高等数学 中值定理与导数的应用(习题)
第四章 中值定理与导数的应用
习题4-1
1、验证下列各题,确定ξ的值： (1)对函数x y sin =在区间]65,6[
π
π上验证罗尔定理；
解：显然]6
5,
6[
sin )(π
πC x x f y ∈==,)65,6()(π
πD x f ∈，
且2
1
)65(
)6(==ππ
f f ,可见罗尔定理条件成立；
而x x f cos )(=',取)65,6(632ππππξ∈=
=,有02
cos )(=='π
ξf , 所以罗尔定理结论成立.
(2)对函数2642
3
--=x x y 在区间]1,0[上验证拉格朗日中值定理； 解：显然]1,0[264)(2
3
C x x x f y ∈--==,)1,0()(
D x f ∈，
可见拉格朗日中值定理条件成立；而
2)2(40
1)
0()1(-=---=--f f ,
x
x x f 1212)(2-=',令
212122-=-x x ,得
6
3
312243662,1±=-±=
x ,
取)1,0(6
3
3∈+=ξ,有01)0()1()(--=
'f f f ξ, 所以拉格朗日中值定理结论成立.
(3)对函数3
)(x x f =及1)(2
+=x x g 在区间]1,0[上验证柯西中值定理.
解：显然]1,0[)(),(C x g x f ∈,)1,0()(),(D x g x f ∈,
且02)(≠='x x g ,)1,0(∈x ,可见柯西中值定理条件成立；
令x x x x g x f g g f f 2
3
23)()(11201)0()1()0()1(2==''==--=--,得32=x ,
)1,0(32∈=ξ,有
)
()
()0()1()0()1(ξξg f g g f f ''=
--, 所以柯西中值定理结论成立.
2、证明下列不等式：
(1)当0>>b a 时, )(3)(32332b a a b a b a b -<-<-；
证明：显然],[)(3a b C x x f ∈=,),()(a b D x f ∈,于是),(a b ∈?ξ,..t s
)(3))(()()(233b a b a f b f a f b a -=-'=-=-ξξ, 因a b <<<ξ0,所以
)(3)(32332b a a b a b a b -<-<-.
(2)当0>>b a 时,
b
b
a b a a b a -<<-ln ； 证明：显然],[ln )(a b C x x f ∈=,),()(a b D x f ∈,于是),(a b ∈?ξ,..t s
ξξb a b a f b f a f b a b a -=-'=-=-=))(()()(ln ln ln , 因a b <<<ξ0,所以
b
b
a b a a b a -<<-ln .
(3)|||arctan arctan |b a b a -≤-；
证明：当b a =时,结论显然成立；不妨假设a b <,
由于],[arctan )(a b C x x f ∈=,),()(a b D x f ∈,于是),(a b ∈?ξ,..t s
2
1))(()()(arctan arctan ξ
ξ+-=
-'=-=-b
a b a f b f a f b a , 所以||1|
||arctan arctan |2
b a b a b a -≤+-=-ξ.
(4)当1>x 时, xe e x
>.
证明：当1>x 时,显然],1[)(x C e t f t
∈=,),1()(x D t f ∈,
于是),1(x ∈?ξ,..t s
)1()1)(()1()(-=-'=-=-x e x f f x f e e x ξξ, 由于x <<ξ1,所以、有
x e e x e e e x =
-+>-+=)1()1(ξ.
3、证明恒等式：2
cot arc arctan π
=
+x x ,(+∞<<∞-x ).
证明：令x x x f cot arc arctan )(+=,由于
011
11)(2
2≡+-+=
'x x x f ,+∞<<∞-x , 于是常数=≡C x f )(,显然2
4
4
)1(π
π
π
=
+
==f C ，
所以2
)(cot arc arctan π
==+x f x x ,+∞<<∞-x .
4、证明方程013
=-+x x 有且只有一个正实根. 证明：先证明存在性. 令1)(3-+=x x x f ,
由于]1,0[)(C x f ∈,且01)0(<-=f ,01)1(>=f ,
由连续函数的零点定理知,)1,0(∈?ξ,..t s 0)(=ξf , 即013=-+ξξ,所以方程在)1,0(中存在实根ξ.
再证明唯一性. 若还0>?η..t s 0)(=ηf ,则必有ξη=,
用反证法证明.假设ξη≠,令},min{
ξη=a ,},max{ξη=b , 显然b a <<0,由于],[)(b a C x f ∈,),()(b a D x f ∈,
且0)()(==b f a f ,由罗尔定理知, ),(b a ∈?λ,..t s 0)(='λf ,
但012)(2>+='λλf ,矛盾,可见假设ξη≠不成立,所以ξη=.
4、不用求出函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f 的导数,试判别方程0)(='x f 的根的个数.
解：显然)(x f 在区间]1,0[,]2,1[,]3,2[上都连续,
)(x f 在区间)1,0(,)2,1(,)3,2(内都可导,
且)3()2()1()0(f f f f ===,由罗尔定理知,
)1,0(1∈?η,)2,1(2∈?η,)
3,2(3∈?η,
.
.t s 0)()()(321='='='ηηηf f f ；
由于)(x f '在区间],[21ηη,],[32ηη上都连续,
)(x f '在区间),(21ηη,),(32ηη内都可导,
再
由
罗
尔
定
理
,),(211ηηξ∈?,),(322ηηξ∈?,..t s 0)()(21='='ξξf f , 由于方程0)(=''x f 是二次多项式,知其至多有两个实根, 所以方程0)(=''x f 有而且只有两个实根21,ξξ.
5、若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式)()(x f x f ='且1)0(=f ,
证明：x e x f =)(.
证明：令x e x f x F -=)()(,由于0)()()(=-'='--x x e x f e x f x F ,
于是
常数=≡C x F )(,由于1)0()0(===f F C ,有
1)()(==-x F e x f x ,
所以x e x f =)(,)(+∞<<-∞x .
习题4-2
1、用洛必达法则求下列各极限：
(1)11
1
111
lim )1ln(lim 00==+=+→→x x x x x .
