD中，∵AC＝10，∠C＝60°，∴CD＝AC＝5，AD＝5．∵AB＝14，∴BD＝＝11，∴BC＝CD+BD＝16．
2.如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝6，求AB，BC的长．
解：过A作AD⊥BC于D．在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，AC＝6，∴AD＝AC＝3，
根据勾股定理得DC＝3．在Rt△ADB中，∠B＝45°，∴AD＝BC＝3，
根据勾股定理得AB＝3，∴BC＝BD+DC＝3+3．
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的面积．
解：过A作AD⊥BC于D，则BD＝5．在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，
则AD＝＝12，∴S△ABC＝BC?AD＝×10×12＝60．
4.如图，△ABC的外角∠CBD＝75°，∠A＝45°，BC＝30，求AB的长．
解：作BE⊥AC于点E．∵∠CBD＝75°，∠A＝45°，∴∠C＝30°．
∵BC＝30，∴BE＝15．∵∠A＝45°，∴AE＝BE＝15，∴AB＝AE＝15×＝30．
5.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，三角形的面积为12cm2，且底边上的高为4cm，求△ABC的周长．
解：作BC边上的高线AD，则AD＝4cm，∵△ABC的面积为12cm2，
∴BC?AD＝12，即×BC×4＝12．则BC＝6．∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝3．
在直角△ABD中，由勾股定理得AB＝＝＝5．
则△ABC的周长＝2AB+BC＝10+6＝16．即△ABC的周长是16．
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，如果AB＝，求CD的长．
解：过点D作DE⊥BC于E．∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AD＝AB＝，∴由勾股定理可得BD＝
＝2．∵∠CBD＝30°，∴DE＝BD＝×2＝1．∵Rt△CDE中，∠DEC＝90°，∠C＝45°，
∴由勾股定理可得CD＝＝．
7．如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13．求BC边上的中线长．
解：作BC边上的高AD和中线AE，设BD＝x，则CD＝14﹣x．
根据勾股定理，得AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即225﹣x2＝169﹣（14﹣x）2，解得x＝9．
则AD＝＝12．∴DE＝BD﹣BE＝9﹣7＝2，∴AE＝＝，
重点强化二补形→构造直角三角形
8．如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸剪去了一角，量得AB＝3cm，CD＝4cm，求剪去的直角三角形的斜边长．
解：延长AB，DC相交于F，则△BFC是直角三角形，由勾股定理得
BC2＝（15﹣3）2+（20﹣4）2＝122+162＝400，∴BC＝20．
即剪去的直角三角形的斜边长为20cm．
9.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．
解：连接AC．∵∠B＝90°，∴AC2＝AB2+BC2．∵AB＝BC＝2，∴AC2＝8．
∵∠D＝90°，∴AD2＝AC2﹣CD2．∵CD＝1，∴AD2＝7，∴．
10．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝8，AB＝7，求BC和CD的长．
解：延长AB，DC相交于E，
在Rt△ADE中，由勾股定理得AE2﹣DE2＝AD2，且AE＝2AD，
得AE＝16，DE＝8，∴BE＝AE﹣AB＝9．
在Rt△BEC中，由勾股定理得BC2+BE2＝CE2，且CE＝2BC，
∴BC＝3，CE＝6，∴CD＝DE﹣CE＝2．
11．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，AD＝2，求四边形ABCD的面积．
解：延长BA，CD交于点E，∵∠BAD＝135°，∴∠EAD＝45°，∴ED＝AD＝2，EB＝BC＝2，∴四边形ABCD的面积＝×2×2﹣×2×2＝4，
12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，CD＝2，BC＝11，求AC的长．
解：延长AD，BC交于点E．∵∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，∴∠E＝30°．
∵CD＝2，∴CE＝2CD＝4，∴AB＝，∴AC＝＝14．
13.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形周长为32，求BC和CD的长度．
解：连接BD．∵AB＝AD，∠A＝60°．∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝AD＝8，∠1＝60°．
∵∠1+∠2＝150°，∴∠2＝90°．设BC＝x，则CD＝16﹣x，由勾股定理得x2＝82+（16﹣x）2，
解得x＝10，16﹣x＝6，∴BC＝10，CD＝6．
课后提升
1．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2m，CD＝1m．求这块草地的面积和周长．
解：分别延长AD，BC交于点E．∵∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠DCE＝∠DEB＝∠A＝45°，∴AB＝BE，CD＝DE，
∵AB＝2m，CD＝1m，∴BE＝2m，DE＝1m，
