直角三角形与勾股定理

一、选择题

1. （2016 ?四川达州? 3分）如图，在5X5的正方形网格中，从在格点上的点A, B, C, D

中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）

【考点】勾股定理的应用.

【分析】从点A, B, C, D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率.

【解答】解：???从点A, B, C, D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ ABD

△ ADC △ ABC是直角三角形，

［3

???所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为■.

故选D.

2. （2016 ?广东广州）如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线，DE交AB 于D,连接CD CD=（）

A 3

B 、4

C 、4.8

D 、5

［考点］勾股定理及逆定理，中位线定理，中垂线的性质

［解析］因为AB=10,AC=8,BC=8,由勾股定理的逆定理可得三角形为

DE为AC边的中垂线，所以DE与AC垂直，AE=CE=4所以DE为三角

形ABC的中位线,

所以DE=- BC=3,再根据勾股定理求出CD=5

［参考答案］D

3. （2016年浙江省台州市）如图，数轴上点A, B分别对应1, 2，过点B作PQLAB,以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C,以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M则点M对

ABC为直角三角形，因

应的数是（）

【考点】勾股定理；实数与数轴.

【分析】直接利用勾股定理得出 0C 的长，进而得出答案. 【解答】解：如图所示：连接 0C 由题意可得：0B=2 BC=1, 则 AC=「「='

故点M 对应的数是： 4. （ 2016 ?山东烟台）如图，Rt △ ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合， B 点与0刻度线的一端重合，/ ABC=40 ,射线CD 绕点C 转动，与量角器外沿交于点 D,若射线。。将厶ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形，则点 D 在量角器上对应的度数是（

）

A. 40° B . 70° C . 70° 或 80°

D. 80° 或 140°

【考点】角的计算.

【分析】如图，点O 是AB 中点，连接DO 易知点D 在量角器上对应的度数 =/ DOB=Z BCD 只要求

出/ BCD 的度数即可解决问题.

【解答】解：如图，点O 是AB 中点，连接DO ???点D 在量角器上对应的度数 =/ DOB=2/ BCD

???当射线。。将厶ABC 分割出以BC 为边的等腰三角形时， / BCD=40 或 70°,

故选：B.

???点D 在量角器上对应的度数

=/ DOB=2/ BCD=80或140°, 故选D.

5. （ 201

6.山东省威海市，3分）如图，在矩形 ABCD 中, AB=4, BC=6点E 为BC 的中点, 将厶ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ,贝U CF 的长为（

）

B ......... E

12 16 18

A.呂

B. N

C. D . § 【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）

【分析】连接BF ,根据三角形的面积公式求出 BH 得到BF ,根据直角三角形的判定得到/

BFC=90，根据勾股定理求出答案. 【解答】解：连接BF, ??? BC=6,点E 为BC 的中点， ? BE=3, 又??? AB=4,

12.

? BH=,

则 BF= ' ,

6. （ 2016 ?江苏连云港）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作等边

三角形，面积分别为S 1、S 2、S 3；如图2,分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为 S 4、S 5、S 6?其中S=16, S=45, S 5=11, S 6=14,则0+S=（

）

AE=

=5,

?/ FE=BE=E , ? /

BFC=90 ,

故选：D.

???S3

+S 4=16+45+11 + 14=86.

【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的性质?勾股定理：如果直角三角形的两条直角 7. （ 2016 ?江苏南京）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是 A. 3, 4, 4 B. 3 , 4, 5 C. 3 , 4, 6 D. 3 , 4, 7

答案：C

考点：构成三角形的条件，勾股定理的应用，钝角三角形的判断。解析：由两边之和大于第三边，可排除 D;

由勾股定

理：

2 2 2

a b c ,当最长边比斜边 c 更长时，最大角为钝角,

2 2 2

即满足a b c ,所以，选Co

& （2016 ?江苏省扬州）如图，矩形纸片

ABCD 中, AB=4, BC=6.将该矩形纸片剪去 3个等

腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（

A. 86 【分析】

的关系.

