(完整版)专题一：集合中的题型归类解析

教学心得：理解概念，运用性质；掌握题型，举一反三。

集合单元的精典题型

集合问题为每年必考题型之一，特别是近几年高考试卷中出现了一些以集合为背景的试题，这些试题涉及的知识面广，灵活性较强.实际上，这方面问题的本质是以集合为载体，将一些数学问题的已知条件“嵌入”集合之中，只不过是在语言形式方面做了些变通罢了，而解决问题的理论依据、方法等仍类似于其他问题的求解.因此，在集合题型上应引起我们的足够重视.

题型一：集合元素的性质

例1. 已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 的值。

分析：集合元素的确定性和互异性是集合的两个重要性质，是本单元一个重要考点，确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

解：∴∈A 1Θ根据集合元素的确定性，得：

133,11,1222=++=+=+a a a a 或）或（ 若a ＋2＝1， 得:1-=a ， 但此时21332+==++a a a ，不符合集合元素的互异性。

若1)1(2=+a ，得：2-,0或=a 。但2-=a 时，2

2)1(133+==++a a a ，不符合集合元素的互异性。

若,1332=++a a 得：。或－2,1-=a

1)1(-2a 1;2a ,-1a 2=+==+=a 时，时但，都不符合集合元素的互异性。 综上可得，a ＝ 0。

【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。确定性是入手点，互异性是检验结论的工具。

练习一、

1. 集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ）

A a b P +∈

B a b Q +∈

C a b R +∈

D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个

2.已知集合 =A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2

a +4a -2,2-a }，且A ∩B={3,7},求a 值．

题型二：集合相等问题

集合相等问题，主要是利用集合中元素的互异性，集合中元素的互异性是集合的重要属性，在解题中集合中元素的互异性常常被我们忽略，从而导致解题的失败，所以在解题中应引起足够的重视.

例2，已知集合{,,2}A a a b a b =++，2{,,}B a ac ac =，若A B =，求c 的值

分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合的元素完全相同，及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式

解：根据题意，分两种情况进行讨论：

（1）若2,2,

a b ac a b ac +=??+=?，消去b ，得220a ac ac +-= 当0a =时，集合B 中的三个元素均为零，与元素的互异性相矛盾，故0a ≠

∴2210c c -+=，即1c =，此时B 中的三个元素又相同，∴1c ≠

∴此时无解.

（2）若2,2,

a b ac a b ac ?+=?+=?消去b ，得220ac ac a --= ∵0a ≠，∴2210c c --=，即(1)(21)0c c -+=

又1c ≠，∴12

c =- 评注：（1）解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.

（2）有些数学问题很难从整体着手解决，需从分解入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一判断来解决这些问题，从而达到整体问题的解决，这种重要的数学方法 就是分类讨论的方法 ，要学会这种思维方法.

练习二

1.下列各集合中相等的两个集合是( )

A=﹛x ▏y=2x+1﹜,B= ﹛x ▏x ≥1﹜,C=﹛x ▏y=x 2+1﹜,D=﹛y ▏y=x 2+1﹜,E=﹛x ▏y=2x+1﹜,F=﹛﹙x,y ﹚▏y=2x+1﹜。

2．设x 、y ∈R ，A=﹛3，x 2+xy+y ﹜，B=﹛1，x 2 +xy+x-3﹜，且A=B,求x 、y 的值。

3.已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b 2}且M=N ，求a ，b 的值.

题型三：证明、判断两集合的关系

集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此要予以重视。反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的。因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去.

例3设集合{|32,A a a n n ==+∈Z }，集合{|31,B b b k k ==-∈Z }，试判断集合A 、B 的关系。

分析：先判断元素与集合的关系，再判断集合与集合的关系

解：任设a A ∈，则323(1)1,a n n n =+=+-∈Z ，

∵n ∈Z ，∴1n +∈Z .∴a B ∈.故A B ?.

又任设b B ∈，则313(1)2,b k k k =-=-+∈Z .

∵k ∈Z ，∴1k -∈Z .∴b A ∈.故B A ?.

综上可知A B =.

评注：在说明a B ∈，或b A ∈的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理.

练习三

1．设A=﹛x ▏x=2k+1，k ∈Z ﹜,B=﹛x ▏x=4k ±1,k ∈Z ﹜, 试判断集合A 、B 的关系。

2．设A=﹛x ▏x=2n ，n ∈Z ﹜,B=﹛x ▏x=2n-2,n ∈Z ﹜,试问A 、B 是否相等？若相等请说明理由．

题型四：集合中的参数问题

所谓集合中的参数问题，是指集合{|p p 适合的条件}中“p 适合的条件”里面含有参数的问题，解答这类问题类似于其他含有参数的问题，灵活性极强，难度也很大.因此，解决此类问题要注意思维的严谨性.

例4.已知集合{|2A x =-≤x ≤5}，{|1B x m =+≤x ≤21}m -，满足B A ?，则实数m 的取值范围为 .