∴BC＝BE﹣CE＝2﹣，AD＝AE﹣DE＝2﹣1，
∵S△ABE＝AB?BE＝2，S△CDE＝CD?DE＝0.5，
∴四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CDE＝2﹣0.5＝1.5（m2）．
四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝2+2﹣+1+2﹣1＝4+（m）
所以这块草地的面积为1.5m2．周长为（4+）m．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B，C）．若线段AD长为正整数，求点D的个数．
解：过A作AE⊥BC．∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3．
∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C）．∴3≤AD＜5，∴AD＝3或4．
∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．若△ABC的腰不变，将底变为12cm，得到△A′B′C′，甲同学说，这两个等腰三角形面积相等；乙同学说，这两个等腰三角形面积一定不相等．甲、乙同学的说法对吗？
请做出判断，并说明理由．
解：甲的说法对，乙的说法不对；理由：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝10 cm，BC＝16 cm，∴BD＝CD＝8 cm，∴AD＝6 cm，∴S△ABC＝×BC×AD＝48 cm2；
如图2，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′，∵A′B′＝A′C′＝10 cm，B′C′＝12 cm，
∴B′D′＝C′D′＝6 cm，∴A′D′＝8 cm，∴S△A′B′C′＝×B′C′×A′D′＝48 cm2，
∴S△ABC＝S△A′B′C′．
巧构一线三直角解题
巧构一线三直角解题 发表时间：2017-02-14T14:06:18.193Z 来源：《中小学教育》2017年2月第269期作者：鲍玉秀张刚 [导读] 教师在教学时要注意给学生创造机会，让学生学会找基本图形。 山东省淄博市周村区北郊中学255000；山东省淄博市修文外国语学校255000 教师在教学时要注意给学生创造机会，让学生学会找基本图形。通过基本图形的积累，学生在分析题目时，就能唤醒利用这些基本图形，并能直接解题。几何命题的证明方法很多，只要找到规律、找到模型，我们就可以“以不变应万变”，任何问题就能迎刃而解。所以说，模型建立是学好数学的秘密武器。 基本图形：如图1，B、D、C在一条直线上，∠B=∠ADE=∠C=90°。我们称这一图形为“一线三直角”模型，则△ABD∽△DCE(或 △ABD≌△DCE)。 点评：我们在教学中经常遇到此图形，只要见到一直角在一条直线上，我们可以构造两侧的直角三角形，利用相似三角形可以解决一类相关问题。当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了。综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式。本文将重点对这一基本图形进行探讨。 一、在旋转中出现一线三直角基本图形（全等） 如图，将AO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到A’O。若点A的坐标为（a,b），则点A’的坐标为( )。 解析：过A点作AB⊥x轴，垂足为E，过A’作A’E’⊥x轴，则△A’OE≌△OAE，所以A’E’=OE=a,AE=OE’=b，所以A’的坐标为（-b,a）。 点评：教师在平时教学中就要注意基本图形的构造，为以后学习打下良好的基础。 变式：直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为2。把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）。 分析：∠AEC=90°，并在直线l3，此时我们可以构造一线三直角数学模型，△ADE与△BEC全等，所以DB=CE=3。 二、在折叠中构造一线三直角 如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A’的位置。若ＯＢ= 5，tan∠BOC= ，则点A’的坐标是多少？ 解析：因为ＯＢ= 5，tan∠BOC= ，OA=1，AB=2，△A’OD∽△A’BE。设OD=a,则A’E=2a, A’D= (a+1), DE=AB，2a+ (a+1)=2，解得a= ,所以A’的坐标（- ，）。 点评：此题是以矩形折叠为载体，如果利用常规方法勾股定理及全等计算很麻烦。如果构造一线三直角是非常简单的，过A’做AB的平行线，与BC、AO的延长线交于E、D, △A’OD∽△A’BE。设OD=a,则A’E=2a, A’D= (a+1),DE=AB，2a+ (a+1)=2，计算量相当简单。 三、画斜为直，找直线构造一线三直角 如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标是（-7，1），∠AOB=135°，OB=5。（1）求△AOB的面积。（2）求点B的坐标。 解析：设B（x,y），过B点作BF⊥x轴，过D点作x轴的平行线，与y轴交于G点，过A点作AC⊥CD。因为∠AOB=135°，AO=5 2，所以∠AOD=45°，AD=OD=5，所以△BOF≌△DOG≌△DCA，所以AD=OD=BO,AC=DG=OF,CD=OG=BF，所以△AOB的面积= ×5×5= ，所以x+y=7,1+y=x，所以x=4,y=3。 点评：这是一道一题多解的题，将∠AOB=135°转化为∠AOD=45°，构造等腰直角三角形，再构造模型一线三直角（全等）。 四、在圆中构造一线三直角 如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于点C，与y轴分别交于A、B两点，连接AP并延长分别交⊙P、x轴于点D、E，连接DC并延长交y轴于点F。若点F的坐标为(0,1),点D的坐标为(6,－1)。（1）求证：DC=FC。（2）求直线AD的解析式。 解析：(1)由△OFC≌△GDC得到OC=CG，过点作DG⊥x轴，连接AC，因为AD为直径，所以∠AGD=90°，△OAG∽△CGD，所以DG∶GC=OG∶OA，所以1∶3=3∶OA，所以OA=9。 点评：从圆中找直角，利用直径得圆周角等于90°，问题便可迎刃而解。 基本图形的教学是初中几何教学的重点，也是难点，教师在平时教学中要注重基本图形的研究，要有足够的耐心等学生慢慢积累。学生的学习达到一定程度就会从复杂的图形中提炼出基本图形，才会出现解决问题时的灵感。
