全等三角形与勾股定理专项2019.12.13
全等三角形和勾股定理综合复习
1、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE ＝CE ． 求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF ＝2CD ．
2、如图，四边形ABCD 中AB ∥CD ，AB≠CD ，BD=AC 。 求证：AD=BC.
3、如右图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C′的位置上， (1)若AB=3，BC=7，求重合部分△EBD 的面积； (2)若CD=2，∠ADB=30°，求DE 的长．
4、如图，以△ABC 的边AB 、AC 为边长向外作等边三角形ABC 和等边三角形ACE ，CD 与BE 相交于点O.(1)求证：CD=BE.(2)∠AOD 与∠AOE 有怎样的大小关系？请说明理由.
5、如图，已知B 、C 、E 三点在同一条直线上， △ABC 与△DCE 都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F. 求证：(1)AE=BD ；(2)GF ∥BE.
6、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是AD 上一个动点，把△BAE 沿BE 向矩形内部折叠，当点A 的 对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上时，求CA 1的长.
7、若在锐角△ABC 中，AB=AC ，过其一个顶点可以画出一条直线把△ABC 分成两个等腰三角形，则∠A= 度.
A D E O
B C D
A B C E
G F A D
B
C
E A
A B
C D
E A
B C
E
F
C B H
G E F A D 8、如图，A 、B 是4×5网格中的格点，网格中的每个
小正方形的边长都是1，图中使以A 、B 、C 为顶点的 三角形是等腰三角形的格点C 有多少个？
9、如图，王大伯家屋后有一块长12m 、宽8m 的矩形空地， 他在以长边BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时 拴在A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以 选用( )
A. 4m
B. 5m
C. 7m
D. 9m
10、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60o，AD+BC=AB=CD=2， 求该四边形的面积.
11、如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点E ，与CD 相交于点F ，点H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G .(1)求证：BF=AC ；(2)求证：BF=2CE ；(3)CE 与BG 存在怎样的数量关
系？试证明你的结论.
12、如图，AC=BD ，AC ⊥BD 于点B ，点E 在BD 延长线上且DE=BC ，延长CD 交AE 于点F ，请问：∠AFD 是定值吗？若是定值，求出该值；若不是，说明理由。
13、如图，将一根25cm 长的细木棍放入长、宽、高分别
为8cm 、6cm 、和 cm 的长方体无盖盒子中，求细木棍 露在外面的最短长度是多少？
14、在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个的正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S
B B
C
D
O
?D
A B C
310
C F A B
D E
D
Q A 15、在△ABC 中，AB=20，AC=13，BC 边上的高为12，则S △ABC = 。 16、直角三角形的一条直角边为9，另两边均为自然数，则另两条边分别是多少？
17、如图，一条河同一侧的两村庄A 、B ，其中A 、B 到河岸最短距离分别为AC=1km ，BD=2km ，CD=4km ，现欲在河岸上建一个水泵站向A 、B 两村送水，
当建在河岸上何处时，使到A 、B 两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。
18、如图，已知等腰直角△ABC 中，P 为斜边BC 上的任一点. 求证：PB 2＋PC 2＝2PA 2 .
19、直角三角形两直角边长为a 、b ，斜边上的高为h ，则下列各式总能成立的是
( ) A 、ab=h 2 B 、a 2+b 2=2h 2 C 、111
a b h += D 、222111a b h
+=
20、利用图形整体面积等于部分面积之和可以证明勾股定理.
(1)将两个全等的直角三角形按图1、图2的方式摆放，分别证明：a 2+b 2=c 2.
(2)用同样的方法证明图3中a 2+b 2=c 2.
21、如图，已知在△ABC 中，AB=AC=6cm ，BC=4cm ，点D 为AB 的中点. (1)如果点P 在线段BC 上以1cm /s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动.
①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；
②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等?
(2)若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间，点P 与点Q 第一次相遇？
并求出相遇 的具体位置.