B. 64

C. 分别用 AB 同

理，得出

BC 和AC 表示出S i 、S 2、S 3,然后根据 A B^A C+B C 即可得出S 、Sa 、S 3 S 、S 5、S 6的关系.

Vs Vs

解：如图 1, S i = 4 AC 2，S 2= 4 B C , S 3= 4 A B . 【解答】 ?/ AB 2=AC 2+BC 2，「?S

I +S 2=A C+B C=A B=S , 如

C. 2.5

D. 2

【考点】几何问题的最值.

【分析】以BC 为边作等腰直角三角形厶EBC 延长 BE 交AD 于ABF 是等腰直角三角形，作EGLCD 于6得厶EGC 是等腰直角三角形，在矩形 ABCD 中剪去△ ABF △ BCE △ ECG 得到四边形EFDG 此时剩余部分面积的最小

【解答】解：如图以BC 为边作等腰直角三角形△ EBC 延长 BE 交AD 于卩，得厶ABF 是等腰直角三角形，

作EGL CD 于G 得厶EGC 是等腰直角三角形，

在矩形ABCD 中剪去△ ABF △ BCE △ ECG 得到四边形EFDG 此时剩余部分面积的最小=4X6

-工X 4X 4 - 2X 3X 6 - 2X 3X 3=2.5 .

故选C.

9.（2016?浙江省舟山）如图，矩形 ABCD 中, AD=2, AB=3过点A C 作相距为2的平行线

段AE, CF,分别交 CD AB 于点E , F ,则DE 的长是（

）

[13

B.卜

C. 1

D. H

【考点】

矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理.

【分析】过F 作FH L AE 于H,根据矩形的性质得到 AB=CD AB//CD 推出四边形 AECF 是平 AE

行四边形，根据平行四边形的性质得到 AF=CE 根据相似三角形的性质得到，于是得

到AE=AF ,

列方程即可得到结论. 【解答】解：过F 作FH!AE 于H , ???四边形ABCD 是矩形, ??? AB=CD AB// CD ?/ AE// CF,

?四边形AECF 是平行四边形， ? AF=CE ? DE=BF

A. 6

B. 3

? AF=3- DE

V4+DE2

? AE= ,

???/ FHA=/ D=Z DAF=90 ,

?/ AFH+Z HAF=/ DAE+/ FAH=90 ,?/ DAE/ AFH

三角形、勾股定理知识点整理

全等三角形、勾股定理教案

从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即 22 2 90CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB ? ?=??∠=??=???⊥??=?? 四、全等三角形 1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； 2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 3、全等三角形的判定定理： ⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”） ⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”； ⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”） ⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）； (5)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）注意：对应相等意思是：例如三角形ABC 和三角形DEF ，AB 和DE 是对应边，AB=DE ；BC 和EF 是对应边，BC=EF ；AC 和DF 是对应边，AC=DF 角A 和角D 是对应角，角A=角D 角B 和角E 是对应角，角B=角E 角C 和角F 是对应角，角C=角F 这些对应关系都可以从题目给出的三角形XXX 和三角形yyy 中按顺序写好

直角三角形和勾股定理

§3.4 直角三角形和勾股定理一、温故互查直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。二、题组训练一 1．若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于__________?. 2．将一副常规的三角尺按如图1方式放置，则图中∠AOB 的度数为__ ___?. 3．在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 4．如图2，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为（） A ．5米 B ．3米 C ．(5+1)米 D ．3 米三、题组训练二 1 如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问：（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是多少米？（2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米?（结果保留根号） 2 抛物线y =-12x 2+22 x +2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）证明:△ABC 为直角三角形；（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点P ，使△ABP 是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．图1 A O 图2

四、中考连接 1．如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还是将三角板沿直尺平移，∠1+∠2总保持不变，那么∠1+∠2=______度． 2．已知直角三角形的两边长为3和4，则第三边的长为 ______． 3．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，放置边长分别为3，4，x 的三个正方形，则x 的值为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．12 5．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）. 6．如下图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，求蚂蚁爬行的最短路径长 21C B A A B C x 34(第1题图) (第3题图) (第4题图)

