分解质因数

分解质因数

自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。

例如，60=22×3×5，1998=2×33×37。

例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？

分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。为此，我们先将13824分解质因数：

把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），

于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。

例2 学区举行团体操表演，有1430名学生参加，分成人数相等的若干队，要求每队人数在100至200之间，共有几种分法？

分析与解：按题意，每队人数×队数=1430，每队人数在100至200之间，所以问题相当于求1430有多少个在100至200之间的约数。为此，先把1430分解质因数，得1430＝2×5×11×13。

从这四个质数中选若干个，使其乘积在100到200之间，这是每队人数，其余的质因数之积便是队数。

2×5×11=110，13；

2×5×13=130，11；

11×13=143，2×5=10。

所以共有三种分法，即分成13队，每队110人；分成11队，每队130人；分成10队，每队143人。

例3 1×2×3×…×40能否被90909整除？

分析与解：首先将90909分解质因数，得90909=33×7×13×37。

因为33（=27），7，13，37都在1～40中，所以1×2×3× (40)

被90909整除。

例4 求72有多少个不同的约数。

分析与解：将72分解质因数得到72=23×32。根据72的约数含有2和3的个数，可将72的约数列表如下：

上表中，第三、四行的数字分别是第二行对应数字乘以3和32，第三、四、五列的数字分别是第二列对应数字乘以2，22和23。对比72=23×32，72的任何一个约数至多有两个不同质因数：2和3。因为72有3个质因数2，所以在某一个约数的质因数中，2可能不出现或出现1次、出现2次、出现3次，这就有4种情况；同理，因为72有两个质因数3，所以3可能不出现或出现1次、出现2次，共有3种情况。

根据乘法原理，72的不同约数共有4×3=12（个）。

从例4可以归纳出求自然数N的所有不同约数的个数的方法：一个大于1的自然数N的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数加1的连乘积。

例如，2352=24×3×72，因为2352的质因数分解式中有4个2，1个3，2个7，所以2352的不同约数有

（4+1）×（1+1）×（2+1）=30（个）；

又如，9450=2×33×52×7，所以9450的不同的约数有

（1+1）×（3+1）×（2+1）×（1+1）=48（个）。

例5 试求不大于50的所有约数个数为6的自然数。

分析与解：这是求一个数的约数个数的逆问题，因此解题方法正好与例4相反。

因为这个数有六个约数，6=5+1=（2+1）×（1+1），所以，当这个数只有一个质因数a时，这个数是a5；当这个数有两个质因数a和b时，这个数是a2×b。因为这个数不大于50，所以对于a5，只有a=2，即25=32；

对于a2×b，经试算得到，22×3=12，22×5=20，22×7=28，22×11=44，

32×2=18，32×5=45，52×2=50。

所以满足题意的数有八个：32，12，20，28，44，18，45，50。

练习11

1.一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209分米2，如果它的

长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少立方分米？

2.爷孙两人今年的年龄的乘积是693，4年前他们的年龄都是质数。

爷孙两人今年的年龄各是多少岁？

3.某车间有216个零件，如果平均分成若干份，分的份数在5至20

之间，那么有多少种分法？

4.小英参加小学数学竞赛，她说：“我得的成绩和我的岁数以及我得

的名次乘起来是3916，满分是100分。”能否知道小英的年龄、考试成绩及名次？

5.举例回答下面各问题：

（1）两个质数的和仍是质数吗？

（2）两个质数的积能是质数吗？

（3）两个合数的和仍是合数吗？

（4）两个合数的差（大数减小数）仍是合数吗？

（5）一个质数与一个合数的和是质数还是合数？

6.求不大于100的约数最多的自然数。

7.同学们去射箭，规定每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶）或者是

不超过10的自然数。甲、乙两同学各射5箭，每人得到的总环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环。求甲、乙各自的总环数。

