的取值范围．
⇔⇒⇒⇒
基本不等式(解析版)
3.2 基本不等式 【知识点梳理】 知识点一：基本不等式 1．对公式222a b ab +≥及 2 a b ab +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”． 2．由公式222a b ab +≥和2 a b ab +≥ ①2b a a b +≥（,a b 同号） ； ② 2b a a b +≤-（,a b 异号） ； ③222 (0,0)1122a b a b ab a b a b ++≤≤>>+或22 2()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 知识点诠释： 2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2 a b ab +可以变形为： 2 ( )2 a b ab +≤． 2 a b ab +的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=． 得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 特别的，如果0a >，0b >a b a 、b ，可得： 如果0a >，0b >，则2a b ab +≥ （当且仅当a b =时取等号“=”）．
高丽-基本不等式【2018年第9届全国高中数学优质课比赛教学设计、课件】
《基本不等式》教学设计 青海省西宁市第五中学高丽 一．教学内容解析 基本不等式是选自人教A版数学必修5第三章第4节第1课时，是在学习了“不等关系与不等式”，“一元二次不等式及其解法”和“二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题”的基础上对不等式的进一步研究，是不等式的延续与拓展，为后面选修中不等式的学习打下了坚实的基础，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。 本节课内容属于概念性知识，课程标准对它的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。因此，根据以上课标和学生实际我确定本节课的教学重点是：探索基本不等式的形成与正明，会利用基本不等式求解简单的最值问题。在本节课中，学生通过观察，试验等方法抽象概括，归纳出基本不等式，其中渗透了数形结合的思想。 二．教学目标设置 本章的课程目标是：不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，也是数学本质的体现。根据本节课内容特点和以上分析，我确定了以下教学目标： 知识与技能目标： 了解基本不等式的几何背景和证明方法，理解基本不等式的几何意义，会利用基本不等式求解简单的最大（小）值问题； 过程与方法目标： 了解基本不等式的形成与证明过程，初步认识分析法证明问题的思路，体会利用基本不等式求解最值的方法； 情感态度与价值观目标： 通过实际背景抽象推导出基本不等式，又利用它解决实际生活中的问题，体现了数学来源于生活，又应用于生活；同时培养学生分析问题，解决问题的能力，充分激发学生学习数学的兴趣和勇于探索的精神。 基本不等式可以与函数，三角函数，数列等知识相结合，在求解取值范围和最值等问题时有着广泛的应用，时培养学生思维品质的重要途径。
《基本不等式》教案
《基本不等式》教案 教学目标 1.学会推导并掌握均值不等式定理； 2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题. 教学重、难点 重点：均值不等式定理的证明及应用. 难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧. 教学过程： 一、知识学习： 我们已经学过重要不等式222(,),a b ab a b R +≥∈为了方便同学们的学习，下面将它以定理的形式给出，并给出证明. 定理1：如果a 、b ∈R ，那么222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“＝”号) 证明：因为2222()0,a b ab a b +-=-≥当且仅当a ＝b 时等号成立，所以 222a b ab +≥，当且仅当a =b 时，等号成立. 探究：你能从几何角度解释定理1吗？ 如果把实数a ，b 作为线段长度，那么可以这样来解释定理1： 以a ≥b 为例.如图1.1-2(课本第5页)，在正方形ABCD 中，AB =a ；在正方形CEFG 中，E F =b .那么S 正方形ABCD +S 正方形CEFG =a 2+b 2. 矩形BCGH 和矩形JCDI 的长均为a ，宽为b ，它们面积的和是S 矩形形BCGH +S 矩形JCDI =2ab . 矩形BCGH 和矩形JCDI 的公共部分是正方形JCGK ，它的边长等于b ，其面积与正方形C EFG 相等.所以，上述两个矩形面积的和2ab 就等于图中阴影部分面积，它不大于正方形ABC D 与正方形CEFG 面积的和，即 222a b ab +≥. 当且仅当a =b 时，两个矩形成为两个正方形，阴影部分面积等于正方形ABCD 与正方形C EFG 面积的和，即 222a b ab +=. 将定理1作简单的恒等变形，就可以得到以下的基本不等式. 定理2(基本不等式) 如果a ，b >0，那么 2 a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“＝”号) (老师引导学生完成证明过程)
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式完整版(非常全面) 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 1) 若 $a,b\in R$，则 $a^2+b^2\geq 2ab$ 2) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 $a,b\in R^*$，则 $a+b\geq 2\sqrt{ab}$ 3、基本不等式的两个重要变形 1) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$ 2) 若 $a,b\in R^*$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$ 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。 特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 1) 若 $x>0$，则 $x+\frac{1}{x}\geq 2$（当且仅当 $x=1$ 时取“=”） 2) 若 $x<0$，则 $x+\frac{1}{x}\leq -2$（当且仅当 $x=-1$ 时取“=”） 3) 若 $a,b>0$，则 $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”） 4) 若 $a,b\in R$，则 $ab\leq \frac{a+b}{2}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ 5) 若 $a,b\in R^*$，则 $\frac{1}{a^2+b^2}\leq \frac{1}{2ab}\leq \frac{1}{a+b}$ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 $a=b$ 时取“=”。 6、柯西不等式 1) 若 $a,b,c,d\in R$，则 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (ac+bd)^2$
