如何分解质因数
如何分解质因数
短除法: 求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。
求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。
例如：求12与18的最大公因数。
12的因数有：1、2、3、4、6、12。
18的因数有：1、2、3、6、9、18。
12与18的公因数有：1、2、3、6。
12与18的最大公因数是6。
这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。
12＝2×2×3
18＝2×3×3
12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的因数。从分解的结果看，12与18都有公因数2和3，而它们的乘积2×3＝6，就是12与18的最大公因数。
采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公因数和最大公因数。如果把这两个数合在一起短除，则更容易找出公因数和最大公因数。
从短除中不难看出，12与18都有公因数2和3，它们的乘积2×3＝6就是12与18的最大公因数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公因数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。
实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。
在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它无此因数的数则原样落下。最后把所有因数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数。
分解质因数
分解质因数 教学内容： 五年级下册第38页例7、例8，完成练习六的相关练习。 教学目标： 1．结合具体的数学情境，初步认识质因数；知道质数的质因数是它本身，合数可以分解质因数。 2．学会将一个合数分解质因数，初步掌握用短除法分解质因数的方法。 3．发展学生的分析、判断、推理能力，让学生体验到数学的价值与乐趣。教学重点： 认识质因数，学会将一个合数分解质因数。 教学难点： 理解质因数的含义。 教具准备： 多媒体课件。 教学过程： 一、游戏引入，迁移认知质因数 1．游戏导入。 师：我们一起先来做个游戏，游戏的名字叫“比比谁的式子长”。 师：怎样才叫式子长？数的个数越多，式子就越长。 先来听游戏规则： ①男女生两组各选一个数，将所选的数分解成几个自然数相乘的形式，但不可用1。 ②比赛结束时，所写的乘法式子最长的小组获胜。 ③共比3局，每局获胜者下一局优先选数。 2．认识质因数。 师：明白规则了吗？瞧，屏幕上有两个数，是男生先选还是女生先选？为了公平，还是猜拳吧！ 呈现19和21 师：谁来汇报结果。（汇报格式：21等于几乘几）为什么女（男）生不动笔呢？（因为19是质数） 师：有没有道理？ 师：再来第二局，赢的先选。 呈现15和23 3．感悟质数的质因数是它本身。 师：采访一下，这一回选大数的怎么输了呢？原来如此，因为21和15是合数，所以可以分解！来看21和15的分解结果，熟悉吗？你有一双慧眼，以前我们经常用这种写乘法来找因数，不过这些因数都很特别。例如，3和7既是21的因数又是质数，我们就把3和7称为21的质因数。在15＝3×5中，谁是谁的质因数，谁来说一说。（板书：质因数） 师：这儿也有个式子27＝3×9，你能说出谁是谁的质因数吗？小组里互相说一说！ 师：好，谁来说说看。咦，9什么不是27质因数？ 师：19和23都是质数，它们只能写成1乘它本身，是吗？虽然这种分解方法不符合我们的规定，但是19等于19乘1，它的因数有几和几，有质数吗？
五年级下册《分解质因数》教案
课题二：分解质因数 教学要求①使学生理解质因数和分解质因数的概念。②初步学会分解质因数的方法。③培养学生分析和推理的能力。 教学重点①质因数和分解质因数的概念。②分解质因数的方法。 教学难点分清因数和质因数，质因数和分解质因数的联系和区别。 教学用具投影仪。 教学过程 一、创设情境 1．回答：什么叫做质数？什么叫做合数？ 2．填空：1~12的质数有，合数有。 3．观察：2、3、5、7、11……等质数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？4、6、8、9、10、12……合数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？ 二、揭示课题 下面我们学习每个合数能否用几个质数相乘的形式表示出来。（板书课题） 三、探索研究 1．小组合作学习 （1）把6、28、60写成比它本身小的两个数相乘的形式。 6=2×3 28=4×7 60=6×10 60=2×30 60=4×15 …
（2）写出的两个数中如果还是合数的，再用上面的方法继续写下去。 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 （3）从上面的例子可以看出什么来？ 师生归纳：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 做练习的第7题，学生口答。 ⊙把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（板书课题：分解质因数） 如把6、28、60分解质因数右以写成： 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 书写格式说明：要分解的合数写在等号左边，把它的质因数相乘的形式写在等号的右边。质因数按从小往大的顺序排列。 2．学习用短除法分解质因数。 （1）介绍短除法。 它是笔算除法的简化“”叫做短除号。 除数…2 6 …被除数 3 …商