第十五讲：分解质因数

专题分析：

一个自然数的因数中，为质数的因数叫做质因数。可以通过分解质因数的方法来启发我们的思维。

练习一：

1、把18个苹果平均分成若干份，每份大于1，小于18。一共有多少种不同分

法？

思路：只要把18分解质因数即可。

2、有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多余15人，有哪几种分法？

3、195个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，一共有几种分发？

4、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数各是多少？

练习二：

1、写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。

思路：先把15120分解质因数，通过观察计算，可得到答案。

2、有一个长方体，它的长宽高是一个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积。

3、有4个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024。问这4个孩子各是多少岁？

4、四个连续的奇数的积是19305。这四个数各是多少？

练习三：

1、将下列八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99

思路：先将它们分别分解质因数，通过观察，共含有8个2、6个3、2个5、2个7和2个11。因为要把它们分成两组，且乘积相等，则一组中应有4个2、3个3、1个5、1个7和1个11。

2、有三个自然数a、b、c，已知a×b＝30，bc＝35，c×a＝42。求a×b×c是多少？

3、把40、4

4、4

5、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。

4、把30、33、42、52、6

5、6

6、6

7、7

8、105九个数分成三组，使每组的数的乘积相等，写出这三组数。

练习四：

1、王老师带领同学去植树，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？

思路：把539分解质因数为539＝7×7×11，如果每人植7棵，则有76人，如果每人植11棵，则有48人。如果每人植49棵，则有10人。

2、植树节，老师带领同学去植树，已知老师和学生每人植树的棵数相等，一共植了111棵。求有多少个同学？

3、小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6，小青买的电影票是几排几号？

4、把一篮苹果分给4人，使4人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数的乘积是1920。这篮苹果有多少个？

练习五：

1、下面的算式里，（）里数字各不相同，求这四个数字。

（）（）×（）（）＝1995

思路：依然是分解质因数，1995＝3×5×7×19，可以用两组数35和57、21和95，但是（）里数字各不相同，所以只选21和95。这四个数的和是17。

2、在下面的（）里各填入一个数，使算式成立。

（）（）（）×（）＝1995

3、在下面的（）里各填入一个数，并且这四个数是连续的偶数。

（）（）×（）（）＝1288

4、求（）里各数的和是多少？

（）（）×（）（）＝1653

练习六：

1、三个质数的和是80，这三个数的积最大是多少？

思路：因为质数中只有一个偶数，三个质数的和是一个偶数，必定有一个质数是2，剩下两个质数的和是78，要使这两个数的乘积最大，必须它们的差最小。所以是37和41。那么这三个数的乘积是3034。

2、如果A＋B＝70，A×B＝1161，那么A与B的差是多少？

3、把1、2、3、

4、

5、

6、

7、

8、9九张卡片分给甲乙丙三人，每人3张，甲说：我的三张卡片上的数乘积是48；乙说：我的三张卡片上的数乘和是16，丙说：我的三张卡片上的数乘积是63。问甲乙丙各拿了哪几张卡片？

4、长方形的面积是375平方米，已知它的宽比长少10米。这个长方形的周长是多少米？

练习七：

1、一个两位数除310余37，这个数可以是（）或者（）。

思路：已知一个两位数除310余37，如果310减去37。差一定能被这个两位数整除。然后把差分解质因数，注意这个两位数一定大于37。

2、237除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合这个条件的所有两位数。

3、5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？

4、有一块长方形的场地，它是由319块1平方分米的水泥砖铺成的，求这块长方形场地的周长？

练习八：

1、某班同学在老师的带领下去植树，学生恰好分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073棵，那么，平均每人种了多少棵？

思路：根据1073＝37×29，因为植树的人数是一个数的3倍多1，所以只有37满足这个条件，则有37人，每人种了29棵。

2、一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少厘米？

3、老师用216元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1元钱，那么他就能多买3支。问：每支钢笔原价多少元？（用方程较简单）

4、王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3组，如果师生每人擦的块数同样多，一共擦111块，那么，平均每人擦了多少块？

