高考数学：一次函数复习专题.doc
一次函数复习专题
【基础知识回顾】
一、 一次函数的定义：
一般的：如果y 二 ____________ ( ),那么y 叫x 的一次函数
特别的：当b 二 ____ 时，一次函数就变为y 二kx(kHO),这时y 叫x 的 _________
【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b 二0时，它才 是正比例函数】
二、 一次函数的同象及性质：
— b
1、-次函数yg+b 的同象是经过点(0, b)(二，0)的-条 -------------------- 正比例函数y 二kx 的同象是经过点 ______ 和 _______ 的一条直线。
【名师提醒：因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需 选取 _________ 个特殊的点，过这两个点画一条直线即可】
2、正比例函数y 二kx(kHO),当k>0时，其同象过 _________ 、 ______ 象限， 此时时y 随x 的增大而 ________ ；当k<0时，其同象过 ____ 、 ______ 象限， 时y 随x 的增大而 ___________ 。
3、一次函数y 二kx+b,图象及函数性质
① 、k>0 b>0 过 ___
② 、k>0 b<0 过 ___
4、若直线 11： y= klx+ bl 与 12： y= k2x+ b2 平行，则 kl _________ k2,若 klHk2,则 11 与 12 _________
【名师提醒：y 随x 的变化情况，只取决于 ______ 的符号与 ______ 无关， 而直线的平移，只改变 ________ 的值 _______ 的值不变】
三、 用待定系数法求一次函数解析式：
关键：确定一次函数y 二kx+ b 中的字母 __________ 与 ______ 的值
步骤：1、设一次函数表达式
2、 将x, y 的对应值或点的坐标代入表达式
3、 解关于系数的方程或方程组
4、 将所求的待定系数代入所设函数表达式中
四、 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组
1、 一次函数与一元一次方程：一般地将x= _____ 或y ______ 代入y 二kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。
2、 一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b 〈0即一次函数图象位于x 轴上方或下方时相应的x 的取值范围，反Z 也成立
3、 一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列 二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标
【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决 2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方
y 随x 的增犬而 ________
③ 、k 〈0b>0过 ___ 象 ④ 、k 〈0b>0过 ___ 象 y 随x 的增大而 ________
程组解的问题】
五、一次函数的应用
一般步骤：1、设定问题屮的变量 2、建立一次函数关系式
3、确定自变量的取值范围
4、利用函数性质解决问题
5、作答 【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相 联系，经常涉及交点问题，
方案设计问题等】
【重点考点例析】
考点一：一次函数的图象和性质
例1 （2015-大庆）对于函数y=-3x+l,下列结论正碓的是（ ）
A. 它的图象必经过点（-1, 3）
B. 它的图象经过第一、二、三象限
C. 当 x>l 时，yVO
D. y 的值随x 值的增大而增大
对应训练
1.
（2015-徐州）下列函数中，y 随x 的增大而减少的函数是（
） A. y 二2x+8 B. y 二-2+4x C. y 二-2x+8 D. y=4x
考点二：一次函数的图象和系数的关系
例2 （2015-芾［B ）如图，一次函数y=（m-2）x-l 的图象经过二、三、四象限， 则
ni 的取值范围是（ ）
点，下列判断中，止确的是（
）
对应训练
2. （2015*眉山）若实数a, b, c 满足a+b+c=O,且a C. m>2 D ? m<2 (2015*遵义)P, (X1, Y1), 匕5, y 2）是正比例函数汁「图象上的两 A. yi>y 2 C.当 Xi B. yi D.当 Xi m<0 例3 3. （2015-福州）A, B 两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别 为A （x+a, y+b ）, B （x, y ）,下列结论正确的是（ 考点三：一次函数解析式的确定 例4 （2015*常州）己知一次函数y 二kx+b （k 、b 为常数且kHO ）的图象经过点 A （0, -2）和点 B （1, 0）,贝l 」k 二 ______ , b 二 _______ ? 对应训练 4. （2013*重庆）已知正比例函数y 二kx （kHO ）的图象经过点（1, -2）,则这个 正比例函数的解析式为（ ） A. y 二2x B. y=-2x C ? y 二 —x D ? y=- —x 2 - 2 考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系 例5 （2015*黔西南州）如图，函数y 二2x 和y 二ax+4的图象相交于点A （m, 3）, 则不等式2x 3 3 A. x< — 氏 x<3 C ? x> — D. x>3 2 2 例6 （2015*荆州）体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已 知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x 人， 进3个球的有y 人，若（x, y ）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解 析式是（ ） ) D. ab<0 C. b 二0 C. y 二-x+9 与 y 二- —x+ — D. y 二x+9 与 x+ — 3 3 3 3 思路分析：根据一共20个人，进球49个列出关于x 、y 的方程即可得到答案. 解：根据进球总数为49个得：2x+3y=49-5-3X 4-2X5=22, 整理得：y=- X+ —, 3 3 ???20人一组进行足球比赛， ?：l+5+x+y+3+2二20, 整理得：y 二-x+9. 故选C. 点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题目列 出方程并整理成函数的形式. 对应训练 5. (2015*武汉)直线y 二2x+b 经过点(3, 5),求关于x 的不等式2x+b$0的解 集. 6. (2015-青岛)如图，一个正比例函数图象与一次函数y=~x+l 的图象相交于点 P,则这个正比例函数的表达式是 ___________ ? 考点五：一次函数综合题 例7 (2015?绥化)如图，直线MN 与x 轴，y 轴分别相交于A, C 两点，分别过 A, C 两点作x 轴，y 轴的垂线相交于B 点，且0A, 0C (0A>0C)的长分别是一 元二次方程x-14x+48=0的两个实数根. (1) 求C 点坐标； (2) 求直线MN 的解析式； (3) 在直线MN 上存在点P,使以点P, B, C 三点为顶点li 勺三角形是等腰三角形， 请直接写出P 点的坐标. A.