(2)21
1
1cos lim sin lim
00=+=+=--→-→x e e x e e x x x x x x . (3)a x
a x a x a x a x sin 1
sin lim cos cos lim -=-=--→→.
(4)b
a
b a bx b ax a bx ax x x =??==→→11se
c cos lim tan sin lim 200, )0(≠b .
(5)
812sin lim 412cos lim sin 1lim 41)
2(4sin cos lim )2(sin ln lim 2
2
2
2
22
-=---=--=--=-→→→→→x x x x x x x x x x x x x x ππππππππ.
3
535lim 35lim lim 22243355a x x x a x a x a x a x a x ===--→→→. (7)
13sec 34sec 4lim 433tan 4tan lim 4sec 43sec 3lim 4tan 4sec 43tan 3sec 3lim 4tan ln 3tan ln lim 22002202200====+++++→→→→→x
x x x x x x
x x x
x x x x x x x . (8) 5sin 5sin 5lim cos 5cos lim 5sin sin lim 5tan tan lim
2
2
2
2
===→→→→
x
x
x x x x x x x x x x ππππ
.
(9) 211)11(2lim
)2
1(112
lim cot arc )
2
1ln(lim
22
2
=++=++-
-
=++∞
→+∞
→+∞→x
x x
x x x x x x x .
(10)1cos sin 212lim sin )1ln(lim cos lim cos sec )1ln(lim 2
022
002
0=+=+=-+→→→→x
x x x
x x x x x x x x x x .
(11)3
1
3cos 31lim 3sin lim
3cos lim 3cot lim 000
===→→→→x x x x x x x x x x .
(12)+∞======+∞→+∞→=
→1
lim lim
lim 2
2
1
1
20t
t t t x t x x e t e e x . (13)2
1
21lim 11lim )1112(
lim 12121
-=-=--=---→→→x x x x x x x x .
(14)31
313
lim )31ln(lim 100)31(lim e e
e
x
t t
t x
t x
x t t =====+++=∞
→→→.
1
lim 01cos sin 2lim
sin lim
csc 1lim cot ln lim
ln tan lim tan 0
0202
000
=======+
→+
→+→+→+
→+---→e e
e
e
e
e x x
x x x x
x x
x x
x x x x x x x x .
(16)
1
)1(lim 01cos sin 2lim
sin lim
cos 1lim
csc cot 1lim
csc ln lim
sin 0020000======+→+→+→+→+→+---→e e
e
e
e x
x
x x x
x x
x x x
x x
x x x x x x .
2、验证极限x
x x
x x sin sin lim
-+∞→存在,但不能用洛必达法则求出.
证明：由于极限10
101sin 1sin 1lim sin sin lim =-+=-
+
=-+∞→∞→x
x x x x x x x x x 存在, 但x
x x x x x x x cos 1cos 1lim )sin ()sin (lim -+='-'+∞→∞→,显然不存在, 故不能用洛必达法则求出极限x
x x
x x sin sin lim -+∞→.
习题4-3
1、确定下列函数的单调区间： (1) x x x f y -==arctan )(； 解：),()(+∞-∞∈C x f ,令0111
)(2
=-+=
'x
x f ,得0=x . ① 因0)(<'x f ，)0,(-∞∈x , ∴]0,()(-∞↓x f ； ② 因0)(<'x f ，),0(+∞∈x , ∴),0[)(+∞↓x f ,
总之, ),()(+∞-∞↓x f .
图形> plot(arctan(x)-x,x=-5..5);
x x x f y sin )(+==；
解：),()(+∞-∞∈C x f ,令0cos 1)(=+='x x f ,得πλ)12(+==k x k ,
由于0)(>'x f ,),(1k k x λλ-∈,∴],[)(1k k x f λλ-↑,Z ∈k , 总之, ),()(+∞-∞↑x f .
图形> plot(x+sin(x),x=-10..10);
(3) 71862)(23+--==x x x x f y ；
解：),()(+∞-∞∈C x f ,)3)(1(618126)(2-+=--='x x x x x f ,
令0)(='x f ,得,11-=x ,32=x .
① 因0)(>'x f ，)1,(--∞∈x , ∴]1,()(--∞↑x f ； ② 因0)(<'x f ，)3,1(-∈x , ∴]3,1[)(-↓x f , ③ 因0)(>'x f ，),3(+∞∈x , ∴),3[)(+∞↑x f . 图形> plot(2*x^3-6*x^2-18*x+7,x=-4..6);
(4) x
x x f y 8
2)(+
==)0(>x ； 解：),0()(+∞∈C x f ,令0)
4(282)(2
22=-=-='x
x x x f ,得2=x . ① 因0)(<'x f ，)2,0(∈x , ∴]2,0()(↓x f , ② 因0)(>'x f ，),2(+∞∈x , ∴),2[)(+∞↑x f .
图形> plot(2*x-8/x,x=0.2..10);
(5) x
e x x
f y 2)(==；
解：),()(+∞-∞∈C x f ,令0)2()(=+='x
xe x x f ,得21-=x ,02=x .
① 因0)(>'x f ，)2,(--∞∈x , ∴]2,()(--∞↑x f ； ② 因0)(<'x f ，)0,2(-∈x , ∴]0,2[)(-↓x f , ③ 因0)(>'x f ，),0(+∞∈x , ∴),0[)(+∞↑x f . 图形> plot(x^2*exp(x),x=-5..1);
(6) )4ln()(2x x x f y ++==； 解：),()(+∞-∞∈C x f ,由于
4144221)(2
22
>+=++++
='x
x x x x
x f ,
),(+∞-∞∈x ,∴
),()(-∞-∞↑x f .
图形> plot(ln(x+(4+x^2)^(1/2)),x=-5..5);
(7) 1)(23--+==x x x x f y ；
解：),()(+∞-∞∈C x f ,)1)(13(123)(2+-=-+='x x x x x f ,
令0)(='x f ,得,11-=x ,3
12=
x . ① 因0)(>'x f ，)1,(--∞∈x , ∴]1,()(--∞↑x f ；
② 因0)(<'x f ，)31,1(-∈x , ∴]31
,1[)(-↓x f ,
③ 因0)(>'x f ，),31(+∞∈x , ∴),3
1
[)(+∞↑x f .