1分解质因数法
分解质因数法 通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。 分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。 例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？ 解：把1331分解质因数： 1331=11×11×11 答：这块正方体木块的棱长是11厘米。 例2 一个数的平方等于324，求这个数。 解：把324分解质因数： 324= 2×2×3×3×3×3 =（2×3×3）×（2×3×3） =18×18 答：这个数是18。 例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。 解：把462分解质因数： 462=2×3×7×11 =（3×7）×（2×11） =21×22 答：这两个数是21和22。 *例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？ 解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。 1673=239×7 答：ABC代表239。 例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？ *例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？ 解：3250-10=3240（个） 把3240分解质因数： 3240=23×34×5 接近40的数有36、37、38、39 这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数。 23×34×5÷（22×32） =2×32×5
分解质因数(一)(含详细解析)
1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且表 达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =????其中为质数， 12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????； 知识点拨 教学目标 5-3-4.分解质因数（一）
200733223=??；2008222251=???；10101371337=???. 模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。 【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分 【解析】 原式323753=??? 【答案】323753??? 【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？ 【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空 【解析】 210分解质因数：2102357=???，可知这三个数是5、6和7。 【答案】5、6和7 【例 3】 两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少? 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 111555分解质因数：1115553353767=????=(3337??)?(567?)333335=?，所以和为668.本讲不 仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111337=?。 【答案】668 【巩固】 已知两个自然数的积是35，差是2，则这两个自然数的和是_______. 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，二试，第8题 【解析】 35=1×35=5×7，5、7差2，两个自然数的和是5+7=12 【答案】12元 【例 4】 今年是2010年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。 【考点】分解质因数 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】而思杯，6年级，1试，第3题 【解析】 1112131716??=，1213142184??=，所以是2184 【答案】2184 【例 5】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 ． 【考点】分解质因数 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第3题 【解析】 2126237=??，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能为9和14，它们的和为23． 例题精讲
