2019-2020学年广西南宁三中重点班高二(下)期末数学试卷2 (含答案解析)

2019-2020学年广西南宁三中重点班高二（下）期末数学试卷2

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 复数z 满足(1+i)z =|√3?i|，则z ?

=( )

A. 1+i

B. 1?i

C. ?1?i

D. ?1+i

2. 已知甲、乙、丙、丁四人中仅有一人到A 城市旅游．甲说：旅游者在乙、丙、丁三人之中．乙

说：我没有旅游．丙说：甲、乙两人中有一人旅游．丁说：乙说的对．若四人中只有两个人说的是真话，则旅游者是( )

A. 丁

B. 丙

C. 乙

D. 甲

3. 用数学归纳法证明：1+1

22+1

32+?+1

(2n ?1)2<2?1

2n ?1(n ?2)(n ∈N ?)时第一步需要证明

( )

A. 1<2?1

2?1

B. 1+1

22<2?1

22?1

C. 1+1

22+1

32<2?1

22?1 D. 1+1

22+1

32+1

42<2?1

22?1 4. 函数f(x)=xe ?x ，x ∈[0,4]的最小值为( )

A. 0

B. 1

e

C. 4

e 4

D. 2

e 2

5. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A ，

“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B ，则P(B|A)=( )

A. 1

3

B. 1

6

C. 1

9

D. 1

12

6. 为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资．某工厂为了监控转产产品的质量，

测得某批n 件产品的正品率为98%，现从中任意有放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率为( )

A. 0.998816

B. 0.9996

C. 0.057624

D. 0.001184

7. 将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有一名同

学的排法有( )

A. 18

B. 20

C. 21

D. 22

8. 甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为2

3，则甲获胜的概率

为( )

A. (23)2

+C 32(23)2

(13)1

B. (23)2

+C 32(23)2

C. (23)2

+C 21(23)2

(13

)1

D. (23)2

+C 21(23)1

(13

)1

9. 已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1

个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为( )

A. 1

3

B. 1

2

C. 5

9

D. 2

9

10. 已知函数f(x)=12x 2+alnx ，若对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有

f (x 1)?f (x 2)x 1?x 2

>4恒成立，则

a 的取值范围为( )

A. [4,+∞)

B. (4.+∞)

C. (?∞,4]

D. (?∞,4) 11. (1+2x)3(2?y)4的展开式中x 2y 3的系数是( )

A. ?96

B. 64

C. ?32

D. 16

12. 已知函数

的极小值点为2，则f(x)的极大值为( )

A. ?5

2

B. ?3

2

C. 3

2

D. 5

2

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 从某班甲、乙、丙等10名同学中选出3个人参加汉字听写，则甲、乙至少有1人入选，而丙没

有入选的不同选法的种数为______． 14. 计算定积分∫√1?x 21

0dx =______．

15. 已知(x 2+2x +2)5=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+?+a 10(x +1)10，则a 1+a 2+?+

a 10=__________ .

16. 函数f(x)=x +2x?1(x >1)的值域为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 假设某射手每次射击命中目标的概率为2

3，现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，

否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X(发)，求： (1)耗用子弹数为X 的概率分布列； (2)耗用子弹数为X 的数学期望．

18. 如图，在四棱锥P ?ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =120°，△PAD 为等边三角形，E 为

棱PC 的中点．

(1)证明：PB⊥平面ADE；

(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角A?DE?B的余弦值．

19.根据国家最新人口发展战略，一对夫妇可生育两个孩子，为了解人们对放开生育二胎政策的意

向，某机构在A城市随机调查了100位30到40岁已婚人群，得到情况如下表：

(1)是否有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”，并说明理由(请参考所附的公式及相关

数据);

(2)把以上频率当概率，若从A城市随机抽取3位30到40岁的已婚男性，记其中愿意生二胎的

人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望．

K2=n(ad?bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2≥k)0.0500.0100.001

k 3.8416.63510.828

20. 已知椭圆C ：

x 2a

2+

y 2b 2

=1(a >b >0)的右焦点为F(1,0)，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点

M 的坐标为(2,0).当l ⊥x 轴时，△ABM 的面积为√22

． (1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设直线AM 、BM 的斜率分别为k 1、k 2，问：k 1+k 2是否是定值？若是，请求出定值；若否，请说明理由．

21. 已知函数f(x)=alnx ?x 2+x 有两个极值点x 1，x 2(x 1

(1)若x 2?x 1=1

4，求实数a 的值； (2)若?3

25

9，求

f(x 1)?f(x 2)x 2?x 1

的取值范围．

22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1?t

y =3+t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2cosθ，点P 是曲线C 1上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且|PQ |=3|OP |，点Q 的轨迹为C 2． (1)求直线l 及曲线C 2的极坐标方程；