戸+9与宀丝 3 3 2 22 B. y 二一x+9 与 y 二二 x+— (2)???直线MN 的解析式为y=--x+6； (3) VA (8, 0), C (0, 6), ???根据题意知B (8, 6). 3 ???点P 在直线MNy=-- x+6上, 4 3 ???设 P (a, --a+6) 4 如图，当以点P, B, C 三点为顶点的三角形是等腰三角形吋，需要分类讨论: ① 当PC 二PB 时，点P 是线段BC 的中垂线与直线MN 的交点，则P 】(4, 3)； 3 ② 当 PC 二BC 时，a 2+ (--a+6-6) 2=64, 4 解得，a=± —,则 P 2 , — ), P 3(―, 5 5 5 5 5 ③ 当 PB 二BC 时，(a-8) 2+ (--a+6-6)匚64, 4 (256 42 、 ( -- ,一——丿. 25 25 对应训练 7. (2015-齐齐哈尔)如图，平面直角坐标系中，直线1分别交x 轴、y 轴于A 、 B 两点(0AV0B)且0A 、OB 的长分别是一■元二次方程x 2-(巧+1) x+語二0 的两个根，点C 在x 轴负半轴上，且AB ： AC 二1： 2 (1) 求A 、C 两点的坐标； (2) 若点M 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连接AM,设 △ABM 的面积为S,点M 的运动时?间为t,写出S 关于I 的函数关系式，并写出 自解得,書则-討6建, (256 ~25 42 25 综上所述,符合条件的点P 有：P 】(4, 3), 32 P 2 (- — 5 54 5 P B 32 y 34 变量的取值范围； (3)点P是y轴上的点，在坐标平而内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 3木 7.解：(1) x2- (V3+1) X+V3=0, (x->/3 ) (x-1) =0, 解得Xi=>/3 , x2=l, V0A<0B, ???OA二1, 0B=V3 , ???A (1, 0), B (0,希)， ???AB二2, 又TAB： AC=1： 2, A ACM, AC (-3, 0)； (2)由题意得：CM=t, CB=2V3 . ①当点M在CB边上时，S=2 V3 -t (0WtV2石)； ②当点M在CB边的延长线上时，S=t-2V3 (t>2V3 )； (3)存在，Qi (-1, 0), Q2 (1, -2), Q3 (1, 2), Q, (1,空). 3 考点六：一次函数的应用 例8 （2015-株洲）某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y （单位：厘米）与观察时间x （单位：天）的关系，并画岀如图所示的图象（AC是线段，直线CD 平行x轴）. （1）该植物从观察时起，多少天以后停止长高？ （2）求直线AC的解析式，并求该植物最高长多少厘米？ 对应训练 8.（2015-湛江）周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家岀发1小时后到达南亚所（景点），游玩一段吋间后按原速前往湖光岩.小明离家1小时50 分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往湖光岩，如图是他们离家的路程y （km）与小明离家时间x （h）的函数图彖. （1）求小明骑车的速度和在南亚所游玩的时间； （2）若妈妈在出发后25分钟时，刚好在湖光岩门口追上小明，求妈妈驾车的速度及CD所在直线的函数解析式. 个『伽） 6 【聚焦山东中考】 1.（2015*荷泽）一条直线y二kx+b,其中k+b二-5、kb二6,那么该直线经过（ ） A.第二、四象限 B.第一、二、三象限 C.第一、三象限 D.第二、三、四象限 2.（2015-潍坊）设点A （X1, y,）和B （x2, y2）是反比例函数y二土图象上的两 X 个点，当Xi A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.（2015*潍坊）一次函数y二-2x+b 中，当x二1 时，y b的取值范围是____ ? 4.（2015-泰安）把直线y二-x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一彖限，则ni的取值范围是（） A. l B. 3 C. m>l D. m<4 5.（2015-威海）甲、乙两辆摩托车同吋从相距20km的A, B两地出发，相向而行.图屮L, L分别表示甲、乙两辆摩托车到A地的距离s （km）与行驶时间t （h）的函数关系.则下列说法错误的是（） A.乙摩托车的速度较快 氏经过0.3小时甲摩托车行驶到A, B两地的屮点 C.经过0.25小时两摩托车相遇 D.当乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地—km 3 6.（2015-临沂）某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表： X （单位：台）102030 y （单位：万元/台）605550 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求该机器的生产数量； （3）市场调查发现，这种机器每月销售量z （台）与售价3 （万元/台）Z间满足如图所示的函数关系?该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.（注：利润二售价-成本） 2 ???该机器生产数量至少为10台，但不超过70台, ???10WxW70； (2)由题意，得 xy二2000, --X2+65X=2000, 2 -X2+130X-4000=0, 解得：x产50, X2=80>70 (舍去). 答:该机器的牛产数量为50台; （3）设每月销售量z （台）与售价a （万元/台）Z间的函数关系式为z=ka+b, 由函数图象，得 『35 = 55￡ +方* 伙 [15 = 75￡ + b [b = 90 .?.z 二-a+90? 当z二25 时，。二65. 当x二50 时，y二40 总利润为：25 （65-40）二625万元. 答：该厂第一个月销售这种机器的利润为625万元. 7.（2015-滨州）根据要求，解答下列问题: （1）已知直线h的函数表达式为尸x,请直接写岀过原点且与h垂直的直线1? 的函数表达式； （2）如图，过原点的直线h向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°? ①求直线h的函数表达式； ②把直线13绕原点0按逆时针方向旋转90°得到的直线h求宜线h的函数表达式. （3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点 7.解：（1）根据题意得：y=-x； （2）①设直线b的函数表达式为y*x （k￥0）, ???过原点的直线13向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°,直线过一、三象限， Aki=tan30o ???直线】彳的函数表达式为尸? ②???h与h的夹角是为90° , ???h与x轴的夹角是为60° , 设打的解析式为y=k2x （k2#=0）, ???直线h过二、四象限， ?；k2=-tan60°二-能， ???直线h的函数表达式为y=-V3 x； (3)通过观察(1) (2)中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式屮自变量的系数互为负倒数关系， ???