图形> plot(x^3+x^2-x-1,x=-2..2);
(8) |2sin |)(x x x f y +==；
解：),(2sin )(2+∞-∞∈+=C x x x f ,
x
x x
x x x f 4cos 14sin 212sin 22cos 2sin 221)(2-+
=?+
=', 2π
k x ≠,
显然)(x f '是以
2
π
为周期的函数,在)2
,
0(π
内,由于
π<
令0)212(cos 2)(=+='x x f ,得3π
=x .
①因0)(>'x f ,)32,2(
πππ+∈k k x , ∴]3
2,2[)(πππ+↑k k x f ； ②
因
0)(<'x f ,)22,32(
ππππ++∈k k x ,∴]2
2,32[)(π
πππ++↓k k x f ,Z ∈k . 图形> plot(x+abs(sin(2*x)),x=-Pi..Pi);
2、证明下列不等式；
(1) 当0>x 时, x x +>+121
1； 证明：令x x x f +-+=121
1)(, 显然),0[)(+∞∈C x f ,
而 0121
21)(>+-='x
x f ，),0(+∞∈x
于是 ),0[)(+∞↑x f . 所以0>?x , 有
0)0()(1211=>=+-+f x f x x , 即x x +>+12
1
1.
(2) 当0>x 时, 212
x x e x
++>；
证明：令21)(2x x e x f x
---=, 有x e x f x --='1)(,
当0>x 时,01)(>-=''x
e x
f , 于是 ),0[)(+∞↑'x f , 那么0>?x , 有0)0()(='>'f x f ,知),0[)(+∞↑x f ,
所
以0>?x ,有
)0()(2
12
=>=---f x f x x e x
, 即
2
12
x x e x
++>.
(3) 当2
0π
<
证明：令x x x x f 2tan sin )(-+=, 显然)2
,
0[)(π
C x f ∈,当2
0π
<
而 0)cos 1(cos 2cos 1cos 2sec cos )(2 222>-=-+ >-+='x x x x x x x f , 于是 )2,0[)(π↑x f . 所以当2 0π < 0)0()(2t a n s i n =>=-+f x f x x x , 即x x x 2tan sin >+. (4) 当20π < sin 3 x x x ->； 证明：令6sin )(3x x x x f +-=,有2 1cos )(2 x x x f +-=', 当2 0π < 那么0)0()(='>'f x f ,从而)2,0[)(π↑x f ,所以当2 0π < 0)0()(6sin 3=>=+-f x f x x x , 即6 sin 3 x x x ->. (5) 当4>x 时,3 3x x >. 证明：由于当4>x 时, 33x x >?x x ln 33ln >, 令x x x f ln 33ln )(-=,有,x x f 33ln )(-=' , 当3>x 时, 03 3 3ln 33ln )(>->-='x x f ,于是),3[)(+∞↑x f , 所以当3>x 时,有 03ln 33ln 3)3()(ln 33ln =-=>=-f x f x x , 于是当4>x 时,x x ln 33ln >,所以当4>x 时,3 3x x >. 证明：令33)(x x f x -=,有233ln 3)(x x f x -=',x x f x 63ln 3)(2 -='', 当4>x 时,06363ln 3)(4 3>->-='''x x f , ),4[)(+∞↑''x f , 有0243243ln 3)4()(4 24>->-=''>''f x f ,),4[)(+∞↑'x f , 又有0483483ln 3)4()(4 4 >->-='>'f x f ,),4[)(+∞↑x f , 所以当4>x 时,有 0643)4()(343>-=>=-f x f x x , 即33x x >. 3、讨论下列方程的根的情况； (1) x x =sin ； 解：设x x x f sin )(-=, 显然),()(+∞-∞∈C x f , 令0cos 1)(=-='x x f ,得πλk x k 2==, 0)(>'x f ,),(1k k x λλ-∈,∴],[)(1k k x f λλ-↑,Z ∈k , 总之, ),()(+∞-∞↑x f . 显然0)0(=f ,从而得知)(x f 有且仅有一个零点0=ξ, 所以方程x x =sin 有且仅有一个实根0=ξ. (2) x x 3 1ln = . 解：设x x x f 3 1 ln )(- =, 显然),0()(+∞∈C x f , 令033311)(=-= -='x x x x f ,得3=x , 由于0)(>'x f ,)3,0(∈x ,∴]3,0()(↑x f , 0)(<'x f ,),3(+∞∈x ,∴),3[)(+∞↓x f . 因03 1 )1(<-=f ,013ln )3(>-=f ,032ln 339ln )9(<-<-=f , 又]3,1[)(C x f ∈,]9,3[)(C x f ∈,知 ]3,0()3,1(1?∈?ξ,),3[)9,3(2+∞?∈?ξ, 使得0)()(21==ξξf f ,从而得知)(x f 有且仅有两个零点21,ξξ, 所以方程x x 3 1 ln =有且仅有两个实根21,ξξ. 4、求下列函数的极值； (1) 52)(2+-==x x x f y ； 图形> plot(x^2-2*x+5,x=-1..3); 解：由于),()(+∞-∞∈D x f ,且)1(222)(-=-='x x x f , 令0)(='x f ,得1=x ,当1 所以函数有极小值4)1(=f . (2) 632)(23+-==x x x f y ； 图形> plot(2*x^3-3*x^2+6,x=-2..3); 解：由于),()(+∞-∞∈D x f ,且)1(666)(2-=-='x x x x x f , 令0)(='x f ,得01=x ,12=x .列表如下： x )0,(-∞ )1,0( ),1(+∞ (x f ' + - + 从表中可看出： ① 函数有极大值6)0(=f ； ② 函数有极小值5)1(=f . (3) x x x x f y 1862)(23--==； 图形> plot(2*x^3-6*x^2-18*x,x=-4..5); 解：由于),()(+∞-∞∈D x f ,且)3)(1(618126)(2-+=--='x x x x x f , 令0)(='x f ,得11-=x ,32=x .列表如下： x )1,(--∞ )3,1(- ),3(+∞ )(x f ' + - + 从表中可看出： ① 函数有极大值101862)1(=+--=-f ； ② 函数有极小值54545454)3(-=--=f . (4) )1ln()(x x x f y +-==； 图形> plot(x-ln(1+x),x=-1..3); 解：由于),1()(+∞-∈D x f ,且x x x x f +=+- ='1111)(, 令0)(='x f ,得0=x ,当0 (5) 62)(42+-==x x x f y ； 图形> plot(2*x^2-x^4+6,x=-2..2); 解：由于),()(+∞-∞∈D x f ,且)1)(1(444)(2-+-=-='x x x x x x f , 令0)(='x f ,得11-=x ,32=x .列表如下： x )1,(--∞ )0,1(- )1,0( ),1(+∞ )(x f ' + - + - 从表中可看出： ① 函数有极大值7)1()1(==-f f ； ② 函数有极小值6)0(=f . (6) x x x f y -+==1)(； > plot(x+(1-x)^(1/2),x=0..1); 解：由于)1,()(-∞∈D x f ,令0121 1)(=-- ='x x f ,得43=x . 当43< x 时,0)(>'x f ,当4 3 >x 时,0)(<'x f , 所以函数有极大值4 5 )43(=f . (7) x e x f y x sin )(==； 图形> plot(exp(x)*sin(x),x=-6..0.2); 解：由于 ),()(+∞-∞∈D x f ,且 )4 sin(2)cos (sin )(π + =+='x e x x e x f x x , 令 )(='x f , 得 42π πα- ==k x k ,4 3242π ππ ππβ+ =- +==k k x k . 