认识三角形-能力培优训练(含答案)
1.1认识三角形
专题一与三角形有关的规律探究题
1.观察图中的一组图形，根据它的变化规律填空，第一个图中有个三角形，第二个
图中有个三角形，第三个图中有个三角形，如此下去，第五个图形时，有个三角形；第十个图形时，有个三角形.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕
点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3；……按此规律继续旋转，直至得到点P2012为止，则AP2012等于（）
A．2011＋6713B．2012＋6713C．2013＋6713D．2014＋6713
专题二火柴棒搭建三角形问题
3. 如图，12根火柴棒组成的图形，图中有六个三角形，你能拿掉其中的3根，使图中只有
3个三角形吗？请出画示意图.
B
C A
③
①②
P1 P2 l
P3 …
4. 我们知道，三根火柴能搭1个三角形，5根火柴能搭成一个三角形吗？可以搭几种三角
形？12根火柴呢？
专题题三利用角平分线探究规律
5. 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点Ｄ．
⑴若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数．
⑵由第（１）小题的计算，发现∠A和∠D有什么关系？它们是不是一定有这种关系？请
给出说明．
课时笔记
【知识要点】
1. 三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
2. 三角形的表示法
三角形用“△”表示，如顶点是A，B，C的三角形，记做：△ABC.
3. 三角形的基本要素
∠A，∠B，∠C是在三角形的内部，由相邻两边组成的角，称为三角形的内角，简称三角形的角；线段AB，AC和BC是三角形的三条边.可用小写字分别表示为c，b，a.
4. 三角形按内角的大小分类
5. 三角形的三边关系：三角形任何两边的和大于第三边；三角形任何两边的差小于第三边.
6. 三角形中的线段
（1）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
（2）连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线.
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线.
【温馨提示】
1. 三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据；利用三角形的三边之间的关
系，可以确定第三边的取值范围.
2. 三角形的每一条中线能够平分三角形的面积．
3. 三角形的角平线是一条线段，而角的平分线是一条射线.
【方法技巧】
1. 判断三条线段能否组成三角形：只需找出最长线段，与其他两条线段之和比较.当最长
线段大于其他两条线段的和时，不能组成三角形；当最长线段比其他两线段的和小时，能组成三角形.
2. 已知三角形中的两边长a ，b ，求第三边长c 的范围为||a b x a b -<<+.
3. 在运用三角形的角平分线求角度时，既要运用其定义，同时也要注意与三角形的角度有
关的其他知识相结合．
参考答案
1. 1；5；9；13；17；37 【解析】 第一个图中有1个三角形；第二个图中有4+1=5个三
角形；第三个图中有4+4+1=1+2×4=9个三角形；第四个图中有4+4+4+1=1+3×4=13；第五个图形时，有1+4×4=17个三角形；第十个图形时，有1+4×9=37个三角形.
2. B 【解析】 根据题意，△ABC 每旋转3次，在直线l 终点到A 的距离就增加3＋3，因为2012÷3＝670……2，所以AP 2012＝670（3＋3）＋2＋3＝2012＋6713．故选B ．
3. 解：我能拿掉其中的3根，使图中只有3个三角形.如图：
4. 解：5根火柴能搭成一个三角形，可以搭一种三角形，它的三边的火柴根数分别是2,2,1.
12根火柴能搭成三角形的三边的火柴根数分别是2,5,5；3,4,5；4,4,4.
