中考数学压轴题汇总

中考数学压轴题汇总 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

2010年中考数学压轴题汇总8

1、（2010天门，25，12分）如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴上，OA =OD =2，OC =OE =4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点P 为线段FG 上一个动点(与F 、G 不重合)，PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q . (1)求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；

(2)是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似若存在，求出满足条件的点P 的

坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰

梯形若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由.

【分析】（1）确定二次函数解析式可用待定系数法，本题可用一般式，也可用交点式． （2）本题中因为△AOD 是等腰直角三角形，结合题意可知△MPQ 是等腰直角三角形，再结合等腰直角三角形的性质求解.

(3)当点P 在对称轴左侧时，四边形PMNQ 为菱形，结合菱形的邻边相等，确定点Q 的坐标，再验证点Q 是否在抛物线上，当点P 在对称轴右侧时，四边形PMNQ 为等腰梯形，可作出梯形的两条高，构造求解.

【答案】

（1）设函数解析式为y=a(x+2)(x-4)，则

a ×2×(-4)=4，解得a=-2

1

所以经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式为y=-

21(x+2)(x-4)=-2

1

x 2+x+4.

(2) y=-21x 2+x+4=-21（x-1）2+2

9.

易知直线AD 解析式为y=x+2，所以M （1，3），过点M 作MR ⊥PQ 于点R ，因为△AOD 是等腰直角三角形，结合题意可知△MPQ 是等腰直角三角形，设MN=m ，则PQ=2m ，所以P(1-m ，3-m)，Q(1-m ，3+m)，所以

-

21（1-m-1）2+2

9

=3+m ，解得m 1=1，m 2=-3（不合题意，舍去） 此时P(0，2)

（3）

【涉及知识点】二次函数解析式，顶点坐标，对称轴，相似三角形，菱形，等腰梯形. 【点评】这是一道传统型的压轴题，以函数和几何图形的综合作为主要方式，用到三角形、四边形、相似形的有关知识．解压轴题，要注意它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“平列”的，还是“递进”的，这一点非常重要.

2、（2010 武汉，25题，12分）如图1，抛物线b ax ax y +-=221经过点A （－1，0），C （0，

2

3

）两点，且与x 轴的另一交点为点B ． （1）求抛物线解析式；

（2）若抛物线的顶点为点M ，点P 为线段AB 上一动点（不与B 重合），Q 在线段MB 上移

动，且∠MPQ =45°，设OP =x ，MQ =22

2

y ，求2y 于x 的函数关系式，并且直接写出自变量的取值范围；

（3）如图2，在同一平面直角坐标系中，若两条直线x =m ，x =n 分别与抛物线交于E 、G 两

点，与（2）中的函数图像交于F 、H 两点，问四边形EFHG 能否为平行四边形若能，求出m 、n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．

【分析】（1）问直接代入已知点到解析式即可求出解；（2）中是关于动点问题，可以利用动

中取静的方法求解，关键是PM 2的获取，△MPQ ~△MBP 的发现，从而得到

PM 2=MQ ?MB ；（3）可先尝试动手画，然后再根据自己画的图形，分析出EF =GH ，从而得到关于m,n 的等式，变形化简即可．

【答案】解：(1) ∵抛物线y 1=ax 2

?2ax ?b 经过A (?1，0)，C (0，23)两点，∴??

???==++2302b b a a ，∴a =

?2

1，

b =23，∴抛物线的解析式为y 1= ?21x 2?x ?2

3．

(2) 作MN ?AB ，垂足为N ．由y 1= ?21x 2?x ?2

3易得M (1，2)， N (1，0)，A (?1，0)，B (3，0)，∴AB =4，MN =BN =2，MB =22， ?MBN =45?．根据勾股定理有BM 2?BN 2=PM 2?PN 2． ∴(22)2