全等三角形与勾股定理练习题(一)

全等三角形与勾股定理练习题（一）一．填空题 1.一个矩形的抽斗长为2４cm ,宽为7c ｍ,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是 . ２．在Rt △A ＢC 中，∠C ＝９0°，BC ＝12cm ,Ｓ△ABC ＝3０cm 2 ,则AB ＝． 3．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树2０米处的池塘的Ａ处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高＿_＿__＿_______＿＿__＿____＿__米。 4．如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方形A ，B,C ，D 的面积之和为__＿___＿_＿__cm ２。 5．直角三角形两直角边长分别为5和１2，则它斜边上的高为_＿_＿_＿_＿__。６.在平静的湖面上，有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为２米，问这里水深是________m 。 7.已知两条线段的长为5c m 和12c m ，当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形. 8.一个三角形三边之比为2:5:3,则这个三角形的形状是． 9．将一根长为2４㎝的筷子置于底面直径为５㎝，高为１2㎝的圆柱形水杯中, 设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是＿_____＿__＿＿＿_＿__. 10.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到Ｂ点,那么它所行的最短路线的长是__＿__＿_＿____. 11.如图,在△ABC 中，ＡD 平分∠BA Ｃ,A Ｂ＝AC -BD ，则∠B ∶∠C 的值是___________。 12.如图,ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180形成的,若 150BAC ∠=，则θ∠的度数是 . 二．选择题１、若Rt ABC 中，90C ? ∠=且c=３7,a ＝12,则b=（ ) A 、50 B 、35 Ｃ、34 D 、26 2、如图，平行四边形AB ＣD 对角线AC,BD 交于O,过O 画直线EF 交ＡD 于E ，交BC 于F ，，则图中全等三角形共有( ） (A ）7对 (B ）6对 (C)5对（Ｄ)4对 3.如图，△DAC 和△ＥＢＣ均是等边三角形,ＡＥ、B Ｄ分别与C Ｄ、CE 交于点M 、N,有如下结论：① △ACE ≌△D ＣB ； ② CM ＝ＣＮ；③ ＡC=DN 。正确结论的个数是( )．（Ａ) 3个 (B ）2个 (Ｃ)1个(Ｄ）0个４.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，AC ＝BC ,ＡD 平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于D ,DE ⊥A Ｂ于D ,若A Ｂ=1 A B C D 7cm D B C A 第3题 A B A C D A E B θ

勾股定理回顾与思考教学设计

第一章勾股定理回顾与思考一、学生起点分析通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力．他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会．但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难．二、教学任务分析勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用．

本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣．为此，本节课的教学目标是： ①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用． ②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力． ③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．三、教学过程设计本节课设计了六个环节．第一环节：情境引入；第二环节：知识结构梳理；第三环节：合作探究；第四环节：拓展提升；第五环节：交流小结；第六环节：布置作业．第一环节情境引入勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验。首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最

直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理一.选择题 1．（2015?滨州,第10题3分）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（） A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 2.（2015?山东泰安,第20题3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4，则FD的长为（）A．2 B． 4 C． D．2 3. 如图，已知等腰, ABC AB BC ?=，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的O e的切线交BC于点E，若5,4 CD CE ==，则O e的半径是【】 A. 3 B. 4 C. 25 6 D. 25 8 4.（2015?青海西宁第17题2分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为． 5．（3分）（2015?桂林）（第8题）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6

6．（3分）（2015?毕节市）（第5题）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（），， B． 1，， C． 6，7，8 D． 2，3，4 A． 7．（4分）（2015?铜仁市）（第8题）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为（）．． 8．（2015?甘肃天水，第8题，4分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 9．（2015?青岛，第4题3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（） +2 二.填空题 1. （2015?江苏宿迁，第14题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F 分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为．

勾股定理知识点与常见题型总结

勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）常见图形：类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为．【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