(2)若射线θ=α(0<α<π

2)与直线l 交于点M ，与曲线C 2交于点N(与原点不重合)，求|ON |

|OM |的最大值．

23.【选修4?5：不等式选讲】

?a|(a>0)．已知函数f(x)=|x|+|x?4

a

(Ⅰ)求证：f(x)≥4；

(Ⅱ)当a=4时，解不等式f(x)≥9．

-------- 答案与解析 --------1.答案：A

解析：

【分析】

本题主要考查复数的应用，属于中档题．

【解答】

解：由题意得，z=|√3?i|

1+i =2

1+i

=2(1?i)

(1+i)(1?i)

=1?i，

则z=1+i，

故选A．

2.答案：C

解析：

【分析】

本题考查了简单的合情推理，采用逐一检验法，属简单题．

采用逐一检验法，讨论旅游者分别为甲、乙、丙、丁，逐一检验即可得解．

【解答】

解：当甲为旅游者时，则乙、丙、丁说的是真话，甲说的是假话，与已知不符，故不是甲；当乙为旅游者时，则甲，丙说的是真话，乙、丁说的是假话，与已知相符，故是乙；

当丙为旅游者时，则甲，乙，丁说的是真话，丙说的是假话，与已知不符，故不是丙；

当丁为旅游者时，则甲、乙、丁说的是真话，丙说的是假话，与已知不符，故不是丁．

故选C．

3.答案：C

解析：

【分析】

本题考查数学归纳法的证明，属于基础题．

直接利用数学归纳法写出n=2时左边和右边的表达式即可，不等式的左边需要从1加到1

(22?1)2

，不要漏掉项．

【解答】

解：用数学归纳法证明1+122+132+?+1

(2n?1)2<2?1

2n?1

(n≥2)，

第一步应验证不等式为：1+1

22+1

32

<2?1

22?1

，

故选C．

4.答案：A

解析：

【分析】

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，属于基础题．

求出函数的导数，根据其单调性即可求解函数的最值．

【解答】

解：因为f′(x)=1?x

e x

，

当x∈[0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当x∈(1,4]时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

因为f(0)=0，f(4)=4

e4

>0，所以当x=0时，f(x)有最小值，且最小值为0，故选A．

5.答案：B

解析：

【分析】

本题考查条件概率的求解，属基础题，难度不大．

分别求出事件A和事件AB发生的概率，利用条件概率的公式求解即可．

【解答】

解：由题意知，满足事件A的情况有红骰子向上的点数为1、2、3，

即P(A)=3

6=1

2

，

同时满足事件AB的情况有红骰子向上的点数为1、2、3，蓝骰子对应点数为6、5、4，

即P(AB)=3

6×6=1

12

，

∴P(B|A)=P(AB)

P(A)=

1

12

1

2

=1

6

．

故选B．

6.答案：A

解析：

【分析】

本题考查n次独立重复试验与二项分布，属于基础题.根据至多抽到1件次品包含没有次品和一件次品、两件正品两种情况，即可求出结果．

【解答】

解：∵测得某批n件产品的正品率为98%，

∴测得某批n 件产品的正品率为1?98%=2%， 则至多抽到1件次品的概率为：

P =C 30(98％)3

+C 31

(2％)1

×(98％)2

=0.99816．

故选A ．

7.答案：B

解析：解：根据题意，分2种情况讨论：

①、若A 与C 之间为B ，即B 在A 、C 中间且三人相邻， 考虑A 、C 的顺序，有A 22种情况，将三人看成一个整体， 与D 、E 2人全排列，有A 33=6种情况， 则此时有2×6=12种排法； ②、若A 与C 之间不是B ，

先D 、E 中选取1人，安排A 、C 之间，有C 21=2种选法，

此时B 在A 的另一侧，将4人看成一共整体，考虑之间的顺序，有A 22=2种情况， 将这个整体与剩余的1人全排列，有A 22=2种情况， 则此时有2×2×2=8种排法；

则一共有12+8=20种符合题意的排法； 故选：B ．

解：根据题意，分2种情况讨论：①、若A 与C 之间为B ，即B 在A 、C 中间且三人相邻，②、若A 与C 之间不是B ，分别求出每种情况的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．

本题考查排列、组合的综合应用，涉及分类计数原理的应用，注意“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有一名同学”这一条件．