三角形、勾股定理知识点整理
全等三角形、勾股定理教案
从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即 22 2 90CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB ? ?=??∠=??=???⊥??=?? 四、全等三角形 1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； 2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 3、全等三角形的判定定理： ⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”） ⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”； ⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”） ⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）； (5)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 注意：对应相等意思是：例如三角形ABC 和三角形DEF ，AB 和DE 是对应边，AB=DE ；BC 和EF 是对应边，BC=EF ；AC 和DF 是对应边，AC=DF 角A 和角D 是对应角，角A=角D 角B 和角E 是对应角，角B=角E 角C 和角F 是对应角，角C=角F 这些对应关系都可以从题目给出的三角形XXX 和三角形yyy 中按顺序写好
直角三角形和勾股定理
§3.4 直角三角形和勾股定理 一、 温故互查 直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。 二、 题组训练一 1．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于__________?. 2．将一副常规的三角尺按如图1方式放置，则图中∠AOB 的度数 为__ ___?. 3．在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如图2，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米 处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为（ ） A ．5米 B ．3米 C ．(5+1)米 D ．3 米 三、题组训练二 1 如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹 角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问： （1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是多少米？ （2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号） 2 抛物线y =-12x 2+22 x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点． （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）证明:△ABC 为直角三角形； （3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使△ABP 是直角三角形，若存在， 请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 图1 A O 图2
四、中考连接 1．如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1+∠2总保持不变，那么∠1+∠2=______度． 2．已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 ______． 3．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．12 5．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）. 6．如下图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，求蚂蚁爬行的最短路径长 21C B A A B C x 34(第1题图) (第3题图) (第4题图)
直角三角形的存在性问题解题策略