过原点且与直线y=--x垂直的直线打的函数表达式为y二5x? 8.(2015-济宁)如图，直线y二-丄x+4与坐标轴分别交于点A、B,与直线y二x 2 交于点C.在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点0出发向点A 做匀速运动，同时动点P从点A出发向点0做匀速运动，当点P、Q其屮一点停止运动时，另一点也停止运动.分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC 于点E、F,连接EF.若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形(点P、Q重合除外). (1)求点P运动的速度是多少？ (2)当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？ (3)当t为多少秒时，矩形PEFQ的而积S最大？并求出最大值. 8.解：（1） J直线y二-丄x+4与坐标轴分别交于点A、B, 2 ?；x 二0 时，y=4, y二0 时,x=8, .BO 41 .■ - =—=—, AO 8 2 当t 秒时，QO=FQ=t,则EP=t, ???EP〃BO, .BO EP 1 ? ?=--- = , AO AP 2 AAP=2t, ???动点Q 以每秒1个单位长度的速度从点0出发向点A 做匀速运动, ???点P 运动的速度是每秒2个单位长度； 如图2,当Q 在P 点的右边吋, VOQ=t, PA=2t,(2)如图1,当PQ 二PE 时，矩形PEFQ 为正方形, 则 VOQ=FQ=t, PA=2t, :.QP=8-t-2t=8-3t, .*? 8 - 3t 二t, 解得：t=2, 如图2,当PQ 二PE 时，矩形PEFQ 为正方形， VOQ=t, PA=2t, ???0P 二8-2t, ???QP=t- (8-2t) =3t-8, /. t=3t-8, 解得:t 二4； (3)如图1,当Q 在P 点的左边时， VOQ=t, PA 二2t, AQP=8-t-2t=8-3t, 「?S 矩形PEFQ 二QP ?QF 二(8~3t) ?t=8t~3t 2, 当 t-- 8 = 2x(-3) -扌时, S 矩形PEFQ 的最大值为: 4x(-3)x0-82 _16 ~4x(-3)- AQP-t- （8-2t）二3t-8, ?：S 矩形PEFQ二QP'QE二（3t-8） *t=3t2-8t, ???当点P、Q其屮一点停止运动时，另一点也停止运动, ???0WtW4, 8 4 —\ t二- ----- =—时，S矩形PBFQ的最小， 2x（—3）3 ???t二4时,S矩形PE凹的最大值为:3X42-8X4二16, 综上所述，当t二4时，S 矩形PEFQ的最大值为：16. 【备考真题过关】 一、选择题 1.（2015-湖州）若正比例函数y=kx的图象经过点（1, 2）,则k的值为（） A. -- B. -2 C.丄 D. 2 2 2 2.（2015-陕西）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A （2, m）, B （n, 3）,那么一定有（） A. m>0, n>0 B. m>0, nVO C. m<0, n>0 D? m<0, n<0 3.（2015-荆门）若反比例函数y=￡的图象过点（-2, 1）,则一次函数y=kx-k X 的图象过（） A.第一、二、四象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、二、三象限 4.（2015*黔东南州）直线y=-2x+m与直线y=2x-l的交点在第四象限，则m的取值范围是（） A. m>-l B? m< 1 C. -l 5.（2015-十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油 箱有油25升，途屮加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y （升）与行驶时间t （小时）之间的关系如图所示.以下说法错误的是（） A.加油前油箱中剩余油量y （升）与行驶时间t （小时）的函数关系是y二-毗+25 B.途中加油21升 C.汽车加油后还可行驶4小时 D.汽车到达乙地时油箱中还余油6升 6.（2015-天门）小文、小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行?他们的路程差s（米）与小文出发时间t （分）之间的函数关系如图所示.下列说法：①小亮先到达青少年宫； ②小亮的速度是小文速度的2. 5倍；③a=24；④b=480.其中止确的是 （） C.①③④ D.①②③④ 二、填空题 7.（2015?资阳）在一次函数y二（2-k） x+1中，y随x的增大而增大，则k的取 值范围为 ______ ? 8.（2015*天津）若一次函数y二kx+1 （k为常数，kHO）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是—? 9.（2015-鞍山）在一次函数y二kx+2屮，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第 _______ 象限. 10.（2015-珠海）已知，函数y二3x的图象经过点A （-1, y t）,点B （-2, y2）, 则yi ___ y2（填V” 或“二”） 11.（2015?永州）已知一次函数y二kx+b的图象经过A （1, -1）, B （-1, 3）两点，则k ____ 0（填或“<”） 12.（2015-昆明）已知正比例函数y二kx的图彖经过点A （-1, 2）,则正比例函 数的解析式为 _______ ? 13.（2015-成都）己知点（3, 5）在直线y二ax+b （a, b为常数,且aHO）上, 则厶的值为 h-5 ------- 14.（2015-包头）如图，已知一条直线经过点A （0, 2）、点B （1, 0）,将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D.若DB=DC,则直线CD的函数解析式为 15. （2015*温州）如图，在平面直角坐标系中，AABC 的两个顶点A, B 的坐标 分别为（-2, 0）, （-1, 0）, BC 丄x 轴,将AABC 以y 轴为对称轴作轴对称变换, 得到AA' C z （A 和A' , 8和B' , C 和C‘分别是对应顶点），直线y 二x+b 经过点A, C', 则点C'的坐标是 _________________________ ? 16. （2015*孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器， 从某时?刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟 内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放 完?假 设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的 水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的部分关 17. （2015-随州）甲乙两地相距50千米.星期天上午8： 00小聪同学在父亲陪 同下骑山地车从甲地前往乙地.2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从 甲地前往乙地，他们行驶的路程y （千米）与小聪行驶的时间x （小时）Z 间的 函数关系如图所示，小明父亲出发 ____________________ 小时时，行进中的两车相距8 分钟该容器内的水恰好放完. 