吉林省长春市2020届高三质量检测(一)理科数学(解析版)

长春市 2020 届高三质量监测（一） 理科数学

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合{|||2}A x x =≥，2

{|30}B x x x =-> ，则A

B =

A. ?

B. {|3,x x >或x ≤2}-

C. {|3,x x >或0}x <

D. {|3,x x >或2}x ≤ 2. 复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

3. 已知3

1()3a =，1

33b =，13

log 3c =，则

A. a b c <<

B. c b a <<

C. c a b <<

D. b c a << 4. 已知直线0x y +=与圆2

2

(1)()2x y b -+-=相切，则b = A. 3- B. 1 C. 3-或1 D.

5

2

5. 2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直

线?13.7433095.7y

x =+，其相关指数2

R 0.9817=，给出下列结论，其中正确的个数是

①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个

③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

6. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，

设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为

A. (3π-

B. 1

)π C. 1)π D. 2)π

7. 已知,,a b c 为直线，,,αβγ平面，则下列说法正确的是 ① ,a b αα⊥⊥，则//a b ② ,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③ //,//a b αα，则//a b ④ //,//αγβγ，则//αβ A. ① ② ③ B. ② ③ ④ C. ① ③ D. ① ④

8. 已知数列{}n a 为等比数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，且21a =，1016a =，66a b = ，则11S = A. 44 B. 44- C. 88 D. 88-

9. 把函数()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到2sin()y x ω?=+

(0,||)2

π

ω?><

的图象（部分图象如图所示） ，则()y f x =的解析式为

A. ()2sin(2)6

f x x π

=+ B. ()2sin()6

f x x π

=+

C. ()2sin(4)6f x x π

=+

D. ()2sin()6

f x x π

=-

10. 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()0f x f x ++=，当[2,0]x ∈-时，

2()2f x x x =--，则当[4,6]x ∈时，()y f x =的最小值为

A. 8-

B. 1-

C. 0

D. 1

11. 已知椭圆22

143

x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60?的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则

||

||

AF BF 的值为

A.

B. 2

C. 3

D. 4

12. 已知函数2

1

()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为

A. m ≤1

B. m <-1

C. m >-1

D. m ≥1 二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 3

8

1(2)x x

-展开式中常数项为___________.

14.边长为2正三角形ABC 中，点P 满足1

()3

AP AB AC =

+，则BP BC ?=_________. 15.平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=?，现将△ABD 沿BD 折

起，使二面角A BD C --大小为23

π

，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为________.

16.已知数列{}n a 的前项n 和为n S ，满足112a =-,且122

2n n a a n n

++=+，则2n S = ，n a =

__________.

三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分）

△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan ()a b A a b => .

（Ⅰ）求证：△ABC 是直角三角形；

（Ⅱ）若10c =，求△ABC 的周长的取值范围. 18. （本小题满分 12 分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD DC ⊥，22AB AD DC ===，E 为PB 中点.

（Ⅰ）求证：//CE 平面PAD ；

（Ⅱ）若4PA =，求平面CDE 与平面ABCD 所成锐二面角的大小. 19.（本小题满分 12 分）

某次数学测验共有 10 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确 的，评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分；不选或选错得 0 分. 某考生每道题都选并能确定其中有 6 道题能选对，其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项，另 2 道只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．

（Ⅰ）求该考生本次测验选择题得 50 分的概率；

（Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望. 20.（本小题满分 12 分）

已知点(1,0),(1,0)M N -若点(,)P x y 满足||||4PM PN +=. （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；

（Ⅱ）过点(Q 的直线l 与（Ⅰ）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点， 求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程. 21.（本小题满分 12 分）

已知函数()(1)ln f x x x =-,3()ln e

g x x x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x < ，证明：121e

x e x +>+

. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为12x y ?=-

???

?=+??

（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2

4cos 3ρρθ-=.