小学数学竞赛：分解质因数(一).教师版解题技巧 培优 易错 难
1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212 263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312 123k a a a a k n p p p p =????L 其中为质数， 12k a a a << 分解质因数 教学要求①使学生理解质因数和分解质因数的概念。②初步学会分解质因数的方法。③培养学生分析和推理的能力。 教学重点①质因数和分解质因数的概念。②分解质因数的方法。 教学难点分清因数和质因数，质因数和分解质因数的联系和区别。 教学用具投影仪。 教学过程 一、创设情境 1．回答：什么叫做质数？什么叫做合数？ 2．填空：1~12的质数有，合数有。 3．观察：2、3、5、7、11……等质数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？4、6、8、9、10、12……合数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？ 二、揭示课题 下面我们学习每个合数能否用几个质数相乘的形式表示出来。（板书课题） 三、探索研究 1．小组合作学习 （1）把6、28、60写成比它本身小的两个数相乘的形式。 6=2×3 28=4×7 60=6×10 60=2×30 60=4×15 … （2）写出的两个数中如果还是合数的，再用上面的方法继续写下去。 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 （3）从上面的例子可以看出什么来？ 师生归纳：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 做练习十三的第7题，学生口答。 ⊙把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（板书课题：分解质因数） 如把6、28、60分解质因数右以写成： 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 书写格式说明：要分解的合数写在等号左边，把它的质因数相乘的形式写在等号的右边。质因数按从小往大的顺序排列。 2．学习用短除法分解质因数。 （1）介绍短除法。 它是笔算除法的简化“”叫做短除号。 除数…2 6 …被除数 3 …商 （2）用短除法分解质因数。 2 28 2 60 2 14 2 30 （北京版）五年级数学下册教案分解质因数 1 一、创设情境 1.回答：什么叫做质数？什么叫做合数？ 2.填空：1--12的质数有，合数有。 3.观察：2、3、5、7、11……等质数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？4、6、8、9、10、12……合数，能写成比它本身小的两个数相乘的形式吗？为什么？ 二、揭示课题 下面我们学习每个合数能否用几个质数相乘的形式表示出来。（板书课题） 三、探索研究 1.探究学习 （1）把6、28、60写成比它本身小的两个数相乘的形式。 6=2×3 28=4×7 60=6×10 60=2×30 60=4×15 … （2）写出的两个数中如果还是合数的，再用上面的方法继续写下去。 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 （3）从上面的例子可以看出什么来？ 师生归纳：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 考考你：把13和15分解质因数。 揭示：把一个合数用质因数（既是质数又是因数）相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。（板书课题：分解质因数） 如把6、28、60分解质因数可以写成： 6=2×3 28=2×2×7 60=2×2×3×5 书写格式说明：要分解的合数写在等号左边，把它的质因数相乘的形式写在等号的右边。质因数按从小往大的顺序排列。 2.学习用短除法分解质因数。 （1）介绍短除法。 它是笔算除法的简化“”叫做短除号。 除数…2 6 …被除数 3 …商 （2）用短除法分解质因数。 2 28 2 60 2 14 2 30 28=2×2×7 60=2×2×3×5 （3）强调：用质数去除，一直除到质数为止。 （4）再让学生讨论一下：分解质因数应注意什么？ 四、课堂实践 1.判断： （1）由于12=2×2×3那么12的质因数有2，2，3（） （2）把77分解质因数是77=1×7×11（） （3）把14分解质因数2×7=14（） （4）把27分解质因数是27=3×3×3（） 2.用短除法把下面各数分解质因数。 16 20 22 26 90 180 3.思考：一个长方体，它的长，宽，高，是三个连续的自然数，已知它的体积是60立方厘米，它的长，宽，高各是多少？ 4.把1---9中任意三个连续的自然数看成一个三位数，这样的三位数共有多少个？他们是质数，还是合数？为什么？ 5.在下面8个质数卡片中，任意两个数的和是奇数，还是偶数？任意两个数的积是奇数还是偶数？为什么？ 五、课堂小结：说说自己本节课的收获。 六、课堂作业：做练习七的第5题。 