当),(k k x βα∈时,0)(>'x f ,当),(1+∈k k x αβ时,0)(<'x f , ① 函数有极大值4 324 322 2)432sin()(π ππ πππβ++ =+=k k k e k e f ； ② 函数有极小值422 2)42sin()(4 2ππππαππ--=-=-k e k k e k e f ,Z ∈k . (8) x x x f y 1)(==； 图形> plot(x^(1/x),x=0..5); 解：由于),0()(+∞∈D x f ,令0ln 1)()(2 ln ln =-='='x x e e x f x x x x ,得e x =. 当e x <时,0)(>'x f ,当e x >时,0)(<'x f , 所以函数有极大值e e e f 1)(=. (9) x x e e x f y -+==)(； 图形> plot(exp(x)+exp(-x),x=-1..1); 解：由于),()(+∞-∞∈D x f ,令0)1()(2=-=-='--x x x x e e e e x f ,得 =x . 当0 (10) 3 2)1(2)(+-==x x f y ； 图形> plot(2-((x+1)^2)^(1/3),x=-5..3); 解：由于),()(+∞-∞∈C x f ,3 1 32 )(+-='x x f ,显然)(x f '在1-=x 不存 在. 当1- (11) 31)1(25)(--==x x f y ； 解：由于),()(+∞-∞∈C x f ,0) 1(32)(3 2 <+- ='x x f ,1-≠x , ∴]1,()(--∞↓x f ,),1[)(+∞-↓x f ,总之,),()(+∞-∞↓x f , 所以函数没有极值. (12) x x x f y cos )(+==； 图形> plot(x+cos(x),x=-4*Pi..4*Pi) 解：由于),()(+∞-∞∈C x f ,令0sin 1)(=-='x x f ,得2 2π πλ+ ==k x k , 由于0)(>'x f ,),(1k k x λλ-∈,∴],[)(1k k x f λλ-↑,Z ∈k , 总之,),()(+∞-∞↑x f ,所以函数没有极值. 5、求下列曲线的凹凸区间和拐点； (1)223x x y -=； 图形> plot(3*x-2*x^2,x=-1..2); 解：由于),()(+∞-∞∈C x f ,x x f 43)(-=',04)(<-=''x f , 所以曲线在),(+∞-∞为凸的. (2)x y 1 1+ =,)0(>x ； > plot(1+1/x,x=0..2); 解：由于),0()(+∞∈C x f ,21)(x x f - =',02 )(3 >=''x x f ,0>x , 所以曲线在),0(+∞为凹的. (3)x x x y 3623+-=； 图形> plot(x^3-6*x^2+3*x,x=-2..6); 解：由于),()(+∞-∞∈C x f ,3123)(2+-='x x x f ,)2(6)(-=''x x f , 令0)(=''x f ,得2=x ,106248)1(-=+-=f . 当2 所以曲线在]2,(-∞为凸的,在),2[+∞为凹的,)10,2(-为拐点. (4)x xe y -=； 图形> plot(x*exp(-x),x=-0.5..6); 解：由于),()(+∞-∞∈C x f ,)1()(x e x f x -='-,)2()(-=''-x e x f x , 令0)(=''x f ,得2=x ,22)1(-=e f . 当2 所以曲线在]2,(-∞为凸的,在),2[+∞为凹的,)2,2(2-e 为拐点. (5)x e x y ++=2)1(； 图形> plot((x+1)^2+exp(x),x=-3..1); 解：由于),()(+∞-∞∈C x f ,x e x x f ++=')1(2)(,02)(>+=''x e x f , 所以曲线在),(+∞-∞为凹的. (6))1ln(2+=x y . 图形> plot(ln(x^2+1),x=-4..4); 解：由于),()(+∞-∞∈C x f ,1 2)(2+= 'x x x f , 令0) 1() 1(2)1()2()1(2)(2 222222=+-=+-+=''x x x x x x f ,得1±=x ,2ln )1(=±f . 当1|| 所以曲线在]1,(-∞和),1[+∞为凸的,在]1,1[-为凹的,)2ln ,1(±为拐点. 、利用函数图形的凹凸性证明下列不等式； (1) 333)2 ()(21y x y x +>+,),0,(y x y x ≠>； 证明：令3)(t t f =,由于23)(t t f =',06)(>=''t t f ,0>t , 于是曲线在),0(+∞为凹的,所以y x y x ≠>?,0,,有 333)2 ()2(2)()()(21y x y x f y f x f y x +=+>+=+. (2) 2 ln )ln (ln 21y x y x +<+,),0,(y x y x ≠>； 证明：令t t f ln )(=,由于t t f 1)(=',01 )(2<-=''t t f ,0>t , 于是曲线在),0(+∞为凸的,所以y x y x ≠>?,0,,有 2 ln )2(2)()()ln (ln 21y x y x f y f x f y x +=+<+=+. (3) 2 )(y x y x e y x ye xe ++>+,),0,(y x y x ≠>； 证明：令t te t f =)(,由于)1()(t e t f t +=',0)2()(>+=''t e t f t ,0>t , 于是曲线在),0(+∞为凹的,那么y x y x ≠>?,0,,有 22 )2(2)()(2y x y x e y x y x f y f x f ye xe + +=+>+=+, 所以2 )(y x y x e y x ye xe ++>+. 7、解下列各题； (1)问b a ,为何值时,点)3,1(为曲线2 3)(bx ax x f y +==的拐点？ 解: 由于),()(+∞-∞∈C x f ,bx ax x f 23)(2 +=',b ax x f 26)(+='', 由 0)1(=''f ,3)1(=f ,有03=+b a ,3=+b a ,得23-=a ,2 9233=+=b , 此时)1(999)(x x x f -=+-='',当1 可见,曲线在]1,(-∞为凹的,在),1[+∞为凸的, ,当23- =a ,2 9 =b 时,点)3,1(为曲线的拐点. (2)试确定曲线d cx bx ax x f y +++==23)(中的d c b a ,,,,使得2-=x 处曲线的切线为水平,点)10,1(-为拐点,且点)44,2(-在曲线上. 解: 由于),()(+∞-∞∈C x f ,c bx ax x f ++='23)(2,b ax x f 26)(+='', 由0)2(=-'f ,0)1(=''f ,10)1(-=f ,44)2(=-f ,有 ???????=+-+--=+++=+=+-.44248,10,026,0412d c b a d c b a b a c b a 得 ???? ?? ?=-=-==. 16,24,3,1d c b a 此时)1(666)(-=-=''x x x f ,当1 可见,曲线在]1,(-∞为凸的,在),1[+∞为凹的,点)10,1(-为曲线的拐点. 所以,1=a ,3-=b ,24-=c ,16=d 即为所求. (3)试确定22)3()(-==x k x f y 中的k 值,使曲线在拐点处的法线通过原点)0,0(. 解: 显然 0≠k ,),()(+∞-∞∈C x f ,)3(4)(3x x k x f -=',)1(12)(2-=''x k x f , 令0)(=''x f ,得1±=x ,k f 4)1(=±,k f 8)1( =±'. 由于)(x f ''在1±=x 左右两端变号,知曲线在1±=x 左右两端凹凸改变, 于是)4,1(k ±为拐点.曲线在拐点处过原点的法线方程为x k y 81 -=, 将)4,1(k ±代入,有k k k 81)1(814=±?-= ,得所求8 2±=k . 7、描绘下列函数的图形： (1) x x x y 862 4 +-=． 