全国优质课-基本不等式
基本不等式（一） 教材：人教A版必修5第三章第四节 一、教学内容解析 内容：基本不等式的发现与证明． 内容解析： 本节课是高中数学人教A版必修5第三章第4节第一课时的内容，。在高中时期，不等式的学习主要分两个阶段：第一阶段的学习安排在必修5第三章，讨论不等式的基本性质、一元二次不等式及其解法、二元一次不等式组及简单的线性规划问题和基本不等式；第二阶段安排在选修4-5“不等式选讲”，对基本不等式的推广、绝对值不等式及其解法、证明不等式的基本方法以及介绍两个经典不等式：柯西不等式和排序不等式。基本不等式在整个不等式的学习中起着承上启下的作用。 “基本不等式”这节内容在教学中安排三个课时，第一课时的内容是基本不等式的发现与证明，理解基本不等式的结构和等号成立的条件；第二课时的内容是利用基本不等式证明简单不等式及求简单的最值问题。第三课时的内容是从实际问题中抽象出具体的基本不等式问题，然后应用基本不等式处理最值问题，并深入理解基本不等式的条件和结构特征。 教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探究基本不等式的证明过程。 二、教学目标设置 目标： （1）通过观察“数学家大会”的会标及赵爽弦图，探究出里面蕴含的相等和不等的数值关系，提炼得到重要不等式，体会数学建模的过程；并从国际数学家大会会标和赵爽弦图的相关背景 中，感受数学的文化价值。（数学抽象、数学建模、直观想象） （2）通过对剪拼纸片的手工活动中面积大小的直观比较，进一步抽象概括和逻辑推理得到基本不等式，体会活动过程中合作学习的乐趣。（数学抽象、逻辑推理） （3）通过基本不等式的证明过程，了解演绎证明的三种常用思想方法。（逻辑推理） （4）理解基本不等式的代数和几何意义，体会数形结合的数学思想方法。（数学抽象、直观想象） （5）通过例题的分析，初步感知二元变量的函数的概念，以及增加了变量的约束条件会使变量从二元向一元转化的过程。（数学运算、逻辑推理） 目标解析： 教学目标设置的两个特点：一是教学目标的设置都是以数学核心素养的提升为出发点；二是围绕“以生为本”教学理念，在引导学生通过“自主学习”与“合作探究”，掌握基本不等式证明的过程中，以发展数学核心素养为落脚点，培养学生运用数学建模和数形结合的能力。 三、学生学情分析 本节课的授课对象是高二年级的学生，他们已经具备了平面几何的基本知识，具有良好的图形分析能力和抽象概括能力，他们也已经学习了函数的最值问题以及不等式的性质和解法，但对于基本不等式的多种代数几何背景的理解及用基本不等式解决二元变量函数的最值问题还有些困难。 教学难点：从不同角度探究基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。
全国优质课-基本不等式
《不等式的性质》教学设计 一. 教学内容解析； 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5）》（人教A 版）第三章第一节的第二课《不等式的性质》。 这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质。 二．教学目标设置； 1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系． 2.理解并掌握比较两个实数大小的方法． 3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力． 三．学生学情分析； 在初中的学习中，学生已将掌握了不等式关于加减和乘除的性质，本节课所需要解决的问题是（1）利用公理化的体系构建学生对于所学不等式性质的认识，让学生更好的从本质上体会不等式的性质，（2）学习关于不等式原来不完善的地方，比如对称性和传递性，还要学习两个不等式间的加减乘除次方开方运算。教学难点是让学生体会公理化体系下不等式性质的证明及其应用． 四．教学策略分析； 这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质．通过求解方程和求解不等式相对照，梳理初中已学习的等式性质、不等式性质，探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法，猜想不等式的基本性质，并给出证明。让学生体会“运算”在研究不等式性质中的关键作用。 为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，要通过公理化的论证才予以认可，培养学生的数学理性精神． 五．教学过程设计； 引入： 1．古诗横看成岭侧成峰，远近高低各不同，引出不等关系。 2.求解方程213132 x x +-=和不等式213132x x +->梳理初中已学习的等式性质、不等式性质，探索等式、不等式的共性，归纳出等式性质、不等式性质的研究思路和思想方法， 讲解新课： 1．通过实例，2,3比较大小，22,2a a +比较大小引出判断两个实数大小的充要条件是： 0>-⇔>b a b a
高考数学复习专题 基本不等式
高考数学复习专题基本不等式 全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解） 高考数学复专题：基本不等式 一、基本不等式 1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。 2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则 $a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。 3.利用基本不等式求最值问题： 1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。
2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。 4.常用结论： 1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。 2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$， $b$ 为同号实数）。 3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。 4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。 5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。 6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$， $b$ 为任意实数）。
