2017年上海高三一模汇编——解析几何

2017年高三一模汇编——解析几何

【题型一】直线与圆

1、（2017浦东一模6）已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =

【参考答案】±

2、（2017杨浦一模9）已知直线l 经过点()

且方向向量为()2,1-，则原点O 到直线l 的距离为 。 【参考答案】1

3、（2017普陀一模8）已知圆222:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直线与圆C 相切，则k 的取值范围是 【参考答案】2k <-或0k >

4、（2017青浦一模10）已知点A 是圆22:4O x y +=上的一个定点，点B 是圆O 上的一个动点，若满足||||AO BO AO BO +=-，则AO AB ?= 【参考答案】4

5、（2017宝山一模9）方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是__________（结果化为普通方程）。 【参考答案】2

x y =

6、（2017崇明一模12） 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若

()||f AP AB λλ=-()R λ∈的最小值为m ，

当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为4

3

，则线段AB 长度为

【参考答案】3

7、（2017闵行一模16）曲线1:sin C y x =，曲线22221

:()2

C x y r r ++-=（0r >），它们交点

的个数（ ）

A. 恒为偶数

B. 恒为奇数

C. 不超过2017

D. 可超过2017 【参考答案】D

8、（2017虹口一模15） 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ?的值（ ）

A. 只与圆C 的半径有关

B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关

C. 只与弦AB 的长度有关

D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值

【参考答案】 C

【题型二】椭圆、双曲线、抛物线的方程、图像与性质

9、（2017宝山一模4）椭圆5cos 4sin x y θ

θ=??=?

（θ为参数）的焦距为

【参考答案】 6

10、（2017虹口一模9）一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平

面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于

【参考答案】

11、（2017宝山一模6）点)0,1(到双曲线14

22

=-y x 到渐近线的距离是___________

【参考答案】

55

12、（2017普陀一模5） 设k R ∈，22

12

y x k k -

=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是

【参考答案】)+∞

13、（2017杨浦一模10）若双曲线的一条渐近线为20x y +=，且双曲线与抛物线2y x =的准线仅有一个公共点，则此双曲线的标准方程为 。 【参考答案】221641y x -=

14、（2017青浦一模4）等轴双曲线222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于A 、B 两点，且

||AB =，则该双曲线的实轴长等于

【参考答案】4

15、（2017虹口一模7） 若双曲线2

2

21y x b

-=的一个焦点到其渐近线距离为线焦距等于

【参考答案】6

16、（2017浦东一模9） 过双曲线22

2:14

x y C a -

=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为

【参考答案】8

17、（2017崇明一模4）抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为 【参考答案】

34

18、（2017徐汇一模2）已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为

【参考答案】

92

19、（2017虹口一模11）点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于 【参考答案】22或42

20、（2017奉贤一模6） 若抛物线2

2y px =的焦点与椭圆2

215

x y +=的右焦点重合，则p =

【参考答案】4p =

21、 （2017崇明一模15）如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）

A.

221255x y += B. 22

13010x y += C.

2213616x y += D. 22

14525

x y += 【参考答案】C

22、 （2017奉贤一模13）对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

【参考答案】 C

23、（2017静安+闸北一模14） 已知椭圆1C ，抛物线2C 焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 顶

点均为原点O ，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则1C 的左焦点到2C 的准线之间的距离为（ ）

A.

1 B. 1 C. 1 D. 2

【参考答案】B

【题型三】其他曲线

24、 （2017松江一模10）设(,)P x y 是曲线1C =上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF +的最大值为 【参考答案】10

25、（2017杨浦一模11）平面直角坐标系中，给出点()1,0A ，()40B ，，若直线10x my +-=上存在点P ，使得2PA PB =，则实数m 的取值范围是 。

【参考答案】(,[3,)-∞+∞

26、（2017杨浦一模16）若直线1x y a b

+=过点()cos ,sin P θθ，则下列不等式正确的是（ ）

A 、221a b +≤

B 、221a b +≥

C 、22111a b +≤

D 、2211

1a b

+≥

【参考答案】D

27、（2017宝山一模12）曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数

()20k k >的点轨迹。给出下列四个结论：①曲线C 过点()1,1-；②曲线C 关于点()1,1-成中心对

称；③若点P 在曲线C 上，点,A B 分别在直线12,l l 上，则PA PB +不小于2k ；④设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-、点（-1,1）及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，

则四边形0123P PP P 的面积为定值2

4k 。其中，所有正确结论的序号是__________

【参考答案】 ②③④

28、（2017闵行一模10）已知x 、y 满足曲线方程221

2x y

+=，则22x y +的 取值范围是

【参考答案】1

[,)2

+∞

【题型四】解析几何解答题

29 （2017松江一模20）已知双曲线2222:1x y C a b

-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60?