中考数学压轴题解题策略（3） 直角三角形的存在性问题解题策略 《挑战压轴题·中考数学》的作者上海马学斌 专题攻略 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到． 怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边，那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）． 例题解析 例?如图1-1，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠B＝4 5 ．D、E为线段BC上的两个 动点，且DE＝3（E在D右边），运动初始时D和B重合，当E和C重合时运动停止．过E 作EF//AC交AB于F，连结DF．设BD＝x，如果△BDF为直角三角形，求x的值． 图1-1 【解析】△BDF中，∠B是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况．如果把夹∠B的两条边用含有x的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了．如图1-2，作AH⊥BC，垂足为H，那么H是BC的中点． 在Rt△ABH中，AB＝10，cos∠B＝4 5 ，所以BH＝8．所以BC＝16． 由EF//AC，得BF BE BA BC =，即 3 1016 BF x+ =．所以BF＝ 5 (3) 8 x+． 图1-2 图1-3 图1-4
全等三角形与勾股定理练习题(一)
全等三角形与勾股定理练习题（一） 一．填空题 1.一个矩形的抽斗长为2４cm ,宽为7c ｍ,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是 . ２．在Rt △A ＢC 中，∠C ＝９0°，BC ＝12cm ,Ｓ△ABC ＝3０cm 2 ,则AB ＝ ． 3．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树2０米处的池塘的Ａ处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高＿_＿__＿_______＿＿__＿____＿__米。 4．如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方 形A ，B,C ，D 的面积之和为__＿___＿_＿__cm ２ 。 5．直角三角形两直角边长分别为5和１2，则它斜边上的高为_＿_＿_＿_＿__。 ６.在平静的湖面上，有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为２米，问这里水深是________m 。 7.已知两条线段的长为5c m 和12c m ，当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形. 8.一个三角形三边之比为2:5:3,则这个三角形的形状是 ． 9．将一根长为2４㎝的筷子置于底面直径为５㎝，高为１2㎝的圆柱形水杯中, 设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是＿_____＿__＿＿＿_＿__. 10.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿 纸箱爬到Ｂ点,那么它所行的最短路线的长是__＿__＿_＿____. 11.如图,在△ABC 中，ＡD 平分∠BA Ｃ,A Ｂ＝AC -BD ，则∠B ∶∠C 的值是___________。 12.如图,ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180形成的,若 150BAC ∠=，则θ∠的度数是 . 二．选择题 １、若Rt ABC 中，90C ? ∠=且c=３7,a ＝12,则b=（ ) A 、50 B 、35 Ｃ、34 D 、26 2、如图，平行四边形AB ＣD 对角线AC,BD 交于O,过O 画直线EF 交ＡD 于E ， 交BC 于F ，，则图中全等三角形共有( ） (A ）7对 (B ）6对 (C)5对 （Ｄ)4对 3.如图，△DAC 和△ＥＢＣ均是等边三角形,ＡＥ、B Ｄ分别与C Ｄ、CE 交于点M 、N,有如下结论：① △ACE ≌△D ＣB ； ② CM ＝ＣＮ；③ ＡC=DN 。正确结论的个数是( )．（Ａ) 3个 (B ）2个 (Ｃ)1个(Ｄ）0个 ４.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，AC ＝BC ,ＡD 平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于D ,DE ⊥A Ｂ于D ,若A Ｂ=1 A B C D 7cm D B C A 第3题 A B A C D A E B θ
人教版九年级下册数学专题23 直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理 一.选择题 1. （2015辽宁大连，8，3分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =2，点D 在BC 上，∠ADC =2∠B ,AD =5,则BC 的长为（ ） A .3－1 B .3+1 C .5－1 D .5+1 【答案】D 【解析】解：在△ADC 中，∠C =90°，AC =2，所以CD = ()12 52 2 22=-= -AC AD , 因为∠ADC =2∠B ，∠ADC =∠B +∠BAD ,所以∠B =∠BAD ,所以BD =AD =5,所以 BC =5+1，故选D . 2.（2015?四川南充,第9题3分）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为cm ，则对 角线AC 长和BD 长之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:3 （C ）1: （D ）1: 【答案】D 【解析】 试题分析：设AC 与BD 的交点为O ，根据周长可得AB =BC =2，根据AE =可得BE =1，则△ABC 为等边三角形，则AC =2，BO =，即BD =2 ，即AC :BD =1： . 考点：菱形的性质、直角三角形.