7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。 二、基本不等式在实际中的应用 1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。 2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、 二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。解 答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解。 考点突破一：利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的常用技巧： 1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式。
《2.2基本不等式》优秀教案教学设计
2.2基本不等式 教材分析： “基本不等式”是必修1的重点内容，它是在系统学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上对不等式的进一步研究，同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明方法等内容作铺垫，起着承上启下的作用.利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛.同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质. 教学目标 【知识与技能】 1.学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 2 a b +≤ ；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【过程与方法】 通过实例探究抽象基本不等式； 【情感、态度与价值观】 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣.
教学重难点 【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 2 a b ab +≤ 的证明过程； 【教学难点】 1.基本不等式 2 a b ab +≤ 等号成立条件； 2.利用基本不等式 2 a b ab +≤求最大值、最小值. 教学过程 1.课题导入 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 一般地， ，有 a 2+ b 2≥2ab ， 当且仅当a =b 时，等号成立 特别地，如果a >0，b >0，我们用,分别代替上式中的a ， b ，可得 ① 当且仅当a =b 时，等号成立. 通常称不等式（1）为基本不等式（basicinequality ）.其中，叫做正数a ，b 的算术平均数， 叫做正数a ，b 的几何平 均数.
基本不等式——教学设计
基本不等式——教学设计 基本不等式是数学中一般性，在数学学习中十分重要的知识，它是利用数学方法对不同量之间关系进行比较而表示出来的公式，是数学计算最基本的因子，也是数学理论最普遍的归纳出来的一组规律性的观念。基本不等式的掌握非常重要，其规律性的数学思想，为数学的学习和应用提供了强有力的理论支持。 基本不等式在数学教学中，是数学学习中必不可少的，掌握基本不等式，对学生学习数学有很大帮助，因此，基本不等式的教学设计也非常重要。 二、教学目标 通过教学，使学生掌握基本不等式的概念，了解基本不等式的定义，记忆基本不等式的规律，掌握基本不等式的计算方法，熟悉基本不等式的一般认识，能熟练运用基本不等式解决实际的非数学问题。 三、教材分析 基本不等式的教学中，以《教育部高等教育规划教材：数学》为主要参考教材，以《教育部高等教育规划教材：全国大学英语四、六级考试》为辅助教材。 《教育部高等教育规划教材：数学》共分为六章，第一章介绍基本不等式的概念，第二章介绍基本不等式的定义，第三章介绍基本不等式的规律，第四章介绍基本不等式的计算方法，第五章介绍基本不等式的一般认识，第六章介绍基本不等式解决实际的非数学问题，是学习基本不等式的重要参考教材。
《教育部高等教育规划教材：全国大学英语四、六级考试》是介绍基本不等式的英语语言参考教材，可以使学生在学习基本不等式时，结合英语，将其理解和掌握得更加准确和牢固。 四、教学方法 基本不等式是数学知识中比较抽象、难以理解和记忆的，在教学中应采用多种教学方法，达到有效的教学效果： （1）以图形化的方式来进行教学，通过分析数学模型，利用动 画让学生的注意力集中，使学生对基本不等式规律更加清晰； （2）通过课堂探究式活动，让学生感受基本不等式的可能性和 规律，通过实际操作、计算等形式，让学生感受数学知识的实际； （3）采取英语辅助模式，可以让学生在学习基本不等式时，结 合英语，使学生将其理解和掌握得更加准确和牢固； 五、总结 基本不等式是数学学习中十分重要的知识，掌握它的定义、规律和计算方法，可以帮助学生更好地突破学习数学的瓶颈，提高学习数学的能力。教师在教学中，应尽量多的采用课堂探究式活动、图形化的方法和英语辅助模式，以使学生对基本不等式有更深入的理解和更牢固的掌握，从而有效地提高学生学习数学的兴趣和水平。
基本不等式的教学设计一等奖4篇
第4篇教学设计 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3． 2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形． （二）能力训练点 培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力． （三）德育渗透点 培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神． （四）美育渗透点 通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操，数学教案－不等式和它的基本性质教学设计方案(二)。 二、学法引导 1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法． 2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握． 三、重点·难点·疑点及解决办法