三、解答题 18. （2015-厦门）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水 不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数.容器 内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图所示.当容器内 的水量大于5升时，求时间x 的取值范围. 18.解:①0Wx<3 时，设 y=mx, 则 3m 二15, 解得m=5, 所以，y=5x, ②3 W x W12 时，设 y 二kx+b, ???函数图象经过点(3, 15), (12, 0), 所以，y 号+20, 当 y 二5 时*,由 5x=5 得，x=l, 由-|x+20二5 得,x=9, 所以，当容器内的水量大于5升时，时间x 的取值范围是1V X V9. 3￡ + /? = 15 12R + b = ，解得“一3 b = 20 19. （2015-湘潭）莲城超市以10元/件的价格调进一批商品，根据前期销售情况， 每天销售量y （件）与该商品定价x （元）是一次函数关系，如图所示. （1） 求销售量y 与定价xZ 间的函数关系式； （2） 如果超市将该商品的销售价定为13元/件，不考虑其它因素，求超市每天 销售这种商品所获得的利润. 严+"10, 『=-2, [15E + 2 2 [b = 32 故销售量y 与定价x 之间的函数关系式是：y=-2x+32； (2)超市每天销售这种商品所获得的利润是： W= (-2x+32) (13-10)二-6x+96? 20. (2015-盐城)水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还 价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可 买88千克. (1) 现在实际购进这种水果每千克多少元？ (2) 王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y (千克)与销售单 价x (元/千克)满足如图所示的一次函数关系. ① 求y 与x 之间的函数关系式； ② 请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润? 最大利润是多少？(利润二销售收入-进货金额 ) 20. 解：(1)设现在实际购进这种水果每千克x 元，则原来购进这种水果每千克 (x+2)兀，由题意，得 80 (x+2) =88x, 解得x=20? 故现在实际购进这种水果每千克20元； 由图象可知, (2)①设y与x之间的函数关系式为y二kx+b, 将(25, 165), (35, 55)代入， k = -\\ b = 440‘ 故y与x之间的函数关系式为y二-llx+440； ②设这种水果的销售单价为x元时，所获利润为w元， 则w二(x-20) y= (x-20) (-llx+440) =-llx2+660x-8800=-ll (x-30) 2+1100, 所以当x二30时，w有最大值1100. 即将这种水果的销售单价定为30元时，能获得最大利润，最大利润是1100元. 21.(2015?河北)如图，A (0, 1), M (3, 2), N (4, 4).动点P 从点A 出发, 沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线1： y二-x+b也随Z移动，设移动时间为t秒. (1)当t二3吋，求1的解析式； (2)若点M, N位于1的异侧，确定t的取值范围； (3)直接写出t为何值时，点M关于1的对称点落在坐标轴上. 21.解:(1)直线y二-x+b交y轴于点P (0, b), 由题意，得b>0, t$0, b二1+t? 当I 二3 吋，b=4, 故y二-x+4. (2)当直线y二-x+b过点M (3, 2)时， 2=-3+b, 解得：b二5, 5二1+t, 解得t=4. 当直线y=-x+b过点N (4, 4)时， 4=-4+b, 解得：b二8, 8二1+t, 解得t=7. (3)如图，过点M作MF丄直线1,交y轴于点F,交x轴于点E,则点E、F为点M在坐标轴上的对称点. 过点M作MD丄x轴于点D,则0D二3, MD二2. 已知ZMED=Z0EF=45°,则AMDE与AOEF均为等腰直角三角形， ADE=MD=2, OE=OF=1, ???E (1, 0), F (0, 一1)? VM (3, 2), F (0, -1), 3 i ???线段MF中点坐标为(2,-). 2 2 Q 1 1 Q 直线y二-x+b 过点(一，一)，则一二-一+b,解得：b二2, 2 2 2 2 2=l+t, 解得t二1. VM (3, 2), E (1, 0), ???线段ME中点坐标为(2, 1). 直线y二-x+b 过点(2, 1),则1 二-2+b,解得:b=3, 3=l+t, 解得t二2. 故点M关于1的对称点，当t二1时，落在y轴上，当t二2吋，落在x轴上. 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一． 【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等． 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决． 解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查． 例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 高考数学专题练习--函数图像 1. 【江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()2 21,0 ,0 x x f x x x x ->?=? +≤?，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】1 ,04 ?? - ??? 【解析】 2. 【江苏省苏州市高三暑假自主学习测试】已知函数31 1, ,()11,, x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程 ()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1 (0,)2 【解析】 试题分析：作函数()y f x =及(1)y k x =+图像，(11), (1,0)A B -，，由图可知要使关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，须满足1 (0,)(0,).2 AB k k ∈= 3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县高三10月联考】设幂函数()f x kx α=的图象经过点 ()4,2，则k α+= ▲ ． 【答案】 32 【解析】 试题分析：由题意得11,422 k α α==?=∴32k α+= 4. 【泰州中学第一学期第一次质量检测文科】已知幂函数()y f x =的图象经过点1 (4,)2 ，则 1 ()4 f 的值为 ． 【答案】2 【解析】 试题分析：设()y f x x α ==，则11422α α=?=-，因此1 211()()244 f -== 5. 