3．（2015?四川资阳,第9题3分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A．13cm B．261cm C．61cm D．234cm 考点：平面展开－最短路径问题．. 分析：将容器侧面展开，建立A关于EF 的对称点A ′，根据两点之间线段最短可知A′B的长 度即为所求． 解答：解：如图： ∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm 的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处， ∴A′D=5cm，BD=12﹣3+AE=12cm， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A ′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B= = =13（Cm）． 故选：A． 点评：本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定 理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 4. （2015?浙江滨州,第10题3分）如图，在直角的内部有一滑动杆.当端点沿直 线向下滑动时，端点会随之自动地沿直线向左滑动.如果滑动杆从图中处滑动 到处，那么滑动杆的中点所经过的路径是( ) A.直线的一部分 B.圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 图5
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理 一.选择题 1．（2015?滨州,第10题3分）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（） A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 2.（2015?山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A．2 B． 4 C． D．2 3. 如图，已知等腰, ABC AB BC ?=，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的O e的切线交BC于点E，若5,4 CD CE ==，则O e的半径是【】 A. 3 B. 4 C. 25 6 D. 25 8 4.（2015?青海西宁第17题2分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为． 5．（3分）（2015?桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
6．（3分）（2015?毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） ，， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4 A． 7．（4分）（2015?铜仁市）（第8题）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（） ．． 8．（2015?甘肃天水，第8题，4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 9．（2015?青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（） +2 二.填空题 1. （2015?江苏宿迁，第14题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F 分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为．
勾股定理知识点与常见题型总结
勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形： 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ． 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
直角三角形和勾股定理
直角三角形和勾股定理 ? （1） 斜边中线的指针—直角三角形的性质二(20 道) 1. 直角三角形的性质2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 2. 当题目中出现了直角三角形时，要注意斜边上是否有中线或中点出现，如果有斜边的中 点，不妨连接中点和直角顶点，构造出斜边上的中线，利用性质2进行中线与斜边之间 的转化，从而迅速找到思路 3. 由性质二得到的角之间的关系：∠A=∠1，∠B=∠2，∠3=2∠A，∠4=2∠B 4. 两个运用性质二的基本图形 ? （2） 30°引爆全新体验！—直角三角形的性质三(20 道) 1. 直角三角形的性质3：有一个角是30度的直角三角形，30度角的对边等于斜边的一半。 它的作用是由特殊角30度得到边的关系 2. 性质3的逆定理：在直角三角形中，如果某条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所 对的角是30度。它的作用是由边的两倍关系得到特殊角30度 3. 一道难度稍大的综合题，要求你对直角三角形的三个特殊性质运用自如 ? （3） 等量转化的秘密通道—角平分线的性质定理及逆定理(20 道) 1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。它可以用来进行边的转化 或构造全等来证明边、角相等 2. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 由此得到角平分线的另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 3. 逆定理的作用是由距离相等得到角平分线，进而得到角相等的结论 4. 两个定理的题设和结论刚好相反，成为了角度和垂线段—这两组等量关系相互转化的秘 密通道 ?
（4） 从地板飞向宇宙—勾股定理(20 道) 1. 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，用式子表示就是：a2+b2=c2 3. 一种传奇的证明方法：总统证法，通过构造梯形和面积法完成 4. 勾股定理的意义：它揭示了直角三角形三边的数量关系，当知道一个直角三角形的任意 两条边时，可以利用勾股定理求出另外一条边，简称―知二求一‖。 ? （5） 一个“豆比”的数学传奇(20 道) 1. 可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称为勾股数 2. 第n组勾股数的表示方法是：2n+1、2n(n+1)、2n(n+1)+1 3. 记住的最常用的四组勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25 ? 二元一次方程（组） ? （1） 多元化方程时代—二元一次方程及方程组(1 道) 1. 二元一次方程的定义，有以下三个标准：整式方程，含有两个未知数，未知数的次数都 是1 2. 二元一次方程的等价变形，用x去表示y，或者用y去表示x。这个方法用来求二元一 次方程的不定根很管用 3. 二元一次方程组的定义，它是由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组 ? （2） 黯然消元法—二元一次方程组解法(1 道) 1. 代入法和加减法的步骤，具体视频里讲得非常清楚