解：(1)当B =?时，121m m +>-，得2m <，满足B A ?.

(2)当B ≠?时，121,12,21 5.m m m m +≤-??+≥-??-≤?

解得2≤m ≤3.

综合(1)、(2)得m 的取值范围是m ≤3.

评注：有关子集问题讨论中不要忽视了对空集的讨论，特别不能认为子集是由原来集合中的部分元素所组成的集合.在B A ?中，含有B =?这种可能，应注意.在集合单元中含有丰富的分类讨论内容，所以要注意增强运用分类讨论的思想和方法解决问题的意识，掌握分类方法，培养周密的思维品质.

练习四

1.已知集合M ＝

{}012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素，求a 的值。

2．已知集合{|2A x =-＜x ≤5}，B=﹛x ▏x ＜a ﹜ ,且A ∩B ≠?,求a 的取值范围。 举一反三⑴、已知集合{|2A x =-＜x ≤5}B=﹛x ▏x ＞a ﹜且A ∩B ≠?,求a 的取值范围。 ⑵．已知集合{|2A x =-＜x ≤5}B=﹛x ▏x ≥a ﹜且A ∩B ≠?,求a 的取值范围。

⑶．已知集合{|2A x =-＜x ≤5}，B=﹛x ▏x ≤a ﹜ ,且A ∩B ≠?,求a 的取值范围。 3．已知集合{}1,1A =-，B=}

{220x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数a ，b 的值。

举一反三⑴已知集合{}1,1A =-，B=}

{220x x ax b -+=，若B ≠?，且A ∩B=A 求实数a ，b 的值。 ⑵.?

⑶.?

4．设全集U={}

22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。

5.已知集合A={x| x 2+2x-8=0}, B={x| x 2-5x+6=0}, C={x| x 2-mx+m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值。

6.已知集合B,A }02|{},04|{22?>--=<++=且x x x B p x x x A 求实数p 的范围。

7. 已知}065|{},019|{222=+-==-+-=x x x B a ax x x A ，且A ，B 满足下列三个条

件：① B A ≠ ② B B A =Y ③ ΦB A I ，求实数a 的值。

8.已知集合},01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。

题型五：利用韦恩图或数轴求交集、并集、补集

有的集合问题比较抽象，解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象，采用数形结合思想方法，往往可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.

例5.设全集,{|U R A x x ==≤2}，B=﹛x ▏x ＞1﹜

(1)求A B I 及A B U ；(2)求()A B I 及()A B U .

解：(1)如图，利用数轴可直观地得到结果：

A ∩B=﹛x ▏1＜x ≤2}；A

B R =U .

(2) (){|A B x x =I ≤1，或2}x >；()A B =?U . 评注：有关用不等式表示的集合的并、交、补运算，常常借助于数轴的几何直观来帮助思考.

练习五

1.集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，求A B I 及A B U

2.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.

3.设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B =I （ ）

A ．0

B ．{}0

C ．φ

D ．{}1,0,1-

题型六：开放型、定义新运算问题

近几年在高考试题的帮助带动下，一大批以集合为背景的开放型试题不断出现.在用描述法表示的集合中，集合的形式被表示为{|x x 所适合的条件}，其中的代表元素“x 的任

x

2 1 。

意性”和“x 所适合的条件的灵活性”决定了这类题目具有涉及的知识面广、灵活性强等特点.

例 6.设{1,2,3,4,5,6}A =，{1,2,7,8}B =，定义A 与B 的差集为{|A B x x A -=∈，且}x B ?，则()A A B --=

解：由所给的新定义：差集{|A B x x A -=∈，且}x B ?，得{3,4,5,6}A B -=，从而(){1,2}A A B --=.

评注：差集中的“差”与我们平时所接触的“差”的意义是不同的.我们可能会犯这样的错误：(){1,2,7,8}A A B A A B B --=-+==.

★ 例7.已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }，2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z } 22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得(1)A B ≠?I ，(2)(,)a b C ∈同时成立.

分析：假设存在,a b 使得(1)成立，得到a 与b 的关系后与22x y +≤14联立，然后讨论联立的不等式组.

解：假设存在实数,a b ，使得A B ≠?I ，(,)a b C ∈同时成立，则集合{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }与集合2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }分别对应集合1{(,)|,A x y y ax b x ==+∈Z }与21{(,)|315,B x y y x x ==+∈Z }，1A 与1B 对应的直线y ax b

=+与抛物线2315y x =+至少有一个公共点，所以方程组2315y ax b y x =+??=+?

有解，即方程2315x ax b +=+必有解.

因此212(15)a b ?=--≥20a ?-≤12180b -，①

又∵22a b +≤14 ②

由①②相加，得2b ≤1236b -，即2(6)b -≤0.∴6b =.

将6b =代入①得2a ≥108，

再将6b =代入②得2a ≤108，因此63a =±， 将63a =±，6b =代入方程2315x ax b +=+得236390x x ±+=， 解得3x =±?Z .