?22

=PM 2

= ?(1?x )2

…?，又?MPQ =45?=?MBP ， ∴△MPQ ~△MBP ，∴PM 2=MQ ?MB =

2

2

y 2?22…?． 由?、?得y 2=2

1

x 2?x ?2

5．∵0?x <3，∴y 2与x 的函数关系式为y 2=21x 2?x ?2

5(0?x <3)． (3) 四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是

m ?n =2(0?m ?2，且m ?1)．∵点E 、G 是抛物线y 1= ?21x 2?x ?2

3 分别与直线x=m ，x=n 的交点，∴点E 、G 坐标为

E (m ，?21m 2?m ?23)，G (n ，?21n 2?n ?2

3)．同理，点F 、H 坐标 为F (m ，21m 2?m ?25)，H (n ，21n 2?n ?2

5)．

∴EF =21m 2?m ?25?(?21m 2?m ?23)=m 2?2m ?1，GH =21n 2?n ?25?(?21n 2?n ?2

3)=n 2?2n ?1． ∵四边形EFHG 是平行四边形，EF =GH ．∴m 2?2m ?1=n 2?2n ?1，∴(m ?n ?2)(m ?n )=0． 由题意知m ?n ，∴m ?n =2 (0?m ?2，且m ?1)．

因此，四边形EFHG 可以为平行四边形，m 、n 之间的数量关系是m ?n =2 (0?m ?2，且m ?1)． 【涉及知识点】二次函数、相似、平行四边形的性质等．

【点评】此题是集动点、猜想、函数等知识于一身的综合性大题．万变不离其中，只要我们平

时打好基础，再难的问题，都可迎刃而解的．需要指出是第（3）问，准确绘出y 1,y 2的图象，他们顶点在一处，再用含m,n 的式子表示出EF 、GH 的长成为问题获得突破的关键．事实上，这也是很多抛物线为载体的综合题一个重要技巧．

3、（2010湖北咸宁，24，12分）

如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90DAB ∠=?，24AD DC ==，6AB =．动点M 以每秒1个 单位长的速度，从点A 沿线段AB 向点B 运动；同时点P 以相同的速度，从点C 沿折线C -D -A 向点

A 运动．当点M 到达点

B 时，两点同时停止运动．过点M 作直线l ∥AD ，与线段CD 的交点为E ，

与折线A -C -B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）． （1）当0.5t =时，求线段QM 的长；

（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值； （3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究CQ

RQ

是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，

请说明理由．

【分析】解决梯形问题，有一个基本思想，就是：把梯形问题转化为三角形或平行四边形的问题来解决．如下图，过点C 作C F ⊥AB ，垂足为F ，就能把这个直角梯形分作一个矩形和一个等腰直角三角形，图中的所有线段都容易求得．

于是对于第（1）小题，可利用锐角三角函数或相似三角形对应边成比例顺利求出线段QM 的长．对于第（2）小题，由于当0＜t ＜2时，点P 在CD 上，点Q 在AC 上，所以QCP ∠一定是锐角，所以可以分 90=∠CPQ 和 90=∠CQP 两种情况来分析．对于第（3）小题，容易发现当t ＞2时，点Q 在线段BC 上，点P 在线段AD 上，如下图所示：

由题意得线段t AP -=6，而线段t BM QM -==6，所以PA=QM ，这样容易证明PQ ∥AB ，进而可得△CRQ ∽△CAB ，所以

AC

BC

RQ CQ =为定值． 【答案】解：（1）过点C 作CF AB ⊥于F ，则四边形AFCD 为矩形． ∴4CF =，2AF =． 此时，Rt △AQM ∽Rt △ACF ．

∴

QM CF

AM AF =

． 即40.52

QM =，∴1QM =．

（2）∵DCA

∠为锐角，故有两种情况：①当90

CPQ

∠=?时，点P与点E重合．此时DE CP CD

+=，即2

t t+=，∴1

t=．②当90

PQC

∠=?时，如备用图1，

此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴EQ MA PE QM

=．

由（1）知，42

EQ EM QM t

=-=-，

而()(2)22 PE PC CE PC DC DE t t t =-=--=--=-，

∴421

222

t

t

-

=

-

．∴

5

3

t=．

综上所述，1

t=或5

3

．

（3）CQ

RQ

为定值．

当t＞2时，如备用图2，4(2)6

PA DA DP t t

=-=--=-．由（1）得，4

BF AB AF

=-=．

∴CF BF

=．∴45

CBF

∠=?．

∴6

QM MB t

==-．∴QM PA

=．

∴四边形AMQP为矩形．∴PQ∥AB．

∴△CRQ∽△CAB．

∴

224222

CQ BC CF BF

RQ AB

+

===

【涉及知识点】梯形、矩形、锐角三角函数、相似三角形、等腰直角三角形、

【点评】本题属双动点型几何综合题，解题时应注意两个点所处的位置的变化，作为最后一道压轴题，难度系数不是很高，特别是第（3）小题，没有把“尾巴翘起来”，可能区分度不高，选拔优秀学生的功能不是很好．