A
B C D ??B P C
A a a
c c
a b b A D c c
b b a
A B C E D C B A a b c D I H E F G
22、(1)如图1，∠MAN=90°，射线AE 在这个角的内部，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，且AB=AC ，CF ⊥AE 于点F ，BD ⊥AE 于点D ，求证：△ABD ≌△CAF ；
(2)如图2，点B 、C 分别在∠MAN 的边AM 、AN 上，点E 、F 都在∠MAN 内部的射线AD 上，∠1、∠2分别是△ABE 、△CAF 的外角.已知AB=AC ，且∠1=∠2=∠BAC ，求证：△ABE ≌△CAF ；
(3)如图3，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC.点D 在边BC 上，CD=2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC 的面积为15，求△ACF 与△BDE 的面积之和.
23、(1)如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE ，AE=3，∠CAE=45°，求AD 的长． (2)如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD 的长．
24、在Rt △ABC 中，∠ACB=90o，AB=7，AC=2，过点B 作直线m ∥AC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A ’B ’C(点A 、B 的对应点分别为点A ’、B ’)，射线CA ’、CB ’分别交直线m 于点P 、点Q.
(1)如图1，当P 与A ’重合时，求∠ACA ’的度数；
(2)如图2，设A ’B 与BC 的交点为M ，当M 为A ’B ’的中点时，求线段PQ 的长； (3)在旋转过程中，当点P 、Q 分别在CA ’、CB ’的延长线上时，试探究四边形PA ’B ’Q 的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形PA ’B ’Q 的最小面积；若不存在，请说明理由.
C A ’
M
P Q m A B B ’
A B ’
A ’(P) Q m B
C
m A B
B
A C
D
E
B
A C
D
B
A C N
M D F E 1 A C N B
M
D
F E
2 1
F E B D C A 2
三角形、勾股定理知识点整理
全等三角形、勾股定理教案
从一定向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项； 推论：直角三角形中其中一条直角边是该直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项.即 22 2 90CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB ? ?=??∠=??=???⊥??=?? 四、全等三角形 1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形； 2、三角形全等的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等； 3、全等三角形的判定定理： ⑴边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”） ⑵角角边定理：任意两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”； ⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA ”） ⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS ”）； (5)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”） 注意：对应相等意思是：例如三角形ABC 和三角形DEF ，AB 和DE 是对应边，AB=DE ；BC 和EF 是对应边，BC=EF ；AC 和DF 是对应边，AC=DF 角A 和角D 是对应角，角A=角D 角B 和角E 是对应角，角B=角E 角C 和角F 是对应角，角C=角F 这些对应关系都可以从题目给出的三角形XXX 和三角形yyy 中按顺序写好
勾股定理全章复习与小结
第17章勾股定理小结与复习 一、课件说明 本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理，进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定理解决简单的实际问题． 二、学习目标： 知识与技能： 1、进一步理解勾股定理入其逆定理，弄清两定理之间的关系。 2、回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构； 过程与方法： 1、} 2、复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。 2、思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用. 情感态度恶劣与价值观： 通过运用勾股定理及其逆定理解决问题，体会到数学来源于生活，应用于生活。 三、学习重点： 勾股定理及其逆定理的应用． 四、教学过程： （一）创设情境引出课题 ;
问题1 如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想（出示图形） （背景介绍：我们知道，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理．在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．人们为了纪念这位伟大的科学家，在他的家乡建了这个雕像．） （二）层层提问，讲练相融 追问1 在本章我们学习了直角三角形一个重要的定理，你能叙述这个定理吗 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 知识点一：勾股定理的运用: 1.已知直角三角形两边,直接利用勾股定理求出第三边. 基础练习1 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c 的长为． ' 变式在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为． 温馨提示:求第三边时应看清题目中所说的边是直角边还是斜边,如果题中没有说明,则应分两种情况求. 2.未已知直角三角形的两边,则一般通过设未知数列方程解决。 基础练习2 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）． A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m
勾股定理知识点总结
第18章 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证
a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为 的线段 作长为 、 、 的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为 和1的直 角三角形斜边长就是，类似地可作 。 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， ， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
勾股定理典型题总结(较难)
勾股定理 一．勾股定理证明与拓展 模型一 . 图中三个正方形面积关系 思考：如下图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积有和关系？ 例1、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 . 变式1：在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，1. 21，1. 44，正放置的四个正方形的面积依次是1234S S S S ，，，，则41S S =______.
