排班问题的最优数学规划
排班问题的最优数学规划
摘要
本文主要研究的是在规定条件下排班问题的最优化方案。通过对问题条件的分析，建立相应的数学模型，得到各种情况下最小的机房总支付报酬。
针对问题一：我们用数学规划方法中的目标规划方法，确定总支付报酬的目标函数以及约束条件，建立目标规划模型。在模型中我们采用等效替代的方法，假设无人值班情况为学生7，学生7可在任意时刻“值班”，机房需支付学生7报酬50元/小时。借助于lingo软件对模型进行求解，最终得到多组值班表，且每组值班表所对应的最小机房总支付报酬均为827元。
针对问题二：我们延续问题一的目标规划模型，在模型中加入题设所给定的两个约束条件，在此基础上建立模型。借助lingo软件对模型进行求解，最终得到总支付报酬最小情况下唯一的一组值班表，且其所对应的最小机房总支付报酬为1071元。
针对问题三：通过Excel随机函数来产生6名学生的课表，针对此课表修改前面已建立模型。通过lingo软件对模型进行求解，最终可得到在该课表下最优的值班表，且其所对应的最小机房总支付报酬为809元。
关键字：目标规划模型等效替代 lingo软件 Excel随机函数
目录
第一部分问题重述 (1)
第二部分问题分析 (1)
第三部分模型的假设 (2)
第四部分定义与符号说明 (2)
第五部分模型的建立与求解 (3)
1.问题1的模型 (3)
模型Ⅰ (4)
2．问题2的模型 (4)
模型Ⅰ (4)
3.问题3的模型 (5)
模型Ⅰ (5)
第六部分模型的评价 (6)
第七部分参考文献 (6)
第八部分附录 (7)
一、问题重述
某实验教学中心机房准备聘用4名本科学生（代号1、2、3、4）和2名研究生（代号5、6）值班进行答疑。已知每人从周一到周五最多可安排的值班时间及每小时值班报酬。由于该机房开放时间为上午8:00到晚22:00，开放时间内须有且仅需一名学生值班，又规定每名本科生每周值班不得少于8小时，研究生每周值班不少于7小时。若某时段无人值班则每小时损失50元。要求
1、建立该机房总支付报酬最小的数学模型并求解。
2、在上述基础上补充下面两个要求，一是每名学生每周值班不超过2次，二是每天安排的学生不超过3人，重新建立数学模型并求解。
3、考虑到实际情况中，学生需要上课，学生只能在空闲时间值班（可以不考虑上表中的每天值班时间上限）。在此条件下建立数学模型，求解出支付报酬最小的值班方案。（学生课程表可以调查周围同学课程表或者按照一天3~6节课，一周两次晚自习的条件随机生成）。
二、问题分析
本题属于求解最优化问题，需要用数学规划方法对问题进行求解；
针对问题一:本题属于在规定条件下的规划问题，在给定的条件下建立最小支付报酬的目标函数，同时确定约束条件，确立合适的数学模型。借助计算机软件lingo编程对模型进行求解，得到机房的最小支付报酬。模式图如下：
人员信息
排班要求
目标函数检测
综合择优
排班结果
针对问题二：问题二在问题一的基础上新增了两个约束条件，保持问题一中的模型不变，再加上两个约束条件后得到新的模型，随后对模型进行求解。
针对问题三：问题三中，由于本科生和研究生的课表未确定，首先应用软件随机产生六名学生的课表。随后这个问题就回归到问题一的模型当中，然后再对模型进行求解，得到机房所需最低的支付报酬。
三、模型假设
假设一：假设题目中所给的数据真实可靠；
假设二：假设本科生和研究生值班的效果相同；
假设三：无人值班时所支付的报酬相当于代号为7的学生值班所得报酬。则7号学生在岗位时无人值班，且机房需要支付报酬50元/小时；
假设四：本科生的课程数目比研究生多；
四、定义与符号说明
为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如下图所示。期同期的一些变量将陆续在文中说明。
符号意义
i学生编号
j星期数
SUM总支付报酬
T编号为i的学生星期j值班时间
,i j
C编号为i的学生星期j值班报酬
i
b媒介函数
,i j
五、模型的建立与求解
第一部分：准备工作
（1）数据的处理：
由于考虑到某时刻无人值班，假设无人值班这种情况为学生编号为7。则学生7在周一到周五任何时段均有可能“值班”，且机房需支付50元/小时报酬。经过处理，可得到以下数据： 学生代号 报酬（元/
小时）
每天最多安排的值班时间/小时 周一 周二 周三 周四 周五
1 10 6 0 6 0 7
2 10 0 6 0 6 0
3 12
4 8 3 0
5 4 12 5 5
6 0 4 5 15 3 0 4 8 0 6 16 0 6 0 6 3
7 50 14
14 14 14
14
第二部分:问题一的模型
（1） 模型Ⅰ
根据题意可知，令机房总支付报酬SUM 取最小值，得到目标函数为：
7
5
,11min i i j i i SUM C T ===∑∑ (1)
:st
7
,114(1,2,3,4,5,6
,7)i j
i T
j ===∑ (2)
4
,1
8(1,2,3,4,5
)i j
i T
j =≥=∑ (3)
5
,1
7(5,6
)i j
j T
i =≥=∑ (4) ,,,,2i j i j i j i j b T a b ≤≤ (5) 注：,i j b 为媒介函数，且：
=0；,i j T =0
,i j b
=1；,i j T ≠0
模型Ⅰ的求解：
通过lingo 软件编程(源程序见附录【1】)，可以得到多组最优解，每组最优解的机房支付总报酬为827元。因为最优解在一般条件下一组已经足够，此处列出具体两种值班安排:
值班安排表1
