多目标决策作业

多目标决策理论及应用作业

1.1 多目标决策方法发展及的国内外研究现状

1.1.1 多目标决策理论发展

综合评价是多目标决策理论研究的重要内容，由于其在工程系统和社会、经济、管理等各个领域的普遍存在性，因而在社会经济的各个领域得到极为广泛的应用，如投资决策、项目评估、方案选优、工厂选址、产业部门发展排序和经济效益综合评价等等。

多目标决策问题是对具有多个目标的有限方案进行排序与优选的问题。人们常常要对有限个方案集的备选方案进行综合评价，比如在水利水电工程建设的过程中，要进行施工导流，由于导流方案直接影响着施工导流工程的规模、主体工程施工安全、施工总工期及工程投资，因此，要考虑工程所在河段的地形、地质条件、河流水文特性等自然因素和主体工程枢纽布置特点、施工导流方式选择要求、施工工期限制条件、施工技术力量、施工设备及物资、资金等等。众多工程因素，确定一个合理的导流方案，可见，多目标决策作为一个工具在解决工程技术经济管理、军事和系统工程等众多方面的问题也越来越显示出它的强大生命力。但是多目标决策作为一门学科，还是在近五十多年来才真正形成为一门完整独立的的科学体系。最早是在1896年，V.Pareto 提出的向量优化的概念涉及到了多目标概念，他从经济学的角度把本质上不可比较的多个目标化成单个目标进行优化求解，即现在使用的Pareto 最优概念。直到1944 年，多目标决策的理论和方法才逐步发展起来，J.v.Neumaee 和0.Morgenstem 从对策论角度提出了彼此矛盾情况下的多目标决策问题，标志着近代意义

上多目标决策的诞生。1951年，美国经济学家Koopmans从有限资源的合理分配与使用问题中提出了多目标决策问题，首次使用了有效向量的概念，这就是现代多目标决策非劣解概念。1961年，Chames 和CooPer 引入了目的规划法，其准则是使目标值和实际值两者之差的绝对值达到最小。1964年，Aumann对多目标决策问题提出了效用函数的概念。1968年，多目标学科自学者Johnson 系统地提出了多目标决策模型的研究报告以后开始迅速发展。到了二十世纪七十年代，1972 年第一次多目标决策会议在美国South Carolina大学召开，会议出版的论文集成为多目标决策研究的经典文献；1976年，R.L.Keeny 和H.Raifats对发展多属性效用理论做了很大贡献；与此同时，美国学者Satty提出了著名的层次分析(AHP)法，多目标决策技术的发展加快，为这一学科体系的建立打下坚实的基础。

1.1.2 多目标决策方法及其研究现状

多目标投资决策是目前决策活动中人们经常遇到的一类决策问题。方案决策结果的好坏，直接关系到各投资目标能否实现，也直接关系到方案实施的综合效益。目前多目标决策大多采用的方法为模糊数学法、目标规划法、AHP 法、属性评价、灰色理论等方法。从二十世纪九十年代开始，随着电脑技术的发展，研究人员又提出了基于人工智能技术、神经网络、遗传算法和粗集理论的决策方法。如1993年 C.M.Fonseca 在第五届国际遗传学会议上提出了基于遗传算法的多属性决策问题；YangJ.B.和WangJin等人提出了用证据推理理论来处理不确定性混合多属性决策问题的重要方法，即ER法；2002年，

AzibiR等提出了基于规则的分类模型；同年Salvatoreoreeo提出了基于粗集理论的多属性分类方法。目前为了解决Fuzzy集理论的一些不足和研究出更接近于人类思维模式的模糊信息处理方法，台湾学者w.L.Gau和D.J.Buehrer提出Vague集理论，该理论是对Fuzzy 集理论概念的推广，与Fuzzy集相比较，Vague集能够更好和更准确的表达模糊信息。此理论也是本文工作的基础，在论文的研究中将作专门介绍。

