黎曼假设

2000年5月24日，美国克雷(Clay)数学研究所公布了7个千禧数学问题。每个问题的奖金均为100万美元。其中黎曼假设被公认为目前数学中(而不仅仅是这7个)最重要的猜想。黎曼假设并非第一次在社会上征寻解答，早在1900年的巴黎国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设(还包括孪生素数猜测和哥德巴赫猜想)。
具体概述关于黎曼-希尔伯特问题是：具有给定单值群的线性微分方程的存在性证明。即：关于素数的方程的所有有意义的解都在一条直线上。
内容
方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。
有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。
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理论形成

来源
几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明、（读者可以参看拙著：《数学和数学家的故事》第一集里这个证明。）
1730年，欧拉在研究调和级数：
Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(1)
时，发现：
Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)......=Π(1-1/p)^-1。(2)
其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确：
Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3)
证明了上式，即证明了黎曼猜想。
为什么：
π1/(1-1/P)={1/(1-1/2)}×{1/(1-1/3)}×{1/(1-1/5)}×.......=Σ1/n=1+1/2+1/3+1/4+,,,,。(4)
因为：
1/(1-r)=1+r+r^2+r^3+r^4+......。（5）
所以：
1/(1-1/2)=1+1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+......
1/(1-1/3)=1+1/3+(1/3)^2+(1/3)^3+(1/3)^4+......
1/(1-1/5)=1+1/5+(1/5)^2+(1/5)^3+(1/5)^4+.......
.......................................
右端所有第一项的“1”相乘得到：“1”；
右端第一行1/2与其它行第一项的“1”相乘得到“1/2";
...................
把所有加起来就是：1+1/2+1/3+1/4+........
在证明素数

定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数
的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。
黎曼ζ 函数
黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。
这猜想提出已有一百多年了，许多有名的数学家曾尝试去证明，就像喜欢爬山的人希望能爬上珠穆朗玛峰一样——因为它的顶峰非常困难到达，目前已有人登上这世界高峰，可是却没有人能证明这猜想！那么这个让上帝如此吝啬的黎曼猜想究竟是一个什么样的猜想呢？在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数：黎曼ζ 函数。这个函数虽然挂着黎曼的大名，其实并不是黎曼首先提出的。但黎曼虽然不是这一函数的提出者，他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解，为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。后人为了纪念黎曼的卓越贡献，就用他的名字命名了这一函数。
那么究竟什么是黎曼ζ 函数呢？黎曼ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数)
ζ(s) = ∑n n^-s (Re(s) > 1)
在复平面上的解析延拓。之所以要对这一表达式进行解析延拓，是因为 - 如我们已经注明的 - 这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。黎曼找到了这一表达式的解析延拓 (当然黎曼没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。运用路径积分，解析延拓后的黎曼ζ 函数可以表示为：
这里我们采用的是历史文献中的记号，式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发，沿实轴上方积分至原点附近，环绕原点积分至实轴下方，再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分；式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广，对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。可以证明，这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。这就是黎曼ζ 函数的完整定义。
运用上面的积分表达式可以证明，黎曼ζ 函数满足以下代数关系式：
ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)
从这个关系式中不难发现，黎曼ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零[注三]。复平面上的这种使黎曼ζ 函数

取值为零的点被称为黎曼ζ 函数的零点。因此 s=-2n (n 为正整数) 是黎曼ζ 函数的零点。这些零
点分布有序、性质简单，被称为黎曼ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。除了这些平凡零点外，黎曼ζ 函数还有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂，被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。对黎曼ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。我们所要讨论的黎曼猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想，在这里我们先把它的内容表述一下，然后再叙述它的来笼去脉：
黎曼猜想
黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。
在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。
这就是黎曼猜想的内容，它是黎曼在 1859 年提出的。从其表述上看，黎曼猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，但我们很快将会看到，它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。
素数分布
公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：
（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。（沈康身《自然杂志》1991年11期）。後来人们
（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N”。（《基础数论》13页，U杜德利著，上海科技出版社）。.
（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。
（四）上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：
N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。(6)

其中 p1，p2，.....，pk表示顺序素数2，3，5，,,,,。a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，pkm+0形。若N<P（k+1）的平方 [注：后面的1，2，3，....，k，（k+1）是脚标，由于打印不出来，凡字母后面的数字或者i与k都是脚标] ，则N是一个素数。
（五）可以把（6）等价转换成为用同余式组表示：
N≡a1(modp1)， N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。 (7)

