(完整版)高等数学中值定理的题型与解题方法
高等数学中值定理的题型与解题方法
高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中(,)a b ξ∈，一定是开区间.
全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。 题型一：证明：()0n
f ξ=
基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。 例1. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b >>，()(
)02
a b
f a f +<， 证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.
分析：由()()0f a f b >>，()(
)02
a b
f a f +<，容易想到零点定理。 证明：Q ()()02a b f a f +<，∴存在1(,)2
a b
x a +∈，使得1()0f x =，
又Q ()()0f a f b >>，∴(),()f a f b 同号，∴()()02
a b
f b f +<，
∴存在2(,)2
a b
x b +∈，使得2()0f x =，
∴12()()0f x f x ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.
例2. ()[0,3]f x C ∈在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =， 证明：存在(0,3)ξ∈，使得'()0f ξ=
证明：（1）Q ()[0,3]f x C ∈，∴()f x 在[0,3]使得上有最大值和最小值,M m ， ∴根据介值性定理(0)(1)(2)
3
f f f m M ++≤
≤，即1m M ≤≤
∴存在[0,3]c ∈，使得()1f c =，
（2）()(3)1f c f ==Q ，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c ξ∈?， 使得'()0f ξ=.
例3. ()f x 在(0,3)三阶可导，[0,1]x ∈，(1)0f =，3
()()F x x f x = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'''()0F ξ=
证明：（1）Q (0)(1)0F F ==，∴存在1(0,1)ξ∈，使得1'()0F ξ=，
（2）23
'()3()'()F x x f x x f x =+，所以1'(0)'()0F F ξ==，
∴存在21(0,)ξξ∈，使得2''()0F ξ=，
（3）2
2
3
''()6()3'()3'()''()F x xf x x f x x f x x f x =+++，所以2''(0)''()0F F ξ==，
∴存在2(0,)(0,1)ξξ∈?，使得'''()0F ξ=，
例3. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)内可导，[0,1]x ∈，(0)1f =，1
1
()22
f =
，(1)2f = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：Q (0)1f =，11
()22
f =
，(1)2f =∴存在(0,1)ξ∈，使得()f m ξ=， 又Q ()f x 在(0,1)内可导，∴存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ= 题型二：证明：含ξ，无其它字母 基本思路，有三种方法： （1）还原法。'
'()
[ln ()]()
f x f x f x =
能够化成这种形式 例1. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)可导，(1)0f =，
证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()3()0f f ξξξ+=. 分析：由3'()3
'()3()00[ln ()]'(ln )'0()f x xf x f x f x x f x x
+=?
+=?+=， 3[ln ()]'0x f x ?=
证明：令 3
()()x x f x ?=，(0)(1)1??==Q
存在(0,1)ξ∴∈，使得'()0?ξ=，而2
3
'()3()'()0f f ?ξξξξξ=+= 存在(0,1)ξ∈，使得'()3()0f f ξξξ+= 例2. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b ==，
证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()2()0f f ξξ-=. 分析：由2'()
'()2()020[ln ()]'(ln )'0()
x f x f x f x f x e f x --=?
-=?+=，
2[ln ()]'0x f x e -=
证明：令 2()()x
x f x e
?-=，()()0f a f b ==Q ，()()0a b ??∴==
存在(,)a b ξ∴∈，使得'()0?ξ=，而
222'()2()'()[2()'()]0x x x x f x e f x e e f x f x ?---=-+=-+=
2[2()'()]0e f f ξξξ-∴-+=
即存在(,)a b ξ∈，使得'()2()0f f ξξ-= 例3. ()f x 在[0,1]上二阶可导，(0)(1)f f =，
证明：存在(0,1)ξ∈，使得2'()
''()1f f ξξξ
=
-. 分析：由22'()''()2
''()0[ln '()]'[ln(1)]'01'()1
f x f x f x f x x x f x x =
?+=?+-=--， 2[ln '()(1)]'0f x x -=
证明：令 2
()'()(1)x f x x ?=-，(0)(1)(0,1)f f c =??∈Q ，使得'()0f c =， 所以2
()'()(1)0c f c c ?=-=，又因为(1)0?=()(1)0c ??∴==
∴由罗尔定理知，存在(0,1)ξ∈，使得2'()
''()1f f ξξξ
=
-. 记：① '()()kx
f kf x e f x ?+?=
② '()()k f kf x x f x ξ?+?= （2）分组构造法。
① ''()()f f ξξ=
''()()0''()'()'()()0f x f x f x f x f x f x -=?+--= ['()()]'['()()]0[]'[]0f x f x f x f x g g ?+--=?-= '
10(ln )'(ln )'0()['()()]x x g g e x e f x f x g
?--?