5. 解： ⑴∵∠ABC ＝60°，∠ACB ＝40°，∴∠A ＝80°．
∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，
∴∠DBC＝30°．
又∵∠ACB＝40°，
∴∠ACE＝140°．
又∵CD是∠ACE的平分线，
∴∠DCE＝70°．
∴∠D＝40°
⑵∠A=2∠D．理由如下：
∵∠A＝180°－∠ABC－∠ACB，∠ACE=180°－∠ACB，
又∵∠DEC=∠DBC＋∠D=1
2
∠ABC＋∠D，
∠DEC=1
2
∠ACE=
1
2
（180°－∠ACB）=90°－
1
2
∠ACB．
∴1
2
∠ABC＋∠D=90°－
1
2
∠ACB．
即1
2
∠ABC＋∠D=90°－
1
2
∠ACB，∠D =
1
2
(180°－∠ABC－∠ACB)=
1
2
∠A．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
认识三角形教材分析
《认识三角形》教材分析 一、教材内容 本节课的教学内容是苏教版义务教育教科书四年级数学下册教科书第75、76页的例1、例2及其“试一试”、“练一练”练习题。 二、教材编排体系和知识之间的联系 （一）教材在小学阶段的位置 在小学数学新课标中，小学阶段几何与图形的学习分为两个学段（第一学段：1~3年级，第二学段4~6年级），本课教学内容处在第二学段。在此之前，学生在第一学段已经对“三角形”有了直观的认识，学生能辨认三角形，会用三角形拼图，还学习了角的认识和分类及垂线的认识。本节课的内容是了解三角形的基本特征，初步形成三角形的概念，是小学阶段几何与图形部分十分重要的基础知识之一，它为后面要学习的“三角形的三边关系、三角形的内角和、三角形的分类、三角形的面积计算”以及其它多边形的特征、多边形的面积计算等起到关键性的作用。即：为后面进一步学习三角形的相关知识打下基础，同时也积累认识图形的一些活动经验。此内容的编排位置特点，注重知识的层次性，由易到难的阶梯式呈现，起到了承上启下的作用。 （二）教材在不同版本的对比分析 本课教学内容是苏教版教材，与相同内容的人教版教材的比较后发现，它们有以下共同点： 1．情境图都是生活中的现实情景，体现数学来源于生活的理念，使学生感受到数学的价值和趣味。 2．教学内容体现了数学教学从学生已有的知识经验出发，使学生体验由具体情景中抽象出图形特征的过程，从中积累认识图形的基本活动经验，发展空间观念。 3．例题中安排的“画、量”等活动都体现教学中注重引导学生动手操作，观察分析概括。从中培养学生动手操作、认真观察、抽象概括的能力。 三、教材重、难点分析 1．教材重点 教学三角形的认识，是在学生直观认识三角形、垂线等基础上教学的，主要通过观察、操作、比较、想像等具体活动，帮助学生进一步认识三角形的基本特征及三角形的底和高的含义，学会画三角形的高。因此在教学例1时要重点引导学生找和说生活中常
认识三角形最新版(培优)
第16讲认识三角形 考点·方法·破译 1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题. 6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法. 经典·考题·赏析 【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12， 【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c 为边的三角形，共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是(). A．1B．2C．3D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底 边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818 2 ＝20，则三边 为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm. 【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是() A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是() A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________.
三角形认识培优
1、下列条件：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=2：3：4，③∠A=90°-∠B，④∠A=∠B= 1 2 ∠C；其中能判断△ABC是直角三角形的有（）个 A、1 B、2 C、3 D、4 2、如图，在△ABC中，CD⊥BC于点C，点D在AB的延长线上，则CD是△ABC的（） A、BC边上的高 B、AB边上的高 C、AC边上的高 D、以上都不对 3、已知不等腰三角形的两边长分别是2cm和9cm，如果第三边长是整数，那 么第三边长为（）cm A、8 B、10 C、8或10 D、8或9或10 4、下列说法中正确的是（） ①三角形三条中线都在三角形内部，②三角形三条角平分线都在三角形内部，③三角形三条高都在三角形内部； A、①②③ B、①② C、②③ D、①③ 5、如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点， 且S△BEF=4cm2，则△AEC的面积是（）cm2 A、 B、 C、4 D、5 6、以下列长度的线段为边，能构成三角形的是（） A、3，6,9 B、3,5,9， C、2,6,4 D、4,6,9 7、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=12：7：5，则△ABC是（） A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、等腰三角形 8、如图，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（） A、∠A =∠1+∠2； B、∠A =1 2 (∠1+∠2)；C、∠A = 1 3 (∠1+∠2)；D、∠A = 1 4 (∠1+∠2) 9、如图，△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角分别记为α，β和γ，若α：β：γ=3：4：5，则∠A：∠B：∠C=（） A、3：2：1； B、1：2：3； C、3：4：5； D、5：4：3 10、如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB领补角的平分线， 若∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（） A、 70° B、80° C、90° D、100° 11、如图，若直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（） A、30° B、35° C、36° D、40° 12、如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线相较于点D，连接AD，则下列结论不正确的是（） A、∠ACE=70° B、∠ACE= 90° C、∠ACE=35° D、∠ACE=55° 13、如图，已知△ABC中，∠A =∠ACB，CP平分∠ACB，BD、CD分别为△ABC的外角 平分线，给出以下结论：①CP⊥CD；②∠D=90°- 1 2 ∠A；③PD∥AC，其中正确结论的 个数是（）个 A、0 B、1 C、2 D、3 14、如图，∠ABC=31°，又∠BAC的平分线AE与∠FCB的平分线CE 相交于E点，则∠AEC的度数为（）