从国内外相关文献可知，目前国内外研究者在构建优选决策数学模型的时的一般顺序就是先确定并量化影响方案优选的决策指标，然后给出各决策指标的权值，采用决策方法综合各决策指标的差异并评定备选方案，从而选出最优的方案。概括总结构建优选决策数学模型主要涉及如下四个方面：

①影响因子及决策指标体系；

②决策指标的量化及其规范化；

③决策指标的权值；

④多目标决策方法。

1.1.3 水电工程中多目标决策研究方法的研究进展

根据能源可持续发展理论，水利水电工程的建设要在不损害后代利益的情况下满足目前需求的发展，使经济发展、社会发展和环境保护三部分有机地结合起来，使之既独立又互相制约。成功的水利水电工程取决于对政策的深入了解以及对资金、技术、社会和环境资源的恰当运用。就可持续性而言，水电对提高经济可行性、保护生态统以

及促进社会公平具有巨大的潜力。只要经过精心设计、施工以及运行的水利水电工程都可以为实现可持续发展做出重大贡献。水利水电规划方案优选是目前水电开发研究的热点，它是一个复杂的系统问题, 它涉及经济技术、水能资源的合理开发利用、生态环境保护与工程建设风险等诸多因素, 决策的目的是综合考虑各影响因素在诸多备选方案中选出一个最合理的方案, 以作为决策时的依据。

图1：研究技术路线图

2.1：多目标决策的特点

多目标决策的两个较明显的特点：

（1）多目标之间的不可公度性。如：经济目标；环境目标；物理量；化学量。

（2）各个目标之间的权益的矛盾性。总是以牺牲一个目标的利益来换取另一个目标的改善。

2.2：多目标决策的理论基础

（1）：向量优化理论

从数学规划的角度，多目标决策问题是一个向量优化的问题，而单目标是一个标量优化问题。

在单目标优化问题中，对于任何两个函数的解，只要比较两个函数值的大小，总可以从中找出最优解。而多目标优化问题的解是非劣解，且不仅不唯一，谁优谁劣很难作出判断，什么是非劣解，就是在可行解集中，由多目标优化计算得出同时满足各目标的最优解，只能求得非唯一的一组解，称为非劣解。

求解多目标决策优化问题的途径是将向量的优化问题转化为标

量的问题来求解。例如：θcos ??=?b a b a

将多目标问题转化为单目标问题来解决，这样就可以利用现有求单目标优化的方法来求解多目标优化问题，将向量问题转化为标量问题来求解。

2.3：多目标决策目标体系分类：

（1）单层目标体系；

（2）树形多层目标体系；

（3）非树形多层目标体系。

2.4：处理多目标决策问题遵循的原则

在满足决策需要的前提下，尽量减少目标个数。常用的方法有：（1）除去从属目标，归并类似目标。

（2）把那些只要求达到一般标准而不要求达到最优的目标降为约束条件。

（3）采取综合方法将能归并的目标用一个综合指数来反映。

分析各目标重要性大小、优劣程度，分别赋予不同权数。

2.5：多目标决策的分析方法

多目标决策的方法有：多属性效用理论、字典序数法、多目标规划、层次分析、优劣系数、模糊决策等。

2.5.1：层次分析

(1)：层次分析法，简称AHP法，是用于处理有限个方案的多目标决策方法。

(2)：层次分析法的基本原理

层次分析法的基本思想：是把复杂问题分解为若干层次，在最低层次通过两两对比得出各因素的权重，通过由低到高的层层分析计算，最后计算出各方案对总目标的权数，权数最大的方案即为最优方案。