-=?+=?=- ② ''()()10f f ξξ-+=（还原法行不通）
'['()1]'['()1]0'0()[()1]x f x f x g g x e f x ?----=?-=?=-
例1. ()[0,1]f x C ∈，在(0,1)内可导，11(0)0,()1,(1)22
f f f ===
， 证明：①存在(0,1)c ∈，使得()f c c =，
②存在(0,1)c ∈，使得'()2[()]1f f ξξξ--=.
证明：① 令 ()()x f x x ?=-，111(0)0,(),(1)222
???∴==
=- 1()(1)02?? (,1)(0,1)2 c ∴?∈?使得()0c ?=，即()f c c = ② （分析）'()2[()]1[()]'2[()]0f x f x x f x x f x x --=?---= 令 2()[()]x h x e f x x -=-，(0)()0h h c ∴== ∴存在(0,1)c ∈，使得'()2[()]1f f ξξξ--=. 题型三：证明：含,ξη. 分几种情形：情形1：结论中只有'(),'()()f f ξη?? ?找三句次La gr a nge 点 两话两 例1. ()[0,1]f x C ∈，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1f f ==， 证明：①存在(0,1)c ∈，使得()1f c c =-， ②存在,(0,1)ξη∈，使得'()'()1f f ξη=. 证明：① 令 ()()1x f x x ?=-+，(0)1,(1)1??∴=-=(0)(1)0?? f c c ξ--= = (1)()'()11f f c c f c c η-= =--，所以存在,(0,1)ξη∈，使得'()'()1f f ξη= 例2. ()[0,1]f x C ∈，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1f f ==， 证明：①存在(0,1)c ∈，使得1 ()2 f c = ， ②存在,(0,1)ξη∈，使得 11 2'()'() f f ξη+=. 证明：① 令 1 ()()2x f x ?=-，11(0),(1)22 ??∴=-=，(0)(1)0?? (0,1)c ∴?∈，使得1()2 f c = ②(0,),(,1)c c ξη?∈∈,使得()(0)1 '()2f c f f c c ξ-= =， (1)()1'()12(1)f f c f c c η-= =--，所以存在,(0,1)ξη∈，使得 11 2'()'() f f ξη+= 情形2：结论中含有,ξη，但是两者复杂度不同。 {2222[()2()][()]'()'()'()()'()11()'f f f f f f x ηηηηηηηηηη--???-=?? ? ==??-? ???????1).留复某函的句2).哪函的看不出1).的情用拉格朗日中值定理2) .的情用柯西中值定理杂e e 个数导数两话个数导数来时况况 例1. ()[,]f x C a b ∈，在(,)(0)a b a >内可导 证明：存在,(,)a b ξη∈，使得'() '()() 2f f a b ηξη =+. 证明：① 令 2 ()F x x =，'()20F x x =≠由柯西中值定理 (,)a b η∴?∈使得 22()()'()2f b f a f b a ηη-=-，所以()()'() ()2f b f a f a b b a ηη -=+- (,)a b ξ∴?∈使得()() '()f b f a f b a ξ-= -，得证。 例2. ()[,]f x C a b ∈，在(,)(0)a b a >内可导 证明：存在,(,)a b ξη∈，使得2 '()'()abf f ξηη=. 证明：① 令 1()F x x =- ，21 '()0F x x =-≠由柯西中值定理 (,)a b η∴?∈使得 2 ()()'()111f b f a f b a ηη-=-+，所以2()() '()f b f a ab f b a ηη-=- (,)a b ξ∴?∈使得()() '()f b f a f b a ξ-= -，得证。 例3. ()[,]f x C a b ∈，在(,)a b 内可导, ()()1f a f b == 证明：存在,(,)a b ξη∈，使得['()()]1e f f ηξ ηη-+=. (分析：“留复杂”['()()]e f f η ηη+) 证明：① 令 ()()x x e f x ?=，由拉格朗日中值定理 (,)a b η∴?∈使得 ()()['()()]b a e f b e f a e f f b a η ηη-=+-， ()()()()1,['()()]b a b a e f b e f a e e f a f b e f f b a b a ηηη--==∴==+--Q ['()()],(,)b a e e e e f f a b b a ξηηηξ-∴==+∈-，即['()()]1e f f ηξηη-+=. 题型四：证明：拉格朗日中值定理的两惯性思维。 ()f x 可导 ①()()'()f b f a f b a ξ-=- ②见到3点两次使用拉格朗日中值定理。 例1. lim '()x f x e →∞ =，且lim[()(1)]lim( ),x x x x c f x f x x c →∞ →∞ +--=-则 c = 解：()(1)'()(1)f x f x f x x ξξ--=-<<， lim '()x f x e →∞ =. 又因为2lim 2222lim( )lim[(1)]x x c c x x x c c c x c x c x x x c c e e x c x c →∞---→∞→∞+=+==-- 12 c ∴= 例2. '()0,''()0f x f x >>，且000'(),()(),0dy f x x y f x x f x x =??=+?-?>，则 ,,0dy y ?的大小关系。 解：由拉格朗日中值定理知000'(),()y f x x x x x ξ?=?<<+?， ''()0,'()f x f x >∴Q 单调递增 又00,'()'()x f x f ξξ<∴ 又因为00,'()'(),0x f x x f x dy y ξ?>∴? 例3. ()f x 在(,)a b 内可导，且'()f x M ≤，()f x 在(,)a b 内至少有一个零点。 证明：()()()f a f b M b a +≤- 证明：1）因为()f x 在(,)a b 内至少有一个零点，所以(,),()0c a b f c ?∈= 2）下边用两次拉格朗日中值定理 11()()'()(),(,)f c f a f c a a c ξξ-=-∈， 22()()'()(),(,)f b f c f b c c b ξξ-=-∈ 所以11()'()(),(,)f a f c a a c ξξ-=-∈ 22()'()(),(,)f b f b c c b ξξ=-∈ '()f x M ≤Q ，1()(),(,)f a M c a a c ξ∴≤-∈ 2()(),(,)f b M b c c b ξ≤-∈，()()()f a f b M b a ∴+≤- 例4. ()f x 在(,)a b 内二阶可导，有一条曲线()y f x =，如图 证明：(,)a b ξ?∈，使得''()0f ξ= 证明：1）12(,),(,)a c c b ξξ?