考研数学定理定义公式总结-数学二

高数部分

第一章函数与极限

1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且

limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限。

6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。

不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。

定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。

定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)<0)，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m之间的任何值。

第二章导数与微分

1、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0) [f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。

2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而

不是充分条件。

3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。

4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。

第三章中值定理与导数的应用

1、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，

b)内至少有一点ξ(a<ξ

2、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a<ξ

3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

5、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)如果在(a，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加；(2)如果在(a，b)内f’(x)<0，那么函数f(x)在[a，b]上单调减少。

如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

6、函数的极值如果函数f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。

定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，即f’ (x0)=0.定理(函数取得极值的第

一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值；(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’ (x)恒为负；当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x) 恒为正或恒为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’ (x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)当f’’(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；(2)当f’’(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a，b)内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凹的；(2)若在(a，b)内f’’(x)<0，则f(x)在闭区间[a，b]上的图形是凸的。

判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x)；(2)令f’’(x)=0，解出这方程在区间(a，b)内的实根；(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号，那么当两侧的符号相反时，点(x0，f(x0))是拐点，当两侧的符号相同时，点(x0，f(x0))不是拐点。

在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。

第四章不定积分

1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有F’(x)=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。

分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u.

2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

第五章定积分

1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积(2)变速直线运动的路程

2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上可积，即连续=>可积。

定理设f(x)在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a，b]上可积。

3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a，b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0.推论如果在区间[a，b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m(b- a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一个点ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。

4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a，b]上除点c(a

第六章定积分的应用

求平面图形的面积(曲线围成的面积)

直角坐标系下(含参数与不含参数)

极坐标系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)

旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)

平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx，其中A(x)为截面面积)

功、水压力、引力

函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)

第七章多元函数微分法及其应用

1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。例如函数：f(x，y)= {0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠0

2、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。

性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。

4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。

5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。

6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。

定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在点(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：(1)AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；(2)AC-B2<0时没有极值；(3)AC- B2=0时可能有也可能没有。

7、多元函数极值存在的解法(1)解方程组fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。

(2)对于每一个驻点(x0，y0)，求出二阶偏导数的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符号，按充分条件进行判定f(x0，y0)是否是极大值、极小值。

注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。

第八章二重积分

1、二重积分的一些应用曲顶柱体的体积曲面的面积(A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ)

平面薄片的质量平面薄片的重心坐标(x=1/A∫∫xdσ，y=1 /A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积。

平面薄片的转动惯量(Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)为在点(x，y)处的密度。

平面薄片对质点的引力(FxFyFz)

2、二重积分存在的条件当f(x，y)在闭区域D上连续时，极限存在，故函数f(x，y)在D上的二重积分必定存在。

3、二重积分的一些重要性质性质如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，则有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性质设M，m分别是f(x，y)在闭区域D上的最大值和最小值，σ是D的面积，则有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。

性质(二重积分的中值定理)设函数f(x，y)在闭区域D上连续，σ是D的面积，则在D上至少存在一点(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ4、二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换把二重积分从直角坐标系换为极坐标系，只要把被积函数中的x，y分别换成ycosθ、rsinθ，并把直角坐标系中的面积元素dxd来源:考试大- 考研站

线代部分

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

(),n

T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，

0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i

A p p p p n

B AB E AB E

??

???

?????

??

??=????==?? 是初等阵

存在阶矩阵使得 或 ○

注：全体n 维实向量构成的集合n

R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的??

??

?????特征向量

○

注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

+=?+=???

有非零解=-

?

?

?????

→????

:;具有

向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???：

①称为n

?

的标准基，n

?

中的自然基，单位坐标向量87p 教材；

②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr =E n ；

⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示.

12121211

12121222()

1212()n n n

n n j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a D a a a a a a τ=

=

-∑

L

L L L L M M M L

1

√ 行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则

=

=()mn A O

A A O A B

O B

O B

B

O A A

A B B O B O

*

=

=*

*=-1（拉普拉斯展开式）

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④关于副对角线：

(1)2

1121

21

1211

1()n n n

n

n n n n n n n a O

a a a a a a a O

a O

---*

==-K N

N 1 （即：所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和）

⑤范德蒙德行列式：()1

22

22

1211

11

12n

i

j

n j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L

M M

M

L

1

11

由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??