(3)：层次分析法的基本假设：是层次之间存在递进结构，即从高到低或从低到高递进。

(4)：层次分析法的基本方法：是建立层次结构模型。建立层次模型的步骤如下：

○1：明确问题，搞清楚涉及的因素以及因素相互之间的关系。

○2：将决策问题层次化，划分为总目标层、分目标层和方案层。

(5)：层次分析法的步骤：

○1：建立层次结构模型；

○2：对各层元素两两比较，构造判断矩阵；

○3：求解判断矩阵的特征向量，并对判断矩阵的一致性进行检验；

○4：一致性检验通过后，确定各层排序加权值，若检验不能通过，需要重新调整判断矩阵；

○5：得出层次总排序。

2.5.2：多属性效用理论

(1)：多属性效用理论

○1：向量理论是生成多目标问题非劣解的基础。但在非劣解生成后，如何从中选出最佳可行解，这在很大程度上取决于决策者对某个方案的偏好、价值观和对风险率的态度。

○2：测定这种偏好和价值的尺度，就是所谓的效用。它能用实数表示。若方案的效用确定后，就可以比较和评价各个方案的优劣，作出最终的方案。

○3：任何决策中，都直接或间接地含有能够排序方案的序列关系。如果这种关系（序列关系）反映了决策者的偏好，便称这种关系为偏好序。

○4：求解度目标问题必须了解决策者的偏好，和建立某种序列关系，并将其直接显示出来。建立这种在可行集上的序列的形式叫偏好结构，是两两元素之间的比较关系。

○

5：显然，决策者的偏好结构能用实函数表示，这个实函数就称效用函数。一旦建立了这种效用函数，最终方案的选择就相对容易了。

○6：研究决策者的偏好关系、偏好结构和构造效用函数的理论就是效用理论。

(2)：多属性效用决策的概念

概念：多属性效用决策采用将目标值转化为效用值之后，再进行加权，并构成一个新的综合的单目标函数。然后根据期望效用值最大原则解决多属性效用决策问题。

(3)：多属性效用函数

两属性效用函数：对于具有两个属性（Y X ,表示）的决策问题，定义效用函数为),(Y X U 。

如果Y X ,相互独立，则两属性效用函数可以表示为加性效用函数，即：

),(Y X U =)()(2211Y U K X U K +

其中：21,K K 为常数，是两属性的相对重要性。

为了更加符合实际的工程情况，对加性效用函数进行修正。修正后的加性效用函数为：

),(Y X U )()()()(2132211Y U X U K Y U K X U k ++=

两属性效用决策问题，若不能假设两个属性的效用相互独立，则

不能采用加性效用函数结构，可以通过直接作决策者的二维效用曲线来计算各决策方案的期望效用值。

2.5.3：优劣系数法

(1)：概念：优劣系数法是通过计算各方案的优系数和劣系数，然后根据优系数和劣系数的大小，逐步淘汰决策方案，最后剩下的方案即为最优方案。

计算优系数和劣系数之前必须确定各目标的权数。

(2)：目标权数的确定

确定权数的方法有：

○1单编码法；

○2环比法；

○3优序图；

○4简单编码法

将目标按重要性依次排序，最次要的目标定为1，然后按自然数顺序由小到大确定权数。此种方法计算简单，但是权数差别小，欠缺合理性。

◇1环比法

将各目标先随机一行，然后按排列顺序将两个目标对比，得出环比比率再连乘，把环比比率换算为以最后一个目标为基数的定基比率，然后进行归一化处理。

◇2优序图

是一个棋盘式表格，对目标的重要性两两对比后在表格上填上数

字。将各行数值加起来，即得各行的合计数，归一化后即得各目标的权数。

◇

3优系数和劣系数的计算 计算优劣系数之前需做标准化工作。标准化的公式为：

1)(99+--=B

A B C X 式中：A 是最好方案目标值；B 是最坏方案目标值；C 是待评价方案目标值。

优系数是一方案优于另一方案所对应的权数之和与全部权数之和的比率。劣系数是通过对比两方案的优极差和劣极差来计算，它等于劣极差除以优极差与劣极差之和。优极差是一方案与另一方案相比，对应的那些目标中优势目标数值相差最大者。劣极差指一方案劣于另一方案的那些目标中数值相差最大者。优系数只反映优的目标的多少，以及这些目标的重要性，而不反映目标优的程度。优系数的最好标准是 1。劣系数只反映目标劣的程度，不反映劣的目标数。 劣系数的最好标准是 0。策时应综合考虑优、劣系数。

2.5.4：模糊决策法

（1）模糊集合

设X 是一个基本集，若对每各x X ∈,都指定一个数[]1,0)(∈X A μ,则定义模糊子集A :

?