认识三角形能力培优训练
认识三角形 专题一与三角形有关的规律探究题 1.观察图中的一组图形，根据它的变化规律填空，第一个图中有个三角形，第二个 图中有个三角形，第三个图中有个三角形，如此下去，第五个图形时，有个三角形；第十个图形时，有个三角形. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕 点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3；……按此规律继续旋转，直至得到点P2012为止，则AP2012等于（） A．2011＋6713B．2012＋6713C．2013＋6713D．2014＋6713 专题二火柴棒搭建三角形问题 3. 如图，12根火柴棒组成的图形，图中有六个三角形，你能拿掉其中的3根，使图中只有 3个三角形吗请出画示意图. B C ③ ①② 12 l 3…
4. 我们知道，三根火柴能搭1个三角形，5根火柴能搭成一个三角形吗可以搭几种三角形 12根火柴呢 专题题三利用角平分线探究规律 5. 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点Ｄ． ⑴若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数． ⑵由第（１）小题的计算，发现∠A和∠D有什么关系它们是不是一定有这种关系请给出 说明．
课时笔记 【知识要点】 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 三角形的表示法 三角形用“△”表示，如顶点是A，B，C的三角形，记做：△ABC. 3. 三角形的基本要素 ∠A，∠B，∠C是在三角形的内部，由相邻两边组成的角，称为三角形的内角，简称三角形的角；线段AB，AC和BC是三角形的三条边.可用小写字分别表示为c，b，a. 4. 三角形按内角的大小分类 5. 三角形的三边关系：三角形任何两边的和大于第三边；三角形任何两边的差小于第三边. 6. 三角形中的线段 （1）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （2）连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. （3）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. 【温馨提示】 1. 三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据；利用三角形的三边之间的关 系，可以确定第三边的取值范围. 2. 三角形的每一条中线能够平分三角形的面积． 3. 三角形的角平线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 【方法技巧】
初一认识三角形同步讲义
第09讲认识三角形 变量相关的定义 1、变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 2、自变量和因变量。 （1）在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，另一个变 量也有唯一一个数值与其对应，通常把前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做因变量。 （2）自变量和因变量的区别和联系。联系：两者都是某一变化过程中的变量，两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，比如当路程一定时，时间随速度的变化而变化，这时速 度为自变量，时间为因变量。而当速度一定时，路程随时间的变化而变化，这时时间为自变量，路程为因变量。 区别：因变量随自变量的变化为变化。 3、常量：在变化过程中数值始终不变的量。 生活中还有哪些三角形形状的物体呢，简单举例
知识要 点 一 记作△ ABC ，三个字母之间并无顺序关系。△ABC 的三边，有时也用,,a b c 来表示。如图，顶点A 、B 、C 所对的边分别是BC 、AC 、AB ，分别用,,a b c 来表示。 典例分析 例1、如图，图中以AB 为边的三角形的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 例2、下列说法中正确的是（ ） A ．三角形的内角中至少有两个锐角 B ．三角形的内角中至少有两个钝角 C ．三角形的内角中至少有一个直角 D ．三角形的内角中至少有一个钝角 例3、已知：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，∠A ＝∠ABD ，则∠A ＝______ 例4、△ABC 中，若∠A ＋∠C ＝2∠B ，则∠B ＝______． 例5、△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为____ __
相似三角形培优专题讲义
相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
人教版八年级培优课堂讲义 第01讲 认识三角形(无答案)
第01讲认识三角形 考点·方法·破译 1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题. 6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法. 经典·考题·赏析 【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12， 【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是(). A．1B．2C．3D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则 三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818 2 ＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于 第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm. 【变式题组】
认识三角形(基础)知识讲解
认识三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并能够证明三角形内角和定理； 3. 掌握并会把三角形按角分类； 4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系； 5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，掌握它们的画法；并能正确应用概念解题． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. （3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 要点二、三角形的内角和 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 要点三、三角形的分类 【高清课堂：与三角形有关的线段 三角形的分类】 1.按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