【江苏省南通中学高三上学期期中考试】已知函数2 +1, 1, ()(), 1, a x x f x x a x ?-?=?->??≤ 函数 ()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数的取值范围是 ▲ ． 【答案】23a <≤ 【解析】 《曲线的方程和性质》专题 一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方 程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． （3）了解二元一次不等式表示平面区域． （4）了解线性规划的意义，并会简单的应用． （5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法． （6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程 （1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程． （2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． （3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． （4）了解圆锥曲线的初步应用． 二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23 2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 （ ） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的 公切线有且仅有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两 点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么 点 P 到右准线 的 距 离 是 （ ） 三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析一元二次 函数性质及其综合考查 It was last revised on January 2, 2021 湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析2：一元二次函数性质及 其 综 合 考 查 一、一元二次函数图象与性质：（学生画出函数图象，写出函数性质） 二.高考题热身 1.若不等式x 2＋ax ＋10对于一切x （0，12 〕成立，则a 的取值范围是（ ） A ．0 B. –2 5 2 2.已知函数f(x)=ax 2+2ax+4(a>0),若x 1 函数专题练习 1.函数1 ()x y e x R +=∈的反函数是( ) A ．1ln (0)y x x =+> B ．1ln (0)y x x =-> C ．1ln (0)y x x =--> D ．1ln (0)y x x =-+> 2.已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是 (A )(0,1) (B )1 (0,)3 (C )11[,)73 (D )1[,1)7 3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意1212,()x x x x ≠， 1221|()()|||f x f x x x -<-恒成立”的只有 (A )1()f x x = (B )()||f x x = (C )()2x f x = (D )2 ()f x x = 4.已知()f x 是周期为2 的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设 63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 (A )a b c << (B )b a c << (C )c b a << (D )c a b << 5. 函数2 ()lg(31)f x x = ++的定义域是 A .1(,)3-+∞ B . 1(,1)3- C . 11(,)33- D . 1(,)3 -∞- 6、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A .3 ,y x x R =-∈ B . sin ,y x x R =∈ C . ,y x x R =∈ D 7、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点 (0,2)P (如右图所示)，则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A .4 B .3 C . 2 D .1 8、设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 (A )()()f x f x -是奇函数 (B )()()f x f x -是奇函数 (C ) ()()f x f x --是偶函数 (D ) ()()f x f x +-是偶函数 9、已知函数x y e =的图象与函数()y f x =的图象关于直线y x =对称，则 A ．()22()x f x e x R =∈ B ．()2ln 2ln (0)f x x x => ) 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 3 三角函数大题压轴题练习 1. 已知函数 f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 （Ⅰ）求函数 f (x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域 12 2 解：（1）Q f (x ) = cos(2x - ) + 2 s in(x - ) sin(x + ) 3 4 4 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + (sin x - cos x )(sin x + cos x ) 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x + sin 2 x - cos 2 x 2 2 = 1 cos 2x + 3 sin 2x - cos 2x 2 2 = sin(2x - ∴周 周 6 T = 2 = 2 k 由2x - = k + (k ∈ Z ), 周 x = + (k ∈ Z ) 6 2 2 3 ∴函数图象的对称轴方程为 x = k + ∈ Z ) 3 5 （2）Q x ∈[- , ],∴ 2x - ∈[- , ] 12 2 6 3 6 因为 f (x ) = sin(2x - ) 在区间[- , ] 上单调递增，在区间[ , ] 上单调 递减， 6 12 3 3 2 所以 当 x = 时， f (x ) 取最大值 1 3 1 又 Q f (- ) = - < f ( ) = ，当 x = - 时， f (x ) 取最小值- 12 2 2 2 12 2 所以 函数 f (x ) 在区间[- , ] 上的值域为[- 12 2 ,1] 2 2. 已知函数 f (x ) = sin 2 x + 3 sin x sin ?x + π ? （> 0 ）的最小正周期为π ． 2 ? ? ? （Ⅰ）求的值； 3 3 ) (k B 1 .