解：①),()(∞-∞=f D ,2 3 )1)(2(48124)(-+=+-='x x x x x f , )1(121212)(22-=-=''x x x f . ②0)('=x f 的根为21-=x ,13,2=x ,0)(" =x f 的根为16,5±=x ． ③列表确定函数图形特性 x )2,(--∞ 2- )1,2(-- 1- )1,1(- 1 ),1(+∞ )(x f ' - 0 + + + 0 + )(x f '' + + + 0 - 0 + )(x f 极小值 -24 拐点 )13,1(-- 拐点 )3,1( ④列表计算出图形的特殊点 x 3- 2- 1- 0 1 3 )(x f 3 24- 13- 0 3 51 ⑤绘图 图形> plot(x^4-6*x^2+8*x,x=-3.5..3); (2) 2 1x x y +=． 解 ： ① ),()(∞-∞=f D ,2 2222222211 )1(2)1(1121)(x x x x x x x x f +-+=+-=+-+=', 3 22322422)1() 3(2)1()1(2)1()1(8)(x x x x x x x x x x f +-= +++++-=''. ②0)('=x f 的根为12,1±=x ,0)(" =x f 的根为03=x ,35,4±=x ． ③列表确定函数图形特性 2 1- x )3,(--∞ 3- )1,3(-- 1- )0,1(- )(x f ' - - - 0 + + )(x f '' - 0 + + + 0 )(x f 拐点 ) 4 3 ,3(-- 极小值 2 1- 拐点 )0,0( x )1,0( 1 )3,1( 3 ),3(+∞ )(x f ' + 0 - - - )(x f '' - - - 0 + )(x f 极大值 2 1 拐点 ) 4 3 ,3( ④由于0)(lim =∞ →x f x ,因此,图形有一条水平渐近线0=y ． ⑤列表计算出图形的特殊点 x 0 1± 3± 4± )(x f 2 1± 4 3± 174± ⑥绘图 图形> plot(x/(1+x^2),x=-6..6); (3) 2 )1(+-=x e y ． 解：①),()(∞-∞=f D ,2 )1()1(2)(+-+-='x e x x f , 2 2) 1()1(22)222)(222(])1(22[)(+-+--+++=++-=''x x e x x e x x f 2 )1(21))((4+---=x e x x λλ. ②0)('=x f 的根为11-=x ,0)("=x f 的根为2212,13,2 -==λx ． ③列表确定函数图形特性 x ),(1λ-∞ 1λ )1,(1-λ 1- ),1(2λ- 2λ ),(2+∞λ )(x f ' + + + 0 - - - )(x f '' + 0 - - - 0 + )(x f 拐点1 极大值 拐点2 ④由于0)(lim =∞ →x f x ,因此,图形有一条水平渐近线0=y ． ⑤列表计算出图形的特殊点 x 3- 2 21- - 1- 2 21+ - 1 )(x f 4-e 2/1-e 1 2/1-e 4-e ⑥绘图 图形> plot(exp(-1*(x+1)^2),x=-3..1); (4) x x y 12 + =． 解：①),0()0,()(∞-∞= f D .函数间断点为3-=x , 2321212)(x x x x x f -=-=',3 331 22)(x x x x f +=+=''. ②0)('=x f 的根为312 1 = x ,0)("=x f 的根为12-=x ． ③列表确定函数图形特性 x )1,(--∞ 1- )0,1(- )21,0(3 3 2 1 ),21 (3+∞ )(x f ' - - - - 0 + )(x f '' + 0 - + + + )(x f 拐点 ) 0,1(- 极小值 3 2 2 3 ④由于∞=→)(lim 0 x f x ,因此,图形有一条铅直渐近线0=x ． ⑤列表计算出图形的特殊点 x 3- 1- 51- 51 32 1 2 )(x f 3 26 25124 - 25 126 3 22 3 29 ⑥绘图 图形> plot([x,x^2+1/x,x=-3..2],-3..2,-10..10); 习题4-4 1、求下列函数的最大值、最小值： (1)8032)(23--==x x x f y , 41≤≤-x ； 解：①)1(666)(2 -=-='x x x x x f , ②令0)(='x f ,得11-=x ,02=x . ③由于85)1(-=-f , 80)0(-=f ,81)1(-=f ,0)4(=f . ④比较可知,85)1(-=-f 与0)4(=f 分别为函数)(x f 在]4,1[-上的最小值与最大值. (2)248)(x x x f y -==, 31≤≤-x ； 解：①)2)(2(4164)(3-+=-='x x x x x x f ,31≤≤-x , ②令0)(='x f ,得01=x ,22=x . ③由于7)1(-=-f ,0)0(=f ,16)2(-=f ,9)3(=f . 习题3 一、填空题 1．设，则有_________个根，它们分别位于_ _______ 区间； 2．函数在上满足拉格朗日定理条件的； ３．函数与在区间上满足柯西定理条件的 ； 4．函数在上满足拉格朗日中值定理条件的； ５．； 6．； 7．; 8．函数的单调减区间是； 9．设在可导，则是在点处取得极值的条件； 10．函数在及取得极值，则； 11. 函数的极小值是; 12．函数的单调增区间为； 13. 函数的极小值点是； 14. 函数在上的最大值为，最小值为； 14. 函数在的最小值为; 15. 设点是曲线的拐点,则; 16. 曲线的下凹区间为,曲线的拐点为; 17. 曲线的上凹区间为; 18. 曲线的拐点为; 19. 若是的四次多项式函数,它有两个拐点,并且在点 处的切线平行于轴,那么函数的表达式是; 20. 曲线的拐点为; 21. 曲线的水平渐近线的方程是,垂直渐近线的方程是; 22. 的垂直渐近线为; 水平渐近线为; 23. 曲线在的曲率; 24. 曲线的曲率计算公式为; 25. 抛物线在顶点处的曲率为; 二. 单项选择题 1. 罗尔定理中的三个条件;在上连续,在内可导,且 是在内至少存在一点,使得成立的( ). 必要条件充分条件充要条件既非充分也非必要 2. 函数，则（）. 在任意闭区间上罗尔定理一定成立；在上罗尔定理不成立； 在上罗尔定理成立；在任意闭区间上，罗尔定理都不成立； 3. 设函数在区间上连续,在开区间上可导,且, ,则必有( ). ; ; 4. 下列函数在上满足拉格朗日中值定理条件的是( ). ; ; ; 5. 函数,它在内( ). 不满足拉格朗日中值定理的条件; 满足拉格朗日中值定理的条件,且; 满足中值定理的条件,但无法求出的表达式; 不满足中值定理条件,但有满足中值定理的结论. 6. 若在开区间内可导,且是内任意两点,则至少存在一点使得下式成立( ). ; 7. 设是内的可导函数,是内的任意两点,则( ) . 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 1基础知识详解 先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的 关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理： 条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论： 闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。 第三章 微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理 条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。 罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同， 一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 第四章 微分中值定理与导数的应用习题 § 微分中值定理 1． 填空题 （１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4． （２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且 )()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ． 必要条件 B ．充分条件 C ． 充要条件 D ． 