所以不存在实数,a b ，使得(1)，(2)同时成立.

评注：对于存在性探索性问题，首先要假设这样的问题存在，以此出发，依据已知条件、公理、定理进行推理论证，推出一个较为明显的结论，最后根据这样的结论有无矛盾，得出问题的结论.

练习六

1. 定义集合A 与B 的运算：A ⊙B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B ，且x ?A ∩B }，已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{3，4，5，6，7}，则(A ⊙B )⊙B 为( )

(A) {1，2，3，4，5，6，7} (B) {1，2，3，4} (C) {1，2} (D) {3，4，5，6，7}

2. M ，P 是两非空集合，定义M 与P 的差集为M －P ＝{x |x ∈M 且x ?P }，则M －(M －P )=（ ）

(A) P (B) M ∩P (C) M ∪P (D) M

3.设I ＝{1，2，3，4}，A 与B 是I 的子集，若A I B ＝{1，3}，则称（A 、B ）为一个“理想配集”．那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（A 、B ）与（B 、A ）是两个不同的“理想配集”）( )

A ．4

B ．8

C ．9

D ．16

4.定义集合A ，B 的一种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1，2，

3}，B ＝{1，2}，则A *B 中的所有元素之和为( )

(A) 9 (B) 14 (C) 18 (D) 21

5.设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为M －P ＝{x |x ∈M 且x ?P }．已知A ＝{1，3，5，7}，B ＝{2，3，5}，则集合A －B 的子集个数为( )

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

6．全集{}321,3,32S x x x =++，{}1,21A x =-，如果{},0=A C S 则这样的

实数x 是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由。

7.【试一试】【2012北京海淀区期末】若集合A 具有以下性质：

①A ∈0，A ∈1；

②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，A x

∈1. 则称集合A 是“好集”.

（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；

（Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+；

高三文科数学（集合） A 组

1．（2007年高考广东文科卷）已知集合M=}01{>+x x ，N=?

?????>-011x x ，则=N M I （ ）

A ． }11{<≤-x x

B ． }1{>x x

C ．}11{<<-x x

D ．}1{-≥x x

2．（2008年高考广东文科卷）第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合{A =参加北京奥运会比赛的运动员}，集合{B =加北京奥运会比赛的男运动员}，集合{C =加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）

A.A B ?

B. B C ?

C. B C A =U

D. A B C =I

3．已知集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =?，则m 的值为 （ ）

A ．1

B ．—1

C ．1或—1

D ．1或—1或0

4．（2009年高考广东文科卷）已知全集U=R ，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛210x x +=｝关系的韦恩（Venn ）图是（ ）

5．如图，U 是全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ）

A 、 ()M P S I I

B 、 ()M P S I U

C 、 ()u M P C S I I

D 、 ()u M P C S I U

6．已知集合A={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是

7．．已知全集U={}22,3,23a a +-，若A={},2b ，{}5U C A =，求实数的a ,b 值

答案

(1)---(5) DBCDA

(6)2 (7)()(){}1124，，，

一、集合部分

1．准确理解集合元素的两个性质

集合是一个原始的，不定义的概念，集合中的元素具有确定性和互异性．确定性是对某一集合来说，任一对象或者是该集合的元素，或者不是该集合的元素，二者必居其一；互异性是指集合中的元素互不相同．在进行集合的交、并运算时，根据元素的互异性，同一个元素在集合中是不能重复出现的．而当把一个对象用集合来表示时，也必须以此为依据进行考虑．比如，方程2440x x -+=的解集，若用列举法来表示，只能写成{}2而不能写成{}22，．

2．准确把握各种不同的表示方法

集合的表示方法通常有列举法和描述法两种． 列举法是将给定集合的元素一一列出写在“{ }”中．用列举法表示集合时，首先要注意集合元素具有怎样

的形式．例如，把方程组86x y x y +=??-=?

的解集写成{}71，或{}71x y ==，都是错误的．这是因为{}71，的元素是两个数，{}71x y ==，的元素是两个方程，而方程组的解是一个点，因此其解集应为{}(71)，．其次，用列举法表示由许多元素或无限多个元素组成的集合时，若元素间具有明显的规律性，则可在大括号内列举出部分元素，而其余的元素用省略号表示．用描述法表示集合时，注意不要把集合二字连同元素一起放在花括号内造成错误，如把“所有正方形组成的集合”写成{所有正方形组成的集合}，而应写为{正方形}．

对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用列举法；对无限集合，一般采用描述法表示．

3．准确掌握元素与集合的关系（∈）及集合与集合的关系()=?，，ü

集合相等是两个集合之间的一个重要关系．按照定义，对于两个集合A 和B ，如果A ?B ，同时B ?A ，那么就说这两个集合相等，记作A =B ．由此知，集合A 与集合B 相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B 中的每一个元素都在A 中．