函数 y = a | x | (a > 1)的图象是 ( y y o x o A B B （ ） y o 1 x -1 o 函数图象 ) y 1 1 x o x C y y x x o 1 y 1 o x D y -1 o x A B C B 3．当 a>1 时，函数 y=log a x 和 y=(1 － a)x 的图象只可能是（ ） y A4．已知 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象如图所示 yf ( x ) x O 则函数 F(x)=f(x) ·g(x) 的图象可以是 (A) y y y O x O x O x A xa x B C B 5．函数 y (a 1) 的图像大致形状是 （ ） | x | y y y O f ( x) 2x x O 1 O x （ D 6．已知函数 x x x 1 ，则 f x （ 1－ x ）的图象是 log 1 2 y y y A B C 2 。 。 1 。 － 1 D y y g( x) O x y O x D y O ） x y D 2 O x A B C D D 7．函数 y x cosx 的部分图象是 ( ) A 8．若函数 f(x) =x 2 +bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f /(x)的图象是 （ ） y y y y o x o x o x o x A B C D A 9．一给定函数 y f ( x) 的图象在下列图中，并且对任意 a 1 (0,1) ，由关系式 a n 1 f (a n ) 得到的数列 { a n } 满足 a n 1 a n (n N * ) ，则该函数的图象是 （ ） A B C D C10．函数 y=kx+k 与 y= k 在同一坐标系是的大致图象是（ ） x y y y y O x O x O x O x A 11．设函数 f （ x ） =1－ 1 x 2 （－ 1≤ x ≤0）的图像是（ ） A B C D 高考数学总复习 二次函数 1、二次函数解析式的三种设法：①一般式y=ax2+bx+c(a ≠0) ②顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0) ③两根式y=a(x-x1)(x-x2) )0(≠a . 2 3、三个“二次”之间的关系：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化，才是准确迅速答题的关键. 二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c>0)0(<解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x 轴的交点的横坐标。 4、利用二次函数的知识解决实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题： （1）、二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从四个方面考虑： 开口方向；②判别式的符号；③区间端点函数值的正负；④对称轴x=-b/2a 与区间端点的关系。 (2)对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的分布问题，有如下结论： 令f(x)=ax2+bx+c(设a＞0) 注：在讨论方程根的分布情况时，要写出其充要条件，注意观察对应的函数图象是避免将充要条件写成必要条件的有效办法. 5、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点 处取得.（★）二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a ＞0)在区间[m ，n]上的最值问题，分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymin=f(h)=k ，ymax=max{f(m),f(n)} 若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n) 若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m). （☆☆）对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a<0)在区间[m ，n]上的最值问题，也分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymax=f(h)=k ，ymin=max{f(m),f(n)} ; ②若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m) ; ③若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n). 三角函数及数列大题训练 1.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式；令n n b na =，求数列的前n 项和n S 2.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式.(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++ 求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，cos 3sin 0a C a C b c +--= （1）求A （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c 。 4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值． 5.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. ⑴证明1{}2 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。 7.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C 8.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90° (1)若PB=1 2，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA 9.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边， 且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值. 10.已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8= -10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列? ? ????-1 2 n n a 的前n 项和。 11. 在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值。 12．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈π0,2 ?? ???? . (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值． 13．