最新七年级下北师大版认识三角形三角形的中线角平分线高线培优试题
认识三角形（一） 一．边的大小关系，范围讨论 例1 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm ） （1） 1， 3， 3 （ ）（2） 3， 4， 7 （ ）（3） 5， 9， 13 （4） 14， 15， 30 （ ） 例2已知一个三角形的两边长分别是3cm 和4cm ，则第三边长X 的取值范围是 ；若X 是奇数，则X 的值是 ，这样的三角形有 个；若X 是偶数，则X 的值 是 ；这样的三角形又有 个。 例3一个等腰三角形的一边是5cm ，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是多少 例4如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多 5cm ，AB 与AC 的和为11cm ，求AC 的长． 过手变式练习： 1 有一个三角形的两边分别为5和12，且周长为奇数，则满足条件的三角形的个数为__________ 2 已知一个三角形有两边相等，周长为56cm ，两边之比为3：2，则这个三角形各边的长为_______ 4 若a ，b ，c 是△ABC 的三边，试化简=+-+-++--c b a c b a c b a __________________ 5 已知在△ABC 中，0106162 22=++--bc ab c b a ，若a ，b ，c 是三角形的三边，求证b c a 2=+ 二．角的关系 例1 AD 是△ABC 的一条高，也是△ABC 的角平分线，若∠B =40°,求∠BAC 的度数. 例2如图，△ABC 中，∠ B ＝34°，∠ACB＝104°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠ BAC 的平分线，求∠ DAE 的度数． B C D E 例3（1）如图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = （ ） A.180° B.260° C.270° D.360°
专题7.4认识三角形-2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典(原卷版)【苏科版】
2020-2021 学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】 专题7.4认识三角形 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间40分钟，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020?徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm 2．（2020春?盐城期末）如图，在△ABC中，AC边上的高是（） A．BE B．AD C．CF D．AF 3．（2020春?常州期末）用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（）A．2cm，2cm，4cm B．3cm，4cm，5cm C．1cm，2cm，3cm D．2cm，3cm，6cm 4．（2020春?溧水区期末）若三角形的两边a、b的长分别为3和5，则其第三边c的取值范围是（）A．2＜c＜5B．3＜c＜8C．2＜c＜8D．2≤c≤8 5．（2020?吴中区二模）已知n是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2，n+6，3n，则满足条件的n 的值有（） A．4个B．5个C．6个D．7个 6．（2020春?泰兴市期末）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（） 1/ 5
初二三角形的证明培优同步讲义
学科教师辅导讲义 体系搭建 一、知识梳理 1、等腰三角形的性质定理 （1）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。（AAS） （2）等腰三角形的两底角相等。即等边对等角。 （3）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。即三线合一。 （4）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°。 2、等腰三角形的判定定理
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对等边。 （3）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 3、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形的性质和判定方法 定理：直角三角形的两个锐角互余。 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。 5、勾股定理：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 6、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 7、逆命题、逆定理 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆命题。 8、斜边、直角边定理 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。简述为“斜边、直角边定理”或“HL”定理。 9、线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 10、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理） 定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 11、三角形三条边的垂直平分线的性质 性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个定点的距离相等。 12、角平分线的性质定理：定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 13、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）：定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 14、三角形三内角的角平分线性质：性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
认识三角形培优