一次函数综合练习(全等三角形,勾股定理)答案

1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE．（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一次函数综合题。分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标；（2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论；（3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON．解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q， ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°， ∴∠OAB=∠QBC，又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°， ∴△ABO≌△BCQ， ∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1， ∴C（﹣3，1），由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G， ∵AC=AD，AB⊥CB， ∴BC=BD， ∴△BCH≌△BDF， ∴BF=BH=2， ∴OF=OB=1， ∴DG=OB， ∴△BOE≌△DGE， ∴BE=DE；

（3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点， ∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0）， ∴BM=5，则S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN?=×， ∴BN=，ON=， ∵BN＜BM， ∴点N在线段BM上， ∴N（﹣，0）．点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解． 2．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0）（1）求k的值．（2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由．考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。专题：动点型。分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；（2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置．

直角三角形和勾股定理

直角三角形和勾股定理 ? （1）斜边中线的指针—直角三角形的性质二(20 道) 1. 直角三角形的性质2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 2. 当题目中出现了直角三角形时，要注意斜边上是否有中线或中点出现，如果有斜边的中点，不妨连接中点和直角顶点，构造出斜边上的中线，利用性质2进行中线与斜边之间的转化，从而迅速找到思路 3. 由性质二得到的角之间的关系：∠A=∠1，∠B=∠2，∠3=2∠A，∠4=2∠B 4. 两个运用性质二的基本图形 ? （2） 30°引爆全新体验！—直角三角形的性质三(20 道) 1. 直角三角形的性质3：有一个角是30度的直角三角形，30度角的对边等于斜边的一半。它的作用是由特殊角30度得到边的关系 2. 性质3的逆定理：在直角三角形中，如果某条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。它的作用是由边的两倍关系得到特殊角30度 3. 一道难度稍大的综合题，要求你对直角三角形的三个特殊性质运用自如 ? （3）等量转化的秘密通道—角平分线的性质定理及逆定理(20 道) 1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。它可以用来进行边的转化或构造全等来证明边、角相等 2. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。由此得到角平分线的另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 3. 逆定理的作用是由距离相等得到角平分线，进而得到角相等的结论 4. 两个定理的题设和结论刚好相反，成为了角度和垂线段—这两组等量关系相互转化的秘密通道 ?

（4）从地板飞向宇宙—勾股定理(20 道) 1. 勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，用式子表示就是：a2+b2=c2 3. 一种传奇的证明方法：总统证法，通过构造梯形和面积法完成 4. 勾股定理的意义：它揭示了直角三角形三边的数量关系，当知道一个直角三角形的任意两条边时，可以利用勾股定理求出另外一条边，简称―知二求一‖。 ? （5）一个“豆比”的数学传奇(20 道) 1. 可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称为勾股数 2. 第n组勾股数的表示方法是：2n+1、2n(n+1)、2n(n+1)+1 3. 记住的最常用的四组勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25 ? 二元一次方程（组） ? （1）多元化方程时代—二元一次方程及方程组(1 道) 1. 二元一次方程的定义，有以下三个标准：整式方程，含有两个未知数，未知数的次数都是1 2. 二元一次方程的等价变形，用x去表示y，或者用y去表示x。这个方法用来求二元一次方程的不定根很管用 3. 二元一次方程组的定义，它是由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组 ? （2）黯然消元法—二元一次方程组解法(1 道) 1. 代入法和加减法的步骤，具体视频里讲得非常清楚

勾股定理回顾与思考教学设计

2013年北师大版数学八年级上第一章勾股定理回顾与思考一、学生起点分析通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力．他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会．但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难．二、教学任务分析勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用．本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，

感受数学的美，以提高学习兴趣．为此，本节课的教学目标是： ①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用． ②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力． ③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．三、教学过程设计本节课设计了六个环节．第一环节：情境引入；第二环节：知识结构梳理；第三环节：合作探究；第四环节：拓展提升；第五环节：交流小结；第六环节：布置作业．第一环节情境引入勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．目的：通过对勾股定理历史及地位的解读，让学生了解知识脉络及前后联系，激发学习探究热情．效果：从历史的深度提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．第二环节：知识结构梳理本章知识要点及结构：

