简单超静定问题

6-1.6-11.6-17

第六章 简单超静定问题 习题解

[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图

解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。设2F 作用点为C ， F 作用点为D ，则：

B BD R N = F R N B CD += F R N B A

C 3+=

变形谐调条件为：

0=?l

02=?+?+?EA a

N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N

03)(2=++++F R F R R B B B

45F

R B -

=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F

N BD

-= 445F F F N CD -=+-=

4

7345F

F F N AC

=

+-= 轴力图如图所示。

[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积

分别为21100mm A =，2

2150mm A =，23200mm A =。试求各杆的轴力。

解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。

∑=0X

030cos 30cos 01032=-+-N N N

0332132=-+-N N N 0332132=+-N N N (1)

∑=0Y

030sin 30sin 0103=-+F N N

2013=+N N (2)

变形谐调条件：

设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：

00130cos 30sin x y l δδ+=?

x l δ=?2

00330cos 30sin x y l δδ-=?

03130cos 2x l l δ=?-?

2313l l l ?=?-?

设l l l ==31，则l l 2

32=

2

23

31123

3EA l N EA l

N EA l N ?

?=- 2

2

331123A N A N A N =-

150232001002

31?=

-N N N 23122N N N =-

21322N N N -= (3)

(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。

[习题6-3] 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F 作用在A 点，试求这四根支柱各受多少力。

解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用力均铅垂向上。分别用4321,,,N N N N 表示。 由其平衡条件可列三个方程：

0=∑Z

04321=-+++F N N N N F N N N N =+++4321 (1)

0=∑x

M

02

22242=-?

a N a N 42N N = (2)

0=∑y

M

02

22231=?-?+?

a N e F a N a

Fe

N N 231-

=- (3)

由变形协调条件建立补充方程

EA

N EA l N EA l N 2

312=+

2312N N N =+。。。。。。。。。。（4）

(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得：

4

42F

N N =

= F a e N )241(1-=

F a

e N )241(3+=

[习题6-4] 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如所示。如已知kN F 50=，两根钢杆的横截面面积2

1000mm A =，

试求两杆的轴力和应力。

解：以AB 杆为研究对象，则：

0=∑A

M

0350221=?-?+?a a N a N

150221=+N N (1)

变形协调条件：

122l l ?=?

EA

l

N EA l N 122= 122N N = (2)

(1)、(2)联立，解得：

kN N 301= kN N 602=

MPa mm N

A N 301000300002

11===

σ

MPa mm N

A N 601000600002

22===

σ [习题6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE

支承。已知钢杆BD 和CE 的横截面面积2

2200mm A =和2

1400mm A =，钢杆的许用应力

MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。

解：以AB 杆为研究对象，则：

0=∑A

M

02

3

)330(3121=?

?-?+?N N 135321=+N N (1)

变形协调条件：

3

1

21=??l l 123l l ?=?

1

12238.1EA l

N EA l N ?=?

400

32008.11

2N N =? 212.1N N = (2)

(1)、（2）联立，解得：

kN N 571.381=（压）；kN N 143.322=（拉）

故可记作：kN N 571.381-=；kN N 143.322= 强度校核： MPa MPa mm

N

A N 170][4275.9640038571||

||2111=<===σσ，符合强度条件。 MPa MPa mm N A N 170][715.160200321432

122=<===

σσ，符合强度条件。

[习题6-6] 试求图示结构的许可荷载[F]。已知杆AD ，CE ，BF 的横截面面积均为A ，杆材料的许用应力为][σ，梁AB 可视为刚体。

解：以AB 杆为研究对象，则：

∑=0Y

0321=-++F N N N

F N N N =++321 (1)

∑=0A

M

0232=?-?+?a F a N a N F N N =+322 (2)

变形协调条件： 2132l l l ?+?=?