∈∈使得12()()()() '(),'()f c f a f b f c f f c a b c ξξ--= =-- 因为,,A C B 共线，所以12'()'()f f ξξ=，所以由罗尔定理知12(,)(,)a b ξξξ?∈?，使得 ''()0f ξ= 11()()'()(),(,)f c f a f c a a c ξξ-=-∈ 题型五：Taylor 公式的常规证明。 ()(1)1000000()()()()'()()()()!(1)! n n n n f x f f x f x f x x x x x x x n n ξ++=+-+???+-+-+ 00'(),f c x c x =????? 中端点点()('()),f c f c x c x =??? ? ???端中任一无点点点 例1. '''()[1,1]f x C ∈-，(1)0,'(0)0,(1)1f f f -=== 证明：存在(1,1)ξ∈-，使得'''()3f ξ=. （题外分析：考虑什么时候该用泰勒公式什么时候不用！ ()()(2)n f n ξ≥时考虑，但是()()0n f ξ=为题型一，考虑罗尔定理 2n =时比较尴尬，有时候用拉格朗日中值定理，有时候不用，该怎么考虑呢， 分情况： (),(),()''()'(),'(),'()'(),'(),'()f a f b f c lagrange f f a f b f c lagrange f a f b f c taylor ξ???? ???? 次拉格朗日中值定理解两决） 证明： 2311'''()''(0) (1)(0)(10)(10),(1,0)2!3! f f f f ξξ-=+ --+--∈-， 2322'''()''(0) (1)(0)(10)(10),(0,1)2!3!f f f f ξξ=+-+-∈ 11'''() ''(0)0(0),(1,0)26f f f ξξ∴=+-∈-∴ 22'''() ''(0)1(0),(0,1)26 f f f ξξ=++∈ 两个式子相减得：12'''()'''()6f f ξξ∴+= 12'''()[,]f x C ξξ∈Q ，'''()f x ∴在12[,]ξξ上有,m M ，则122'''()'''()2m f f M ξξ∴≤+≤ 12'''()'''() 32 f f m M m M ξξ+∴≤ ≤?≤≤，所以根据介值定理得： 存在12[,](1,1)ξξξ∈?-，使得'''()3f ξ= 例2. ()f x ，在[0,1]二阶可导，(0)(1)0f f ==，01 min ()1x f x ≤≤=-， 证明：存在(0,1)ξ∈，使得''()8f ξ≥. 证明：由01 min ()1x f x ≤≤=-知，存在(0,1)c ∈，使得()1f c =-且'()0f c = 由泰勒公式：211''() (0)()(0),(0,)2! f f f c c c ξξ=+ -∈， 222''() (1)()(1),(,1)2! f f f c c c ξξ=+-∈ 1122 ''(),(0,)f c c ξξ∴= ∈ 222 2 ''(),(,1)(1)f c c ξξ∴= ∈- ①111(0,]''()8,2 c f ξξξ∈?≥= ②221(,1)''()8,2 c f ξξξ∈?≥= 例3. ()f x 在[,]a b 上二阶可导，''()f x M ≤，()f x 在(,)a b 内取最大值。 证明：存在'()'()()f a f b M b a +≤-. 证明：由()f x 在(,)a b 内取最大值知，存在(0,1)c ∈，使得'()0f c = 11'()'()''()(),(,)f c f a f c a a c ξξ∴-=-∈ 22'()'()''()(),(,)f b f c f b c c b ξξ∴-=-∈ 1'()(),(,)f a M c a a c ξ∴≤-∈ 2'()(),(,)f b M b c c b ξ∴≤-∈ 所以存在'()'()()f a f b M b a +≤-. 第三章中值定理证明 1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义 1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0< 高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ 一、一元函数微分学 求给定函数的导数与微分(包括高阶导数)，隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论; 利用洛比达法则求不定式极限; 讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式; 利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足……”，此类问题证明经常需要构造辅助函数; 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间; 利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。 二、一元函数积分学 计算题：计算不定积分、定积分及广义积分; 关于变上限积分的题：如求导、求极限等; 有关积分中值定理和积分性质的证明题; 定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等; 综合性试题。 三、函数、极限与连续 求分段函数的复合函数; 求极限或已知极限确定原式中的常数; 讨论函数的连续性，判断间断点的类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。 四、向量代数和空间解析几何 计算题：求向量的数量积，向量积及混合积; 求直线方程，平面方程; 判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角; 建立旋转面的方程; 与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。 五、多元函数的微分学 判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续; 求多元函数(特别是含有抽象函数)的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数; 求二元、三元函数的方向导数和梯度; 求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习; 多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题;求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。 六、多元函数的积分学 二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序; 第一型曲线积分、曲面积分计算; 第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用; 第二型(对坐标)曲面积分的计算，高斯公式及其应用; 梯度、散度、旋度的综合计算; 重积分，线面积分应用;求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。 