上海市普陀区2019学年高三数学一模试卷(含答案)

普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研

1．若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2

，则实数m 的值为 .

2. 132lim 31

n n

n

n +→∞+=+ . 3. 不等式

1

1x

>的解集为 . 4. 已知i 为虚数单位，若复数1

i 1i

z m =++是实数，则实数m 的值为 . 5. 设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______. 6. 6

3

1(1)(1)x x

+

-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）. 7. 各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足2

2810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，

则4911b b b = _ .

8. 设椭圆Γ：()22

211x y a a +=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ?是等

腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =u u u r u u u r

，则Γ的长轴长等于_________.

9. 记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________.

10. 已知函数()()()22+815f x x x ax bx c

=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程2

1ax

bx c ++=在区间

[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.

11. 设P

是边长为123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形

外接圆的一条动弦，则PM PN ?u u u u r u u u r

的取值范围为___________.

12. 若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”

（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）. 已知(

)()

)

22x f x x ?<=≥，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为 .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，

将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13. “{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 ………………………（ ）

)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件

()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件

14. 设集合{}

1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ?B ，则对应的实数对(,)a b 有 …（ ） )A (1对 ()B 2对 ()C 3对 ()D 4对

15. 已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是 ……（ ）

)A (若//a α，b αβ=I ，则//a b

()B 若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥

()C 若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交 ()D 若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且c αβ=I ，则c 必与a 或b 相交

16. 若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11

(,)P a b

，

则ab 的最大值为 ……（ ） )A (7

6

()

B 4- ()

C 5-()

D 6-

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在

棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r

(0λ>).

（1）当1

=2

λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为2

9

时，求λ的值.

C

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

设函数()221

x

x

f x a -=

. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；

（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围.

19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60AOB ∠?，设POB θ∠=． （1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.

20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知双曲线Γ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两

个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；

（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围；

（3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.

N

M

P

B

A

O

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*

N n ∈）.

（1）设数列{}n b 是首项和公比都为1

3

-

的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值； （2）设121n n n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*

N n ∈恒成立，求2a 的取值范围；

（3）设4a =，2n b =，22

n n n S C λ+=（*

N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k l

C C =成立，求λ的所有可能值.

普陀区2019学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）

三、解答题

17.（1）当1

=2

λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角，……………… 2分 又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则1PD DE EP ===,即PDE ?是正三角形，

则3

PDE π

∠=

. ………………………… 5分

则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3

π

.…………………… 6分

（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直， 所以AB ⊥平面PAC ,…………… 3分

则11112233239

D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC --?==?=???==， 即2

3DC =

, …………………………… 7分 又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23

λ=.………………… 8分

说明：利用空间向量求解请相应评分.

18.（1）当4a =-时，由

2254

1

x x -<-得24250x x -+?-<，…………………2分

令2x

t =，则2

540t t -+<，即14t <<，…………………4分 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).……………………6分

（2）任取122x x ≤<，因为函数()22x

x

f x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增，

E D

C

B

A P

17题图

所以12()()0f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， ………………2分 则11

2222

2+20x

x x x a a ----<恒成立，

即121

2

122222+02x x x x x x a +--<，()1212

221+02x x x x a +??

-< ???

，…………………4分 又12x x <，则1222x x

<，

即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立，…………………………6分

又1

2

216x x +>，即16a ≥-，

则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞.………………………………8分

19.（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ?中，120ONP ∠=o

,60OPN θ∠=-o

, 则

sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON

==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN

θθ==

-o o ，

即)ON θ=-o

，PN θ，……………………………4分

则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP θθ=??∠=-o

，

即sin(60)S θθ=-o

，其中060θ<

（2）由（1）得1

sin(60)(

cos sin )22

S θθθθθ=-=-o

，

即2

3600sin cos =1800sin 22S θθθθθ=-+-

……………………4分

则30)S θ=+-o

……………………6分

因为060θ<

，

则23090θ+=o

o

时，max 11039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……………………………8分

说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分. 20．（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，

222

1tan 303

b a ==o

，又焦距为4，则224a b +=， …………………3分

解得a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2

213

x y -=.……………………………4分 （2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由22

1340x y x my ?-=???--=?

，得22

(3)8130m y my -++=，

则12283m y y m +=

-，122

133

y y m =-，且222

6452(3)12(13)0m m m ?=--=+>， ………………………………………………………………2分

又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ?

，即12120x x y y +<，

即1212(4)(4)0my my y y +++<，即2

12124()(1)160m y y m y y ++++<，

则

22

221313816033

m m m m +-+<--， ……………………………4分 即2235

03

m m -<-

，则m <<

m <<， 即实数m

的取值范围(U . …………………6分 （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1

）得点B ， 又点P 是线段BD

的中点，则点0

)2

y P ， ……………2分 直线BD

，直线AD

，又BD PQ ⊥，

则直线PQ

的方程为0000(22y x x y x y -=-

，即2000

00322

x x y y x y y -=++，

又直线AD

的方程为y x =+

，联立方程200

00

322x y y x y y x ?-=++????=??

，

消去y

化简整理，得2220003)22x y x x x -++=+，又22

0013x y =-，

代入消去2

0y

，得20002(3)1

)(33

x x x x x -+

=，

即1(3x x -=+

，则x = 即点Q

的横坐标为

024

x +， ……………5分

则p q x x -=

=

故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. ……6分 说明：看作是PQ uuu r 在OB uuu

r 或(1,0)i =r 方向上投影的绝对值，请相应评分.

21.（1） 由条件得1()3

n n b =-，*

N n ∈，即11()3

n

n n a a +-=-，………………1分 则2113a a -=-，23211

()39

a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则32211

3a a q a a -=

=--，又1(1)3a q -=-，则14

a =. …………………………3分

当14a =

，13q =-时，111()43

n n a -=-，*

N n ∈， 则111111111111()()()[()]()434334433

n n n n

n n a a --+-=---=--?-=-满足题意，

故所求的a 的值为1

4

. ………………………………………4分

（2）当2n ≥时，1

121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-，

以上1n -个式子相加得，123

12222(1)n n n n b b n ----=++++--L ， ………2分

又12123b a a a =-=-，则1222(12)

(1)32412

n n n b n a n a --=

--+-=-+--， 即224n n b n a =-+-. 由1210n

n n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，………4分

又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*

N n ∈恒成立，

则只需34345400

b a a b a a =-≤??

=-≥?，即324210

80b a b a =+≤??=+≥?，则281a -≤≤-. …………………6分

（3） 由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)

32

n n n S n n ++=

=+，

则223222n n n n

S n n C λλ

+++==. ………………………………2分 则222111

(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ

++-++++++--+--=-=，

当3n ≥时，2

2

4233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--?-=-<， 即3n ≥时，1n n C C +<，

则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾. ………………………4分

又1l >，即2l =时，232522

k k k λλ

+++=.

当5k ≥时，225

325352202216

k k k λλλ+++?++≤=， 又

205207207(2)3

016216168

λλλ++----?--=≤=-<， 即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522

k

k k λλ

+++=矛盾. 又2k l >≥，则3k =或4，

当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++?++==，解得1λ=-；

当4k =时，224

3243425222

k k k λλλ

+++?++==，解得2λ=-. 综上得λ的所有可能值为1-和2-. ……………………………