江苏省南京市2019-2020学年高考数学模拟试题含解析

江苏省南京市2019-2020学年高考数学模拟试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线()2

20y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF =（ ） A ．54 B ．43 C ．32 D ．2 【答案】C

【解析】

【分析】

需结合抛物线第一定义和图形，得AFH V 为等腰三角形，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出()

cos 2p BF πα=-， ()

tan sin 2p AF απα=-，结合比值与正切二倍角公式化简即可 【详解】

如图，设准线与x 轴的交点为M ，过点F 作FC AH ⊥.由抛物线定义知AF AH =，

所以AHF AFH α∠=∠=，2FAH OFB πα∠=-=∠，()()

cos 2cos 2MF

p BF παπα==--，()()()

tan tan sin 2sin 2sin 2CF

CH p AF α

απαπαπα===---， 所以()2tan tan tan 13tan 2tan 222AF

BF αααπαα-====--.

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题 2．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和

化学的概率为

A ．18

B ．14

C ．16

D ．12

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

甲同学所有的选择方案共有122412C C =种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科

中再选择一科即可，共有133C =种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率31124

P ==，故选B ．

3．将函数2()22cos f x x x =

-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8

π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π?? ??? B ．3,18??-- ???π C ．3,08??- ???π D ．3,18??- ???

π 【答案】D

【解析】

【分析】

先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ω?=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为

22sin 13

4y x π??=-- ???,再由正弦函数的对称性得解. 【详解】

222cos y x x =-Q

()

21cos 2x x =-+2sin 216x π??=-- ??

?, ∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为

22sin 13

6y x π??=-- ???, 再向右平移8

π个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ????=--- ????

???

22sin 134x π??=-- ???, 233,3428

x k x k k Z ππππ-=?=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18??- ???

π，故选D. 【点睛】

三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．

4．已知双曲线()22

22

:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=

，则双曲线C 的离心率为（ ）

A ．2或3

B ．2或3

C ．2或3

D ．2或3 【答案】D

【解析】

【分析】

设1PF m =，2PF n =，根据125cos 7PF F ∠=和抛物线性质得出257

PF m =，再根据双曲线性质得出7m a =，5n a =，最后根据余弦定理列方程得出a 、c 间的关系，从而可得出离心率．

【详解】

过P 分别向x 轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N ，不妨设1PF m =，2PF n =，

则121125cos 7

m MF PN PF PF PF F ===∠=， P Q 为双曲线上的点，则122PF PF a -=，即527m m a -

=，得7m a =，5n a ∴=， 又122F F c =，在12PF F ?中，由余弦定理可得222

5494257272a c a a c

+-=??， 整理得22560c ac a -+=，即2560e e -+=，1e >Q ，解得2e =或3e =.

故选：D.

【点睛】

本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题． 5．关于函数22tan ()cos 21tan x f x x x

=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R

B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ??-????

C ．函数()f x 的图像关于直线8x π

=

对称

D ．将函数2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B

【解析】

【分析】

化简到()24f x x π??=

+ ??

?，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案. 【详解】

22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π??=+=+=+ ?+??

， 故函数的定义域为,2x x k k Z ππ?

?≠+∈????

，故A 错误； 当3,88x ππ??∈-????时，2,224x πππ??+∈-????，函数单调递增，故B 正确； 当4

πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误. 平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误.

故选：B .

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能

力.

6．从集合{}3,2,1,1,2,3,4---中随机选取一个数记为m ，从集合{}2,1,2,3,4--中随机选取一个数记为

n ，则在方程221x y m n +=表示双曲线的条件下，方程221x y m n +=表示焦点在y 轴上的双曲线的概率为（ ）

A ．917

B ．817

C ．1735

D ．935

【答案】A

【解析】

【分析】

设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程22

1x y m n

+=表示焦点在y 轴上的双曲线”，分别计算出(),()P A P AB ，再利用公式()(/

)()

P AB P B A P A =计算即可. 【详解】 设事件A 为“方程221x y m n +=表示双曲线”，事件B 为“方程22

1x y m n

+=表示焦点在y 轴上 的双曲线”，由题意，334217()7535P A ?+?==?，339()7535

P AB ?==?，则所求的概率为 ()9(/)()17

P AB P B A P A =

=. 故选：A.