EA

l

N EA l N EA l N 21322+=? 2134N N N += (3)

(1)(2)(3)联立，解得： 5221F N N ==；5

3F

N = 强度条件： ][5221σσσ≤=

=A

F

A A F ][5.22]

[5σσ=≤

][53σσ≤=

A

F

][5σA F ≤ 故：A F ][5.2][σ=

[习题6-7] 横截面积为mm mm 250250?的短木柱，用四根mm mm mm 54040??的等边角钢加固，并承受压力F ，如图所示。已知角钢的许用应力MPa s 160][=σ，弹性模量

GPa E s 200=；木材的许用应力MPa w 12][=σ，弹性模量GPa E w 10=。试求短木柱的

许可荷载[F]。

解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：

（1）

由木柱与角钢间的变形相容条件，有

（

2）

由物理关系：

（3）

式（3）代入式（2），得

（4）

解得：

代入式（1），得：

（2）许可载荷 由角钢强度条件

由木柱强度条件：

故许可载荷为：

[习题6-8] 水平刚性横梁AB 上部由于某1杆和2杆悬挂，下部由铰支座C 支承，如图所示。由于制造误差，杆1和长度短了mm 5.1=δ。已知两杆的材料和横截面面积均相同，且GPa E E 20021==，A A A ==21。试求装配后两杆的应力。

解：以AB 梁为研究对象，则：

0=∑C

M

0145sin 2021=?+?-N N

214

2

N N =

…………(1) 变形协调条件： 11AA l -=?δ

122

2

BB l =

?

2

11

1212l l BB AA ??-==

δ 2122l l ?=?-δ

EA

l

N EA l N 22221?=-

δ EA

l

N EA l N 214=

-

δ………...(2) (1)、(2)联立，解得：

l EA N )162(21+=

δ；l

EA N )162(42+=

δ

MPa mm mm MPa l E 242.161500)162(5.1102002)162(231=?+???=

+=

δσ

MPa mm

mm MPa l

E 939.451500)162(5.1102004)162(432=?+???=+=

δσ

[习题6-9] 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离mm 1=δ。已知上、下两段杆的

横截面面积分别为2600mm 和2

300mm ，材料的弹性模量GPa E 210=。试作图示荷载作用下杆的轴力图。

解：设装配后，支座B 的反力为B R （↓），则： B BC R N =

40+=B CD R N （D 为60kN 集中力的作用点）

100+=B AD R N

变形协调条件：

δ=∑=n

i i

l

1

m R R m m kN m kN R B B B 36

666262610110

600102102

.1)100(10600102104.2)40(10300/102102.1----?=????++????++????

1261202.1964.24.2=++++B B B R R R

906-=B R

)(15kN R B -=。故：

[习题6-10] 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知AC 段和BD 段的横截面面积为A ，CD 段的

横截面面积为2A ；杆的弹性模量为GPa E 210=，线膨胀系数1

06)(1012--?=C l α。试求

当温度升高C 0

30后，该杆各部分产生的应力。 解：变形协调条件：

0=?l

0=?+?t N l l

04)

2(22=???++a t A E a

N EA Na l α 043=???+a t EA

Na

l α 043=???+t EA

N

l α )

(100800/1021030)(10123

4

342260106kN A Am m kN C c tEA N l -=??????-=?-=--α MPa kPa A

N

BD AC 8.100)(100800-=-===σσ

MPa kPa A

N

CD 4.50)(504002-=-==

σ [习题6-11] 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩e M 。若

212d d =，试求固定端的支反力偶矩A M 和B M ，并作扭矩图。

解：把B 支座去掉，代之以约束反力偶 ，

其矩为B M ，转向为逆时针方向，则：

B B

C M T = e B CA M M T -=

变形协调条件：

A 、

B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故：

0=+=CB AC AB ???

02)(21=+-P B P e B GI a

M GI a M M

022

1=+-P B

P e B I M I M M

式中，241414111632

1

16)2(321321P P I d d d I =?===

πππ，故： 02162

2=+-P B P e B I M I M M

0216=+-B e

B M M M

33

e

B M M =

33

3233e

e e A M M M M -=-=

（顺时针方向转动） 33

e

B B

C M M T =

=

33

32e

e B CA M M M T -

=-= AB 轴的轴力图如下：

和截面C 的扭转角。

解：把B 支座去掉，代之以约束反力

力偶，其矩为B M ，逆时针方向 转动。，则：

B CB M T = e B CA M M T -=

变形协调条件：

A 、

B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故：

0=+=CB AC AB ???