值班安排表2
第三部分:问题二的数学模型
(1) 模型Ⅱ
问题二在问题一的模型Ⅰ基础上，补充了两个要求。保持模型Ⅰ的条件不变，在模型Ⅰ的条件下增加两个约束条件。即：
5
,14(1,2,3,4,5,6,7)i j
j b
i =≤=∑ （6）
7
,1
4(1,2,3,4,5)i j
i b
i =≤=∑ （7）
模型Ⅱ的求解：
再次通过lingo 软件编程(源程序见附录【2】)，只得到一组最优解，而且最优解的机房支付总报酬为1071元。在此列出程序执行所得结果以及值班安排表，如下：
值班时间分布图
学生代号报酬周一周二周三周四周五总计
1 10 6 0 0 0 7 130
2 10 0 6 0 6 0 120
3 12 0 8 0 0 5 156
4 12
5 0
6 0 0 132
5 15 3 0 4 0 0 105
6 16 0 0 0 6 2 128
7 50 0 0 4 2 0 300
1071
值班安排表3
第四部分:问题三的数学模型
(1)应用模型Ⅰ求解：
通过Excel软件通过随机函数产生学生的课程表。在产生课程表的时，按照一天3~6节课（包括晚自习），并且考虑本科生的课程数目较多、而研究生的课程数目较少。具体的产生结果如下：
由于问题三和问题一的前提条件相同，因此将生成的课程表代入模型Ⅰ，通过lingo软件编程（源程序见附录【3】），得到在此课表下的支付报酬最小的排班情况和排班表如下，机房最少总支付报酬为809元。
六、模型的推广与评价
模型Ⅰ的评价：
(1)模型利用目标规划问题的基本方法，采用lingo软件对模型进行求解，最终可
以具体地列出排班情况表，最终求得的结果比较精确、可靠性好。
(2)模型Ⅰ在利用软件求解时得到的排班情况较多，不可能一一列出，而且不能
将学生在当时时间段是否有课。同时采用excel软件产生本科生和研究生的课表，与实际情况相差可能比较大。
(3)模型Ⅰ可以进行适当改进，使用多种算法，如“模拟退火算法”或者“遗传
算法”来进一步解决排班问题，实现总支付报酬最低。同时也可以将计算结果育模型一的结果进行比较，进一步得到排班问题的最优解，实现支付报酬最小化。
(4)模型的运用功能强大，可以应用到生活中的各种排班问题当中，实现支付报
酬的最优化。
模型的推广：
此模型利用起来相对容易，可以容易地用各大于企业、学校等单位的排班问题，实现经费的最低化。
七、参考文献
[1] 马超群、兰秋军、周忠宝，《运筹学》，长沙：湖南大学出版社，2008.12。第33~43页；
[2] 隋树林、杨树国、朱善良，《数学建模教程》，北京：化学工业出版社，2015.7。第93页；
[3] 赖炎连、贺国平，《最优化方法》，北京：清华大学出版社，2008.12。
[4] 张冬梅、颜丽、金鑫，数学建模排班问题
https://www.360docs.net/doc/a813765711.html,/p-657580768.html?qq-pf-to=pcqq.discussion
八、附录
附录【1】
model:
title:实验教学中心机房值班问题1;
sets:
peo/1..7/:pay;
week/1..5/;
link(peo,week):t,a,b;
endsets
data:
pay=10,10,12,12,15,16,50;
a=
6 0 6 0 7
0 6 0 6 0
4 8 3 0 5
5 5
6 0 4
3 0
4 8 0
0 6 0 6 3
14 14 14 14 14;
enddata
min=@sum(link(i,j):t(i,j)*pay(i));
@for(week(j):@sum(peo(i):t(i,j))=14);
@for(link(i,j):t(i,j)>=b(i,j));
@for(link(i,j):t(i,j)<=a(i,j)*b(i,j));
@for(peo(i)|i#le#4:@sum(week(j):t(i,j))>=8);
@for(peo(i)|i#le#6:@sum(week(j):t(i,j))>=7);
@for(link:@bin(b));
end
附录【2】
model:
title:实验教学中心机房值班问题2;
sets:
peo/1..7/:pay;
week/1..5/;
link(peo,week):t,a,b;
endsets
data:
pay=10,10,12,12,15,16,50;
a=
6 0 6 0 7
0 6 0 6 0
4 8 3 0 5
5 5
6 0 4
3 0
4 8 0
0 6 0 6 3
14 14 14 14 14;
enddata
min=@sum(link(i,j):t(i,j)*pay(i));
@for(week(j):@sum(peo(i):t(i,j))=14);
@for(link(i,j):t(i,j)>=b(i,j));
@for(link(i,j):t(i,j)<=a(i,j)*b(i,j));
@for(peo(i)|i#le#4:@sum(week(j):t(i,j))>=8); @for(peo(i)|i#le#6:@sum(week(j):t(i,j))>=7); @for(week(j):@sum(peo(i)|i#le#6:b(i,j))<=3); @for(peo(i):@sum(week(j)|i#le#6:b(i,j))<=2); @for(link:@bin(b));
end
附录【3】
model:
title:实验教学中心机房值班问题3;