【点睛】 本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.

7．()cos sin x

e f x x

=在原点附近的部分图象大概是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】

【分析】

分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项.

【详解】

令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{}

,x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称， ()()()()cos cos sin sin x x

e e

f x f x x x

--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项； 当0πx <<时，cos 0x e

>，sin 0x >，则()cos 0sin x e f x x

=>，排除B 选项. 故选：A.

【点睛】

本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8．双曲线C ：22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的离心率是32，则双曲线C 的焦距为（ ）

A ．3

B ．32

C ．6

D ．2【答案】A

【解析】

【分析】

根据焦点到渐近线的距离，可得b ，然后根据222,c b c a e a

=-=

，可得结果. 【详解】

由题可知：双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=

取右焦点(),0F c ，一条渐近线:0l bx ay -=

则点F 到l =222b a c +=

所以b =222c a -= 又22

22399

c c c a a a =?=?= 所以22

3292c c c -=?= 所以焦距为：23c =

故选：A

【点睛】

本题考查双曲线渐近线方程，以及,,,a b c e 之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为b ，属基础题.

9．在ABC ?中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，

则ABD ?的面积是（ ）

A ．

B ．

C ．3

D ．【答案】B

【解析】

【分析】

利用正弦定理求出CD ，可得出BC ，然后利用余弦定理求出cos B ，进而求出sin B ，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD ?的面积.

【详解】 AD Q 为BAC ∠的角平分线，则BAD CAD ∠=∠.

ADB ADC π∠+∠=Q ，则ADC ADB π∠=-∠，

()sin sin sin ADC ADB ADB π∴∠=-∠=∠，

在ABD ?中，由正弦定理得

sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，即42sin sin ADB BAD

=∠∠，① 在ACD ?中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC ADC =∠∠，即8sin sin CD ADC CAD

=∠∠，② ①÷②得212CD =，解得4CD =，6BC BD CD ∴=+=，

由余弦定理得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-?，sin B ∴==

因此，ABD ?的面积为1sin 2

ABD S AB BD B ?=

?=故选：B.

【点睛】

本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

10．函数的定义域为（ ）

A ．[，3）∪（3，+∞）

B ．（-∞，3）∪（3，+∞）

C ．[，+∞）

D ．（3，+∞）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.

【详解】 因为函数， 解得且； 函数的定义域为, 故选A ．

【点睛】 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 11． “1sin 2x =”是“2()6

x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】

【分析】

1sin 2x =?2()6x k k Z ππ=+∈或52()6

x k k Z ππ=+∈，从而明确充分性与必要性. 【详解】

，

由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6

x k k Z ππ=+∈， 即2()6

x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =， 但1sin 2x =推不出2()6

x k k Z ππ=+∈ ∴“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件 故选B

【点睛】

本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.

12．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r ，则x y +的取值范围是（ ）

A ．[]1,2

B ．[]1,3

C ．[]2,3

D ．[]

2,4 【答案】C

【解析】

【分析】 以A 为坐标原点，以,AB AD 分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可解决.

【详解】

以A 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形ABCD 的边长为1，

则(1,0)B ，(1,1)E -，设(,1)(01)P t t ≤≤，则(,1)(1,0)(1,1)t x y =+-，所以t x y =-，且1y =， 故2x y t +=+[]2,3∈.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围，考查学生的基本计算能力，本题的关键是建立适当的直角坐标系，是一道基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知双曲线22

1412

x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为___________. 【答案】

32

【解析】

【分析】

求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．

【详解】

解：双曲线221412

x y -=的右准线2414a x c ===，渐近线y =，

双曲线22

1412

x y -=的右准线与渐近线的交点(1,， 交点在抛物线2

2y px =上，

可得：32p =， 解得32

p =

． 故答案为32． 【点睛】

本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题． 14．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则AB DE +的最小值为__________．

【答案】16.

【解析】

由题意可知抛物线2

:4C y x =的焦点():1,0F ，准线为1x =- 设直线1l 的解析式为()1y k x =-

∵直线12,l l 互相垂直

∴2l 的斜率为1k

- 与抛物线的方程联立()

21{4y k x y x =-=，消去y 得()

2222240k x k x k -++= 设点()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y