8.答案：C

解析： 【分析】

本题主要考查n 次独立重复试验的应用，属于基础题．

根据题意分两种情况，即甲以2:1获胜或甲以2:0获胜，由此求解即可． 【解答】

解：每局比赛甲获胜的概率均为2

3，乙获胜的概率均为1

3， 甲以2:1获胜是指前两局比赛甲胜一局乙胜一局，第三局甲胜， 甲以2:0获胜是指前两局甲胜；

故所求概率为(23)2

+C 21(23)2

(13

)1， 故选C ．

9.答案：B

解析：

【分析】

本题考查互斥事件概率和独立事件概率，属基础题．

分从甲袋中取出的球是红球和黄球两种情况，利用独立事件同时发生的概率公式分别计算，然后求和即可．

【解答】解：若从甲袋中取出的球是红球，

则从乙袋中取出红球的概率为P1=1

2×3

5

=3

10

．

若从甲袋中取出的球是黄球，

则从乙袋中取出红球的概率为P2=1

2×2

5

=1

5

，

以上两个事件互斥，因此P=P1+P2=1

2

．

故选B．

10.答案：A

解析：

【分析】

本题考查导数的几何意义，以及函数恒成立问题，属中档题．

将已知条件转化为x>0时f′(x)>4恒成立，利用参数分离的方法求出a的取值范围．【解答】

解：对任意x1,x2都有f(x1)?f(x2)

x1?x2

>4恒成立，

则x>0时f′(x)>4，

∴ax+?1

x

>4，当x>0时恒成立，

∴a>4

x ?1

x

=?(1

x

?2)2+4，当x>0时恒成立，

∴a≥4，

故选A．

11.答案：A

解析：

【分析】

本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，是基础题．

分别求出(1+2x)3中含x2的项与(2?y)4的含y3的项，作积得答案．【解答】

解：∵(1+2x)3(2?y)4的展开式中含x2y3的项为C32?(2x)2?C43?2?(?y)3=?96x2y3．∴(1+2x)3(2?y)4的展开式中x2y3的系数是?96．

故选A．

12.答案：A

解析：

【分析】

本题考查了运用导数研究函数的极值问题，属于基础题．

首先求出b的值，再求函数的极值即可．

【解答】

解：由，

得f′(x)=2

x +x+b=x2+bx+2

x

?(x>0)，

∵x=2为f(x)的极小值点，

∴f′(2)=0，

∴4+2b+2

2

=0，

∴b=?3，

∴f′(x)=x2?3x+2

x

，x>0

令f′(x)=0，得x=1或x=2，

x∈(0,1)时，f′(x)>0，

x∈(1,2)时，f′(x)<0，

x∈(2,+∞)时，f′(x)>0，

∴x=1时，f(x)取得极大值，x=2时，f(x)取得极小值，

．

故选A．

13.答案：49

解析：

【分析】

先做出满足丙没有入选的结果数，丙没有入选相当于从9人中选3人，要求甲、乙至少有1人入选，可以先做出甲、乙都没入选的结果，相当于从7人中选3人，用所有的事件数减去不合题意的事件数，得到满足条件的事件数．

本题考查排列组合的实际应用，是一个综合题，题目中带有两个限制条件，注意限制条件的应用，

先做满足一个条件的事件数，再做满足另一个条件的事件数，把不合题意的舍去． 【解答】

解：丙没有入选相当于从9人中选3人，共有选法C 93

=84， 甲、乙都没入选相当于从7人中选3人共有C 73=35，

∴满足条件的事件数是84?35=49， 故答案为：49．

14.答案：π

4

解析：解：定积分∫√1?x 21

0dx 的几何意义是圆x 2+y 2=1的1

4个圆的面积， ∴∫√1?x 21

0dx =1

4π×12=π

4，

故答案为：π

4

定积分∫21

0dx 的几何意义是圆x 2+y 2=1的1

4个圆的面积，计算可得 本题考查定积分，利用定积分的几何意义是解决问题的关键，属基础题

15.答案：31

解析：令x =0，可得a 0+a 1+a 2+?+a 10=32；令x =?1，可得a 0=1；两式结合可得a 1+a 2+?+a 10=32?a 0=31。

16.答案：[2√2+1,+∞)

解析： 【分析】

本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题． 将表达式变形，利用基本不等式即可得出． 【解答】 解：∵x >1，

∴函数f(x)=x +2

x?1=(x ?1)+2

x?1+1 ≥2√(x ?1)?