sets:
peo/1..7/:pay;
week/1..35/;
link(peo,week):t,a,b;
endsets
data:
pay=10,10,12,12,15,16,50;
a=
2 0 2 2 2 0 0 0 0 2 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 2 0 2 2 2 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 0 2 0 0 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 2 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 0 2 2 0 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ;
enddata
min=@sum(link(i,j):t(i,j)*pay(i));
@for(week(j):@sum(peo(i):t(i,j))=2);
@for(link(i,j):t(i,j)>=b(i,j));
@for(link(i,j):t(i,j)<=a(i,j)*b(i,j));
@for(peo(i)|i#le#4:@sum(week(j):t(i,j))>=8);
@for(peo(i)|i#le#6:@sum(week(j):t(i,j))>=7);
@for(link:@bin(b));
end
数学建模答题模板
例：某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60,55,51,43,41,52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35,37,22,32,41,32,43,38.各仓库到8个客户处得单位货物运价见下表。 问题分析：本问题中，各仓库的供应总量为302个单位，需求量为280个单位，为一个供需不平衡问题。目标函数为运输费用，约束条件有两个：分别是供应方和需求方的约束。 解： 引入决策变量ij x ，代表着从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量，用符号ij c 表示从第i 个仓库到第j 个客户的单位货物运价，i a 表示第i 个仓库的最大供货量，j d 表示第j 个客户的订货量。 则本问题的数学模型为： 68 11 min ij ij i j z c x ===∑∑ s.t 8 1 61,1,2,6,1,2,,80,1,2,6,1,2,,8ij i j ij j i ij x a i x d j x i j ==? ≤=???? ? ? ≤=????? ?≥=???=?????∑∑ 模型求解：用LINGO 语言编写程序（程序见题后附录），运行得到以下求解结果：
以下省略了其他变量的具体数值。 计算结果表明：目标函数值为664.00，最优运输方案见下表 【参考文献】 [1]李大潜，中国大学生数学建模竞赛（第三版）[M]，北京：高等教育出版社，2009 [2]叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材（五）[M]，长沙：湖南教育出版社，2008 [3]袁新生，邵大宏，郁时炼.LINGO和EXCEL在数学建模中的应用[M]，北京：科学出版社，2007 附录：LINGO程序 model: sets: wh/w1..w6/:ai;vd/v1..v8/:dj; links(wh,vd):c,x; endsets data: ai=60,55,51,43,41,52; dj=35,37,22,32,41,32,43,38; c=6,2,6,7,4,2,5,9 4,9,5,3,8,5,8,2 5,2,1,9,7,4,3,3 7,6,7,3,9,2,7,1 2,3,9,5,7,2,6,5 5,5,2,2,8,1,4,3; enddata min=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));
整数规划的两种数学模型解法
规划模型求解 指导老师： 组员： 组员分工 实际的内容： 1·简要介绍线性规划的历史 线性规划是运筹学中最基本、应用最广泛的分支。规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型，1939年，苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书. 1947年，美国数学家丹兹格提出了线性规划问题的单纯形求解方法. 1951年，美国经济学家库普曼斯（J.C.Koopmans,1910—1985）出版《生产与配置的活动分析》一书. 1950～1956年，线性规划的对偶理论出现. 1960年，丹兹格与沃尔夫（P.Wolfe）建立大规模线性规划问题的分解算法. 1975年，康托洛维奇与库普曼斯因“最优资源配置理论的贡献”荣获诺贝尔经济学奖. 1978年，苏联数学家哈奇扬（L.G.Khachian）提出求解线性规划问题的多项式时间算法（内点算法），具有重要理论意义. 1984年，在美国贝尔实验室工作的印度裔数学家卡玛卡（N.Karmarkar）提出可以有效求解实际线性规划问题的多项式时间算法——Karmarkar算法.