用分解质因数法解题 江苏省江阴市：蒋仪 有些数学习题，在进行解答时，有时会感到难以下手，如能运用分解质因数的方法进行求解，则能化难为易，迎刃而解。 例1、已知360×A=B2，其中A、B均为自然数，求A的最小值是几？B 的值又为几？ 分析与解答：因为360×A=B2，即为360×A也是一个完全平方数。而360=5×3×3×2×2×2=（5×3×2）×（3×2×2），因此可得要使360×A是一个完全平方数，A的值只能为：5×2=10。所以可得，A的值最小为10。这时B的值为60。 例2、A、B、C均为自然数，已知A×B=132，B×C=156，C×A=143。求A×B×C的值是几？ 分析与解答：因为132=11×12，所以A×B =11×12。 156=12×13，所以B×C =12×13。 143=11×13，所以C×A =11×13。 比较以上各式可知，A=11；B=12；C=13。所以A×B×C=11×12×13=1716。 例3、把棱长1厘米的小正方体2100个，堆成一个实心的大长方体，这个长方体的高为10厘米，并且长、宽均大于高，求这个长方体的表面积。 分析与解答：根据题中的条件可知，这个长方体的体积为2100立方厘米，因为长方体的高为10厘米，所以长方体的底面积为：2100÷10=210（平方厘米）。又因为长方体的长、宽均大于10。而210=2×5×3×7=（3×5）×（2×7）=15×14。因此可得，这长方体的长为15厘米，宽为14厘米，高为10厘米。它的表面积为：（15×14+15×10+14×10）×2=1000（平方厘米）。 例4、把一个长16厘米，宽为14厘米，高为4厘米的长方体锯成若干个小正方体，然后拼成一个大正方体，求这个大正方体的表面积。 分析与解答：因为将一个长方体锯成若干个小正方体后拼成的大正方体的体积同原来的长方体的体积是相等的。长方体的体积为：16×8×4=512（立方厘米）。而512=2×2×2×2×2×2×2×2×2=8×8×8。所以可知，大正方体的棱长为8厘米。大正方体的表面积为：8×8×6=384（平方厘米）。 例5、两个自然数的乘积是2835，它们的最大公约数是9，求这两个数。 教学目的 1．使学生理解质因数、分解质因数的意义，初步会把一个合数分解质因数． 2．培养学生观察、比较、抽象、概括的水平． 教学重点 质因数和分解质因数的意义． 教学难点 用短除式分解质因数． 教学过程 一、引入 1．在5、13、21、32中，哪些是质数？哪些是合数？为什么？ 2．把上面各数用两个自然数相乘的形式表示出来． 5＝（）×（） 13＝（）×（） 21＝（）×（） 32＝（）×（） 教师：填出的这些数与原数有什么关系？ 3．以上几个自然数都能够用两个因数相乘的形式表示，其它的自然数行吗？ 教师：用一句话来概括，一个自然数能够用什么形式表示出来？ 板书：把一个自然数用两个因数相乘的形式表示出来． 二、新授 1．如果我们做一个规定，“1除外”（板书于因数外），也就是因数不能用1，这句话还能这么说吗？举例说明． 教师：在因数不用1的前提下，什么数仍能用两个因数相乘的形式表示，什么数就不能？ （合数能，质数不能） 板书：把一个合数用两个因数（1除外）相乘的形式表示出来． 2．根据这条结论把下面几个合数用两个因数相乘的形式表示出来． 6、15、24、28 6＝2×3 24＝2×12 15＝3×5＝3×8 ＝4×6 28＝4×7 ＝2×14 3．这些合数（指24、28）的因数中还有合数12、8、6……根据刚才的结论又能够用什么形式表示？现在不限制因数的个数（擦去结论中的“两个”）把这些合数用最多个因数相乘的形式表示出来． 组织学生讨论汇报． 24=2×2×2×3 教师：6和15还能不能用更多个因数相乘的形式表示？为什么不能？ 明确：这些因数都是质数，根据这个特点，我们给它们起一个名字？（质因数） 根据黑板上的例子说一说什么叫质因数？ 4．反馈练习 6的质因数有（）．2和3是6的（） 2和3还是谁的质因数？24的质因数有哪些？ 28的质因数有哪些？ 如果说3和5是质因数对吗？怎么改？ （12、4、6……）这几个因数是不是质因数？ 课题：§3-6 《质因数和分解质因数》 1、下面的数，哪些是偶数？哪些是奇数？ 58 74 89 120 231 155 600 2、选出两张数字卡片，按要求组成一个两位数。 0 5 6 7 （1）组成的数是偶数。 （2）组成的数是5的倍数。 （3）组成的数既是2的倍数，又是5的倍数。 3、把下表中4的倍数涂色。看一看，4的倍数都是2的倍数吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 （二）： 1.例8：把30用几个质数相乘的形式表示出来。 （1）让学生在课本上尝试表示，把30写成质数相乘的形式的结果。 （2）交流：把30写成质数相乘的形式，可以采用下面的方式进行。 、 说明：把30写成质数相乘的形式，先写成质数2×15，15是合数，把它写成质数3乘5，这时乘数全部是质数；就把30写成这几个质数相乘的形式：30＝2×3×5。可见，要写成质数相乘的形式，可以把合数先写成质数和另一个数相乘的形式；如果另一个数是合数，，再把这个合数写成质数和另一个数相乘的形式，直到分解成全部是质数相乘为止，象这样把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 1，讲解“你知道么” 我们在上面是用逐渐相乘的形式分解质因数的，人们在分解质因数时，经常用短除法，大家阅读“你知道么”，看看你能不能明白短除法是怎样分解质因数的。 