练习九：

1、把186分之155和187分之221约分。

思路：对于分子、分母比较大的分数，可以使用先计算出分子、分母的差，如果这个差是一个质数，就直接用这个质数约分即可，如果是一个合数，就把这个合数分解质因数后，用其中可能的一个去约分即可。

2、请把下列分数约分。

69分之46、117分之143、323分之247和253分之161。

练习十：

1、小明用21.6元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他就可以多买3张，问小明买了多少张？

思路：把216分解质因数为2的立方乘以3的立方，所以小明可以买8分的27张，或者9分的24张，根据题意，小明买了24张正确。

2、求2310的约数中，最大的是多少？

3、自然数a乘以2376，所得的积正好是自然数b的平方。求a最小是多少？

4、将750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成以角为单位的数就正好是得钱人数的12倍。求获奖人数和每人分得的钱数。

一、基本概念和知识

1.质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。

一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。

要特别记住：1不是质数，也不是合数。

2.质因数与分解质因数

如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例：把30分解质因数。

解：30＝2×3×5。

其中2、3、5叫做30的质因数。

又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的质因数。

二、例题

例1 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

解：∵210=2×3×5×7

∴可知这三个数是5、6和7。

例2 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？

解：把40表示为两个质数的和，共有三种形式：

40=17+23=11＋29=3+37。

∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。

∴所求的最大值是391。

答：这两个质数的最大乘积是391。

例3 自然数123456789是质数，还是合数？为什么？

解：123456789是合数。

因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。

例4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？

解：如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。

如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个.这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。

综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。

例5 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。

解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，

这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14

（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）

只能放在第一组，则5必须放在第二组。

这样14×15=210=5×6×7。

这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。

例6 有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数。

分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560.40×40×40＝64000，远大于42560.因此，要求的三个自然数在30～40之间。

解：42560=26×5×7×19

＝25×（5×7）×（19×2）

＝32×35×38（合题意）

要求的三个自然数分别是32、35和38。

例7 有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，

a×c＝10.求a×b×c是多少？

解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。

（a×b）×（b×c）×（a×c）

=（2×3）×（3×5）×（2×5）

∴a2×b2×c2=22×32×52

∴（a×b×c）2＝（2×3×5）2

a×b×c=2×3×5＝30

在例7中有a2＝22，b2=32，c2=52，其中22=4，32＝9，52＝25，像4、9、25这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。

如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数.

下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。

例如：把下列各完全平方数分解质因数：

9，36，144，1600，275625。

解：9=32 36=22×32 144=32×24

1600=26×52 275625=32×54×72

可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。

反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。

如上例中，36＝62，144=122，1600=402，275625=5252。

例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。分析∵a与1080的乘积是一个完全平方数，

∴乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。

解：∵1080×a=23×33×5×a，

又∵1080=23×33×5的质因数分解中各质因数的指数都是奇数，

∴a必含质因数2、3、5，因此a最小为2×3×5。

∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

答：a的最小值为30，这个完全平方数是32400。

例9 问360共有多少个约数？

分析360=23×32×5。

为了求360有多少个约数，我们先来看32×5有多少个约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有约数.为了求32×5有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到32×5的所有约数。

解：记5的约数个数为Y1，

32×5的约数个数为Y2，

360（=23×32×5）的约数个数为Y3.由上面的分析可知：

Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，

显然Y1=2（5只有1和5两个约数）。

因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

所以360共有24个约数。

说明：Y3=4×Y2中的“4”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360＝23×32×5中质因数2的个数加1；Y2=3×Y1中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是23×32×5中质因数3的个数加1；而Y1=2中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23×32×5中质因数5的个数加1.因此Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。

对于任何一个合数，用类似于对23×32×5（=360）的约数个数的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：

一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘的积。

例10 求240的约数的个数。

解：∵240＝24×31×51，

∴240的约数的个数是

（4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

∴240有20个约数。

请你列举一下240的所有约数，再数一数，看一看是否是20个？