（一）重点 掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3． （二）难点 正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形． （三）疑点 弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．（四）解决办法 讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键． 四、课时安排 一课时 五、教具学具准备 投影仪或电脑、自制胶片． 六、师生互动活动设计 1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质． 2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．
3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育． 七、教学步骤 （一）明确目标 本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用． （二）整体感知 通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．（三）教学过程 1．创设情境，复习引入 什么是等式？等式的基本性质是什么？ 学生活动：独立思考，指名回答． 教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)%2》优质课教案_18
课题: §3.42a b +≤ 【教学目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】 2a b +≤ 的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤ 等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的 弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在 这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.探究新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22 a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 2,()0,a b a b ≠->时当当 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+ 4．12 a b +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥ (a>0,b>0)2 a b +≤ 2 2a b +≤的几何意义
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)%2》优质课教案_21
3.4 基本不等式教学设计 一、教材分析 本章是人教A版必修5的第三章第四节《基本不等式》，本节包括重要不等式，基本不等式和应用三个部分，分为两课时完成. 本节课是第一课时，在前面的学习中,同学们已经基本掌握了一些不等式的解法及不等式证明方法,本节内容一定程度上是前面学习的运用,也是后面系统学习不等式证明的基础。基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁,放缩法证明不等式会经常用到基本不等式。另一方面,基本不等式作为求最值的的一种方法,经常运用于实际问题,而且是高考常考的知识点,通过基本不等式,常常可以将一些较为复杂的求最值的问题化为简单问题,在化归方法中起着重要的承接作用。 二、教学目标： 1、知识与能力：掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。 2、过程与方法：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用（最值的求法、证明）的过程呈现，体验成功的乐趣。 3、情感态度价值观：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。 三、教学重点与难点： 教学重点：从不同角度探索基本不等式 2b a a b + ≤的证明过程及应用。 教学难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）； 四、教法分析 （一）学情分析 在使用基本不等式求最值问题中，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件. （二）教法 根据本节课的内容和学生的实际水平，采用问题驱动学习法与计算机辅助教学法. （三）学法 以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验.设置问题，由浅入深，循序渐近，给不同层次的学生提供思考，创造和成功的机会. （四）教学手段 课件展示与传统板书有机结合
人教A版高中数学必修5《三章 不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)%2》优质课教案_29
3.4.1基本不等式 教材分析 本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续的学习奠定基础.要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的.基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究. 就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、归纳猜想、演绎推理、分析法证明等在各种不等式研究问题中有着广泛的应用；另外它在如“求面积一定，周长最小；周长一定，面积最大”等实际问题的计算中也经常涉及到. 就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 课程目标分析 依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标： 1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单 的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会 构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题 解决问题的能力. 2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应 用（最值的求法、实际问题的解决）的过程呈现.启动观察、 分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维 能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手 段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律 的方法，体验成功的乐趣. 3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来， 培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从