讨论：短除 法是怎样分解 质因数的？ 方法：每次用质数做除法，除到商是质数为止，再把每个除数和商写成连乘的形式。 比较：我们上面分解时，每次用质数乘一个数，直到所有乘数都是质数为止，和用短除法的思考方法是相同的，只是用短除法分解质因数过程简便一些。 三、同步训练： 1.练习六第4题 （1）35＝5×7，5和7都是35的因数吗？都是35的质因数吗？为什么？ （2）27＝3×9，3和9都是27的因数吗？都是27的质因数吗？为什么？ 2.练一练： 把6和14分解质因数 6＝（）×（） 14＝（）×（） 3.练习六第5题： 先圈出下面的合数，再把它们分解质因数。 7 9 13 16 20 25 29 （1）让学生圈出合数。 让学生用尝试短除法把9和16分解质因数。 四、课堂小结： 刚才我们研究的是什么？ 五、当堂训练： 1.练习六第3题 下面各数是由哪些质数相乘得到的？ 15＝（）×（） 42＝（）×（）×（）26＝（）×（） 66＝（）×（）×（）2.找出下面每组数中的质数。 （1）13，23，33，43. （2）5，15，25，35. （3）17，27，37，47. （4）19，29，39，49. 3.下面那几个班级的学生可以分成人数相同的几个小组？那几个班不可以？为什么？ 分解质因数（一） 知识要点 质数与合数都是数论中最基本又是最重要的概念之一，许多有趣的课题都与它们有关，分解质因数是研究整数的一个重要方法，在实际问题和解答数学竞赛中广泛的应用，且这类问题的灵活性大，趣味性强，对培养和提高解题能力具有重要的作用。 基本概念： 质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫分解质因数。 分解质因数的方法：列项法和短除法。 例1、把下列各数分解质因数并说出它们各自的质因数。 48= 质因数： 85= 质因数： 286= 质因数： 84= 质因数： 例2、一个数是5个2，3个3，1个5，1个7的乘积，这个数的两位数因数中最大是几？ 例3、四个连续自然数之积是360，这四个自然数分别是多少？其中最大的是多少？ 练习：有四个小朋友，他们一个比一个大一岁，他们的年龄的乘积是11880，则这四个小朋友的年龄分别是多少？ 例4、要使35×42×275×（）这个连续乘积的最后四个数字都是0，那么括号里的数字最小是几？ 练习：不计算，求48×925×38×435的积末尾有几位是连续的0？ 例5、四年级某学生参加数学竞赛，他获得的名次，他的年龄，他得的分数的乘积是2910，这个学生得第几名？成绩是多少？ 练习：六年级某学生参加数学竞赛，他获得的名次，他的年龄，他得的分数的乘积是2280，这个学生得第几名？成绩是多少？ ·家庭作业· 1、基础练习：（分解质因数） 105= 32= 77= 1980= 2910= 2、要使1992×1995×1985×（）这个连续乘积的最后四个数字都是0，那么括号里的数字最小是几？ 3、两个相邻自然数之积是1980，求这两个相邻的自然数？ 4、写出若干个连续的自然数，使它们的积是15120。 5、四个连续奇数的积是19305，这四个奇数各是多少？ 分解质因数 1、把一个合数分解成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，这几个质数叫做这个合数的 质因数。一般是用“短除法”逐级将一个合数分解成质因数。 如：把60分解质因数得:60=2×2×3×5=22×3×5这时2、3、5都是60的质因数2、求一个合数的约数个数和所有约数和的方法，是先把这个数分解质因数，再根据不同 质因数的个数，用公式计算。 N=P1 ×P2 ×P3 ×……×P k 例1：在下面算式中，不同字母代表不同的数字，求这个算式abc×d=1995。 练习：下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。 （1）□□×□□=1995 （2）□□×□□=2009 例2：求出360的因数有多少个？这些因数相加的和是多少？ 练习：求105的因数共有几个？ 例3：把24个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于24个。一共有多少种不同的分法？练习：学生1430人参加团体操表演，分成人数相等的若干队，每对人数在100~200人，有多少种分法？ 例4：在100~150中找出两个自然数，使它们相乘的积等于77与195的积 例5：把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，使每组的乘积都相等 例6：有4个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，问：他们的年龄各是多少？ 练习:有5个孩子，他们的年龄一个比一个小岁，他们年龄乘积是55440.求这5个孩子的年龄各是多少？ 例7：王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？ 练习：3月12日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵树相等，一共植了111棵树，求有多少个学生。 例8：用一个两位数除907，余数是88，求这个两位数。 练习:47÷（）=（）……5，在括号里填入适当的数，使等式成立。有几种不同的填法？ 1、四个连续自然数的积是360，这四个数 的和是多少？ 2、用一个两位数除1170，余数是78，求 这个两位数。 