既非充分 也非必要条件 （２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A. x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）． A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2 f π =， 故 )(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中 12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ． 证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上 符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ． 5． 证明方程06 213 2=+++x x x 有且仅有一个实根． 证明：设621)(32x x x x f +++=， 则03 1 )2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点 存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在) ,(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02 112>++ηη矛盾．故方程0 62132=+++x x x 只有一个实根． 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 第四章 中值定理与导数的应用 一、填空 1、若()x x x f -=3在[0，3]上满足罗尔定理的ξ值为 。 2、若2 1 cos 1sin lim 20=-→kx x x ，则k = 。 3、=a ，=b 时，点（1，3）为2 3bx ax y +=的拐点。 4、3+=x e x 在),(+∞-∞内的实根的个数为 。 5、函数)1ln(2 x x y +-=的单调递增区间 ，在[-1，1]中最大值为 ，最小值为 。 6、函数23 )5()(-=x x x f 的驻点为 ，其极大值为 ，极小值为 。 7、若5)(cos sin lim 0=--→b x a e x x x ，则=a ，=b 。 8、x x x y )1 1(-+=的水平渐近线为 。 二、选择 1、设R x x x x f ∈+-='),12)(1()(，则在)4 1 ,21(- 内)(x f 是（ ） A 、单调增加，图形上凹 B 、单调减少，图形上凹 C 、单调增加，图形下凹 D 、单调减少，图形下凹 2、设函数)(x f 在[0，1]上可导，0)(>'x f 并且0)1(,0)0(> (高等数学)第四章导 数的应用 第四章导数的应用 第一节中值定理 一.费马定理 1.定义1.极值设函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内对一切?Skip Record If...?有 ?Skip Record If...?或（?Skip Record If...?）， 则称?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处取得极大值（或极小值）；并称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点）. 注意：极大值、极小值在今后统称为极值； 极大值点、极小值点在今后统称为极值点； 2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内有定义，且在?Skip Record If...?处可导,若 ?Skip Record If...?为极值，则必有：?Skip Record If...?. 证明：不妨设?Skip Record If...?为极大值。按极大值的定义，则?Skip Record If...?的某个邻域，使对一切此邻域内的?Skip Record If...?有?Skip Record If...?--------------（1） 所以，?Skip Record If...? ?Skip Record If...?--------（2） 又因为?Skip Record If...?存在，所以应有?Skip Record If...?---------（3） 故，由（2）式及（3）式，必有?Skip Record If...?. 1．注意：使?Skip Record If...?的点?Skip Record If...?可能为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：?Skip Record If...? 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数( )()2 0ln 10x f x x a x ≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = \ 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 。 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 第三章 中值定理与导数的应用 一、 基本内容 （一） 中值定理 1.罗尔定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf . For personal use only in study and research; not for commercial use 2.拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ 其微分形式为 x f x f x x f ??'=-?+)()()(ξ 这里10,< (2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3)) () (l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 ) () (lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=→→ 2.法则2 如果函数)(x f 及)(x g 满足条件： (1)0)(lim =∞ →x f x , 0)(lim =∞ →x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) ) () (lim x g x f x ''∞ →存在（或为无穷大）； 那么 ) ()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞ → 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞ ∞ 型未定式，也有相应的两个法则. 对∞?0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞ ∞ 型来求. （三） 泰勒公式 1.带拉格朗日余项的泰勒公式 设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有 +-''+ -'+=200000)(2) ())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!) (00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()! 1() ()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项. （四） 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. (1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加； 习题3 一、填空题 i 设孑心 好 m ，则yw=o 有 _________________________ 根，它们分别位于 区间； 2. 函数「'在〔?-上满足 拉格朗日定理条件的-■ ---------- 3 .