例1、=∠=∠∠∠?A C B A ABC ，则：：中，在5:3:1 ，=∠B ，=∠C 。 这个三角形按角分类时属于 三角形。 例2、==+=+a c b a b c a c b a ，则，，若为为三边的三角形的周长 、、以2215 ，=b ，=c 。 例3、若一个三角形三边长是三个连续整数，且周长为12，则它的三边长分别是 。 例4、一个三角形最多有 个直角，最多有 个钝角，最多有 个锐角。★★★ 例5、等腰三角形的一个角的度数是 50，则其余两个角的度数 。 例6、如图，=∠=∠⊥⊥ACO DBO O CD AB BD CD AC AB ，则，若相交于点、，， 20 。 例7、=∠=∠=∠⊥EBC A E D CE AD ，则，于点如图， 41 。 例8、除外）共有相等的角（，则图中与，如图，11//////∠∠DB EG DC EF AB 个。 6542 、、、、D C B A ★★★★ 例9、若三角形两边的长分别为7cm 和2cm ，第三边的长为奇数，则第三边的长是 。cm 9753、、、、D C B A 例10、才能组成三角形，则满足下列哪个条件 ，且、、已知线段a b c c b a << 。 a c b D c b a C b c a B c b a A <-<->+>+、、、、 例11、若三角形的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长 为 。 7654、、、、D C B A 例12、一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的4 1，则这个多边形是正 边形。 六、八、十、二十、D C B A ★★★ 例13、是，则中，如果在ABC B A ABC ?=∠-∠? 90 。 形锐角三角形或钝角三角、钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、 D C B A
人教版八年级数学上册 三角形认识 单元培优卷(含答案)
八年级数学上册三角形认识单元培优卷 一、选择题： 1、如图所示的△ABC中,线段BE是△ABC边AC上的高的是(). 2、为估计池塘两岸A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB 间的距离不可能是（） A.15m B.17m C.20m D.28m 3、已知一个多边形的内角和是720o，则这个多边形是（） A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 4、若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（） A.10 B.9 C.8 D.6 5、将一副直角三角尺如图放置，已知AE∥BC，则∠AFD的度数是() A.45° B.50° C.60° D.75° 6、如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于() A.50° B.30° C.20° D.15° 7、三条线段a,b,c长度均为整数且a=3,b=5.则以a,b,c为边的三角形共有() A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 8、现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根可以组成不同三角形的个数() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9、如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠ BFC=() A.118° B.119° C.120° D.121°
10、如图，已知ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（） △ A.90° B.135° C.270° D.315° 11、一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠1=50°，则∠2+∠3=（） A.190° B.130° C.100° D.80° 12、如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C.当A，B移动后，∠BAO=45°时，则∠C的度数是() A.30° B.45° C.55° D.60° 二、填空题: 13、如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有性. 14、已知三角形的边长分别为4、a、8，则a的取值范围是； 如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长为. 15、如果一个多边形的每一个外角都是30°，则这个多边形对角线的条数是，它的内角和是，它的外角和是. 16、如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=. 17、把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的AB边重合，按照如图的方式叠合在一起，连接EB，交HI于点J，则∠BJI的大小为__________.
认识三角形辅导讲义
平面图形的认识（二）--认识三角形辅导讲义 教学内容 三角形、多边形 教学目标 1、理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念； 2、掌握三角形的三边间的关系； 3、会利用多边形的内角和定理及外角和计算角度。 教学重点 1、了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念． 2、区别凸多边形和凹多边形． 教学难点 1、熟练掌握三角形的三条重要线段； 2、会灵活运用内角和定理及外角公式计算角度 教学过程 知识详解 一、与三角形有关的线段 1.三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的分类. （1）按边分类 ??? ?????????形底边和腰不等边的三角等边三角形等腰三角形不等边三角形三角形 （2）按角分类 ?????钝角三角形锐角三角形 直角三角形三角形 练习： 1.(1)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足2)(2)(a c c b b a --=-+-试判断△ABC 的形状 (2)若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(b-c)(c-a)=0,试判断△ABC 的形状。
=-----+-+b a c a c b c b a c b a 、、 3.三角形的三边关系及其应用 ①三角形任意两边之和大于第三边,故同时满足△ABC 三边长a 、b 、c 的不等式有：a+b>c ，b+c>a ，c+a>b ． ②三角形任意两边之差小于第三边，故同时满足△ABC 三边长a 、b 、c 的不等式有：a>b-c ，b>a-c ，c>b-a ． 应用范围： 判定给定的线段能否围城三角形 1.下列各组数都表示线段的长度，试判断以这些线段为边能组成三角形的是（ ） A ．a ，a-3，3(a>3) B ．a ，a+4，a+6（a ＞0） C ．a ，b ，a+b （a ＞0，b ＞0） D ．a+1，a+1，2a （a ＞0） 化简代数式 2.已知三角形的三边为 , 化简 已知两边确定第三边的边长或者周长的取值范围 3.在△ABC 中，若AB=AC,其周长为12，则AB 的取值范围是﹙﹚ A.AB ＞6 B.AB ＜3 C.3＜AB ＜6 D.4＜AB ＜7 4.已知三角形两边长分别为5,7,则周长的取值范围为_________,若最长边为x,则x 的取值范围为_______, 证明线段间的不等关系 5.如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相较于点O ，点E 在ΔABC 的内部，连接EB,EC 说明：(1)AB+CD