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ，已知? =2，cosB=， b=3，求：（Ⅰ）a 和c 的值；（Ⅱ）cos （B ﹣C ）的值． A B C P 专题一 函数图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法 （1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注 意关键线：如；对称轴，渐近线等） （2）利用基本函数图象变换。 2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。 （1）平移变换 ① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； ② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． （2）对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到； （3）翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． （4）伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤： （1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利 二次函数 ●知识梳理 二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n . （2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0= 2 1 （p +q ）. 若－ a b 2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b 2）=m ，f （q ）=M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b 2）=m ； 若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m . ●点击双基 1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （2 2 1x x +）等于 A.－ a b 2 B.－ a b C.c D.a b a c 442- 解析：f （221x x +）=f （－a b 2）=a b ac 442-. 答案：D 2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B 3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25 解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8 m ，+∞）上递增，由题设只 高考数学专题复习：解析几何专题 【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】 考点1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==． 故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点， 则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 2019-2020 年高考数学大题专题练习 —— 三角函数（一） 1. 【山东肥城】 已知函数 f ( x) 2sin 2 x 2sin 2 ( x) ， x R . （ 1）求函数 y f ( x) 的对称中心； 6 （ 2）已知在 △ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 f ( B 6 ) b c ， ABC 的外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的最大值 . 2 2a 【解析】 f ( x) 1 cos2 x 1 cos2( x ) cos(2 x ) cos2 x 6 3 1 3 sin 2x cos 2x cos2x 2 2 3 sin 2x 1 cos2x sin(2 x 6 ) . 2 2 （1）令 2x k （ k Z ），则 x k （ k Z ）， 6 2 12 所以函数 y f ( x) 的对称中心为 ( k ,0) k Z ； 2 12 （2）由 f ( B ) b c ，得 sin( B ) b c ，即 3 sin B 1 cos B b c ， 2 6 2a 6 2a 2 2 2a 整理得 3a sin B a cos B b c ， 由正弦定理得： 3 sin A sin B sin A cos B sin B sin C ， 化简得 3 sin A sin B sin B cos Asin B ， 又因为 sin B 0 ， 所以 3 sin A cos A 1 ，即 sin( A 1 ， 6 ) 2 由 0 A ，得 A 5 ， 6 6 6 所以 A ，即 A 3 ， 6 6 又 ABC 的外接圆的半径为 3 ， 所以 a 2 3 sin A 3 ，由余弦定理得 函数的图像 一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点： 做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图像形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图像更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点 （1）一次函数：y kx b =+,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线 特点：两点确定一条直线 信息点：与坐标轴的交点 （2）二次函数：()2 y a x h k =-+，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图像，另一侧由对称性可得。函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图像更为精确 特点：对称性 信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点 （3）反比例函数：1 y x = ,其定义域为()(),00,-∞+∞U ，是奇函数，只需做出正版轴图像即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线 特点：奇函数（图像关于原点中心对称），渐近线 信息点：渐近线 注： （1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，x 轴是渐近线，那么当x →+∞，曲线无限向x 轴接近，但不相交，则函数在x 正半轴就不会有x 轴下方的部分。 （2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若x →+∞（或-∞）时，()f x →常 2.6 二次函数 ●知识梳理 二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n . （2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0= 2 1 （p +q ）. 