函数了（兀2*与削+ *在区间卩总］上满足柯西定理条件的 4. 函数y = 在皿］上满足拉格朗日中值定理条件的 貝 In sin 3z hi ll ---- --- = ____________ 5. In sin 5x / W = -y 8.函数 的单调减区间是 ----------- 9.设」八在"可导，则「是在点心处取得极值的 ------------------------ 条 件； 2 10?函数■…亠：—二在工「及"=-取得极值，贝F ——? jf （尤）—工—2冒 6. hm (1 — x) tan ——= y ' 2 7. lim r-j-0 i (cos 1 11.函数」一二的极小值是 __________ ; /⑴二邑壬 12?函数'?1的单调增区间为_____________ 13. 函数的极小值点是" ----------------------- ; 14. 函数，二」——'?在一「一上的最大值为 ---------- ,最小值为------ 14. 函数他"-"+5在［-H］的最小值为------------------- ; 15. 设点」■是曲线2心：的拐点,则”-…八; 16. 曲线- J的下凹区间为------------- ,曲线的拐点为--------- ； 17. 曲线」一一‘-的上凹区间为 --------- ; 18. 曲线」一一?-的拐点为-------------- ； 19. 若/八是工的四次多项式函数，它有两个拐点' ''：■ ■,并且在点 :二处的切线平行于艺轴,那么函数」八‘的表达式是----------------- ; 《2 20. 曲线“二玄+户任卩叔）的拐点为 -------------- ; y —----- 21. 曲线：「的水平渐近线的方程是 ------------------ ,垂直渐近线的方程是------------ ； 第四章微分中值定理和导数的应用[单选题] 1、 曲线的渐近线为（）。 A、仅有铅直渐近线 B、仅有水平渐近线 C、既有水平渐近线又有铅直渐近线 D、无渐近线 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察渐近线计算. 因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。 [单选题] 2、 在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（） A、4 B、2 C、3 D、1 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题] 3、 ，则待定型的类型是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题] 4、 下列极限不能使用洛必达法则的是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则. [单选题] 5、 在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）. A、1 B、2 C、e D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题考察中值定理的应用。 [单选题] 6、 如果在内，且在连续，则在上（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在 上f(a)＜f(x)＜f(b). [单选题] 7、 的单调增加区间是（）. A、（0，+∞） B、（-1，+∞） C、（-∞，+∞） D、（1，+∞） 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题] 8、 （）. 高等数学中导数的求解及应用 摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导 数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着 承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求 解方法和在实际中的应用。 关键词：高等数学导数求解应用 导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习 导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如 何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子 说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。 一、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量 为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）- f（x0）。 若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记 为f`(x0)。 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处 的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数 为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线 y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义 并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。 二、导数的应用 1.实际应用 假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的 可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的 函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时 的产量。 解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和： 总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000 总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量） 总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入R(x)Γ=30 边际成本C(x)=0.02x+20 边际利润I(x)=-0.02x+20 令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用 如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无 穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商” 第三章 中值定理与导数的应用 (A) 1．在下列四个函数中 ,在 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是 () A ． y 8 x 1 B ． y 4x 2 1 C ． y 1 D ． y sin x 1 x 2 2．函数 f x 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) x A ． 2,2 B ． 2,0 C ． 1,2 D ． 0,1 3．方程 x 5 5x 1 0 在 1,1 内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意 x a, b ，有 f x g x ，则 ( ) A ．对任意 x a,b ，有 f x g x B ．存在 x 0 a,b ，使 f x 0 g x 0 C ．对任意 x a,b ，有 f x g x C 0 ( C 0 是某个常数 ) D ．对任意 x a,b ，有 f x g x C (C 是任意常数 ) 5．函数 f x 3x 5 5x 3 在 R 上有 ( ) A ．