（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线l 与圆C 交于,A B 两点，点(1,2)P ，求||||PA PB ?的值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲

已知函数()|3||1|f x x x =+-- . （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；

（Ⅱ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求a b +的最小值.

长春市2020届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分参考

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. B 【解析】{|||2}{|2,2}A x x x x x =≥=-或≤≥，2{|30}{|0,3}B x x x x x x =->=<>或，∴A B ={|3,

x x >或x ≤2}-

2. C 【解析】252i +i 2i z ==-+，则z 2i =--，其对应点为(2,1)--，在第三象限

3. C 【解析】01,1,0a b c <<><，∴c a b <<

4. C 【解析】 由圆心到切线的距离等于半径，得2

2

211

=+

∴|1|2b +=∴13b b ==-或

5. D 【解析】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，又2

R 0.9817=趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；由回归方程，当7x =时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.

6. A 【解析】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则

51

2

αβ-=

，又2αβπ+=，解得(35)απ=- 7. D 【解析】①正确； ② 错误；③错误；④正确

8. A 【解析】 2

210661164a a a a =?==∴，∴664b a ==，1161144S b ==

9. C 【解析】由2sin(0)1ω???+=π∴=6，由112sin()0212ωπ?ω?+==∴即2sin(2)6

y x π

=+，横坐标缩短到原来的

12倍，得2sin(4)6

y x π

=+，即为()f x 解析式. 10. B 【解析】由(2)()0f x f x ++=得函数的周期为4，又当[2,0]x ∈-时，2

()2f x x x =--，且()

f x 是定义在R 上的奇函数∴[0,2]x ∈时，2

()2f x x x =-，∴当[4,6]x ∈时，22()(4)(4)2(4)1024f x f x x x x x =-=---=-+此时()f x 的最小值为(5)1f =-.[法2：由周期为4，()f x 在[0,2]上的最小值即为()f x 在[4,6]上的最小值]

11. C 【解析】椭圆的右焦点为(1,0)，∴12p =∴2p =，||1cos60p AF =-?，||1cos60p

BF =+?

,∴

||10.5

3||10.5

AF BF +==-. 12. C 【解析】2

1

()(2)e

x f x x -'=-∴()f x 在(1,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，

又(1)1f =-，(2)1f <-，(2)0f =∵(1)1f '=-∴m >-1

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分） 13. 112【解析】由3883(8)1881

(2)

()2(1)r

r

r r r r r r r T C x C x x

----+=-=-有3(8)0r r --=得6r =∴6866782(1)112T C -=-=

14. 2【解析】112

(())()()()333

BP BC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ?=+-?-=-

?- 2212481

22233332

AC AB AC AB =

+-?=+-??= 15. 20π【解析】 取AD,BC 的中点分别为12,O O ,过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心，取BD 中点E ，连结12,O E O E ,则12O EO ∠即为二面角A BD C --的

平面角，121O E O E ==，连OE ，在Rt △1O OE

中，1

OO =，在Rt △1O OA

中，1O A =

得OA =

20π

.

16.

221n n +，1(1)(1)n n n -++【解析】由1222n n a a n n ++=+得21222(21)2(21)

n n a a n n -+=-+-

211(21)(21)2121

n n n n ==--+-+∴2n

S =1113-+1135-+…+112121n n --+1121n =-+. 由111212a =-=-?递推得277623a ==?，311111234a =-=-?，42121

2045a ==

?，归纳可得1

(1)(1)

n n n -++.

三、解答题

17. (本小题满分12分)

【命题意图】本题考查三角函数的相关知识，特别是三角函数中的取值范围问题. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知sin sin sin cos A

A B A

=?，即sin cos B A =， 由a b >，可得2

A B π

+=

，即ABC △是直角三角形.

（6分）

（Ⅱ）ABC ?的周长1010sin 10cos L A A =++

，10)4

L A π

=++，

由a b >可知，

4

2

A π

π

<<

sin()14

A π

<+<

，即2010L <<+

（12分）

18. (本小题满分12分)

【命题意图】本题考查立体几何相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）取PA 中点M ，连结EM 、DM ，

//////EM CD CE DM CE PAD EM CD DM PAD ?