变式2：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC +∠DCB =90°，且BC =2AD ，以AB 、BC 、DC 为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1=3，S 3=9，求S 2. （变式2） （变式3） 变式3：如图，Rt △ABC 的面积为10cm 2 ，在AB 的同侧，分别以AB ，BC ，AC 为直径作三个半圆，则阴影部分的面积为 ． （难题）如图，是小明为学校举办的数学文化节设计的标志，在△ABC 中，∠ACB ＝ 90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点 G 落在 HI 上，若 AC ＋BC ＝6，空白部分面积为 10.5，则阴影部分面积 模型二 外弦图 D C B A 内弦图 G F E H 例题2.四年一度的国际数学大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为 13，每个直角三角形两直角边的和是5。求中间小正方形的面积为__________;
全等三角形与勾股定理练习题(一)
全等三角形与勾股定理练习题（一） 一．填空题 1.一个矩形的抽斗长为2４cm ,宽为7c ｍ,在里面放一根铁条,那么铁条最长可以是 . ２．在Rt △A ＢC 中，∠C ＝９0°，BC ＝12cm ,Ｓ△ABC ＝3０cm 2 ,则AB ＝ ． 3．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树2０米处的池塘的Ａ处。另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高＿_＿__＿_______＿＿__＿____＿__米。 4．如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm ,则正方 形A ，B,C ，D 的面积之和为__＿___＿_＿__cm ２ 。 5．直角三角形两直角边长分别为5和１2，则它斜边上的高为_＿_＿_＿_＿__。 ６.在平静的湖面上，有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为２米，问这里水深是________m 。 7.已知两条线段的长为5c m 和12c m ，当第三条线段的长为 c m 时,这三条线段能组成一个直角三角形. 8.一个三角形三边之比为2:5:3,则这个三角形的形状是 ． 9．将一根长为2４㎝的筷子置于底面直径为５㎝，高为１2㎝的圆柱形水杯中, 设筷子露在杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是＿_____＿__＿＿＿_＿__. 10.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿 纸箱爬到Ｂ点,那么它所行的最短路线的长是__＿__＿_＿____. 11.如图,在△ABC 中，ＡD 平分∠BA Ｃ,A Ｂ＝AC -BD ，则∠B ∶∠C 的值是___________。 12.如图,ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180形成的,若 150BAC ∠=，则θ∠的度数是 . 二．选择题 １、若Rt ABC 中，90C ? ∠=且c=３7,a ＝12,则b=（ ) A 、50 B 、35 Ｃ、34 D 、26 2、如图，平行四边形AB ＣD 对角线AC,BD 交于O,过O 画直线EF 交ＡD 于E ， 交BC 于F ，，则图中全等三角形共有( ） (A ）7对 (B ）6对 (C)5对 （Ｄ)4对 3.如图，△DAC 和△ＥＢＣ均是等边三角形,ＡＥ、B Ｄ分别与C Ｄ、CE 交于点M 、N,有如下结论：① △ACE ≌△D ＣB ； ② CM ＝ＣＮ；③ ＡC=DN 。正确结论的个数是( )．（Ａ) 3个 (B ）2个 (Ｃ)1个(Ｄ）0个 ４.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，AC ＝BC ,ＡD 平分∠ＢＡＣ交ＢＣ于D ,DE ⊥A Ｂ于D ,若A Ｂ=1 A B C D 7cm D B C A 第3题 A B A C D A E B θ
勾股定理思维导图题型总结
(一)勾股定理 1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 要点诠释： 2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b ， a ） （2）已知直角三角形的一边及另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一： 4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，22 14()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积及小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积及小正方形面积的和为22 1 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形， 2 112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A b a c b a c c a b c a b 弦 股 勾
勾股定理知识点总结
第十七章勾股定理知识点总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ?中，90 ∠=?，则c， C b，a=） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c； （2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明，常见的是拼图的方法 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC ?中，90C ∠=?，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 常见图形： 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt △ABC 中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b ， (2)已知a=40，b=9，求c ； (3)已知c=25，b=15，求a. 2. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 ． 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB 的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 勾股定理教学设计 富裕县逸夫学校任晓娟 【教学目标】 一、知识目标 1.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程. 2.掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。 二、数学思考 在勾股定理的探索过程中,发现合理推理能力.体会数形结合的思想. 三、解决问题 1．通过探究勾股定理（正方形方格中）的过程，体验数学思维的严谨性。 2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。 四、情感态度目标 1．学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐 步体验数学说理的重要性。 2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识 和探究精神。 【重点难点】 重点：探索和证明勾股定理。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 【设计思路】 本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生探究与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。 