四个极值点； B ．三个极值点 C ．二个极值点 D ． 一个极值点 6．函数 f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ． 9 7．设 f x 在闭区间 1,1 上连续，在开区间 1,1 上可导，且 f x M ， f 0 0 ，则必有 ( ) A ． f x M ． f x M C ． f x M D ． f x M B 8．若函数 f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 ( ) A ．存在 0,1 ，有 f b f a f b a b a B ．存在 0,1 ，有 f a f b f a b a b a (A) 一选择 1—5 BCBDB 二计算与证明 1 .若 x 0，证明 e x 1 x 。 证明：令 F x =e x _1_x ，则 F x =e x -1 当x 0时，F'x ?0,从而Fx 在0单增 因为F0=0，故Fx ?0,即 e x 1 x 2 2 .设 x 0，证明 x - x In 1 x :: x 。 2 证明： -In 1 X ，贝u f x =1 —X-丄二二 2 因x ? 0，贝U f x ：：： 0，从而f x 在0, ?::单减。 2 x 故 f x :: f 0 =0，即卩 x In 1 x 2 20：令 g x ；=ln 1 x -x ，则 g x 1 ——1 1 + x 当x 0时，g x ：：： 0，从而g x 在0「：：单减 故 g x : g 0 = 0，即 In 1 x < x 2 由 1°、20 知，x —亠：：：l n 1 ? x :: x 2 (B ) 一选择 1— 4 CBDD 习题3.1 1°:令 f x R x - 计算与证明 arcta n arcta n — n n +1 1 1 解：令F x "「如x ，则Fx 在GJ 上连续，在占*可导，故 1 1 arctan arcta n — ，使 f n LJ v f 1 1 当n 时，贝厂＞ 0 1 故原式二 lim f = lim 2 = 1 2.设f x 在0,1 1上可导，且0 ：：： f x ：：： 1，对于任何x ?0,1 ，都有f x - 1， 试证：在0,1内，有且仅有一个数X ，使f x = x 。 证：令Fx 二fx-x ，因为Fx 在0,1上连续，且F0二f0 0， F 1二f 1 -1 ：：：0，则由零点存在定理在 0,1内至少存在一点 x ，使 F x 二 f x = 0，即 f x 二 x 。 下证唯一性。设在0,1内存在两个点X 1与X 2，且X 1 ::： X 2，使f X 1 = x 1， f X 2 1=X 2，在〔X 1,X 2 1上运用拉格朗日中值定理，则有 ：5 1X1, X 2 ，使 得 f = f X 2 - f X 1 二 X 2 -X 1 二 1 x 2 _捲 x 2 _捲 这与题设f X =1矛盾，故只有一个X 使f X 二X 。 3 .设fx 在1,2 1上具有二阶导数f x ，且f2二f1=0，如果 F x -1 f x ，证明至少存在一点 1,2，使F 」=0。 求lim n _L ：i 由拉格朗日定理知，存在一点 题型 1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题 2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算 3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值 4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点 5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程 内容 一．中值定理 1.罗尔定理 2.拉格朗日中值定理 二．洛比达法则 一些类型（00、∞ ∞、∞?0、∞-∞、0 ∞、0 0、∞ 1等） 三．函数的单调性与极值 1.单调性 2.极值 四．函数的凹凸性与拐点 1.凹凸性 2.拐点 五．函数的渐近线 水平渐近线、垂直渐近线 典型例题 题型I 方程根的证明 题型II 不等式（或等式）的证明 题型III 利用导数确定函数的单调区间与极值 题型IV 求函数的凹凸区间及拐点 自测题三 一．填空题 二．选择题 三．解答题 4月13日微分中值定理与导数应用练习题 基础题： 一．填空题 1．函数12 -=x y 在[]1,1-上满足罗尔定理条件的=ξ 。 3．1)(2 -+=x x x f 在区间[]1,1-上满足拉格朗日中值定理的中值ξ= 。 4．函数()1ln +=x y 在区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理的=ξ 。 5.函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 ． 6.设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于区间 中． 7. =→ x x x 3cos 5cos lim 2 π35- 8.=++∞→x x x arctan ) 1 1ln(lim 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x )π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值 必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 第四章．中值定理与导数的应用 要求掌握的内容： 1、理解罗尔定理和拉格朗日中值定理 2、会用洛必达法则求函数极限 3、掌握函数单调性的判别方法 4、了解函数极值的概念，掌握函数极值、最值的求法及应用 5、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和渐近线。 6、会描绘简单函数的图形 一、罗尔定理 如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；其中a不等于b；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ 第三章 中值定理与导数的应用 例4 设n a a a a 321,,为满足 01 2)1(3121=-=-++- -n a a a n n 的实数，试证明方程 ,0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2/,0(π内至少存在一个实根. 证 作辅助函数 ,)12sin(1 213sin 31sin )(21x n a n x a x a x f n --+++= 显然,0)2/()0(==πf f )(x f 在]2/,0[π上连续,在)2/,0(π内可导,故由罗尔定理知, 至少存在一点),2/,0(πξ∈使 ,0)(='ξf 即 0)12c o s (3c o s c o s )(21=-+++='ξξξ ξn a a a f n 从而题设方程在)2/,0(π内至少有一个实根. 例5 设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导, 且 .0)()(==b f a f 证明: 存在),(b a ∈ξ,使)()(ξξf f ='成立. 证 从结论倒退分析知, 可引进辅助函数 ,)()(x e x f x -=? 由于,0)()(==b a ?? 易知)(x ?在],[b a 上满足罗尔定理条件,且 ,)()()(x x e x f e x f x ---'='? 因此, 在),(b a 内至少存在一点),,(b a ∈ξ使 ,0)(='ξ? 即 ,0)()(=-'--ξξξξe f e f 因,0≠-ξe 所以 ).()(ξξf f =' 例9(E04) 证明当0>x 时,.)1ln(1x x x x <+<+ 证 设),1ln()(x x f +=则)(x f 在],0[x 上满足拉格朗日定理的条件. 故 )0)(()0()(-'=-x f f x f ξ ),0(x <<ξ ,0)0(=f ,11)(x x f += ' 从而ξ +=+1)1ln(x x ),0(x <<ξ中值定理与导数习题
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