七、无穷级数 判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛; 大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 第三章中值定理与导数 的应用 中值定理与导数的应用的结构 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的泰勒公式 型 0,1,0∞∞型 21∞-∞型 ∞?0型00型∞ ∞Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理 x x F =)() ()(b f a f =0 =n g f g f 1= ?2 11 2 21111∞∞∞-∞=∞-∞取对数 令g f y =单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法. 导数的应用 第三章中值定理与导数的应用 1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题 1. 中值定理 泰勒中值定理 设f (x )在含0x 的某开区间(a ,b )内具有(n +1)阶 导数, 则当),(b a x ∈时，在 x 与0x 之间存在 ξ ,使 （柯西中值公式） ) () ()()()()('' ξξg f b g a g b f a f =--（拉氏中值公式） )()()(ξf b f a f '=-柯西中值定理 设f (x ), g (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间 (a ,b )内可导且g '(x )≠0, 那末),(b a ∈?ξ,使 罗尔中值定理 设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内 可导且f (a )= f (b ), 那末),(b a ∈?ξ,使f '(ξ )=0 1 0)1(0 00)() ()!1()()(!)()(++=-++-=∑n n n k n n x x n f x x n x f x f ξ拉氏中值定理 设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内 可导, 那末),(b a ∈?ξ,使 高等数学公式定理整理 1.01 版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 cos(a ? cos a ?cos B sin a ?sin B COS (a - [3 ) cos a os a +°s C a in a*s sin( a±3 ) sin a in a ±cos a os a ?s tan( a + 、(tan a +tan 3 a 3) (1-tan a an a ? ta tan( a - | 和差化积 3 ) (tan a -tan 3 an 3tan a an a ? ta a^icosg sin a -sin 3= 2cos[ cos a -cos 3= -2sin[(a + 3)in[( a - 3) 2 2 (a + 2 3)in [号) cos a + cos 3= 2cos[ (a + 2 积化和差 1 ? sin a in a = c[sin( a+ B ) sin( a- B )] cos a os a=~Ssin( a+ B -sin( a- B )] 1 cos a os a = c[cos( a+ B + COS(a- B )] 1 sin a in a=,-s[cos( a+ B - cos( a- B )] 倍角公式(部分)：很重要！ sin2 a = 2 2sin a sin a= ? (tan a+ cot ao cos2 a ==cos2a- sin2a= 2cos2a-1 = 1- 2sin2a tan2 a= 2ta n a 1-tan2a 、函数 函数的特性： 专升本高数定理及性质集锦 1、数列极限的存在准则 定理1（两面夹准则）若数列{x n},{y n},{z n}满足以下条件： （1），（2），则 定理2 若数列{x n}单调有界，则它必有极限。 2、数列极限的四则运算定理 （1） （2） （3）当时， 推论：（1） （2），（3） 3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是 这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。 反之，如果左、右极限都等于A，则必有。 4、函数极限的定理 定理1（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。 定理2（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外） 满足条件： （1），（2），则有。 5、无穷小量的基本性质 性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； 性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。 性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 6、等价无穷小量代换定理： 如果当时，均为无穷小量，又有且 存在，则。 7、重要极限Ⅰ 8、重要极限Ⅱ是指下面的公式： 9、（2）（3） 10、函数在一点处连续的性质 由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。 定理1（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则 （1）f（x）±g（x）在x0处连续， （2）f（x）·g（x）在x0处连续 （3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。 定理2（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x= x0处连续。 定理3（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少） 11、闭区间上连续函数的性质 在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理1（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。 定理2（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。 定理3（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得 f（ξ）=C. 12、零点定理如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a， b]内至少存在一个点ξ，使得f（ξ）=0. 13、初等函数的连续性 定理初等函数在其定义的区间内连续。 