3、将下面8个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。 3、15、1 4、12、5 5、5 6、99、27 4、有水果糖767块，平均分给一群小朋友，恰好分完。每人分得的水果糖的块数小于小朋友的人数。这群小朋友有多少人？ 5-3-4.分解质因数（一）.题库 教师版 page 1 of 1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为 ...???☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212 263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即： 312123k a a a a k n p p p p =????L 其中为质数，12k a a a << 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数。 定义 质因数（或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。两个没有共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。 例子 1没有质因子。 5只有1个质因子，5本身。（5是质数。） 6的质因子是2和3。(6 = 2 ×3) 2、4、8、16等只有1个质因子：2（2是质数，4 = 2，8 = 2，如此类推。） 10有2个质因子：2和5。(10 = 2 ×5) 就是一个数的约数，并且是质数，比如8=2×2×2，2就是8的质因数。12=2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子以12=2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。16=2×2×2×2,2就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数。[1] 分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数。 分解质因数的有两种表示方法，除了大家最常用知道的“短除分解法”之外，还有一种方法就是“塔形分解法”。 分解质因数对解决一些自然数和乘积的问题有很大的帮助，同时又为求最大公约数和最小公倍数做了重要的铺垫。 计算方法 短除法 求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式的叫短除法，和除法的性质差不多，还可以用来求多个个数的公因式： 求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。 求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。 例如：求12与18的最大公因数。 12的因数有：1、2、3、4、6、12。 18的因数有：1、2、3、6、9、18。 12与18的公因数有：1、2、3、6。 12与18的最大公因数是6。 这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。 12=2×2×3 18=2×3×3 12与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能 分解质因数 一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2×2×2×3，75=3×5×5。 我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题 二、精讲精练 【例题1】把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？ 【思路导航】 先把18分解质因数：18=2×3×3，可以看出：18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。 【练习1】 1，有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？ 因为60的约数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30，60； 又因为每份不得少于6人，也不能多于15人， 只有6、10、12、15，共4种：当每组是6人时，可以分成10组；当每组是10人时，可以分成6组；当每组是12人时，可以分成5组；当每组是15人时，可以分成4组； 答：有4种分法：当每组是6人时，可以分成10组；当每组是10人时，可以分成6组；当每组是12人时，可以分成5组；当每组是15人时，可以分成4组． 2，195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？ 由分析知：共有6种排法： ①5×39有两种，即5行、39列和39行、5列； ②3×65有两种，即3行、65列和65行、3列； ③15×13有两种，即15行、13列和13行、15列； 答：共有6种排法． 3，甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。 