例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(mod2)，29≡2(mod3)， 29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。
以后

平方用“*”表示，即：㎡=m*。
由于（7）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（7）在p1p2.....pk范围内有唯
一解。
例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。
k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19； N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。
k=3时,
---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|
---------------------|---------|----------|--------|---------|
n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----|
n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|
------------------------------------------------------------
求得了（7，7*）区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。
有人发现埃拉托塞尼筛法的公式【即(6)(7）式】反过来可以推出黎曼猜想的猜想。因为（1）式要求S是复数，（6）（7）式要求n<P(k+1）的平方。只要把两个式子连接起来，就可以研究。现在还没有找到这个纽带，但是已经有共同的内容联系起来：
以下内容可以参见任何一本有关黎曼猜想的书籍，下面内容摘自《素数之恋》第100页。
黎曼猜想的基本来源是埃拉托塞尼筛法。埃氏筛大家都熟悉，我们就省略了，下面是某个大于1的*函数。（原文章用s，由于s不好表示右上标，所有这里我们用“*”表示）
ζ（*）=1+1/2*+1/3*+1/4*+1/5*+1/6*+.....。（8）
（注意，这里“*”表示右上角标）。
在等号两边乘以1/2*由幂运算规则得到：
1/2* ζ(*)=1/2*+1/4*+1/6*+1/8*+1/10*+1/12*+.....。（9）
我们从第（8）式子减去第二个式子，在左边我有一个ζ（*），又有它的1/2*,做减法得：
（1-1/2*)ζ(*)=1+1/3*+1/5*+1/7*+1/9*+1/11*+1/13*+1/15*+....。（10）
这个减法从那个无穷和中去掉了所有偶数项。
现在我们在等号两边乘以1/3*,而3是右边第一个还没有去掉的数：
1/3*(1-1/2*)ζ(*)=1/3*+1/9*+1/15*+1/21*+1/27*+1/33*+1/39*+....。（11）
我们再做减法得：
（1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1+1/5*+1/7*+1/11*+1/13*+1/17*+1/19*+1/23*+....。（12）
3的所有倍数都从那个无穷和中消失了，右边还有第一个没有被去掉的数是5，如果我们两边都乘以1/5*,结果是：
1/5*(1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1/5*+1/25*+1/35*+1/55*+1/65*+1/85*+1/95*+1/115*+...。（13）
现在从前面那个式子减去这个等式得：
（1-/5*)(1-1/3*)(1-1/2*)ζ(*)=1+1/7*+1/11*+1/13*+1/17*+1/19*+1/23*+...。（14）
我们继续下去，对于大于1的任意*，左边对每一个带括号的表达式，并向右边一直继续下去，对这个式子的两边都依次逐个除以这些括号

，我们得到：
ζ（*）=[1/(1-1/2*)]×[1/(1-1/3*)]×[1/(1-1/5*)]×[1/(1-1/7*)]×[1/(1-1/11*)]×
....。（15）
即：
（8）式=（15）式
这就是重复埃拉托塞尼筛法的过程。
由
于黎曼猜想与（6）（7）式都是来自埃拉托塞尼筛法，有共同的来源，所有我们有理由相信，解决黎曼问题可以利用（6)(7)式，只是我们现在还差一个环节。（王晓明）
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证明成果