利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则 f（x）在x0处连续 也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。 14、可导与连续的关系 定理如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。 15、由上一个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。 16、导数的计算 a、导数的四则运算法则 设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有 （1）（u±v）'=u'±v' （2）（u·v）'=u'·v+u·v' （3）（cu）'=c·u' （4） （5） （6）（u·v·w）'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w' 高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1．两个准则 准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= 高等数学公式定理整理 1.01版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 tan αanα·ta +tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta -(1tan βa +(tan α= β)+tan(αcos αosα·s ±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+ 和差化积 ] 2 β) -(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β) -(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α] 2β) -(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α] 2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α 积化和差 β)] -cos(α-β)+[cos(α2 1 -=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21 =cos αosα·c β)] -sin(α-β)+[sin(α21 =cos αosα·s β)] -sin(α+β)+[sin(α21 =sin αinα·c 倍角公式（部分）：很重要！ α tan -1α tan 2= tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2 = 2sin αsinα·=sin2α22222 一、函数 函数的特性： 1.有界性： 假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。 如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性 设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1 高等数学中值定理的题型与解题方法 高数中值定理包含： 1.罗尔中值定理 (rolle); 2. 拉格朗日中值定理 (lagrange); 3. 柯西中值定 理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式 (taylor), 其中 (a,b) ，一定是开区间 . 全国考研的学生都害怕中值定理， 看到题目的求解过程看得懂， 但是自己不会做， 这里往往是在构造函数不会处理， 这里给总结一下中值定理所涵盖的题型， 保证拿到题目就会做。 题型一：证明： f n ( ) 0 基本思路，首先考虑的就是罗尔定理 (rolle) ，还要考虑极值的问题。 例 1. f ( x) C[ a, b] 在 ( a, b) 可导， f (a) f (b) 0， f ( ) f (a b ) 0 ， a 2 证明：存在 (a,b) ，使得 f '( ) 0 . 分析：由 f ( a) f (b) 0 ， f (a) f ( a b ) 0 ，容易想到零点定理。 2 证明： f (a) f ( a b ) 0， 存在 x 1 (a, a b ) ，使得 f (x 1 ) 0 ， 2 2 f (b) f ( a b ) 又 f (a) f (b) 0 ， f ( a), f (b) 同号， 0 ， ( a b , b) ，使得 f ( x 2 ) 2 存在 x 2 0 ， 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0，所以根据罗尔中值定理：存在 (a,b) ，使得 f '( ) 0 . 例 2. f ( x) C[0,3] 在 (0,3) 内可导， f (0) f (1) f (2) 3 ， f (3) 1 ， 证明：存在 (0,3) ，使得 f '( ) 0 证明：（ 1） f ( x) C[0,3] ， f ( x) 在 [0,3] 使得上有最大值和最小值 M , m ， 根据介值性定理 f (0) f (1) f (2) M ，即 m 1 M m 3 存在 c [0,3] ，使得 f (c) 1 ， （ 2） f (c) f (3) 1，所以根据罗尔中值定理：存在 (c,3) (0,3) ， 使得 f '( ) 0 . 例 3. f ( x) 在 (0,3) 三阶可导， x [0,1] ， f (1) 0 ， F (x) x 3 f ( x) 证明：存在 (0,1) ，使得 F '''( ) 0 证明：（ 1） F (0) F(1) 0， 存在 1 (0,1)，使得 F '( 1 ) 0 ， 高数常用公式 平方立方： 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina c os(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = a a cos sin 万能公式 总结拉格朗日中值定 理的应用 总结拉格朗日中值定理的应用 以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！ 拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。 凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式， 凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1. 常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通 常用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分 作为k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例3. 倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例4。 