?????∈=X x x x A A )(μ )(x A μ称为A 的隶属函数，)(i A x μ称为元素i x 的隶属度。

（2) 隶属函数的确定

模糊统计确定隶属函数的方法：

该方法是先选取一个基本集，然后取其中任一元素i x ，再考虑此

元素属于集合A 的可能性。

（3) 截集

模糊集合的λ截集是指X 中对A 的隶属度不小于λ的一切元素组成的普通集合。对于给定的实数)10(≤≤λλ，定义：

{}λμλ≥=)(x x A A

其中，λA 为A 的λ截集，其中λ叫置信水平。

3.1多目标决策指标的预处理

水利水电工程是一个复杂的社会、 技术、经济系统工程，在决策中要考虑的指标较多。在这些指标中，有的是可以定量的，而有的由于概念模糊，只能定性分析。因此建立起来的评价体系中的指标值，由于量纲不同或无法定量描述并不能直接应用，因此应根据实际情况采取适当的方法，对各决策指标进行量化处理。从而将这些不确定性及模糊因素的影响计入评价模型中，更好地反映客观实际。

3.1.1 指标的归一化处理

评价指标体系中各指标，因度量不一致，具有不可公度性。为了便于比较，必须对各指标值进行一致处理，通过规范化换算统一到[0，1]范围内。由于指标无量纲化方法多种多样，在实际的决策中，指标换算方法应随着评价指标的类型有所不同。水电工程规划方案的决策目标通常分为越大越优、越小越优与中间型三类指标。本文选择直线型无量纲化方法解决指标的统一问题，即极差变换，它的基本思想是

将最好的指标值均规范化为1，将最坏的属性值均规范化为0，其余的均用线性差值法得到其规范化值。计算公式如下：

（1）效益型公式计算：

（2）成本型公式计算：

（3）固定型公式计算：

3.1.2 定性指标的量化

在实际综合决策中，水利水电工程的部分评价指标是定性指标，难以得到定量值，如社会效益、政治影响和生态环境影响等，决策人只能对这些目标给出定性的估计和判断。目前，国内外用于指标量化的方法有很多，常用的量化处理方法主要有以下几种：专家评分法、模糊数学法、等级比重法、二元对比法、集值统计法等。其中基于专家估测的一系列方法用的最多。这种方法的特点是通过各种数学统计方法，充分发挥专家们的才能，依靠专家的经验、知识甚至他们的直觉，对定性问题进行量化评估。由于专家对这些定性指标进行行评分时，同一专家对同一指标在不同时间进行评估可能给出不同的评估结果，同一时间和同一对象，不同的专家得出的评估结果也可能不同，所以有必要对专家估测法进一步加工处理，为此本文引入基于集值统计原理的落影函数法对定性指标进行量化，并加入信任度的处理。集值统计方法较传统算术平均方法优点在于减少了指标评估的随机误

差和模糊程度。

4.1 权重确定方法介绍

4.1.1 权重确定方法的分类

针对指标权重设立的原则，并结合确定权重时初始数据的来源情况，在这里可以把目前关于指标权重的确定方法分为三大类，即：主观赋权法、客观赋权法和组合赋权法。

（1）主观赋权法

主观赋权法是根据决策者对各目标的主观重视程度来进行赋权的方法，其原始数据由专家根据经验主观判断而得到。利用主观赋权法确定权重，反映了决策者的主观意向，与决策者的知识水平、能力、经验等有很大的关系，存在许多的不确定性与随意性，因而使评价结果具有较强的主观性。主观赋权法的优点是专家可以根据实际的决策问题合理地确定各属性权重的排序，不至于出现属性权重与属性实际重要程度相悖的情况。目前常用的方法主要有：层次分析法、专家调查法、环比评分法、二项系数法等。

（2）客观赋权法

客观斌权法是对各个目标依据一定的规体或规则进行自动斌权的一类方法。主要有主成份分析法。均，均方差方法〔即，摘值斌权法‘”。，模糊迭代法〔1 脚等。前三种方法只有在决策方案数目远远大于目标数目时才可能得出合理的权!，而在决策方案数目较少，尤其在决策方案数目少于评价目标数目时，往往会导致负值权!，这与权t 的概念相违背，从而给评价与决策带来困难。客观赋权法主要