4、（2010年湖北襄樊 26 本大题满分12分）

如图7，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形POQE是等腰梯形

（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似

图7

【分析】参照图形确定出A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式；结合等腰梯形的性质可知，OP=EQ时，BP=FQ，据此列方程求解；由于相似的两个三角形各点对应关系不确定，所以要分情况讨论．

【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OC=AB=4．

∴A（4，2），B（0，2），C（－4，0）．

∵抛物线y=a x2+b x+c过点B，∴c=2．

由题意，有

16420,

1642 2.

a b

a b

-+=

?

?

++=

?

解得

1

,

16

1

.

4

a

b

?

=-

??

?

?=

??

∴所求抛物线的解析式为211

2164

y x x =-++． （2）将抛物线的解析式配方，得()2

1122164y x =--+．

∴抛物线的对称轴为x =2．

∴D （8，0），E （2，2），F （2，0）．

欲使四边形POQE 为等腰梯形，则有OP =QE ．即BP=FQ ．

∴t =6－3t ，即t =3

2

．

（3）欲使以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点的三角形相似， ∵∠PBO =∠BOQ =90°，∴有BP OQ

OB BO =

或BP BO OB OQ

=， 即PB=OQ 或OB 2=PB ·QO ．

①若P 、Q 在y 轴的同侧．当PB=OQ 时，t=8－3t ，∴t =2． 当OB 2=PB ·QO 时，t (8－3t )=4，即3t 2－8t+4=0． 解得12223

t t ==

，． ②若P 、Q 在y 轴的异侧．当PB=OQ 时，3t －8=t ，∴t =4． 当OB 2=PB ·QO 时，t (3t －8)=4，即3t 2－8t －4=0．解得427

t ±=

∵t 427

-．故舍去，∴t 427+．

∴当t =2或t =2

3

或t =4或t=473+秒时，以P 、B 、O 为顶点的三角形与以点Q 、B 、O 为顶点

的三角形相似．

【涉及知识点】二次函数，等腰梯形，相似三角形，方程

【点评】注意充分利用数形结合思想，可以减少运算量，比如求抛物线对称轴方程，不一定把二次函数解析式配方，观察图形，不难发现，这条对称轴就是线段AB 的垂直平分线，由此很快能确定抛物线对称轴方程为直线x =2，这样更加便捷．

5、（2010年湖北宜昌 24 12分）如图，直线y=hx+d 与x 轴和y 轴分别相交于点A(-1,0),B(0,1),与双曲线y=

t

x

在第一象限相交于点C ；以AC 为斜边、CAO ∠为内角的直角三角形，与以CO 为对角线、一边在x 轴上的矩形面积相等；点C,P 在以B 为顶点的抛物线y=2mx nx k ++上；直线y=hx+d 、双曲线y=t

x

和抛物线2y ax bx c =++同时经过两个不同的点C ，D 。 （1）确定t 的值 （2）确定m , n , k 的值

（3）若无论a , b , c 取何值，抛物线2y ax bx c =++都不经过点P ，请确定P 的坐标 （12分）

A

B

O

y

x

C

（第24题）

【分析】（1）根据直线方程过的两个点可求出直线方程，再根据双曲线过C 点，设点C 坐标为（x 1，y 1），则x 1y 1=t ．，再根据面积相等，进而求得C 点坐标，便可求出t 的值；（2）根据抛物线顶点B ，得到两个等式，以及C 点 在抛物线上，又得一等式，由三个等式联立，便可求出m 、n 、k ；（3）根据直线与双曲线的交点C 、D ，求出后代入抛物线方程可得两个等式，可把抛物线方程

中的参数a 、b 、c 消去两个，再根据P 点在y=2mx nx k ++上，可设出坐标，代入2y ax bx c =++后得到的方程无解，进而求出a 、b 、c ．

【答案】解：

（1）直线过点A ，B ，则0=－h +d 和1=d ,即y =x +1. 双曲线

y=t

x 经过点

C （x 1，y 1），x 1y 1=t ．

以

AC 为斜边，∠CAO 为内角的直角三角形的面积为1

2

×y 1×(1+x 1);

以CO 为对角线的矩形面积为x 1y 1，

12

×y 1×(1+x 1)＝x 1y 1，因为x 1，y 1都不等于0，故得x 1＝1，所以y 1=2.