让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。 【教学流程安排】 活动一：了解历史，探索勾股定理 活动二：拼图验证并证明勾股定理 活动三：例题讲解，巩固练习 活动四：反思小结，布置作业 活动内容及目的：①通过多勾股定理的发现，(国外、国内)了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。②观察、分析方格图，得到指教三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。③通过拼图验证勾股定理，体会数学的严谨性，培养学生的数形结合思想，激发探究精神，回顾、反思、交流。布置作业，巩固、发展提高。 【教学过程设计】 【活动一】 (一)问题与情景 1、你听说过“勾股定理”吗？ (1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的， 西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理 (2)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三， 股修四，径隅五。”这作为勾股定理特例的出现。 2、毕答哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用的地砖铺成的地面反映了直角三角形的某写特性。 （1）现在请你一观察一下，你能发现什么？ （2）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？ （二）师生行为 教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，参与小组活动，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。 学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等等方法。阐述自己发现的结论。 （三）设计意图 ①通过讲故事，让学生了解历史，培育学生爱国主义情操，激发学习的积极性。 ②渗透从特殊到一般的数学思想，为学生提供参与数学活动的时间与空间， 发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相 图 A B C A B C B C A 全国中考信息资源门户网站 https://www.360docs.net/doc/8011772858.html, 勾股定理全章知识点归纳总结 一．基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2 全国中考信息资源门户网站 https://www.360docs.net/doc/8011772858.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 1．如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC （1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式． （2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：BE=DE． （3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：一次函数综合题。 分析：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，利用等腰直角三角形的性质证明△ABO≌△BCQ，根据全等三角形的性质求OQ，CQ的长，确定C点坐标； （2）同（1）的方法证明△BCH≌△BDF，再根据线段的相等关系证明△BOE≌△DGE，得出结论； （3）依题意确定P点坐标，可知△BPN中BN变上的高，再由S△PBN=S△BCM，求BN，进而得出ON． 解答：解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q， ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°， ∴∠OAB=∠QBC， 又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°， ∴△ABO≌△BCQ， ∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1， ∴C（﹣3，1）， 由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：y=x+2； （2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G， ∵AC=AD，AB⊥CB， ∴BC=BD， ∴△BCH≌△BDF， ∴BF=BH=2， ∴OF=OB=1， ∴DG=OB， ∴△BOE≌△DGE， ∴BE=DE； （3）如图3，直线BC：y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点， ∴P（﹣，）， 由y=x+2知M（﹣6，0）， ∴BM=5，则S△BCM=． 假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积， 则BN?=×， ∴BN=，ON=， ∵BN＜BM， ∴点N在线段BM上， ∴N（﹣，0）． 点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解． 2．如图直线?：y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C，点B的坐标是（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0） （1）求k的值． （2）若P（x，y）是直线?在第二象限内一个动点，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为9，并说明理由． 考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。 专题：动点型。 分析：（1）将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值； （2）用OA的长，y分别表示△OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的函数关系式；（3）将S=9代入（2）的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置． （一）勾股定理 2 2 2 1：勾股定理如果直角三角形的两条直角边长 分别为a、b，斜边长为c,那么a2+b2＝c2 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾” 要点诠释： 2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关 系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应 用： 1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中， C 90 ，则 c a2 b2，b c2 a2，a c2 b2） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关 系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的 问题 3：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方 法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股 定理 常见方法如下：b 方法 1 4S S S 4 ab (b a) 4S S正方形EFGH S正方形ABCD，2 22 c ，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面 积． a 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S 4 1 ab c 2 2 2 2ab c 2 2 2 2 2 2 大正方形面积为S (a b) a 2ab b 所以 a2 b2 c2 S梯形 2(a b) (a b)，S梯形2S ADE S ABE 1 2 ab 12 c 较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦” 4：勾股数 B C ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 时，称 a ，b ， c 为一组勾股数 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 ； 8,15,17 ； 9,40,41 等 22 2n 1,2n 2n,2n 2n 1（ n 为正整数） 5、注意： （1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 （2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的 题目。 