????

?=??? ??

平面平面. （6分） （Ⅱ）以A 为原点，以AD 方面为x 轴，以AB 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴， 建立坐标系. 可得(2,0,0)D ，(2,1,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)B ，(0,1,2)E ， (0,1,0)CD =-，(2,0,2)CE =-，

平面CDE 的法向量为1(1,0,1)n =； 平面ABCD 的法向量为2(0,0,1)n =；

因此1212||cos ||||2

n n n n θ?=

=

?. 即平面CDE 与平面ABCD 所成的锐二面角为

4

π. （12分）

19. (本小题满分12分)

【命题意图】本题考查概率的相关知识.

【试题解析】解：（Ⅰ）该考生本次测验选择题得50分即为将其余4道题无法确定 正确选项的

题目全部答对，其概率为11111(50)223336

P X ==???=. （4分）

（Ⅱ）设该考生本次测验选择题所得分数为X ， 则X 的可能取值为30，35，40，45，50.

11224

(30)223336

P X ==???=

112211221112112112

(35)223322332233223336

P X ==???+???+???+???=

11221112112111121121111113

(40)22332233223322332233223336P X ==???+???+???+???+???+???=

11111111112111126

(45)223322332233223336P X ==???+???+???+???=

11111

(50)223336

P X ==???=

选择题所得分数为X 的数学期望为3

EX =. （12分）

20. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查圆锥曲线中的最值问题等知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由定义法可得，P 点的轨迹为椭圆且2

4a =，1c =.

因此椭圆的方程为

22

143

x y +=.

（4分）

（Ⅱ）设直线l 的方程为x ty =与椭圆22

143

x y +=交于点

11(,)

A x y ， 22(,)

B x y ，联立直线与

椭圆的方程消去x 可得

22(34)30t y +--=

，即12y y

+=，

1223

3

4

y y t -=

+.

AOB ?

面积可表示为1211||||2

AOB S OQ y y =?-=△

2216

2

23434

t t ===++u =，则1u ≥，上式可化为2

6633u u u u

=++， 当且仅当u =

3

t =±

时等号成立，

因此AOB ?

l

的方程为3

x y =±. （12分） 21. (本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）由题可知1

()ln 1f x x x

'=+-

， ()f x '单调递增，且(1)0f '=，

当01x <<时，()0f x '<，当1x ≥时，()0f x '≥；

因此()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增. （4分）

（Ⅱ）由3

()(1)ln ln h x m x x x x e

=-+--有两个零点可知

由11

()(1ln )1h x m x x x

'=+-+-且0m >可知，

当01x <<时，()0h x '<，当1x ≥时，()0h x '≥；

即()h x 的最小值为3

(1)10h e

=-<，

因此当1x e =时，1113(1)2

()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e -+-=--+---=

>， 可知()h x 在1

(,1)e

上存在一个零点；

当x e =时，3

()(1)10h e m e e e

=-+-->，

可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点；

因此211x x e e -<-，即121

x e x e

+>+. （12分）

22. (本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识. 【试题解析】解：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y +-=， 圆C 的直角坐标方程为2

2

430x y x +--=.

（5分） （Ⅱ）联立直线l 的参数方程与圆C 的直角坐标方程可得

22(1)(2)4(1)30-

+---=

，化简可得220t +-=.

则12||||||2PA PB t t ?==. （10分） 23. (本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识. 【试题解析】（Ⅰ）由题意 (3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ---- <-- <-????

=+-- - =+ -????+-- > >??

≤≤≤≤

当3x <-时，41x -+≥，可得5x -≤，即5x -≤.

当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x -≥，即11x -≤≤. 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤.

综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--.

（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数)(x f 的最大值4M =，且14ab a b +++=，

即2

3()(

)2

a b a b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，

可得2

(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此b a +的最小值为2.

（10分）