若－ a b 2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b 2）=m ，f （q ）=M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b 2）=m ； 若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m . ●点击双基 1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （2 2 1x x +）等于 A.－ a b 2 B.－ a b C.c D.a b a c 442- 解析：f （221x x +）=f （－a b 2）=a b ac 442-. 答案：D 2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B 3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25 解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8 m ，+∞）上递增，由题设只 需 三角函数大题综合训练 1．（2016?白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知= （1）求角C的大小， （2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值． 2．（2016?广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．（I）求角A的大小； （Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值． 3．（2016?成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x． （Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合； （Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值． 4．（2016?台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab． （1）求角C的值； （2）若b=2，△ABC的面积，求a的值． 5．（2016?惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=． （Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC=2，求AB的长． 6．（2015?山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin （A+B）=，ac=2，求sinA和c的值． 7．（2015?新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC． （Ⅰ）若a=b，求cosB； （Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积． 8．（2015?湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA． （Ⅰ）证明：sinB=cosA； （Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C． 10．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A=； （Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围． 11．（2015?四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小 （Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值． 2019高考数学《函数的图像》题型专题汇编 题型一 作函数的图象 1、分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|； (2)y ＝2x ＋ 1－1； (3)y ＝x 2－|x |－2； (4)y ＝2x －1x －1 . 解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)． (2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1 的图象，如图②所示． (3)y ＝x 2－|x |－2＝???? ? x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0， 其图象如图③所示． (4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1 x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所 示． 题型二 函数图象的辨识 1、函数y ＝x 2ln|x | |x | 的图象大致是( ) 答案 D 解析 从题设解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间????0，1e 上单调递减，在区间??? ?1 e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D. 2、设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( ) A ．y ＝f (|x |) B ．y ＝－|f (x )| C ．y ＝－f (－|x |) D ．y ＝f (－|x |) 答案 C 解析 题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C. 3、函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝????12x 在同一直角坐标系下的图象大致是( ) 答案 B 解析 因为函数g (x )＝????12x 为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x 的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B. 4、函数f (x )＝??? ?2 1＋e x －1·sin x 的图象的大致形状为( ) 答案 A 解析 ∵f (x )＝? ????21＋e x －1·sin x ，∴f (－x )＝? ????21＋e －x －1· sin(－x ) ＝－? ????2e x 1＋e x －1sin x ＝? ?? ?? 21＋e x －1· sin x ＝f (x )，且f (x )的定义域为R ， ∴函数f (x )为偶函数，故排除C ，D ；当x ＝2时，f (2)＝? ?? ??21＋e 2－1· sin 2<0，故排除B ， 只有A 符合． 5、若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x 的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )高三数学解析几何专题
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