线性规划的基本点就是在满足一定约束条件下，使预定的目标达到最优. 现在线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术. 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看 函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用。 2·线性规划的原理：线性规划是合理利用、调配资源 的一种应用数学方法。它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现管理目标和极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。其一般形式为： n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c x f =+++=+++→+++= 2 2222121112121112211min )(
电子科技大学校内数学建模竞赛题目
2007 年电子科技大学校内数学建模竞赛题目 地铁杂散电流的分布 地铁以它的承载量大、快速、准时、占地少等特点被大家所青睐。但地铁也会带来安全、环境等问题。在环境方面的影响主要有共振和迷流等。 机车的驱动都是以电力为动力，电气机车接触网(第三轨)供电线路回路的结构如图1和图2所示。供电为1500V的直流电，通过地铁隧道顶的导电轨,机车顶上的电刷，给机车供电，通过隧道底部的钢轨实现回流。电流有可能泄漏到地下，形成地铁杂散电流（也称迷流）。 图 1 ：地铁地下结构示意图（纵截面） 图 2 ：地铁地下结构示意图（横截面） 某地的在建地铁工程设计希望解决以下两个问题： 1 ．如图1所示，假设只有一根钢轨做回流线，钢轨是直的，不考虑弯曲的情况。轨上有2000安培的稳恒电流流过。请你建立一个模型，来描述地下（请考虑地下物质的电导特性）迷流的分布情况。
2 ．地铁杂散电流一旦大量泄露出来，可能构成安全隐患。假设在距地铁的直线距离为150米的地方有一处摩天大楼，请你分析迷流对该建筑物的影响。 2006 年电子科技大学校内数学建模竞赛题目 想要有个家！！！ 假设你是今年毕业的大学生，已签了一家月收入 2500 元的成都公司，公司不能为你提供住房。父母为你提供了一笔资金，可以作为一个小户型的 5 万首付款。你面临一个抉择：是先租房住还是先按揭买房？ （ 1 ）请分析并预测不同地段的房屋租金、房价走势。 （ 2 ）结合当前银行贷款利率做出一个你认为比较好的决策。 （ 3 ）从长远的观点来看，为保证你的生活质量，应该怎样规划你的购房计划。 2005 年电子科技大学校内数学建模竞赛题目 圆明园：该怎样保护你 已经进行了两年的圆明园公园铺设防渗膜工程最近引起了社会各界的极大关注。一方认为，防渗处理隔断了水的自然循环，破坏圆明园的整体生态系统和园林风格；另一方认为这样做是为了更好地保护圆明园的生态环境。 请你在了解双方观点依据的基础上，提出你自己的见解，建立数学模型支持你的观点。 注意：所用资料一定写明出处。 背景资料（仅供参考）： 1. 圆明园历史从1709年开始营建，至1809年基本建成，历时一个世纪。此后的嘉庆、道光、咸丰三代屡有修缮扩建，历时150多年。圆明园总面积近352万平方米，水面面积约123万平方米。 2. 圆明园湖底防渗漏问题可以确定清河在圆明园的分布范围，在地下10.3米深度范围内，渗漏系数较大，渗水性较强。圆明园极为缺水，2000多亩的水面，每年枯水期约有七八个月，由于降水量少，很多植被旱死。经初步测算，如果圆明园要想保持水深是0.8米，总需水量合计为98.4万立方米；若常年保持1.5米深的水面，每年蓄水量为900万方。现在水务局能提供的水量是150万立方米。 3. 水费问题2004年8月1日前，北京市公园湖泊生态环境用水的收费标准是每立方米0.3元，现在环境用水涨到了每立方米1.3元。生态环境用水在城市用水
数学建模常用的十种解题方法
数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有
(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点 整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。 松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。 若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。 一、整数线性规划数学模型的一般形式 ∑==n j j j x c Z 1 min)max(或 中部分或全部取整数n j n j i j ij x x x m j n i x b x a t s ,...,,...2,1,...,2,10 ),(.211 ==≥=≥≤∑= 整数线性规划问题可以分为以下几种类型 1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。 3、0—1型整数线性规划(zero —one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。 1 解整数规划问题 0—1型整数规划 0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的 ???? ? ????≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z
数学建模(教案)第一章--线性规划
数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。
上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t.Λ (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x Λ=，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最小值的可行解叫最优解。
线性规划模型及其举例