基本不等式(解析版)
第03讲 基本不等式 一、 考情分析 1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题. 3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系； 4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 二、 知识梳理 1.不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2). 2.均值不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a ＋b 2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ a ＋ b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 4.利用均值不等式求最值
《“基本不等式”省优质课比赛教学设计及反思》
“基本不等式 ”教学设计 一． 教材分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教A 版）第三章第4节第 2 a b ab +的推导与简单应用．它以前面已学习的有关不2 a b ab +求最值这个侧面来体现基本不等式 2a b ab +2 a b ab +的推导过程中渗透了分析法的解题方法，为学生后续学习推理与论证的内容埋下伏笔，同时在公式推导过程中渗透数形结合等思想方法，此内容都是学生今后学习中必备的数学素养． 二．学情分析 学生有了不等式的基本知识作为铺垫，对不等式的学习已具备基本的认识，而基本不等式来自生活，是从生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，学生也能够较容易理解基本不等式的推导，且达到渗透数学思想、关注数学文化的目的． 三．目标分析 教学目标： 1．学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等． 2．探索并了解基本不等式的证明过程，在基本不等式的证明过程体会从特殊到一般的思维过程，领悟数形结合思想的应用． 3．培养学生生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中实际问题的意识，有利于数学生活化、大众化，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦． 教学重难点： 本节课教学重点是应用数形结合的数学思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 2 a b ab +的证明过程．
教学难点是基本不等式2 a b ab +≤等号成立条件． 四．教学策略 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路．同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破难点． 教法: 问题引导、启发探究和归纳总结相结合 学法: 自主学习与合作讨论相结合 教学手段: 黑板板书为主结合多媒体辅助教学 五．教学过程 Ⅰ．创设情境 引入课题 填写下表， ab 与 2 a b +的大小关系 2 …… 【问题1】观察ab 与 2 a b +的大小关系，从中你发现了什么结论？ 猜想得到结论：一般的，如果 【问题2】你能给出它的证明吗？ 证法1 用比较法证明： 作差
《基本不等式的证明及应用》优质课比赛教案
《基本不等式的证明及应用》优质课比赛教案基本不等式的证明及应用 教学目标 a，b知识目标:探索并了解基本不等式的证明过程，体会证ab,(a,b,0)2 明不等式的基本方法，能应用基本不等式解决一些简单问题，渗透数形结合和等价化归等数学思想. 能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力. 情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣. 教学重点、难点 a，bab,基本不等式()及其证明. a,b,02 教学过程 一、问题情境 1.有一架天平两臂之长略有差异，其他均精确，小王要用它来称一物体的重量，将此物体放在左右两个托盘各称一次，再将称的的数据相加后，除以2所得的结果就认为是物体的真实重量，你认为小王所测量结果是否准确,如果不准确，比真实重量是重还是轻,你能给小王提供一种用这架天平称量此物体真实重量的方法吗, 2.引入课题 ll设第一次称量时，放物体一边的臂长为,另一边的臂长为,称得物体的重21 a，baA,量为，第二次称得物体的重量为，用小王的方法所得的结果为,这b2 样合理吗, 事实上，设物体的实际质量为，根据力学原理有 M
lM,la， ? 12 lM,la， ? 21 ll??相乘再除以，可以得到 12 M,ab . 第 1 页共 5 页 a，b问题:A,与M,ab是否相等,若不相等，大小关系又怎样, 2 二、学生活动 a，baaaba1.对于非负数，，称为、的算术平均数，为、的几何bbb2 平均数. 2.学生分组讨论. 3.学生通过取一些具体数据进行探究. a 30 59 92 70 25 11 20 b 39 99 23 99 54 100 20 34.21 76.43 46 83.25 36.74 33.17 20 ab a，b34.5 79 57.5 84.5 39.5 55.5 20 2 a，ba，bab,ab,4.猜想:若，，当时，;当时,;a,0b,0a,ba,b22 a，bab,ab当，时，很明显;当时，无意义. a,0b,0ab,02 a，bab,5.初步结论:如果，，那么成立. a,0b,02 点评:诱发学生深入思考问题，教会学习、研究的方法——从特殊到一般是科学探求未知的有效手段. 三、建构数学 1.呈现课题:基本不等式的证明. 引导学生分析、思考，给出基本不等式的证明，点评有关问题. 2.基本不等式的证明: 证法1:(比较法)
全国优质课-不等式的基本性质
《不等式的性质》 教学设计
“不等式的性质”教学设计 一、教学内容解析 本节课是人教版高中数学必修5第三章第一节《不等关系与不等式》第二课时的内容．在初中的时候，学生已经学习了不等式的基本性质,本节课将继续探索不等式的性质。本节内容是学生上节课学过的利用作差法比较大小知识的延续和拓展，又是后续研究不等式问题的基础。因此本节课起着承上启下的作用，有其重要地位。它是在数（式）及其运算系统中，在掌握等式的基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，由此要系统地建立求解或证明不等式的理论依据，通过这堂课的学习，学生将对数量关系的基本性质有一个完整的认识，形成一个完整的知识体系． 二、学情分析 知识储备： 1、已掌握等式的基本性质及基本初等函数的图像与性质。 2、初中已学习过不等式的三条基本性质，但没有进行严密的逻辑证明。 能力储备： 1、具备“通过观察、操作、抽象概括等活动获得数学结论”的体会。 2、有一定的抽象概括和合情推理归纳能力． 方法储备： 会利用作差法证明简单的不等式。 三、教学目标设置 1、①能够梳理等式的基本性质，通过类比，猜想出不等式的基本性质，能够证明，并说出其中的约束条件。 ②能够合理利用不等式的基本性质、作差法和函数图像，证明不等式。 2、①在不等式的若干性质及推论的猜想和证明过程中，培养学生的逻辑推理能力. ②在应用不等式的性质的过程中，能够掌握不等式的基本研究思路和方法。 ③在将实际问题转化为数学问题的过程中，培养学生数学建模能力。 3、①通过本节课的学习，能够激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，体会数学的结构美、对称美和系统美，激发学生更大的数学热情。 ②通过类比体会数学各个内容之间的联系，使学生学会从已有知识出发主动探索新知