故有，

12t

=

，即t =2.

（2）∵B 是抛物线y ＝mx 2＋nx ＋k 的顶点，∴有－0,2n

m = 2414n mk m --

=，

得到n =0，k =1.

∵C 是抛物线y ＝mx 2＋nx ＋k 上的点，∴有2＝m(1)2+1,得m=1． （3）设点P 的横坐标为p ，则纵坐标为p 2+1. ∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过两个不同的点C ，D ， 其中求得D 点坐标为（－2，－1）．. 解法一： 故 2＝a ＋b ＋c ， －1＝4a －2b ＋c ． 解之得，b ＝a ＋1, c ＝1－2a . ∴y =ax 2＋( a ＋1)x ＋（1－2a ） 于是： p 2+1≠a p 2＋（a ＋1）p ＋（1－2a ） ∴无论a 取什么值都有p 2－p ≠（p 2＋p －2）a ． （或者，令p 2-p=(p 2+p -2)a

∵抛物线y=ax2+bx+c不经过P点，∴此方程无解，或有解但不合题意）

故∵a≠０，∴①

2

2

0,

20 p p

p p

?-=

?

?

+-≠??

解之p＝0，p＝1，并且p≠1，p≠－2.得p＝0. ∴符合题意的P点为（0，1）.

②

2

2

0,

20

p p

p p

?-≠

?

?

+-=

??，解之p＝1，p＝－2，并且p≠0，p≠1.

得p＝－2.

符合题意的P点为（－2，5）．

∴符合题意的P点有两个（0，1）和（－2，5）.

解法二：

则有（a－1）p2+(a+1) p－2a=0

即〔（a－1）p+2a〕(p－1)=0

有p－1=0时，得p=1，为（1，2）此即C点，在y=ax2+bx+c上.

或（a－1）p+2a=0，即（p+2）a=p

当p=0时a=0与a≠0矛盾

得点P（0，1）

或者p=－2时，无解

得点P（－2，5）

故对任意a，b，c，抛物线y=ax2+bx+c都不经过（0，1）和（－2，5）解法三：

如图, 抛物线y=ax2+bx+c不经过直线CD上除C，D外的其他点．

(只经过直线CD上的C，D点).

．

6、（2010湖南永州，24，10分）已知二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点A(－2 ，0)，与y 轴的交点为B(0，4)，且其对称轴与y 轴平行．

⑴求该二次函数的解析式，并在所给出坐标系中画出这个二次函数的大致图象； ⑵在该二次函数位于A 、B 两点之间的图象上取上点M ，过点M 分别作x 轴、y 轴的垂线段，垂足分别为点C 、D ．求矩形MCOD 的周长的最小值，并求使矩形MCID 的周长最小时的点M 坐标．

【分析】（1）利用待定系数法由题意可设抛物线的解析式2)2(+=x a y 再将已知的B 点坐标代入可求出a 得出解析式，

（2）设点M 的坐标为（m ，n ），将其代入抛物线的解析式可得出m ，n 之间的关系式n ＝m 2+4m+4；再由矩形周长公式可得出周长L 与m ，n 之间的二次函数关系式L ＝2(n －m )；消去n 可得出L 与m 二次函数关系式，利用顶点坐标式可求出结果.