线性规划模型及其举例 摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。 关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解 在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。 一.背景介绍 如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式： 1()n i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1) 若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为： OPT. 1()n j j j f x c x ==∑ ST. 1 n ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2) 0,j x ≥ 1,2,,j n =… （2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。 1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。 2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都
01型整数规划模型
甲乙公司不合作即竞争下所争取到的不同名专业推广者所建立的不同动态规划模 型的组合方案如下：其中X 为可能竞争到的专业推广者人数，即动态规划模型中第一天的
专业推广者推 广能力的份数，Y 为第二天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广 工作的专业推广者的人数；Z 为第三天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广工作的专业推广者的人数；a 为x 名专业推广者累计从事培训工作出来的兼职推广者的批数（每批20 人），其中，有多种组合方案；甲公司雇佣这些兼职推广者均工作一天，从事推广工作，第二天辞退a ?b 批兼职推广员，其余的b 批继续从事推广工作一天后辞退，即兼职宣传员总共最多雇佣2 天；cost 为花费的成本，即资金的使用数量；F 为不同方案下所达到的总推广效益。上表可以提供给甲公司做决策依据，根据效益的大小甲公司可以决策的目标方向顺序是从①--⑧，即不合作的情况下甲公司可以尽量争取到9 人，如若 不行，考虑争取4 人。 §5.4 0—1型整数规划模型 1、 0—1型整数规划模型概述 整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。 0—1型整数规划的的数学模型为： 目标函数 n n x c x c x c z M i n M a x +++= 2211)( 约束条件为： ???? ?? ?==≥≤++=≥≤++=≥≤++1 | 0 ) ,() ,() ,(2211222221211 1212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21 这里，0 | 1表示0或1。 2、0—1型整数规划模型的解法
一般线性规划数学模型
一般线性规划问题 1. 线性规划的条件： ① 决策变量有没有---------------------必须有 ② 目标函数和约束条件是不是决策变量的线性表达式------------------必须是 ③ 决策变量非负条件是否满足-------------必须满足 ④ 目标函数是否表现出极大化或极小化------必须表现 2. 线性规划的表达式 目标函数： x c x c x c n n z Max Min +???++=2211)( 约束条件： b x a x a x a n n 112 12 1 11 )(≤≥+???++ b x a x a x a n n 222 2 21 21 )(≤≥+???++ b x a x a x a n n 332 2 31 31 )(≤≥+???++ ..............
b x a x a x a n n nn n )(2 2 1 n1 ≤≥+???++ 非负性约束： 0,,0,02 1 ≥???≥≥x x x n 问题重述 某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如表17所示。储蓄所可以雇用全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h 的午餐时间。储蓄所每天可以雇用不超过3名的半时服务员，每个半小时服务员必须连续工作4h ，报酬40元。（1）问该储蓄所应如何雇用全时和半时两类服务员。（2）如果不能雇用半时服务员，每天至少增加多少费用。（3）如果雇用半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？ 表16 每天不同时间段所需要的服务员数量
云南财经大学2017年数学建模竞赛校内选拔赛题目.doc
外商独资XXXXXX有限公司 章程 第一章总则 第一条根据《中华人民共和国公司法》、《中华人民共和国外资企业法》及中国其他有关法律、法规，制定本章程。 第二条股东名称：XXXXX 英文名称：XXXX 公司编号：XXXX 在香港登记注册，法定地址：XXXXX 电话：XXXXX 传真：XXXX 现任董事：XXXX 职务：董事国籍：XXXX 第三条外商独资企业名称：XXXX（以下简称公司）。 公司法定地址：深圳市前海深港合作区前湾一路1号A栋201室（入驻深圳市前海商务秘书有限公司）。 第四条公司为有限责任公司，是XXXX投资经营的企业，并以其认缴的出资额承担企业责任。 第五条公司经审批机构批准成立，并在深圳市登记注册，为企业法人，应遵守中华人民共和国的法律、法规，并受中国法律的管辖和保护。 第二章宗旨和经营范围 第六条公司宗旨：本着加强经济合作和技术交流的愿望，促进中国国民经济的发展，并获取满意的回报。 第七条公司经营范围：XXXX。 第三章投资总额和注册资本 第八条公司的投资总额为：XXXX 公司注册资本（出资额）为：XXXX 公司注册资本的出资方式及期限，按《中华人民共和国公司法》及中国其他有关法律、法规的规定执行。其中： 现金：XXXX（以等值外币出资，按缴款当日中国人民银行公布的基准汇率折算）； 股东出资的XXXX应于XXXX年XX月XX日之前实际缴付到位，现本股东承诺在约定的时间内按期缴付全部出资，逾期不到位的，自愿按法律承担相应责任。 第九条股东缴付出资后三十天内，应当委托中国注册会计师事务所验证，并出具验资报告，报审批机关和工商行政管理机关备案。