? ?

=

?

???

L L M M M L

称为m n ?矩阵.记作：()ij m n A a ?=或m n

A ?

()

1121112

222*12n T

n ij

n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ?

== ?

???

L L M M M L

，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. √ 逆矩阵的求法:

① 1

A A A *-= ○注： 1

a b d b c d c a ad bc --????= ? ?

--????

1 L L 主换位副变号 ②1()()A E E A -????→M

M 初等行变换

③1

2

3111

1

2

13a a a a a a -????

? ?

=

? ? ? ? ??

??

?

3

2

1

1

1

112

13a a a a a a -????

? ?

=

? ? ? ? ?????

√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()

m n

mn

A A =

√ 设,,m n n s A B ??A 的列向量为12,,,n ααα???,B 的列向量为12,,,s βββ???，

则

m s

AB C ?=?

()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα??

? ?

???= ?

???

L L L M M M L ?

i i

A c β= ，

(,,)i s =L 1,2?

i

β为

i

Ax c =的解

?()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ???=???=L ?12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα???线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵.

同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T

A 为系数矩阵.

即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ??????

??? ?

??? ?= ??? ?

??? ???????L L M M M M M L ?111122121

211222

222

11222n n m m mn m

a a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=??+++=????+++=?L L L L L L √ 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○

行向量；

用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○

列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

√ 分块矩阵的转置矩阵：T

T

T T

T A B A C C D B

D ??

??= ? ?????

分块矩阵的逆矩阵：1

11A A B B ---????

=

? ????

? 1

11A B B

A

---?

?

??= ? ?????

1111A C A A CB O B O

B ----????= ? ????? 1111A O A O

C B B CA B ----????= ? ?

-????

分块对角阵相乘：11

112222,A B A B A B ????

==

? ????

??11112222A B AB A B ??= ??

?,1122n

n n A A A ??

= ???

分块对角阵的伴随矩阵：*

*

*A BA B AB ????=

? ????? *

(1)(1)mn mn A A B B

B A **?

?

-?

?= ? ?

?-????

√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)

A B E X ????→M

M 初等行变换

(I)的解法：构造()()

T T T T

A X

B X X

=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα???中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.

⑦ 向量组12,,,n ααα???线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示. 向量组12,,,n ααα???线性无关?向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα???线性相关()r A n ?<； m 维列向量组12,,,n ααα???线性无关()r A n ?=.

⑨ 若12,,,n ααα???线性无关，而12,,,,n αααβ???线性相关,则β可由12,,,n ααα???线性表示,且表示法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为

1，且这些非零元所在列的其他元素都是0? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

√ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； 对A 施行一次初等○

列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○

右乘A .

如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =

向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααL

A 经过有限次初等变换化为

B . 记作：A B =%

12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ???=???%

? 矩阵A 与B 等价?PAQ B =，,P Q 可逆?()(),,,r A r B A B A B =≠>为同型矩阵作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.

矩阵A 与B 作为向量组等价?1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ???=???=1212(,,,,,,)n n r αααβββ??????? 矩阵A 与B 等价.

? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示?AX B =有解?12(,,,)=n r ααα???1212(,,,,,,)n s r αααβββ???????12(,,,)s r βββ???≤12(,,,)n r ααα???. ? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且s n >，则12,,,s βββ???线性相关.

向量组12,,,s βββ???线性无关,且可由12,,,n ααα???线性表示,则s ≤n .

? 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且12(,,,)s r βββ???12(,,,)n r ααα=???,则两向量组等价；p 教材94,例10 ? 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.

? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 设A 是m n ?矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关；

若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα???线性无关. √ 矩阵的秩的性质：

①()A O r A ≠?若≥1 ()0A O r A =?=若 0≤()m n r A ?≤min(,)m n ②()()()T

T

r A r A r A A == p 教材101,例15

③()()r kA r A k =≠ 若0

④()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ??+≤?=??=?

若若0的列向量全部是的解

⑤()r AB ≤{}min (),()r A r B

⑥

()()()()

A r A

B r B B r AB r A ?=?=若可逆若可逆 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.