是根据原始数据之间的一定规则或规律来确定权重，原始数据来自于评价指标的实际数据，切断了权重系数主观性的来源，使权重具有绝对的客观性。但是这赋权法没有考虑决策者的主观意向，因此确定的权重可能与实际情况相悖。另外，于同一属性集(评价指标体系)下的两个不同决策方案集，即使用同一客权法确定各属性权重，结果都会有差异。目前常用的方法包括：主成分分析法、熵值赋法、均方差法、最大离差法等。

（3）组合赋权法

组合赋权法是在综合主、客观赋权结果的基础上研究出来的复合型赋权方法。该方法将主观赋权法在根据属性本身含义确定权重方面具有优势，以及客观赋权法在不虑属性实际含义的情况下确定权重方面具有优点相结合，既兼顾到决策者对属性的偏好，同时又力图减少赋权的主观随意性，使对属性的赋权达到主观与客观的统一，进而提高了决策结果的可靠性。组合赋权法又可分为线性加权组合法与乘法合成归一化法两类，但它们也不完善，乘法合成归一法仅适用于指标分配较均匀的情况，线性赋权法确定的权数则不一定合理。

4.1.2 确定权重的几种常见方法

先介绍几种最为常见的，也是最传统的方法，即层次分析法、德尔非法、熵权法和模糊聚类分析法等。

（1）层次分析法

层次分析法是对所需要解决的问题, 依据其内容和各因素间的相互关系，将其分解成目标、准则、方案等层次，把复杂的问题条理

化、简单化, 明确要解决的问题。利用数学手段确定每一层各因素相对重要性的权重，再把上一层信息传递到下一层，最后得出各因素相对重要性总排序，根据总排序确定出各因素对目标的影响程度,即权重。这种方法是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，把决策者的思维过程数学化，从而为多目标、多准则特性的复杂决策问题提供简便的决策手段。层次分析法引入到水利水电工程方案评价中，其优点是能在方案评判中将定性的判断与定量的分析相结合，将复杂的水利水电工程中的各影响因素系统进行分解，构成一个条理清晰的分层结构图, 从而使问题容易处理，它符合人类思维特性，能够利用水利领域专家的经验、知识和直觉，通过两两比较的方法，确定各因素之间的关系。

（2）德尔菲法

这个方法就是依据若干专家的知识、经验、信息和价值观，对已确定的评价指标进行分析、判断、权衡并赋予相应权值的一种方法，一般需经过对专家多轮匿名调查，在各位专家意见比较一致的基础上，对专家意见进行数据处理，检验专家意见的集中程度、离散程度和协调程度，达到要求之后，得到各评价指标的权重。

（3）熵值法

熵是统计物理和热力学中的一个概念，由香农(C.E Shannon) 引入信息论，在信息论中它是系统有序度或混乱度的量度，信息熵越大，信息的无序度越高，其信息的效用值越小；反之，信息的效用值越大。熵权，反映了各指标向决策者提供的有用信息量，对于可行方案，依

据不同指标间具体数据的变异程度，根据熵的思想来度量评价指标的信息效用值，从而确定各指标的熵权，现已在工程技术、社会经济等领域得到了更多的应用。

（4）模糊聚类分析法

传统的聚类分析就是就是应用数学手段，特别是借助数理统计中多元分析的工具，对事物进行分类，是一种硬划分。根据“物以类聚”的原理，把待识别的指标被严格地划分到某一类中，隶属度要么是0，要么是1。模糊聚类分析就是将模糊集理论引入聚类分析，依据客观事物间的特征、亲疏程度和相似性，建立模糊相似关系把待识别的指标隶属度连续取值于区间[0，1]，对客观事务进行分类的方法。模糊聚类的优点是考虑到了样本属于各个类的模糊性，得到了对像属于各个类别的不确定性程度，能够对样本的数据集进行分类，具有良好的收敛性。