哈代证明（哈代斗上帝）
英国著名的数学家哈代（G．H．Hardy 1877—1947）是华罗庚在英国剑桥大学学习数论时的指导教授。
英国自从出现牛顿以后，一向来数学工作者是注重应用数学，它的数学家不像欧陆的德国和法国在纯粹数学上有大的贡献和新的发现，至到19世纪末出了哈代之后，哈代以他在纯数学的工作使英国闻名于世。
哈代先后在牛津和剑桥大学教书，他为了研究数学从来不想到成家，而是由妹妹照顾他。他个性是有些怪，在那宗教势力浓厚的学府里敢公然说：“上帝是我的敌人。”他从不踏进教堂，也不参予有宗教色彩仪式的会议。
哈代是一个“板球（Cricket）迷”，每年夏天要等到板球季节过了，才会跑到欧陆度假，拜访他的几个好朋友与他们一起讨论研究数学。
每次到丹麦就会见他的好朋友波尔（Harald Bohr），他们坐下来，先在一张纸上写上先要解决和讨论的一些议程，然后讨论一个小时后才一起出去散步。每一次见面时哈代在议程的第一条往往写上：“证明黎曼假设！”
可是这个提议却一直没法子解决，一直到夏假结束他必须回去英国教书才作罢。第二年的夏天他回来丹麦又像前一年那样，两人每天把解决黎曼假设摆在议程的最前面，但是每次都不能解决。
有一年的夏末，哈代要乘船渡北海回英国，那天浪涛汹涌天气很恶劣，而船又很小，因此他在船开之前就写了一张明信片寄给波尔，在上面简单的写下这几个字：“我已经证明了黎曼假设。哈代。”
他是否真的证明了，要把这个好消息告诉他的好友呢？原来这明信片是有用意的：万一这船沉下去，哈地溺死了，世人就会认为哈地真的解决这个世界上的数学难题，而为这个解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人，一定不会让哈代享有解决这个著名难题的声誉，因此本来这船该沉下去，它也设法不让它沉，于是哈地可以平安回到英国。这样这个明信片就是他的救命护身符了。
你看了或许会笑，以为我们的哈代教授是这样幼稚可笑的人物，是的，有一些数学家他们想法和做事的天真幼稚就像

6岁的儿童。可是他们研究的东西却深入和奥妙，不是普通人所能了解的。哈代逝世距现在已四十多年，但是他遗留下来的工作，许多是那么的艰深和难于明白，普通大学数学系毕业生也不是很容易就能领会。
近年研究成果

荷兰三位数学家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用电子计算机来检验黎曼的假设，他们对最初的二亿个齐打函数的零点检验，证明黎曼的假设是对的，他们在1981年宣布他们的结果，目前他们还继续用电子计算机检验底下的一些零点。
1982年11月苏联数学家马帝叶雪维奇在苏联杂志《Kibernetika》宣布，他利用电脑检验一个与黎曼猜想有关的数学问题，可以证明该问题是正确的，从而反过来可以支持黎曼的猜想很可能是正确的。
1975年美国麻省理工学院的莱文森在他患癌症去世前证明了No（T）＞0.3474N（T）。
1980年中国数学家楼世拓、姚琦对莱文森的工作有一点改进，他们证明了No（T）＞0.35N（T）。

黎曼猜想
这是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，而其他猜想均已证明。这个猜想是指黎曼函数：

的非平凡零点都在的直线上。
在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。多项式的零点也就是代数方程 =0的根。根据代数基本定理，n次代数方程有n个根，它们可以是实根也可以是复根。因此，多项式函数有两种表示方法，即

当s为大于1的实数时，为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式：

但是，这样的用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s就包含非常多的信息。正如多项式的情形一样，函数的信息大部分包含在其零点的信息当中，因此，的零点就成为大家关心的头等大事。有两类零点，一类是s=-2，-4，…-2n，…时的实零点，称为平凡零点；一类是复零点。黎曼猜想就是讲，这些复零点的实部都是，也就是所有复零点都在这条直线（后称为临界线）上。
这个看起来简单的问题并不容易。从历史上看，求多项式的的零点特别是求代数方程的复根都不是简单的问题。一个特殊函数的零点也不太容易找到。在85年前，哈代首先证明这条临界线上有无穷多个零点。10年前我们知道有2/5的复零点都在这条线上，而且这条线外至今也没有发现复零点，因此，黎曼猜想是对是错还在未定之中。
这个简单的特殊函数在数学上有重大意义，正因为如此，黎曼猜想总是被当成数一数二的重要猜想。在这个猜想上稍有突破，就有不少重大

成果。200年前高斯提出的素数定理就是在100年前由于黎曼猜想的一个重大突破而证明的。当时只是证明复零点都在临界线附近，如果黎曼猜想被完全证明，整个解析数论将取得全面进展。
更重要的是，在代数数论、代数几何、微分几何、动力系统理论等学科中都
引入各种函数和它们的推广L函数，它们各有相应的“黎曼猜想”，其中有的黎曼猜想已经得到证明，使得该分支获得突破性的进展。可以设想，黎曼猜想及其各种推广是21世纪的中心的问题之一。