(完整word版)解直角三角形思想方法中考题型
思想方法中考题型 一、方程思想 根据题意设适当的未知数，从已知和未知中寻求等量关系，构造出方程或方程组，从而使问题获解． 例1如图1，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）． 解：过A点作AB⊥CD交CD的延长线于点B，设AB＝x 在Rt△ABC中，因为∠ACB＝∠CAE＝30°，所以AC＝2ABC＝2x，BC=3AB=3x 在Rt△ABD中，因为∠ADB＝∠EAD＝45°，所以DB＝AB＝x 因为CD＝50，所以 解得x＝25（1+3）。答：缆绳AC的长为() 5013 +米． 说明先得出边角之间的关系，再构造方程求解，这是直角三角形的边角关系应用的常见方法，应值得注意． 二、数形结合思想 将数量和图形巧妙结合来寻找解题思路 例2如图2，A、B、C表示建筑在一座比较险峻的名山上的三个缆车站的位置，AB、BC表示连接三个缆车站的钢缆。已知A、B、C所处位置的海拔高度分别为124m、400m、1100m，如图建立直角坐标系，即A(a，124)、B(b，400)、C(c， 1100)，若直线AB的解析式为y＝1 2x＋4，直线BC与水平线BC1的交角为45°． ⑴分别求出A、B、C三个缆车站所在位置的坐标； ⑵求缆车从B站出发到达C站单向运行的距离(精确到1m)． A(240，124)、B(792，400)、C(2192，1100)；（2）7002≈990（米）． 三、转化思想 抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法． 例3如图3，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC＝20米，斜坡坡面上的影长CD＝8米，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面成30°的角．求旗杆AB的高度（精确到1米）．（tan26°=0.43） 解：延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥CE于F．则依据题意可知，∠E＝°，∠DCE＝°。 在Rt△CFD中，得DF＝4，CF＝43≈6.928， 在Rt△DFE中， 在Rt△ABE中， 答：旗杆AB的高度约为． 四、建模思想 所谓建模思想就是认真分析题意，将实际问题抽象、转化为数学问题，建立数学模型，再通过对数学模型的探索达到解决问题的目的． 例4如图4，MN表示一段高速公路的设计路线图．在点M测得点N在它的南偏东30°的方向．测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向．以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区．已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？ 解：过点A作AC⊥MN于点C．依题意，得∠AMC=60°－30°=30°，∠ABC=75°－30°=45°．设AC为x m， 图2 B A 图4 M 30° 60° 75° 北 北 N C 图1 F 图3 E D C B A
构造直角三角形来解题
构造直角三角形巧解题 山东省博兴县锦秋街道清河学校 张海生 256500 有些几何题，若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化，就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法，供同学们复习时参考. 一、利用已知直角构造直角三角形 例1：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060，∠B=∠D=090，AB=2，CD=1.则BC 和AD 的长分别为_______和_______. 解析:考虑到图中含有090和060的角，若延长AD 、BC 相交于E ，则可以构造出Rt △AEB 和Rt △CED ，易知∠E=030，从而可求出DE=3，AE=4，BE=23，故AD=4-3，BC=23-2. 二、利用勾股定理构造直角三角形 例2：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=060，∠ADC=0150，已知四边形ABCD 的周长为32，求四边形ABCD 的面积. 解析:四边形ABCD 是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解.连接BD ，则△ABD 是等边三角形， △BDC 是直角三角形，由于AB=AD=BD=8，，求△ABD 的面积不难解决，关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出DC ，从而求出△BDC 的面积. 解答:连接BD.∵AB=AD ，∠A=060，∴△ABD 是等边三角形. ∴∠ADB=060，BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0150，∴∠BDC=090， 故△BDC 是直角三角形， 因为四边形ABCD 的周长为32， AB=AD=8， ∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC. 在Rt △BDC 中，222BC DC BD =+， 即()222168DC DC -=+.解得DC=6. ∴248621=??=?B DC S .用勾股定理求出等边△ABD 的高为3482 3=?. 3163482 1=??=?A B D S .∴24316+=+=??B DC A B D A B CD S S S 四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为a 23，面积为24 3a . 三、利用高构造直角三角形 例3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直. 解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P 在某一时刻有PA ⊥AC ，此时P 点运动了几秒，这是解决问题的着手点.设BP=x ，PC=8-x ，在Rt △PAC 中，由于PA 不知道，无法建立关系式.考虑△ABC 是等腰三角形，如作底边上的高AD ，则可用x 的代数式表示AP ，用勾股定理便可求出x ，进而求出运动时间.当P 点运动到D 与C 之间时，也存在AP ⊥AB 的情况，故要分类 讨论. 解答：作底边BC 的高AD ，则AD ⊥BC ，垂足为D. 设BP=xcm ，PA ⊥AC. 图1 图2 图3
北师版八年级数学第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习
北师版八年级数学第1章 勾股定理 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体
直角三角形与勾股定理
直角三角形与勾股定理 1．如图J20－1，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C 两点间的距离为( ) A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km J20－1 J20－2 2．如图J20－2，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________． 3．如图J20－3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN. (1)求证：BM＝MN； (2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长． 图J20－3 1．如图J20－4，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC.若∠1＝35°，则∠B的度数为( ) 图J20－4 A．25°B．35°C．55°D．65° 2．如图J20－5，将一副三角尺按图中方式叠放，BC＝4，那么BD＝________．