792=2×2×2×3×3×11=24×33， 因为33-24=9，符合题意； 所以甲数是33，乙数是24； 答：甲数是33，乙数是24． 【例题2】有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。共有多少种分法？ 【思路导航】 先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共5种分法。 【练习2】 1，把462名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组人数在10至25人之间，求每组的人数及分成的组数。 第29讲分解质因数(一) 2005年2月28日，设在美国奥兰多的梅森素数搜索组织的一名数学爱好者，发现了迄 2－1。素数也叫做质数，是只能被自己和1整除的数。 今为止最大的素数，即25964951 如果一个质数是某个数约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。例如：2、3都是36的质因数，4和9都是36的因数，但不是36的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。我们常用分解质因数的方法，并利用已知的条件和未知条件中的数的特征，从而顺利地解决一些相关的数学问题。 例题与方法 例1、23÷( )=( )……5。在括号填入适当的数，使等式成立，共有多少种不同的填法？ 思路点拨 丁丁：这是一道带余除法，被除数是23，余数是5，要求的是除数和商。根据“被除数=除数×商+余数”，可以知道“除数×商=被除数－余数=23－5=18”。 小麦斯：对!这道题要用到带余除法算式的数量关系：除数×商=被除数－余数，在上述讨论中，既然知道了“除数×商”的积是18，将18写成两个自然数相乘的形式，这样共有三种情况：1×18、2×9、3×6。 机灵猴：特别注意的是，余数必须比除数小，那么可以将1、2、3排除，因为它们都小于5，不能作为除数，剩下的只能是6、9和18作为除数了。 解： 符合题意的填法有： 23÷(6)=3……5； 23÷(9)=2……5； 23÷(18)=1……5。 小麦斯：聪明的小读者，如果上面算式中的余数与商相同，被除数又应是多少？ 例2、小华的妹妹参加了今年中学数学智力竞赛，小华问他妹妹：“这次竞赛你得了多少分？获了第几名？”妹妹告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？” 思路点拨 丁丁：由题中“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910”可以知道，2910是三个数量的乘积，那么就要把2910分解质因数。 小麦斯：将一个合数分解质因数，常用短除法求得，有时也采用直接分解的方法，要注意的是，在质因数的连乘中，一般要按照从大到小的顺序排列。 机灵猴：将2910分解质因数得2910=2×3×5×97。 小华的妹妹是个中学生，不可能是2岁、3岁、5岁，也不能是6岁、10岁，因此，可以肯定，小华妹妹是3×5=15(岁)，名次是第2名，成绩是97分。 解：将2910分解质因数得 2910=2×3×5×97 =2×(3×5)×97 第一章小学数学解题方法解题技巧之分解质因数法 通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。 分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。 例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度） 解：把1331分解质因数： 1331=11×11×11 答：这块正方体木块的棱长是11厘米。 例2 一个数的平方等于324，求这个数。（适于六年级程度） 解：把324分解质因数： 324= 2×2×3×3×3×3 =（2×3×3）×（2×3×3） =18×18 答：这个数是18。例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。（适于六年级程度） 解：把462分解质因数：462=2×3×7×11 =（3×7）×（2×11） =21×22 答：这两个数是21和22。 *例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度） 解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。 1673=239×7 答：ABC代表239。 例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度） 解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。 2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）=48×48 正方形的边长是48米。