3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主 要错误 （4）推理格式：∵△ ABC 为直角三角形 ∴AC 2+BC 2=AB 2. （或 a 2+b 2=c 2） 二）勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为： a 、 b 、 c ，且满足 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法， 它通过“数转化为形” 来 确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为： c ； （2）验证 c2 与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2＝a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为直角的直角三角形 （若 c2>a2+b2，则△ ABC 是以∠ C 为钝角的钝角三角形；若 c2 勾股定理知识技能和题型归纳（一）——知识技能 一、本章知识内容归纳 1、勾股定理——揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。 （1）重视勾股定理的叙述形式： ①直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积. ②直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和. 从这两种形式来看，有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。 （2）定理的作用： ①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 ③作长为n 的线段。（利用勾股定理探究长度为,3,2……的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示，加深对无理数概念的认识。） 2、勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理的证明方法，通过构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明某个角为直角的目的。 （2）逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。 （3）勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。运用勾股定理的逆定理的步骤如下： ①首先确定最大的边（如c ） ②验证2 2 b a +与2 c 是否具有相等关系： 若2 2 2 c b a =+，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形。 若2 2 2 c b a ≠+，则△ABC 不是直角三角形。 补充知识： 当222c b a >+时，则是锐角三角形；当2 22c b a <+时，则是钝角三角形。 （4）通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；9，40，41；……以及这些数组的倍数组成的数组。 勾股数组的一般规律： ① 丢番图发现的：式子n m n m mn n m >+-(,2,2 2 2 2 的正整数） ② 毕达哥拉斯发现的：122,22,122 2 ++++n n n n n （1>n 的整数） ③ 柏拉图发现的：1,1,222 +-n n n （1>n 的整数） 北师版八年级数学第1章 勾股定理 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） ７．勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.．勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体 精心整理 第18章勾股定理复习 一．知识归纳 １．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222 a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ① ② 定理 常见方法如下： 方法一：4 EFGH S S S ? += 正方形正方形ABCD ，1 4( 2 ab b ?+- 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S= 大正方形面积为22 () S a b a =+=+ 所以222 a b c += 方法三：1()() 2 S a b a b =+?+ 梯形 ，2 2 22 ab c ?+，化简得 证 ３. 它只适用于直角三角形，对于锐角三角 因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４. ① 在ABC ?中，90 C ∠=?，则c，b=，a= ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5、利用勾股定理作长为的线段 作长为、、的线段。 思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。 b a 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边； （2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为 ； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 ，这样斜边 、 、 、 的长度就是 、 、 、 。 举一反三【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把 看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1 作法：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3，作以O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为 。 注：逆命题与勾股定理逆定理 可以判断真假的陈述句叫做命题， 写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚． 23（正确） 4（正确） 思路点拨：解析：1. 2. 3.?（正确） 4.（正确） 总结升华： 6.74页 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 要点诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ； （2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形 （若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2勾股定理知识点与常见题型总结
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