认识三角形能力培优训练(含答案)
认识三角形 专题一 与三角形有关的规律探究题 1. 观察图中的一组图形，根据它的变化规律填空，第一个图中有 个三角形，第二个图中有 个三角形，第三个图中有 个三角形，如此下去，第五个图形时，有 个三角形；第十个图形时，有 个三角形. 2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，且AC 在直线l 上，将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3；……按此规律继续旋转，直至得到点P 2012为止，则AP 2012等于（ ） A ．2011＋6713 B ．2012＋6713 C ．2013＋6713 D ．2014＋6713 专题二 火柴棒搭建三角形问题 3. 如图，12根火柴棒组成的图形，图中有六个三角形，你能拿掉其中的3根，使图中只有3个三角形吗请出画示意图. B C A ③ ① ② P 1 P 2 l P 3 …
4. 我们知道，三根火柴能搭1个三角形，5根火柴能搭成一个三角形吗可以搭几种三角形 12根火柴呢 专题题三利用角平分线探究规律 5. 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点Ｄ． ⑴若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数． ⑵由第（１）小题的计算，发现∠A和∠D有什么关系它们是不是一定有这种关系请给 出说明．
课时笔记 【知识要点】 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 三角形的表示法 三角形用“△”表示，如顶点是A，B，C的三角形，记做：△ABC. 3. 三角形的基本要素 ∠A，∠B，∠C是在三角形的内部，由相邻两边组成的角，称为三角形的内角，简称三角形的角；线段AB，AC和BC是三角形的三条边.可用小写字分别表示为c，b，a. 4. 三角形按内角的大小分类 5. 三角形的三边关系：三角形任何两边的和大于第三边；三角形任何两边的差小于第三边. 6. 三角形中的线段 （1）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （2）连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. （3）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. 【温馨提示】 1. 三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据；利用三角形的三边之间的关 系，可以确定第三边的取值范围. 2. 三角形的每一条中线能够平分三角形的面积． 3. 三角形的角平线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 【方法技巧】
认识三角形培优练习
1．如图①，△ABC的角平分线BD、CE相交于点P． （1）如果∠A=80°，求∠BPC的度数； （2）如图②，过P点作直线MN，分别交AB和AC于点M和N，且MN平行于BC，则有∠MPB+∠NPC=90°﹣∠A．若将直线MN绕点P旋转， （ⅰ）如图③，试探索∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否依然成立，并说明理由； （ⅱ）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（ⅰ）中∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若不成立，请给出∠MPB、∠NPC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由． 2．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置． （1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由． （2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是． （3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由． 3．已知a，b，c是三角形的三边长，化简|a﹣b ﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|；若 a=5，b=4，c=3，求这个式子的值． 4．【问题】：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，则∠BEC=；若∠A=n°，则∠BEC=． 【探究】： （1）如图2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，则∠BEC=； （2）如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，则∠BEC=； （3）如图4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN ．若∠A=n°，则∠BEC=．5．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°， ∠BCE=40°，求∠ADB的度数． 6．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3， 填空： （1）BE==． （2）∠BAD==． （3）∠AFB==． （4）S△AEC=． 7．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且 ，则阴影部分的面积是多少？ 8．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）． 9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由． （1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的 大小，并说明理由． （2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由． （3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的 周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． （4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的 异侧，且∠P1BC＜∠ABC，∠P2CB＜∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C 的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由． （5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形 B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大 小，并说明理由． 