【答案】⑴由题意可知点A(－2，0)是抛物线的顶点，设抛物线的解析式为2)2(+=x a y ∵其图象与y 轴交于点B(0，4) ∴4＝4a ∴a ＝1

∴抛物线的解析式为2)2(+=x y

⑵设点M 的坐标为（m ，n ），则m ＜0，n ＞0，n ＝(m+n)2＝m 2+4m+4 设矩形MCOD 的周长为L 则L ＝2(MC+MD)＝2(m n +) ＝2(n －m ) ＝2(m 2+4m+4－m ) ＝2(m 2+3m+4)

＝2(m+

23)2+27 当m ＝23-时，L 有最小值27，此时n ＝41

（第24题图）

∴点M 的坐标为（23

，4

1

）． 【涉及知识点】二次函数、待定系数法、矩形周长

【点评】本题出现的待定系数法、最值是考查二次函数的知识最常见手段，既考查了基础知识，又难度不大，是一道难度中等的好题. 【推荐指数】★★★★

25．（2010湖南永州，25，10分）探究问题： （1）阅读理解：

①如图（A ），在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时PA ＋PB ＋PC 的值为△ABC 的费马距离.

②如图（B ），若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ·CD ＋BC ·DA ＝AC ·BD .此为托勒密定理.

（2）知识迁移：

①请你利用托勒密定理，解决如下问题：

如图（C ），已知点P 为等边△ABC 外接圆的BC 上任意一点.求证：PB ＋PC ＝PA .

②根据（2）①的结论，我们有如下探寻△ABC （其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120°）的费马点和费马距离的方法：

第一步：如图（D ），在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆；

第二步：在BC 上任取一点P ′，连结P′A 、P′B 、P′C 、P′D .易知P′A ＋P′B ＋P′C ＝P′A ＋（P′B ＋P′C ）

＝P′A ＋ ；

第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出△ABC的费马点P，并请指出线段的长度即为△ABC的费马距离.

（3）知识应用：

2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.

已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值.

【分析】（2）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证. ②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解. （3）知识应用，在（2）的基础上先画出图形，再求解.

【答案】（2）①证明：由托勒密定理可知PB·AC＋PC·AB＝PA·BC

∵△ABC是等边三角形

∴AB＝AC＝BC

∴PB＋PC＝PA

②P′D AD

（3）解：如图，以BC 为边长在△ABC 的外部作等边△BCD ，连接AD ，则知线段AD 的长即为△ABC 的费马距离.

∵△BCD 为等边三角形，BC ＝4，

∴∠CBD ＝60°，BD ＝BC ＝4. ∵∠ABC ＝30°， ∴∠ABD =90°. 在Rt △ABD 中，∵AB ＝3，BD ＝4 ∴AD 22AB BD +2234+＝5（km ）

∴从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的输水管总长度的最小值为5km . 【涉及知识点】圆，等边三角形，线段性质，勾股定理

【点评】此题集阅读理解、创新探究、实际应用于一体，题型新颖别致，综合考查自主探究、创新应用能力，是一道不可多得的好题. 此题环环相扣，解题关键是理解阅读材料，从中获取新知，能够灵活应用新知解决数学问题，并进一步构建数学模型解决实际问题. 此题难度中等，只要平时养成自主学习的习惯，并善于将所学知识融会贯通，便可顺利解决问题.

7、（2010湖南长沙，26，10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，82,8OA cm OC cm ==，现有两动点P ．Q 分别从O ．C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA 2cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．

（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；

（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线2

14

y x bx c =

++经过B ．P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．

【分析】（1）依题意OQ ＝8－t ,OP ＝2t, 1

2PQO S OP OQ ?=?，整理即得;

（2）依据PAB CBQ OABC OPBQ S S S S ??=--矩形四边形可得; （3）依题意得P (42B(2，进而得抛物线为2

12284

y x x =

-+，过B ．P 两点的直线为y 2－8 ．当62x =MN 的长最大，此时直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比3：1．

【答案】解：（1）由题意知，OQ ＝8－t ,OP 2t,

∴()2

12284222

PQO S t t ?=?-=-

+ （2）由题意知，AB ＝OC ＝8,CQ ＝ t, CB ＝OA ＝2,PA ＝22t,

()

1

882242t 3222PAB S t ?=??=-+1

8242t 2

OBQ S t ?=??=;

∴PAB CBQ OABC OPBQ S S S S ??=--矩形四边形

(88242t 32242t =?-+- 322=

∴四边形OPBQ 的面积是一个定值，这个定值为2．