高等数学重要定理及公式 作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫 说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word 及MathType 输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。 线性代数重要公式 1.矩阵与其转置矩阵关系：E A AA =* 2.矩阵行列式：*1 1A A A =- 1*-=n A A *1*)(A k kA n -= ? ? ??? ?????=-=-<=n A r n n A r n A r A r )(,1)(,11)(,0)(* 3.矩阵与其秩：{}()min (),()()()() (,)()() (,)max(()()) r AB r A r B r A B r A r B r A B r A r B r A B r A r B ≤+≤+≤+≥+ 4.齐次方程组0=Ax ：非0解?线性相关?n A R =)( 5.非齐次方程组b Ax =：有解??=)()(A R A R 线性表出 6.相似与合同：相似—n 阶可逆矩阵A,B 如果存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 则A 与B 相 似，记作：B A ~；合同—A,B 为n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵C 使得AC C B T =则称A 与B 合同。（等价，A 与B 等价—A 与B 能相互线性表出。） 7，特征值与特征向量：λαα=A ，求解过程：求行列式0=-A E λ 中参数λ即为特征值，再求解0)(=-x A E i λ即可求出对应的特征向量。矩阵A 的特征值与A 的主对角元及 行列式之间有以下关系：? ? ? ???????==∑∑A a n n ii n i λλλλ...2111。上式中∑==n i ii a A 1)(tra 称为矩阵的迹。 8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A 的互异特征值对应的特征向 量线性无关；若n 阶矩阵的特征值都是单特征根，则A 能与对角矩阵相似；n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个i k 重特征根，齐次方程组0)(=-x A E i λ的基础解析由i k 个解向量组成即对应每一个i k 重特征根i λi i k n A E R -=-)(λ。 9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A 为一个实对称矩阵，那么对应于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n 阶实对称矩阵A 都存在一个n 阶正交矩阵C ，使得 AC C AC C T 1-=为对称矩阵。 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 第四章 中值定理与导数的应用 §4. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0. 简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →-ξξξξξ x f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+ →+ξ ξξξξ x f x f f f x , 所以f '(x )=0. 罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ 高等数学中值定理的题型与解题方法 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N] 高等数学中值定理的题型与解题方法 高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中(,)a b ξ∈，一定是开区间. 全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。 题型一：证明：()0n f ξ= 基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。 例1. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b >>，()()02 a b f a f +<， 证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=. 分析：由()()0f a f b >>，()( )02 a b f a f +<，容易想到零点定理。 证明：()()02a b f a f +<，∴存在1(,)2 a b x a +∈，使得1()0f x =， 又()()0f a f b >>，∴(),()f a f b 同号，∴()()0 2 a b f b f +<， ∴存在2(,)2a b x b +∈，使得2()0f x =， ∴12()()0f x f x ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=. 例2. ()[0,3]f x C ∈在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =， 证明：存在(0,3)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：（1） ()[0,3]f x C ∈，∴()f x 在[0,3]使得上有最大值和最小值,M m ， ∴根据介值性定理(0)(1)(2) 3 f f f m M ++≤ ≤，即1m M ≤≤ ∴存在[0,3]c ∈，使得()1f c =， （2）()(3)1f c f ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c ξ∈?， 使得'()0f ξ=. 例3. ()f x 在(0,3)三阶可导，[0,1]x ∈，(1)0f =，3()()F x x f x = 证明：存在(0,1)ξ∈，使得'''()0F ξ= 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f x =a x =b y =f 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i =?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<= 10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i =?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点 i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式.高等数学-中值定理证明
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