北师版八年级数学第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习

北师版八年级数学第1章勾股定理一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体

2019年勾股定理回顾与思考教学设计.doc.doc

第一章勾股定理回顾与思考成都市石室联合中学林武一、学生起点分析通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力．他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会．但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难．二、教学任务分析勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用．本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣．为此，本节课的教学目标是： ①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证

直角三角形与勾股定理

直角三角形与勾股定理 1．如图J20－1，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C 两点间的距离为( ) A．0.5 km B．0.6 km C．0.9 km D．1.2 km J20－1 J20－2 2．如图J20－2，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________． 3．如图J20－3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN. (1)求证：BM＝MN； (2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．图J20－3 1．如图J20－4，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC.若∠1＝35°，则∠B的度数为( ) 图J20－4 A．25°B．35°C．55°D．65° 2．如图J20－5，将一副三角尺按图中方式叠放，BC＝4，那么BD＝________．

3．如图J 20－6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos A ＝5 6 ，D 为AB 上一点，且AD∶BD＝1∶2，若BC ＝3 11，求 CD 的长．图J 20－6 4．如图J 20－7，已知BD 是四边形ABCD 的对角线，AB ⊥BC ，∠C ＝60°，AB ＝1，BC ＝3＋3，CD ＝2 3. (1)求tan ∠ABD 的值； (2)求AD 的长．图J 20－7 5．如图J 20－8①，在△OAB 中，∠OAB ＝90°，∠AOB ＝30°，BA ＝2.以OB 为边，向外作等边三角形OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于点E. (1)求证：四边形ABCE 是平行四边形； (2)如图J 20－8②，将图①中的四边形ABCO 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为FG ，求OG 的长．图J 20－8

勾股定理的回顾与思考

《勾股定理的回顾与思考》教学设计教学目标： 1．理解勾股定理及其逆定理的含义，能够解决一些简单的实际问题； 2．进一步掌握与勾股定理相关的技能，会运用数形结合、分类讨论等的数学思想解决实际问题，培养数学思维能力。教学重点：勾股定理及其逆定理的简单运用难点：应用技能和数学思维的培养教学过程：㈠课前热身 1．由下列条件不能判别△ABC 为直角三角形的是( ). A ．1=a ，2=b ，3=c B ．3:2:1::=∠∠∠ C B A C ．c b a 222-= D ．6:4:3::=c b a 2．在Rt △ABC 中， ①若∠C=90°,a =5，b =12，则c =___________； ②若∠C=90°,a =15，c =25，则b =___________； ③若∠C=90°,a b :=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________； ④若a =5，b =12，则c =___________。㈡本章知识结构 ????? ??????????????????????????-=?-=-=?-=+==+路线等勾股定理的应用：最短的多样性）角三角形的判定（方法勾股定理的逆定理：直，，，，，，，，常见的勾股数：的三种变形种基本图形”证明（等积法）：“三勾股定理.3.2171582524713125543c c b c b c b c b .12222222222 22222a b a b a a a c a

2 x 3x 2x x 30? 基本知识点：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：c b a 2 22=+，那么这个三角形是直角三角形．（3）勾股数：满足c b a 2 22=+的三个正整数，称为勾股数。如常用的勾股数有： 3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41 （4）特殊直角三角形的三边关系㈢综合运用 1．已知Rt △ABC 两直角边分别为4cm 、3cm,则斜边为____cm,斜边上的高为____cm. 2．一艘帆船由于风向的原因，先向西南方向航行了7千米，然后向西北方向航行了24千米，这时帆船离出发地_____千米. 3．左图由4个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm ，第4个直角三角形斜边长度为_______．那么，按照此种方式下去，第n 个直角三角形斜边长度为_______．