3．如图J 20－6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos A ＝5 6 ，D 为AB 上一点，且AD∶BD＝1∶2，若BC ＝3 11，求 CD 的长． 图J 20－6 4．如图J 20－7，已知BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C ＝60°，AB ＝1，BC ＝3＋3，CD ＝2 3. (1)求tan ∠ABD 的值； (2)求AD 的长． 图J 20－7 5． 如图J 20－8①，在△OAB 中，∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，BA ＝2.以OB 为边，向外作等边三角形OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于点E. (1)求证：四边形ABCE 是平行四边形； (2)如图J 20－8②，将图①中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长． 图J 20－8
直角三角形与勾股定理(含解析)
直角三角形与勾股定理 一、选择题 1.如图，△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°，AB=12，则BC=（） A．6 B．6C．6D．12 2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） A．2B．C．D． 3．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则
另一边BC等于( ) A．10B．8 C．6或10D．8或10 4．如图，厂房屋顶人字形（等腰 三角形）钢架的跨度BC=10米， ∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（） A．5sin36°米B．5cos36°米 C．5tan36°米D．10tan36°米 【 5．如图，AD是△AB C的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如
果BC=6，那么线段BE的长度为（） A．6 B．6C．2D．3 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（） A．7 B．8 C．9 D．10
7.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（） A．B．6 C．D． 8.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（） A．1 B．2 C．D．1+
································· 9．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( ) A ． 3 2B ．2C． 3 2 D．不能确定 10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A 逆时针旋转，使点C落在线段AB 上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）
九年级数学下册第7章锐角三角函数7.5解直角三角形7.5.2构造直角三角形解题同步练习一
第7章锐角三角函数 7.5 第2课时构造直角三角形解题 知识点构造直角三角形解题 1．如图7－5－12，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为H，如果AH＝BC，那么sin ∠BAC的值是( ) A.5 4 B. 4 5 C. 3 5 D. 5 3 7－5－12 7－5－13 2．如图7－5－13，圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r，下列等式成立的是( ) A．a＝2r·sin36° B．a＝2r·cos36° C．a＝r·sin36° D．a＝2r·sin72° 3．如图7－5－14，在△ABC中，AB＝3，BC＝2，∠B＝60°，则△ABC的面积等于( ) A.3 3 2 B. 3 2 C. 3 D．3 3 7－5－14
7－5－15 4．如图7－5－15，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，tan A ＝4 3 ，则 CD ＝________． 5．如图7－5－16，正三角形ABC 内接于⊙O ，若AB ＝2 3 cm ，求⊙O 的半径． 图7－5－16 6．2018·自贡 如图7－5－17，在△ABC 中，BC ＝12，tan A ＝3 4，∠B ＝30°，求AC 和AB 的长． 图7－5－17
7．如图7－5－18，已知∠B ＝37°，AB ＝20，C 是射线BM 上一点． (1)在下列条件中，可以唯一确定BC 长的是________(填写所有符合条件的序号)； ①AC ＝13；② tan ∠ACB ＝12 5 ；③连接AC ，△ABC 的面积为126. (2)在(1)的答案中，选择一个作为条件，画出草图，求BC (参考数据： sin37°≈0.60, cos37°≈0.80, tan37°≈0.75)． 图7－5－18
勾股定理及直角三角形的判定
勾股定理及直角三角形的判定 知识要点分析 1、勾股定理 222，即直角三角形两直角边的平方和等于+b=c，斜边为a、bc，那么一定有a如果直角三角形两直角边分别为斜边的平方。 2、勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。 222，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理+b=cb、c有关系：a3、如果三角形的三条边a、（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。 4、勾股数 222的三个正整数a、b、c称为勾股数。满足条件a+b =c友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。 【典型例题】 考点一：勾股定理 例1：在△ABC中，∠C=90°， （1）若a=3，b=4，则c=__________； （2）若a=6，c=10，则b=__________； （3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________. 例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。 解： 考点二：勾股定理的验证 例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2） 是以c为直角边的等腰三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。 （1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。 （2）用这个图形证明勾股定理。 （3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。（无需证明）