01

5.0)(=?+?-P B P e B GI M GI M M

02=+-B e B M M M

3

e

B M M =

，故： )(267.13

8

.33m kN M M T e B CB ?===

= )(533.23

8

.3232m kN M M M T e e B CA ?-=?-=-

=-= C 截面左侧的最大切应力： P

CA

CA W T =

max,τ 式中，抗扭截面模量)(423906014.316

1

161333mm d W P =??==

π MPa mm mm

N W T P CA CA

8.594239010533.2||3

6max,=??==τ C 截面右侧的最大切应力： P

CB

CB W T =

max,τ MPa mm

mm N W T P CB CB

9.294239010267.1||3

6max,=??==τ C 截面的转角： P

CB

CB BC C GI l T =

=?? 式中，444412717006014.332

1

321mm mm d I P =??==

π 0

4

236714.0)(01245.01271700/1080100010267.1==?????===rad mm

mm N mm mm N GI l T P CB CB BC

C ??[习题6-13] 一空心圆管套在实心圆杆B 的一端，如图所示。两杆在同一截面处各有一直径

相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一β角。现在杆B 上施加外力偶使杆B 扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B 上的外力偶。试问管A 和杆B 横截面上的扭矩为多大？已知杆A 和杆B 的极惯性矩分别PA I 和PB I ；两杆的材料相同，其切变模量为G 。

解：解除Ⅱ端约束2M （逆时针方向转动），则由于B 杆锚固时处于弹性变形阶段，所以解除约束II 之后，Ⅱ端相对于截面C 转了β角。因为事先将杆B 的C 端扭了一个β角，故变形协调条件为

02

2=-M ?β

PA

B PB A PB

PA B A I l I l I GI M T T +=

==β2

[习题6-14] 图示圆截面杆AC 的直径mm d 1001=，A 端固定，在截面B 处承受外力偶矩

m kN M e ?=7，截面C 的上、下两点处与直径均为mm d 202=的圆杆EF 、GH 铰接。已知各杆材料相同，弹性常数间的关系为E G 4.0=。试求杆AC 中的最大切应力。

解：把EF 杆与GH 杆切断，代之以约束反力。由轴AC 的受力特点可知，这两个约束反力构成一力偶，设它的力偶矩为C M （顺时针方向转动）。

)(12.0)(21m kN N d d N M EF EF C ?=+=

EF C BC N M T 12.0-=-= EF C e AB N M M T 12.07-=-=

杆EF 、GH 的作用是阻止C 截面转动，但因这这两根杆件是可变形固体，故C 截面仍有转角C ?。

2

32121)1020(14.34

1

5.22

12

.022)(2

1

-??????

=?+=

+?=

G N EA l N d d d d l EF EF EF EF C ?

G

N EF

845.42462=

变形协调条件为：

C BC AB AC ????=+=

C P

BC

BC P AB AB GI l T GI l T ?=+ G

N GI N GI N EF

P EF P EF 845.42462112.01)12.07(=?-?-

1

845.4246212.012.07EF

P EF P EF N I N I N =--

P EF EF I N N 845.4246224.07=-

式中，)(108125.9)1.0(14.332

1

3214644m m d I P -?=??==

π，故： EF EF EF N N N 42.0108125.9845.4246224.076=??=--

)(61.1066.0/7kN N EF ==。 故：

)(273.161.1012.012.0m kN N T EF BC ?-=?-=-=

)(727.5273.1712.07m kN N M M T EF C e AB ?=-=-=-=

杆AC 的最大切应力出现在AB 段的圆轴表面：

MPa mm mm

N d T W T P 182.2910014.310727.516163

363max max max =????===πτ

[习题6-15] 试求图示各超静定梁的支反力。

[6-15（a ）]