第十条公司在经营期内，不得减少注册资本。但是，因投资总额和经营规模等发生变化，确需减少的，须经审批机构批准。 第十一条公司变更经营范围、分立、合并、注册资本增加、转让或者其他重要事项的变更，须经公司股东决议通过后，报原审批机构批准，并在规定期限内向工商行政管理、税务、外汇、海关等有关部门办理相应的变更登记手续。 第四章股东职权 第十二条公司股东决定公司的重大事项，依照公司法和本章程规定，通过股东决定行使下列职权： （一）决定公司的经营方针和投资计划； （二）委派和更换非由职工代表担任的董事、监事，决定有关董事、监事的报酬事项； （三）审议批准董事会的报告； （四）审议批准监事的报告； （五）审议批准公司的年度财务预算方案、决算方案； （六）审议批准公司的利润分配方案和弥补亏损方案； （七）对公司增加、减少或者转让注册资本作出决议； （八）对发行公司债券作出决议； （九）对公司合并、分立、延期、解散、清算或者变更公司形式作出决议；（十）修改公司章程； （十一）其他应由股东决定的重大事宜。 第五章董事会 第十三条公司设立董事会。董事会负责执行公司的一切重大事项，并向股东负责。 第十四条董事会由3名成员组成，其中董事长１人。董事长及董事由股东委派及撤换。董事长和董事每届任期3年。经继续委派可以连任。董事人选的更换，应书面通知董事会，并向公司登记机关备案。 第十五条董事长是公司的法定代表人，是代表公司行使职权的签字人。董事长在董事会闭会期间，依照企业章程和董事会决议，处理公司的重大问题，负责检查、监督董事会决议的执行情况。董事长临时不能履行职责的，委托其他董事代为履行，但应有书面委托。法律、法规规定必须由董事长行使的职责，不得委托他人代行。 第十六条董事会对公司股东负责，行使下列职权： (一)执行股东决定； (二)决定公司的经营方针、发展规划和投资方案，审批经理或管理部门提出
全国大学生数学建模竞赛模版(完整版)
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 内容要点： 关键词：结合问题、方法、理论、概念等
一、问题重述 内容要点： 1、问题背景：结合时代、社会、民生等 2、需要解决的问题 问题一： 问题二： 问题三： 二、问题分析 内容要点：什么问题、需要建立什么样的模型、用什么方法来求解 三、模型假设与约定 内容要点： 1、根据题目中条件作出假设 2、根据题目中要求作出假设 写作要求： 细致地分析实际问题，从大量的变量中筛选出最能表现问题本质的变量，并简化它们的关系。将一些问题理想化、简单化。 1、论文中的假设要以严格、确切的数学语言来表达，使读者不致产生任何曲解 2、所提出的假设确实是建立数学模型所必需的，与建立模型无关的假设只会扰乱读者的思考 3、假设应验证其合理性。假设的合理性可以从分析问题过程中得出，例如从问题的性质出发作出合乎常识的假设，或者由观察所给数据的图象，得到变量的函数形式，也可以参考其他资料由类推得到。对于后者应指出参考文献的相关内容 四、符号说明及名词定义 内容要点：包括建立方程符号、及编程中用到的符号等
中南大学校内数学建模竞赛题目
2007年中南大学数学建模竞赛题 A题西部地区农村建设规划问题 在我国西北部某些干旱地区，水资源量不足是发展农牧业生产的主要限制因素之一。紧密配合国家西部大开发和新农村建设的方针政策，合理利用水资源，加强农田水利工程建设，加速西部农牧业发展，这是当地政府的一个重要任务。在水利工程建设中，如何合理规划，发挥最大的水利经济效益，是值得研究的一个问题。现有问题如下： 问题1：某地区现有耕地可分为两种类型，第Ⅰ类耕地各种水利设施配套，土地平整，排灌便利；第Ⅱ类耕地则未具备以上条件。其中第Ⅰ类耕地有2.5万亩，第Ⅱ类耕地有8.2万亩，此外尚有宜垦荒地3.5万亩。该地区主要作物是小麦，完全靠地表水进行灌溉。由于地表水的供应量随季节波动，在小麦扬花需水时恰逢枯水季节，往往由于缺水使一部分麦田无法灌溉，影响产量。而且由于第Ⅱ类耕地条件差，土地不平整，所以灌溉定额高，浪费水量比较大，并且产量还不及第Ⅰ类耕地高。进一步合理利用水资源的措施有二：其一是进行农田建设，把一部分第Ⅱ类耕地改造成为第Ⅰ类耕地，以节约用水，提高单产；其二是修建一座水库，闲水期蓄水，到小麦扬花需水的枯水期放水，从而调节全年不用季节的水量。目前该地区在整个小麦生长期的地表水资源可利用量为96.5百万方，其中小麦扬花需水季节可供水量为7.5百万方。水库建成后在小麦扬花需水季节可多供水量为6.5百万方。修建水库需要投资5.5百万元，将第Ⅱ类耕地改造为第Ⅰ类耕地每亩需要投资20元，将荒地开垦为第Ⅱ类耕地每亩需要投资85元，将荒地直接开垦为第Ⅰ类耕地每亩需要投资100元。规划期内，计划总投资额为9百万元。该地区对小麦的需求量及国家征购指标共计2万吨，超额向国家交售商品粮每吨可加价100元。各种条件下水的灌溉额及净收益情况如下表1： 表1：规划年各种条件下的灌溉定额及净收益
数学建模(整数规划)
整数规划模型
实际问题中 x x x x f z Max Min T n "),(),()(1==或的优化模型 m i x g t s i ",2,1,0)(..=≤x ~决策变量f (x )~目标函数g i (x )≤0~约束条件 多元函数决策变量个数n 和数 线性规划条件极值约束条件个数m 较大最优解在可行域学 规 非线性规划解 的边界上取得划 整数规划
Programming +Integer 所有变量都取整数，称为纯整数规划；有一部分取整数，称为混合整数规划；限制取0，1称为0‐1型整数规划。 型整数规划
+整数线性规划 max(min) n z c x =1j j j n =∑1 s.t. (,) 1,2,,ij j i j a x b i m =≤=≥=∑"12 ,,,0 () n x x x ≥"且为整数 或部分为整数
+例：假设有m 种不同的物品要装入航天飞机，它们的重量和体积分别为价值为w j 和v j ，价值为c j ，航天飞机的载重量和体积限制分别为W 和V ，如何装载使价值最大化？ m 1?1 max j j j c y =∑ 1 0j j y =?被装载 s.t. m j j v y V ≤∑0 j ?没被装载1 j m =1 j j j w y W =≤∑ 0 or 1 1,2,,j y j m =="