2x?1

+1=2√2+1，

当且仅当x =√2+1时取等号．

∴函数f(x)=x +2

x?1(x >1)的值域为[2√2+1,+∞)． 故答案为：[2√2+1,+∞)．

17.答案：解：(1)因为耗用子弹数为X ，所以X =1,2,3，

当X =1时，即第一枪就命中，所以P(X =1)=2

3，

当X =2时，即第一枪不命中，第二枪命中，所以P(X =2)=(1?23)×23=2

9， 当X =3时，即第一、第二枪不命中，第三枪命中或不命中， 所以P(X =3)=(1?2

3)×(1?2

3)×(1

3+2

3)=1

9， 故耗用子弹数为X 的概率分布列为： X 1 2 3 P 23 29 19

(2)E(X)=1×2

3+2×2

9+3×1

9=

139

(发)，

答：某射手耗用子弹数X 的数学期望为13

9发.

解析：本题考查相互独立事件同时发生的概率及离散型随机变量及其分布列，同时考查期望的计算． (1)得出X 的取值，然后利用相互独立事件的概率求出各自的概率即可求解; (2)利用公式求解即可．

18.答案：解：(1)证明：由题知PD =DB ，

取PB 的中点G ，连接EG ，AG ，DG ，

又E 为PC 的中点，所以EG//BC ， 又AD//BC ，

所以AD//EG ，即A ，D ，E ，G 四点共面， 又PD =DB ，则DG ⊥PB ，同理PB ⊥AG ， 又DG ∩AG =G ，DG ，AG ?平面ADE ， 所以PB ⊥平面ADE;

(2)解：取AD 的中点O ，连接OP ，OB ，则OP ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，

且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，OP ?平面PAD ， 则OP ⊥平面ABCD ，

又OB ?平面ABCD ，则OP ⊥OB ，易知OA ⊥OB ，

故以O 为坐标原点，以OA ????? ，OB ?????? ，OP ????? 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O ?xyz ，

不妨设OA =1，则A(1,0，0)，D(?1,0，0)，B(0,√3,0)，P(0,0,√3)，E(?1,√32

,√32

)，则BP ????? =(0,?√3,√3)，

，DE

?????? =(0,√32

,√3

2

)， 设平面BDE 的一个法向量为m

??? =(x,y,z)，则{m ??? ?DB ?????? =0m ??? ?DE ?????? =0, 即{x +√3y =0,

√32y +√3

2

z =0, 取y =√3，则x =?3，z =?√3， 则m ??? =(?3,√3,?√3)， 由(1)知PB ⊥平面ADE ，

则平面ADE 的一个法向量为BP ????? =(0,?√3,√3)， 设向量m ??? 与BP ????? 所成的角为θ，则cos?θ=m

??? ?BP ?????? |m ??? ||BP

| =

√3×√3?√3×√3

√15×√6

=?

√10

5

， 由图知，二面角A ?DE ?B 的平面角是锐角， 故二面角A ?DE ?B 的余弦值为√10

5．

解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属于中档题．

(1)取PB 的中点G ，连接EG ，AG ，DG ，推导出EG//BC ，AD//BC ，所以AD//EG ，又PD =DB ，则DG ⊥PB ，同理PB ⊥AG ，由此能证明PB ⊥平面ADE ；

(2)取AD 的中点O ，以O 为原点，建立空间直角坐标系O ?xyz ，利用向量法能求出二面角A ?DE ?B 的余弦值．

19.答案：解：(Ⅰ)K 2=

259

<3.841，没有95%以上的把握认为“生二胎与性别有关”．

(Ⅱ)

因为X 服从二项分布，其分布列如下表：

由已知得，男性愿意“生二胎”的概率为2

3，且X ～B(3,2

3)，数学期望为EX =3×2

3=2．

解析：本题主要考查了频率分布表的应用和二项分布．

(Ⅰ)通过频率分布表可以计算出K2的值，与k 的值比较大小，若要有95%的把握认为“生二胎与性别有关”，则K2>3.841，否则不能这样认为；

(Ⅱ)这是一个二项分布的题目，随机抽取三人，则可以看成是3次独立重复试验，由(Ⅰ)表中可知男公务员“生二胎”的概率，则可以得出分布列并求出期望．

20.答案：解：(1)椭圆C ：x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(1,0)，

依题意得c 2=a 2?b 2=1，即b 2=a 2?1， 所以当x =1时，解得y =±

a 2?1a ，当l ⊥x 轴时，|AB|=

2(a 2?1)