解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R ，则变形协调方程为：

0=B w 0=+BF BR w w B

查附录IV ，得：EI a R EI a R w B B BR B

3393)3(-=-=

EI

Fa a a EI a F w BF

314)233(6)2(3

2=-?=

故， 031493

3=+-=+EI

Fa EI a R w w B BF

BR B

03

149=+

-F

R B 27

14F

R B =

（↑） 由

0=∑Y 得：27

132714F

F F R A =

-

= （↑） 由0=∑A M 得：9

4327142Fa

a F a F M A =

?+

?-（逆时针方向转动） [6-15(b)]

解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R ，则变形协调方程

为：

0=B w 0=+B e R BM w w

查附录IV ，得：

EI

a M EI a M w e e BM e

2222)2(-=-=

EI

a R a a EI a R w B B R B

38)223(6)2(32-=-?-=

故， 038232=--=+EI

a R EI a M w w B e R BM B

e

03

4=+

a

R M B e a

M R e

B 43-

= （负号表示方向向下，即↓） 由

0=∑Y 得：a

M R e

A 43=

（↑） 由0=∑A M 得：e e A M a a M M +?-

243，a

M

M e A 2=（逆时针方向转动） [6-15(c)]

解：把B 支座去掉，代之以约束反力B M 和B F ，方向如图所示。则变形协调条件为： 0=B w ；0=B θ

0=++B s M BF Bq w w w

查附录IV ，得： EI

ql w Bq

84

= EI l F w B BF B

33-=

EI

l M w B BM B

22=

故， 0238234=+-=++EI

l M EI l F EI ql w w w B B M BF Bq B

s 02

382=+-B

B M l F ql 012832=+-B B M l F ql (1)

0=B θ

0=++B

B

BM BF Bq θθθ

查附录IV ，得： EI ql Bq

63

=θ EI

l F B BF B

22-=θ

EI

l

M B BM B

=

θ 故， 02623=+-=++EI

l M EI l F EI ql B B BM BF Bq B

B θθθ 02

62=+-B B M l

F ql 0632

=+-B B M l F ql (2)

(1)、（2）联立，解得：2

ql

F B =（↑）；122ql M B =（顺时针方向转动）。

根据对称结构在对物荷载作用下的性质可知，

2

ql

F A =（↑）；122ql M A =（逆时针方向转动）

[习题6-16] 荷载F 作用在梁AB 及CD 的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比和刚度比分别为：

23

21=l l 和5

4

21=EI EI 。

解：把连接梁AB 与梁CD 的垫块去掉，代之以约束反力B R （↑）和C R （↓）。显然，它们是一对作用力反作用力。C B R R =。

查附录IV 得：AB 在B 处的挠度：

1

3

1

3)(EI l R F w B B ?-=

CD 在C 处的挠度为：

2

3

23EI l

R w C C =

变形协调方程：C B w w =

2

3

2131

33)(EI l R EI l R F C B =?-

2

3

213

1)(I l

R I l R F C C =?-

135

32)32(54)(331221=?=?=-l l I I R R F C C 167

135F

R C =

（↓）。即，梁CD 在C 处所受的力。 梁AB 在B 处所受的合力为：167

32167135F

F F =

-

（↓）。 [习题6-17] 梁AB 因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC 加固，如图所示。

试求：

（1）二梁接触处的压力C F ；

（2）加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数。 解：（1）求二梁接触处的压力C F

以AB 为研对象，把C 处的圆柱垫去掉，代之以约束反力C F （↑）；以AC 为研究对象，作用在C 处的力为'

C F （↓）。C F 与'

C F 是一对作用与反作用

力，'

C C F F =。

AB 梁在C 处的挠度：

C CF CF AB C w w w +=,。

查附录IV 得：

EI Fl l l EI l F w CF

485)23(6)2(32

=

-= EI

l F l l EI l F w C C CF C

24)223(6)2(32

-

=-?-= 故，EI

l F EI Fl w w w C CF CF AB C C 244853

3,-=+= AC 梁在C 处的挠度：

EI

l F EI l F w C C AC

C 243)2(33

',=

= 变形协调方程：

AC C AB C w w ,,=

EI

l F EI l F EI Fl C C 2424485333=- 2424485C

C F F F =- C C F F F 225=-

4

5F

F C =

（↑） （2）求加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数 ① 弯矩的变化情况 加固前： 2

2Fl l F M C -=?

-=