2014年全国高中数学青年教师展评课：基本不等式教学设计(宁夏北方民族大学附中袁红)
《基本不等式》教学设计 授课教师：宁夏北方民族大学附属中学袁红 教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5 课题：3.4 基本不等式（第一课时） 课时：1课时 一.教学内容分析 《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一.就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想.本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习选修2-3中推理与证明和选修4-5中不等式选讲时再次得到加强. 基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分.本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,) +≥∈.在此基础 a b ab a b R 上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式.其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力.这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容. 因此，我认为本节课的教学重点为：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程. 二．教学目标设置 《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题.根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为： （1）通过观察图形，抽象出基本不等式，培养学生的抽象概括能力和逻辑推理能力；
基本不等式说课稿(定稿)
基本不等式说课稿(定稿) 篇一：获奖说课稿-基本不等式 《基本不等式》说课稿 各位评委老师，大家好，我说课的题目是《基本不等式》，本节课选自人教A版数学 必修5第三章第四节第一课时，我将从以下五个方面阐述我对这节课的设计：一、教材分析 作为高中阶段必修的最后一部分内容，基本不等式具有丰富的实际背景．不但可以用来求某些函数的最值，同时也是证明不等式的理论依据，是高考考查的重点内容之一. 二、目标分析 教学目标：（1）探索基本不等式的证明过程； （2）应用基本不等式解决简单最大（小）值问题 依据教学目标确定如下的重点、难点 重点: 应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。 难点:利用基本不等式求最大值和最小值。三、教学设计 1.引用2021年北京国际数学家大会会标并介绍弦图背景资料设计意图：激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性 探究1：图中有哪些相等关系和不等关系？ 正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=_,Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△CDG,Rt△ADH是全等三角形，它们的面积之和是S’=＿ 从图形中易得，ss’,即a?b?2ab 问题1：它们有相等的情况吗？何时相等？（学生回答，几何画板演示） 2 2
Ｃ 问题2：当a,b为任意实数时，上式还成立吗？ 一般地，对于任意实数a、b，我们有a?b?2ab, 2 2 当且仅当（重点强调）a=b时，等号成立问题3：你能给出它的证明吗？（让学生独立证明） 设计意图：运用弦图能容易的观察出面积之间的关系，层层深入，引入不等式a?b?2ab很直观。 2、基本不等式的推导与证明 如果a＞0,b＞0 , a,b 可以得到a?b?,通常写成 2 2 （强调基本不等式成立的前提条件）问题4：你能用不等式的性质直接推导吗？ a?b (a?0,b?0)2 a?b ?2要证 ① 只要证a?b?______② 要证②,只要证a?b?_____?0③ 2(__?__)?0④ 要证③,只要证 显然, ④是成立的.当且仅当a=b时,不等式中的等号成立. （强调基本不等式取等的条件） 设计意图:利用分析法以填空的形式给出证明过程，留给学生思考的空间，加深学生对基本不等式的理解；同时也培养了学生分析问题、解决问题的能力。3、基本不等式的几何解释
第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动：《基本不等式》说课（浙江桐乡一中石小丽）（★）
第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动：《基本不等式》说课（浙江桐乡一中石小丽）（★） 第一篇：第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动：《基本不等式》说课(浙江桐乡一中石小丽) 基本不等式（第一课时） 教学设计说明 浙江省桐乡第一中学石小丽 一、内容和内容解析 本节课是人教版高中数学必修5中第三章第4节的内容。主要是二元均值不等式。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以基本不等式应重点研究。 教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。 就知识的应用价值上来看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；另外，在解决函数最值问题中，基本不等式也起着重要的作用。 就内容的人文价值上来看，基本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳，有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体。 二、教学目标和目标解析 教学目标：了解基本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究