a

， 因为|MF|=1，所以S △ABM =1

2|AB|×|MF|=

a 2?1a

=

√2

2

，解得a 2=2，

所以椭圆C 的标准方程为

x 22

+y 2=1．

(2)当l 与x 轴重合时，k 1=k 2=0，满足条件；当l 与x 轴垂直时，满足条件， 当l 与x 轴不重合且不垂直时，设l 为y =k (x ?1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 把l 代入

x 22

+y 2=1，得(2k 2+1)x 2?4k 2x +2k 2?2=0，

则x 1+x 2=4k 2

2k 2+1，x 1x 2=2k 2?2

2k 2+1，

因为k 1+k 2=y 1

x

1?2

+

y 2x 2?2

=

2kx 1x 2?3k(x 1+x 2)+4k

(x 1?2)(x 2?2)， 而2kx 1x 2?3k(x 1+x 2)+4k =2k(2k 2?2)2k 2+1

?

3k?4k 22k 2+1

+4k =

4k 3?4k?12k 3+8k 3+4k

2k 2+1

=0，

所以k 1+k 2=0

解析：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查两直线的斜率之和是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． (1)依题意c 2=a 2?b 2=1，从而当x =1时，y =±

a 2?1a

，当l ⊥x 轴时，|AB|=

2(a 2?1)

a

，由△ABM 的

面积为√2

2

，得a 2=2，由此能求出椭圆C 的标准方程．

(2)当l 与x 轴重合时，k 1=k 2=0，满足条件；当l 与x 轴垂直时，满足条件，当l 与x 轴不重合且不垂直时，设l 为y =k(x ?1)(k ≠0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，把l 代入

x 22

+y 2=1，得(2k 2+1)x 2?

4k 2x +2k 2?2=0，利用韦达定理，结合已知条件能求出k 1+k 2=0．

21.答案：解：(1)由题得f′(x)=a

x ?2x +1=

?2x 2+x+a

x

，

故x 1，x 2是关于x 的方程?2x 2+x +a =0的两个根，

故x 1+x 2=1

2，x 1x 2=?a

2．

又x 2?x 1=1

4，所以x 1=1

8，所以x 2=3

8， 所以a =?2x 1x 2=?3

32;

(2)

f(x 1)?f(x 2)

x 2?x 1

，

令x

2

x 1

=t ，则，

由?2x 12

+x 1+a =0与?3

25

9可得，

{2x 12?x 1=a >?3

25

2x 12

?x 1=a

19，解得16

4， 所以1

6

5， 故t =

x 2x 1=

1

2

?x 1x 1

=12x 1

?1∈(3

2,2)，

，令

，则

令

，易知φ′(t )在定义域单调递减，

，

所以φ′(t )恒小于0，∴?′(t )单调递减，则，

所以?′(t )恒小于0，即?(t)在定义域内单调递减，，

故g(t)为减函数， 所以

f(x 1)?f(x 2)x 2?x 1

的取值范围为．

解析：本题考查了函数的极值和考查导数的应用，属于难题． (1)求出函数的导数，利用韦达定理即可；

(2)先将问题转化为令x

2

x 1

=t ，则

，再根据函数的单调性来处理即

可．

22.答案：解：(1)消去直线l 参数方程中的t ，得x +y =4，由

，得直线l 的极

坐标方程为，

故

由点Q 在OP 的延长线上，且|PQ |=3|OP |，得|OQ |=4|OP |，

设Q(ρ,θ)，则P(ρ

4,θ)，由点P 是曲线C 1上的动点，可得，则曲线C 2的极坐标方程为； (2)因为直线l 及曲线C 2的极坐标方程分别为

，

，所以

，

，

所以

，所以当α=π8时，|ON |

|OM |

取得最大值√2+1．

解析：本题主要考查曲线的参数方程、极坐标方程，极坐标的几何意义，属于中档题． (1)先将曲线的参数方程转化为普通方程，再转化为极坐标方程即可； (2)利用极坐标的几何意义求解即可。

23.答案：解：(Ⅰ)f(x)=|x|+|x ?4a ?a|?|x ?x +4a +a|=4

a +a ?4

(当且仅当a =2且x(x ?4)≤0时“=”成立)， 故f(x)≥4成立． (Ⅱ)当a =4时，f(x)=|x|+|x ?5|={5?2x,x ?0,

5,0

则{x ?05?2x ?9或{

x ?5,

2x ?5?9, 解得x ≤?2或x ≥7，

故f(x)≥9的解集为(?∞,?2]∪[7,+∞)．

解析：本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围，综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，合理运用函数恒成立的性质进行等价转化．

(Ⅰ)由三角不等式即可得到结果；

(Ⅱ)由题意得，直接运用绝对值不等式化简即可求解．