⑦若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O

A A

B A

C B C ο??=??

=??=???=?=??????=?=??

? 只有零解

在矩阵乘法中有左消去律；

若()()()n s r AB r B r B n B ?=?=??

? 在矩阵乘法中有右消去律.

⑧()r

r E O E O r A r A A O O O O ????

=?

? ?????

若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70 ⑩()()A O O A r r A r B O B B O ????==+ ? ????? ()()A C r r A r B O B ??

≠+ ???

121212,,,0,,,()(),,,A n n A n Ax A n Ax Ax r A r A Ax A n βαααβαααβββααα?=?????→=

当为方阵时有无穷多解0

表示法不唯一

线性相关有非零解

可由线性表示有解有唯一组解0克莱姆法则

表示法唯一 线127()(),,,()()()1()n Ax r A r A Ax r A r A r A r A οββαααβββ?

????

?

????=??

??≠?

?=?

M L M M 教材72

讲义8性无关只有零解

不可由线性表示无解 ○注

：Ax

Ax ββ?

=<≠?=<≠

有无穷多解其导出组有非零解

有唯一解

其导出组只有零解

Ax β=1122n n x x x αααβ+++=L

1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β??????

? ? ? ? ? ?=

== ?

? ?

? ? ???????L L M M M M M L 12,,2,,j j j mj j n αααα?? ? ?== ? ? ???

L M 1 1212(,,,)n n x x x αααβ?? ? ?= ? ???

L M

线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+??=??

=??++?

==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解

211212112212112212),(7),,,,1

00k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλλη

ληληλλλ?????

????

???

?=?-=?

=??++=?++=?

?++=?++=?L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则

也是的解 是的解

√ 设A 为m n ?矩阵,若()r A m =?()()r A r A β=M

?Ax β=一定有解， 当m n <时,一定不是唯一解?

<方程个数未知数的个数

向量维数向量个数

,则该向量组线性相关.

m 是()()r A r A βM

和的上限. √ 判断12,,,s ηηηL 是Ax ο=的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηηL 线性无关； ② 12,,,s ηηηL 都是Ax ο=的解；

③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.

√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.

√ 若η*

是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解?1,,,,s ξξξη*L 线性无关

√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）,则：

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 两个齐次线性线性方程组Ax ο=与Bx ο=同解?()()A r r A r B B ??

==

???

. √ 两个非齐次线性方程组Ax β=与Bx γ=都有解，并且同解?()()A r r A r B β??==M

.

√ 矩阵m n A ?与l n B ?的行向量组等价?齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解?PA B =（左乘可逆矩阵P ）；

101p 教材

矩阵m n A ?与l n B ?的列向量组等价?AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 关于公共解的三中处理办法：

① 把(I)与(II)联立起来求解；

② 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；

当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设123,,ηηη是(I)的基础解系, 45,ηη是(II)的基础解系，则 (I)与(II)有公共解?基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示.

即：1231231425(,,)(,,)r r c c ηηηηηηηη=+M

当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设11122c c ξηη++是(I)的通解，233c ξη+是(II)的通解，两方程组有公共解?2331c ξηξ+-可由12,ηη线性表示. 即：

12122331(,)(,)r r c ηηηηξηξ=+-M

③ 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而

求出公共解。

n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

1

(,)n

i i i a b αβ==

=

∑

(,)0αβ=. 记为：αβ⊥

21n

i i a α==

==∑

1α==. 即长度为1的向量.

√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=?=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=

③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+

1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==

E A λ-.

()E A λ?λ-=.

√ ()?λ是矩阵A 的特征多项式?()A O ?=

E A λ-=0. Ax x x Ax x λ=→ (为非零列向量) 与线性相关

√

12n A λλλ=L

1

n

i A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.

√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.

√ ()1r A =?A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ?? ? ? ? ???

L M 、2

1122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A 的特

征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 23n λλλ====L 0 p 指南358.

○注()12,,,T

n a a a L 为A 各行的公比，()12,,,n

b b b L 为A 各列的公比. √ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f A 是多项式,则:

① 若A 满足()f A O =?A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0

②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；12()()()()n f A f f f λλλ=L .

√ 初等矩阵的性质：