4.2 权重确定方法的选取

综合分析各种权重确定方法，可见主观赋权法和客观赋权法各有优缺点：德尔菲法和AHP法不需要具备样本数据，仅凭专家凭经验对评价指标内涵出判断，特别适用于定性指标较多的的量化问题。AHP 法与德尔菲法比较，采用了数学处理，并且对各指标之间相对重要程度的分析更具逻辑性，其可信度高于德尔菲法。这两种方法在一定程度上都存在主观性。模糊聚类分析法适用于模糊指标的重要程度分类，特别适用于同一层次有多项指标时，该法的缺点是只能给出指标分类的权重，必须结合其他方法才能得到单项指标的权重。熵

值法比德尔菲法和AHP法有较高的可信度，能客观地反映了指标信息熵值的效用价值，但它需要样本数据，缺乏各指标之间的横向比较。综合以上各种权重方法的优缺点，可见主观赋权法和客观赋权法各有优缺点，为弥补两种方法的缺点，结合水利水电工程自身的特性，本研究将层次分析法与熵权法相结合确定决策指标的权重。

4.3 层次分析法

4.3.1层次分析法的计算步骤：

（1）建立层次模型

层次结构是各元素相互隶属关系和重要程度的测度。根据对水利水电工程的分析，将所有影响因素分系统、分层次构筑成一个层次结构。层次分析一般为三种层次：目标层、准则层和单项指标层(见图2)。根据各个层次及各项指标之间的关系，可构造出层次分析模型。本文建立的水电工程规划方案决策层次模型见图2。

图2：层次分析结构模型

（2）构造判断矩阵

在建立层次模型后，上下层次之间元素的隶属关系即被确定。层次分析法要求决策者对每

一层次各元素的相对重要性做出判断。对同一层次元素之间进行重要性程度的比较，两两比较结果可采用1～9标度法给予合适的标

值，假设A 层次中因素Ai 与下层次中因素Bi （i=1，2，…,n 。）有联系，构造判断矩阵如图3 所示：

图3：判断矩阵

即矩阵 B ：

?????

???????=nn n n n n b b b b b b b b b B 2122221

11211 元素 bij 表示元素i 与元素j 相对于上一层次元素进行比较时，元素i 与元素j 相对重要性的数值表现。见图 4。

图4：模糊评语各标度释义

（3）层次单排序

层次单排序是指在单一判断矩阵的基础上，计算对于上一层次而言，本层次元素之间的相对重要性权重。排序计算实质上是计算判断矩阵的最大特征根及相应的特征向量，即对判断矩阵 B 计算BW =

λmax W 的特征根和特征向量。这里λmax 为 B 的最大特征根，W 为对应于λmax 规范化特征向量，W 的分量W i 是对应单元单排序的权值。

（4）一致性检验

如果判断矩阵 c 满足，c c c kj ik ij = (n 为判断矩阵的阶数)，则称

C 具有完全一致性.但是由于客观系统的复杂性和人们认识的局限性，要求每一个判断矩阵都具有完全一致性显然是不现实的。尤其是对多因素、多层次的复杂系统更是如此.为验证判断矩阵的一致性，计算一致性指标CI (Consistent Index)：

1max --=n n

CI λ

当CI =0 时，判断矩阵具有完全一致性；反之，CI 愈大则判断矩阵的一致性愈差。实际计算中，平均随机一致性比率 CR = CI / RI ≤ 0.1则判定判断矩阵满足一致性检验；否则，当CR =CI / RI>0.1时，就需要调整初步建立的判断矩阵，直到满足一致性检验为止。其中RI(Random Index)称作平均随机一致性指标，其与阶数 n 的函数关系如图5所示。

图5：平均随机一致性指标RI

(5) 层次总排序

计算同一层次所有因素对于最高层相对重要性排序权值称为总排序，该过程是从最高层到最底层逐层进行的，假设若上一层 A 包含有 m 个因素，A 1，A 2，…，A m 。其层次总排序分别为a 1,a 2,…a m ,