(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年美国芝加哥(Chi)Li S h 前后开发, 后来成立LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：https://www.360docs.net/doc/a813765711.html, I）网址htt//li d LINDO: Interactive and Discrete Optimizer (V6.1) Linear(V61) LINGO: Linear Interactive General Optimizer (V8.0) LINDO——解决线性规划LP—Linear Programming，整数规划IP—Integer Programming问题。 LINGO——解决线性规划LP—Linear Programming，非线性规划NLP—Nonlinear Programming，整数规划IP—Integer Programming g g整划g g g 问题。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型及其标准形式 线性规划问题是工作和生活中最常见的问题，也是运筹学中最简单和最基础的问题。因此，研究现线性规划在经济中的应用问题必须对线性规划的概念和数学模型的掌握和了解是十分必要的。下面让我们对线性规划的数学模型加以介绍。 线性规划的数学模型 在许多实际问题中总是存在着已知量和未知量，若将这些量之间的依赖关系用数学式子表示出来，那么就称这些式子为实际问题的数学模型，或者说数学模型就是描述实际问题共性的抽象的数学形式，线性规划的数学模型包含两个组成部分，一是目标函数，二是约束条件，目标函数是一个由欲达到最优目的的有关量所构成的关系式，根据研究的目标是最大还是最小，在目标函数前面冠以“max ”或“min ”；约束条件是欲达到预期目的所受到的现实客观环境的制约，将这种制约用不等式或不等式表示，即为约束条件，以后减记..s t ；是“subject to “的缩写。 研究数学模型有助于认识这类问题的性质和寻求它的一般解法，但线性规划问题涉及到的实际问题是非常广泛的，我们只能先从其中某些典型的实际问题开始，不能面面俱到，但这些问题的做法都是类似的，下面我们通过例题研究线性规划的数学模型。 例 1 某工厂有生产甲，乙两种产品的能力，且生产一吨甲产品需要3个工日和0.35吨小麦，生产一吨乙产品需要4个工日和0.25吨小麦，该厂仅有工人12人一个月只能出300个工日，小麦一个月只能进12吨，并且还知道生产一吨甲产品可盈利80（百元），生产一吨乙产品可盈利90（百元）。那么，这个工厂在一个月中应如何根据现有条件安排这两种产品的生产，使之获得最大盈利？建立数学模型。 解：设1x ，2x 分别表示一个月生产甲，乙两种产品的数量，则最大盈利为： 1280S x x =+ 工日的约束为1234300x x +≤，原料小麦的约束为120.350.2521x x +≤，那么该问题的数学模型即为：
数学建模做题步骤及注意事项【数模经验谈】
拿到建模题目以后，按照一下流程去分工合作 红色表示步骤蓝色表示注意事项 一、第一天上午 1. 各自对立思考1个小时，主要分析题目的问题背景，已知条件，建模目的等问题。至少每人必须提出10到15个问题，并回答自己的问题。 2. 重点用语言的形式表述清楚问题的结构，即用语言描述自己的初步模型。（要自己提出的模型，可能就会产生一些假设。） 3. 再和队友讨论。讨论1个小时。形成自己团队的初步模型，同样是以语言形式描述的。 4. 接下来查找一些文献，讨论修改团队的模型，形成一个最终较完整的模型。并根据讨论最后形成对问题的统一认识，形成问题重述部分的内容。 注：1）如果问题有好几问，可以重点讨论第一个问题，但是也要考虑其他问题与第一问的关系！（一般建模中的几问都是有一定联系得）；也可以同时考虑，同时建模。 2）注意参考文献的处理，参考别人的方法一定要在文中注明！这也是要求一直留意查找文献的目的。【随时记录】 二、第一天下午 将自己团队的模型数学化，用数学符号和数学语言公式的形式，表述自己的模型。此时会继续需要查文献，产生一些假设条件，并产生自己论文中的符号说明。
三、第二天上午 一个人开始写文章，语言重在逻辑清晰，叙述简洁明了！图、表准确。文章格式正确、内容完整。（问题重述，问题分析，模型假设，符号说明，模型形式，以及参考文献都已经在第一天的讨论中有了一定的共识。） 其余两个人（在不清楚时3人讨论），开始考虑第一个问题的模型的求解，即研究模型的解法。查找文献或者自己提出对模型的求解方法。此时可能需要继续对第一天建立的模型进行修改，简化等处理。（讨论后，及时告诉写文章的队友）。 四、第二天下午 写文章的继续。 编程的开始编程计算模型。此时，可能需要根据所采取的算法对模型的表述重新修改。 另一人帮忙编程，并开始考虑第二个、第三个问题的模型及求解方法。并一起讨论，形成共识，写进文章中。（此时，同样可能需要查文献，符号表示，产生假设）【注意是两个人求解，一个MATLAB，一个MATHEMATICA】 五、第三天上午 应该给出所有问题的计算结果了（最迟下午6点前）。 产生论文初稿。 六、第三天下午 进行模型的分析。主要是分析编程计算出的解的现实意义等，通过图、
数学建模习题——线性规划
某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示．按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税．此 表四 问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？ （3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？ 解：设利润函数为M(x),投资A、B、C、D、E五种类型的证券资金分别为
12345,,,,x x x x x 万元，则由题设条件可知 12345123452341234512345123451234512345()0.0430.0270.0250.0220.0451000400 225 1.4()9154325(),,,,0 M x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤++≥++++≤++++++++≤++++≥ 利用MATLAB 求解最优解，代码如下： c=[-0.043 -0.027 -0.025 -0.022 -0.045]; A=[1 1 1 1 1;0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3]; b=[1000;-400;0;0]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 运行结果如下：