勾股定理与全等三角形结合难

勾股定理与全等三角形结合难 1、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2+BF2=EF2． 2、如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．（2）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 3、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2． 4、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD= 2 ，求 AD 的长． 5、如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD ，使点B与点D重合，折痕分别交AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8．求BE的长． 6、如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠B=2∠A求证： 7、如图5，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD ＞BC，求证：AC＞BD 8、如图 7 ，已知△ ABC 中，AD⊥BC，AB+CD=AC+BD．求证：AB=AC 9、如图8，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到，求点P与点之间的距离和∠APB的度数 10、如图10，已知∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．求证：． 11、如图12，D为等腰△ABC的腰AB上的一点，E为另一腰AC延长线上的一点，且BD=CE，求证DE＞BC 12如图14，已知等边△ABC内有一点N，ND⊥BC，NE⊥AB，NF⊥AC，D、E、F 都是垂足， M是△ABC中异于N的另一点，若，，求证 13如图16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，CE恰好是平分∠BCD，若AD=3，BC=4，求CD的长 14、如图18，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD∥BC，在AD上取一点E，使∠EBC=30°，求证BE=BC 15 正方形ABCD，E为BC上一点，∠AEF为直角，CF平分∠DCG。 (1)如图（1），当点E在线段BC上时，求证：AE=EF (2)如图（2），当点E在BC的延长线上时，试判断AE=EF是否依然成立，并说明理由 D C B A F E G 图(1) D C B A F E G 图

勾股定理及直角三角形的判定

勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析 1、勾股定理 222，即直角三角形两直角边的平方和等于+b=c，斜边为a、bc，那么一定有a如果直角三角形两直角边分别为斜边的平方。 2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。 222，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理+b=cb、c有关系：a3、如果三角形的三条边a、（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。 4、勾股数 222的三个正整数a、b、c称为勾股数。满足条件a+b =c友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。【典型例题】考点一：勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________. 例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。解：考点二：勾股定理的验证例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2）是以c为直角边的等腰三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。（2）用这个图形证明勾股定理。（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。（无需证明）

直角三角形与勾股定理(含解析)

直角三角形与勾股定理一、选择题 1.如图，△ABC中，∠C=90°， ∠A=30°，AB=12，则BC=（） A．6 B．6C．6D．12 2.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（） A．2B．C．D． 3．在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则

另一边BC等于( ) A．10B．8 C．6或10D．8或10 4．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米， ∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（） A．5sin36°米B．5cos36°米 C．5tan36°米D．10tan36°米【 5．如图，AD是△AB C的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如

果BC=6，那么线段BE的长度为（） A．6 B．6C．2D．3 6.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（） A．7 B．8 C．9 D．10

7.把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（） A．B．6 C．D． 8.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（） A．1 B．2 C．D．1+

································· 9．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( ) A ． 3 2B ．2C． 3 2 D．不能确定 10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A 逆时针旋转，使点C落在线段AB 上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）

勾股定理与全等三角形

1、已知：如图，△ABC中，△C=90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE△DF．求证：AE2+BF2=EF2． 2、如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．

3、如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=2，求AD的长．

4、如图①，已知点D在AB上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且M为EC的中点．（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．（思路点拨：考虑M为EC的中点的作用，可以延长DM交BC于N，构造△CMN≌△EMD，于是ED=CN=DA，即可以证明△BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底边的中线就可以了．）请你完成证明过程：（2）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置），△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由． 1、证明：延长ED到G，使DG=DE，连接EF、FG、CG，如图所示： △DF=DF，△EDF=△FDG=90°，DG=DE △△EDF△△GDF（SAS）， △EF=FG 又△D为斜边BC中点 △BD=DC 又△△BDE=△CDG，DE=DG △△BDE△△CDG（SAS） △BE=CG，△B=△BCG △AB△CG

△△GCA=180°-△A=180°-90°=90° 在Rt△FCG中，由勾股定理得： FG2=CF2+CG2=CF2+BE2 △EF2=FG2=BE2+CF2．证明：过点A作AM△BC，交FD延长线于点M，连接EM．△AM△BC， △△MAE=△ACB=90°，△MAD=△B． △AD=BD，△ADM=△BDF， △△ADM△△BDF． △AM=BF，MD=DF．又DE△DF，△EF=EM． △AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．