这块田地的周长是： 48×4=192（米） *例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度） 解：3250-10=3240（个） 把3240分解质因数： 1─1000数目分解质因数 1 2 3 4=22 56=2×3 7 8=23 9=32 10=2×51112=3×221314=2×7 15=3×5 16=24 17 18=2×3219 20=22×5 21=3×7 22=2×11 23 24=23×3 25=52 26=2×13 27=33 28=22×7 29 30=2×3×5 31 32=2533=3×11 34=2×17 35=5×7 36=22×323738=2×19 39=3×13 40=23×5 4142=2×3×7 43 44=22×11 45=32×5 46=2×23 47 48=24×3 49=72 50=2×5251=3×17 52=22×13 53 54=2×3355=5×11 56=23×7 57=3×1958=2×29 59 60=22×3×5 61 62=2×31 63=32×7 64=2665=5×13 66=2×3×11 67 68=22×17 69=3×23 70=2×5×7 71 72=23×327374=2×37 75=3×52 76=22×17 77=7×11 78=2×3×13 79 80=24×5 81=34 82=2×41 83 84=22×3×7 85=5×17 86=2×43 87=3×29 88=23×11 89 90=2×32×5 91=7×13 92=22×23 93=3×31 94=2×47 95=5×19 96=25×3 9798=2×72 99=32×11 100=22×52101 102=2×3×17 103 104=23×13 105=3×5×7 106=2×53 107 108=22×33109 110=2×5×11 111=3×37 112=24×7 113 114=2×3×19 115=5×23 116=22×29 117=32×13 118=2×59 119=7×17 120=23×3×5 121=112122=2×61 123=3×41 124=22×31 125=53 126=2×32×7 127 128=27 129=3×43 130=2×5×13 131 132=22×3×11 133=7×19 134=2×67 135=33×5 136=23×17 137138=2×3×23 139 140=22×5×7 141=3×47142=2×71 143=11×13 144=24×32145=5×29 146=2×73 147=3×72 148=22×37 149 150=2×3×52151 152=23×19 153=32×17 154=2×7×11 155=5×31 156=22×3×13 157158=2×79 159=3×53 160=25×5 161=7×23 162=2×34 163 164=22×41 165=3×5×11 166=2×83 167 168=23×3×7 169=132170=2×5×17 分解质因数 清平镇中心小学马维青 教学目标： 1、使学生理解质因数和分解质因数的概念。 2、初步学会用短除法分解质因数。 3、培养学生分析和推理的能力。 教学过程： 一、质疑课题 同学们，知道我们今天要学什么吗？ 板书课题：分解质因数 说说你对课题的理解。（生自由发言） 你感觉这节课与哪些知识有关？ 学生可能会说出：与质数和因数有关，因为质因数可能是质数与因数的合称。 你真聪明。这这可我们就接着上节课的内容进行学习。 二、小组合作、探究新知 1、初步感知分解质因数 今天的课我们先不忙着上，老师想和大家一起做个游戏，不知你们愿不愿意？ 出示游戏规则： （1）把老师呈现给你的数写成两个数或几个数相乘的形式，连乘的因数越多得分越高。（2）只能用自然数。 （3）不能用1。 （4）每正确写一个乘号得一分，写错一个扣一分。最后以得分高低排序。 这几条规则读明白没有？ 现在以小组为单位进行比赛。 游戏开始：出示以下几个数：3= 6= 21= 48= 53= 50= 75= 97= 小组活动。交流展示，并根据实际情况评出最优小组。 按照我们的规则，为什么有的数能写成几个数相乘的形式，有的数就不能写成几个数相乘的形式？（学生自由回答） 小结：（1）只有合数才能写成几个数相乘的形式。 （2）取胜的小组写成了几个质数相乘的形式。 回到课题。你认为那种写法更符合我们的课题？ 学生会回答应该把合数写成几个质数相乘的形式。 思考：为什么刚才的规则要求“不能用1”？ 引导学生说出：因为1不是质数，所以也不能作为一个数的质因数。 2、用短除法分解质因数 刚才我们以游戏的方法进行了分解质因数，很麻烦，你们能不能找出一种更为简洁的方法，来分解质因数？ 小组合作，共同探究。 交流成果。（如果学生不能顺利的用短除法，可以在总结学生研究结果的基础上，引出短除法） 示范一个。如把24分解质因数。 小结短除法分解质因数： （1）把要分解的数写在短除号里。 （2）用这个数的因数中的质数去除，一般从最小的质数开始。 （3）直到商是质数为止。 （4）把除数和商写成相乘的形式。 三、巩固应用 1、基本练习 用短除法把下列几个数分解质因数。 18、25、28、57、60 2、拓展延伸 P111第十一题 有时间向学生介绍“哥德巴赫猜想”，激发学生学习数学的兴趣。 四、回顾总结 这节课你有什么收获？说出来与大家分享。分解质因数 教案
北京版小学数学五年级下册5分解质因数(1)
分解质因数法解题
分解质因数
质因数和分解质因数教案
分解质因数1
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小学奥数：分解质因数(一).专项练习及答案解析
质因数分解及代码
分解质因数(1)教师版
分解质因数(一)
小学数学解题方法解题技巧之分解质因数法
1─1000数目分解质因数
分解质因数教案