2013校内数学建模竞赛题范文
2013年凯里学院校内数学建模竞赛试题 注意事项（请参赛队员详细阅读！） 1.凯里学院校内数学建模竞赛于2013年6月13日8：00至6月14 日20：00举行。 2.参赛队可在A、B两题中任选其中一题，可以使用各种图书资料、网络信息、计算机和软件以及各种实验手段。 3.答卷论文请提交WORD文档方式的A4纸打印稿和电子稿。并按下列要求制作。 论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 封面：只需填上所选论文题目（注明A或B）、参赛队姓名与序号，其他一律不要。 首页：论文题目、摘要（含模型的主要特点、建模方法和主要结果）。 正文：问题提出、问题分析、模型假设、符号说明、模型建立、模型求解、计算方法设计和软件实现、模型结果分析和检验、模型优缺点分析等。 4、论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。 论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词）， 在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选 引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 5.竞赛评奖以模型假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性、文字表述的清晰程度为主要标准。 6.答卷（打印稿和电子稿）务必于2013年6月14日20:00—21:00交到凯里学院数学实验室潘东云或余英老师处。 凯里学院数学建模教练组
美赛-数学建模-写作模版(各部分)
摘要 第一段：写论文解决什么问题 1．问题的重述 a. 介绍重点词开头： 例1：“Hand move” irrigation, a cheap but labor-intensive system used on small farms, consists of a movable pipe with sprinkler on top that can be attached to a stationary main. 例2:……is a real-life common phenomenon with many complexities. 例3：An (effective plan) is crucial to……… b. 直接指出问题： 例1：We find the optimal number of tollbooths in a highway toll-plaza for a given number of highway lanes: the number of tollbooths that minimizes average delay experienced by cars. 例2：A brand-new university needs to balance the cost of information technology security measures with the potential cost of attacks on its systems. 例3：We determine the number of sprinklers to use by analyzing the energy and motion of water in the pipe and examining the engineering parameters of sprinklers available in the market. 例4: After mathematically analyzing the ……problem, our modeling group would like to present our conclusions, strategies, (and recommendations )to the ……. 例5：Our goal is... that (minimizes the time )………. 2．解决这个问题的伟大意义 反面说明。如果没有…… Without implementing defensive measure, the university is exposed to an expected loss of $8.9 million per year. 3．总的解决概述 a．通过什么方法解决什么问题 例：We address the problem of optimizing amusement park enjoyment through distributing Quick Passes (QP), reservation slips that ideally allow an individual to spend less time waiting in line. b．实际问题转化为数学模型 例1 We formulate the problem as a network flow in which vertices are the locations of escorts and wheelchair passengers. 例2 : A na?ve strategy would be to employ the minimum number of escorts to guarantee that all passengers reach their gates on time. c.将问题分阶段考虑 例3：We divide the jump into three phases: flying through the air, punching through the stack, and landing on the ground. 第二、三段：具体分析 1．在什么模型中/ 建立了什么模型 a. 主流模型 例1：We formulate a differential model to account for the rates of change of these uses, and how this change would affect the overall consumption of water within the studied region.