，

直线l 交双曲线于A 、B 两点； （1）求双曲线C 的方程；

（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ?为定值；

（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ?=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；

【参考答案】（1）2

2

13

y x -=；（2）3；（3）(1,0)-；

30、（2017杨浦一模19）（本题满分14分）本题共2小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分

如图所示，椭圆14

:22

=+y x C ，左右焦点分别记作21F F 、，过21F F 、分别作直线21l l 、交椭圆于

CD AB 、，且21//l l .

（1）当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时，求证：21k k ?为定值； （2）求四边形ABCD 面积的最大值.

【参考答案】（1）1

4

-；（2）4；

31、（2017静安+闸北一模17）设双曲线22

:123

x y C -=，1F 、2F 为其左右两个焦点； （1）设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求1OM F M ?的取值范围； （2）若动点P 与双曲线C 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值 为1

9

-，求动点P 的轨迹方程；

【参考答案】（1

）[2)++∞；（2）22

194

x y +

=；

32 （2017浦东一模19）已知椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条

直线交椭圆于P 、Q 两点，若△12PF F 的周长为4+； （1）求椭圆C 的方程；

（2）若12||||F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程；

【参考答案】.（1）22

184

x y +=；（2）2)y x =-；

33. （2017普陀一模18）已知椭圆22

22:1x y a b

Γ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、

2F ，P 是椭圆上位于第一象限内的点，

PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12arccos 9

PF F ∠=

12PF F ?的面积为

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值， 并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；

【参考答案】（1）22

1123

x y +

=；（2）(M -，max ||2MQ =+ .

34、 （2017青浦一模20）如图，已知曲线12:1x C y x =

+（0x >）及曲线21

:3C y x

=（0x >），1C 上的点1P 的

横坐标为1a （11

02

a <<

），从1C 上的点n P （*n N ∈）作直线平行于x 轴，交曲线2C 于n Q 点，再从2C 上的点n Q （*n N ∈）作直线平行于y 轴，交曲线1C 于1n P +点，点n P

（1,2,3,n =???）的横坐标构成数列{}n a ；

（1）求曲线1C 和曲线2C 的交点坐标； （2）试求1n a +与n a 之间的关系；

（3）证明：2121

2

n n a a -<

； 【参考答案】（1）12

(,)23

；（2）116n n n a a a ++=；（3）略；

35、（2017宝山一模19） 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是)0,1(-，长轴长是短轴长的2倍，直线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且B 、A 都在x 轴上方，满足

?=∠+∠180OFB OFA

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标，若不存在，请说明理由。

【参考答案】()()()0,2-212

122

、

、=+y x

36、（2017闵行一模20）如图，椭圆2

2

14

y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B

为顶点，焦距为P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的

中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点；

（1）求双曲线Γ的方程；

（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围； （3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线

OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程， 若不存在，请说明理由；

【参考答案】（1）22

14y x -=；（2）(0,1)；（3）12

x =；

38、（2017奉贤一模20） 过双曲线2

2

14

y x -=的右支上的一点P 作一直线l 与两渐近线交于A 、B 两点，其中P 是AB 的中点； （1）求双曲线的渐近线方程；

（2）当P 坐标为0(,2)x 时，求直线l 的方程； （3）求证：||||OA OB ?是一个定值；

【参考答案】.（1）2y x =±；（2）2)P ，2y =-；（3）5；

39、（2017虹口一模20） 椭圆22

22:1x y C a b

+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，

过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；

（1）求椭圆C 的方程；

（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出

12k k ?的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；

【参考答案】（1）22143x y +=；（2）12

；（3）2；

40、（2017崇明一模19） 已知点1F 、2F 为双曲线2

2

2:1y C x b

-=(0)b >的左、右焦点，过2

F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ?∠=；

（1）求双曲线C 的方程；

（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求

12PP PP ?的值；

【参考答案】（1）22

12y x -=；（2）2

9

；

41、（2017宝山一模18）已知椭圆C 的长轴长为，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；

（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||AB = 试求直线l 的倾斜角；

【参考答案】（1）22162x y +=；（2）4

π或34π

；

42、（2017徐汇一模20） 如图，双曲线2

2:13

x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交

y 轴于点Q ；

（1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；

（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ?=？，若存在， 求点P 的坐标，若不存在，说明理由；

（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++= （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；

【参考答案】（1）2；（2）不存在；（3）2x =+；

43、 （2017青浦一模19）如图，1F 、2F 分别是椭圆22

22:1x y C a b

+=（0a b >>）的左、右焦

点，且焦距为AB 平行于x 轴，且11||||4F A F B +=； （1）求椭圆C 的方程；

（2）若点P 是椭圆C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、

N ，若2MF 、2NF 的斜率分别为1k 、2k ，求证：12k k ?是定值；

【参考答案】（1）22

142

x y +

=；（2）121k k =；