10如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC 的平分线，求∠DAE的度数． 11．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°． （1）求∠BAE的度数； （2）求∠DAE的度数； （3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？你 认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 12．（1）如图（1），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC， 你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗？并说明理由． （2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，这时∠EFM 与∠B、∠C之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明．
认识三角形 能力培优训练(含答案)
1.1认识三角形 专题一 与三角形有关的规律探究题 1. 观察图中的一组图形，根据它的变化规律填空，第一个图中有 个三角形，第二个 图中有 个三角形，第三个图中有 个三角形，如此下去，第五个图形时，有 个三角形；第十个图形时，有 个三角形 . 2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，且AC 在直线l 上，将△ABC 绕 点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3；……按此规律继续旋转，直至得到点P 2012为止，则AP 2012等于（ ） A ．2011＋6713 B ．2012＋6713 C ．2013＋6713 D ．2014＋6713 专题二 火柴棒搭建三角形问题 3. 如图，12根火柴棒组成的图形，图中有六个三角形，你能拿掉其中的3根，使图中只有 3个三角形吗？请出画示意图. B C A ③ ① ② P 1 P 2 l P 3 …
4. 我们知道，三根火柴能搭1个三角形，5根火柴能搭成一个三角形吗？可以搭几种三角 形？12根火柴呢？ 专题题三利用角平分线探究规律 5. 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点Ｄ． ⑴若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数． ⑵由第（１）小题的计算，发现∠A和∠D有什么关系？它们是不是一定有这种关系？ 请给出说明．
课时笔记 【知识要点】 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 三角形的表示法 三角形用“△”表示，如顶点是A，B，C的三角形，记做：△ABC. 3. 三角形的基本要素 ∠A，∠B，∠C是在三角形的内部，由相邻两边组成的角，称为三角形的内角，简称三角形的角；线段AB，AC和BC是三角形的三条边.可用小写字分别表示为c，b，a. 4. 三角形按内角的大小分类 5. 三角形的三边关系：三角形任何两边的和大于第三边；三角形任何两边的差小于第三边. 6. 三角形中的线段 （1）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （2）连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. （3）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. 【温馨提示】 1. 三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据；利用三角形的三边之间的关 系，可以确定第三边的取值范围. 2. 三角形的每一条中线能够平分三角形的面积． 3. 三角形的角平线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 【方法技巧】
认识三角形-能力培优训练(含答案)
1.1认识三角形 专题一与三角形有关的规律探究题 1.观察图中的一组图形，根据它的变化规律填空，第一个图中有个三角形，第二个 图中有个三角形，第三个图中有个三角形，如此下去，第五个图形时，有个三角形；第十个图形时，有个三角形. 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕 点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3；……按此规律继续旋转，直至得到点P2012为止，则AP2012等于（） A．2011＋6713B．2012＋6713C．2013＋6713D．2014＋6713 专题二火柴棒搭建三角形问题 3. 如图，12根火柴棒组成的图形，图中有六个三角形，你能拿掉其中的3根，使图中只有 3个三角形吗？请出画示意图. B C A ③ ①② P1 P2 l P3 …
4. 我们知道，三根火柴能搭1个三角形，5根火柴能搭成一个三角形吗？可以搭几种三角 形？12根火柴呢？ 专题题三利用角平分线探究规律 5. 如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点Ｄ． ⑴若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠A和∠D的度数． ⑵由第（１）小题的计算，发现∠A和∠D有什么关系？它们是不是一定有这种关系？请 给出说明．
课时笔记 【知识要点】 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2. 三角形的表示法 三角形用“△”表示，如顶点是A，B，C的三角形，记做：△ABC. 3. 三角形的基本要素 ∠A，∠B，∠C是在三角形的内部，由相邻两边组成的角，称为三角形的内角，简称三角形的角；线段AB，AC和BC是三角形的三条边.可用小写字分别表示为c，b，a. 4. 三角形按内角的大小分类 5. 三角形的三边关系：三角形任何两边的和大于第三边；三角形任何两边的差小于第三边. 6. 三角形中的线段 （1）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （2）连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. （3）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线. 【温馨提示】 1. 三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据；利用三角形的三边之间的关 系，可以确定第三边的取值范围. 2. 三角形的每一条中线能够平分三角形的面积． 3. 三角形的角平线是一条线段，而角的平分线是一条射线.