高二立体几何试题(详细规范标准答案)

高二数学立体几何

一、选择题： (本大题共12小题,每小题3分,共36分.) 1、已知),1,2,1(),1,1,0(-=-=则a 与b 的夹角等于 A ．90°

B ．30°

C ．60°

D ．150°

2、设M 、O 、A 、B 、C 是空间的点，则使M 、A 、B 、C 一定共面的等式是 A ．0=+++OC OB OA OM

B ．O

C OB OA OM --=2

C ．OC OB OA OM 4

13

12

1++= D ．0=++MC MB MA 3、下列命题不正确的是

A ．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；

B ．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直；

C ．两异面直线的公垂线有且只有一条；

D ．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。 4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为 ①

//m n n m αα??⊥?⊥?②//m m n n αα⊥???⊥?③//m m n n αα⊥??⊥??④//m n m n αα?

?⊥?⊥?

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是

A ．各侧面是正三角形

B ．底面是正方形

C ．各侧面三角形的顶角为45度

D ．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上

6、若点A （42

+λ，4－μ，1+2γ）关于y 轴的对称点是B （－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为

A ．1，－4，9

B ．2，－5，－8

C ．－3，－5，8

D ．2，5，8 7、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V 与面数F 满足的关系式是 A ．2F+V=4 B ．2F －V=4 C ．2F+V=2 （D ）2F －V=2 8、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是 A ．

239 B ．433 C ．233 D ．4

3

9 9、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AB ，BB 1的中点，A 1E 与C 1F 所成的角是θ，则 A ．θ=600 B ．θ=450 C ．52cos =

θ D ．5

2

sin =θ

10、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积

之比是

A ．2∶π

B ．1∶2π

C ．1∶π

D ．4∶3π

11、设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=?AC AB ，0=?AD AC ，0=?AD AB ，则△BCD 是

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．不确定

12、将B ∠=600,边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成二面角θ,若∈θ[60°,120°], 则折后

两条对角线之间的距离的最值为

A ．最小值为43, 最大值为23

B ．最小值为43, 最大值为43

C ．最小值为41, 最大值为43

D ．最小值为43, 最大值为23

二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分）

13、已知向量a r 、b 满足|a r | = 3

1，|b | = 6，a r 与b 的夹角为3

π

，则3|a r |－2（a r ·b ）+4|b | =________；

14、如图，在四棱锥P －ABCD 中，E 为CD 上的动点，四边形ABCD 为 时，体积V P

－AEB

恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．

A

B

C

D

E

P

15、若棱锥底面面积为2

150cm ，平行于底面的截面面积是2

54cm ，底面和这个截面的距离是12cm ，则棱锥的高为 ；

16、一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 ． 三、解答题：（本大题共6题，共46分）

17.在如图7-26所示的三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ， PA=AC=1，PC=BC ，PB 和平面ABC 所成的角为30°。

（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；

（2）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小； （3）求AB 的中点M 到直线PC 的距离。

18．如图8-32，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1。

（1）求证：BE=EB1；

（2）若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。

19.已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G（如图7-28），将此三角形沿DE折成二面角A′—DE—B。

（1）求证：平面A′GF⊥平面BCED；

（2）当二面角A′—DE—B为多大时，异面直线A′E与BD互相垂直？证明你的结论。20.如图7-29，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，

AD=2，侧棱PB=15，PD=3。

（1）求证：BD⊥平面PAD；

（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小。

21.如图7-30，已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N

位于△ABC 的高CD 上。AB=a,VC 与AB 之间的距离为h ，M ∈VC 。

（1）证明∠MDC 是二面角M —AB —C 的平面角； （2）当∠MDC=∠CVN 时，证明VC ⊥平面AMB ； （3）若∠MDC=∠CVN=θ（0<θ<

2

π

），求四面体MABC 的体积。

22.如图7-31，已知矩形ABCD ，AB=2AD=2a,E 是CD 边的中点，以AE 为棱，将△DAE 向上折起，将D 变到D ′的位置，使面D ′AE 与面ABCE 成直二面角（图7-32）。

（1）求直线D ′B 与平面ABCE 所成的角的正切值； （2）求证：AD ′⊥BE ；

（3）求四棱锥D ′—ABCE 的体积； （4）求异面直线AD ′与BC 所成的角。

高二数学立体几何 答案

一、选择题：

1、D

2、D

3、B

4、C

5、A

6、B

7、B

8、B

9、C 10、C 11、C 12、B 二、填空题：

13、23 14、AB ∥CD 15、30cm 16、3π 三、解答题

17.解 （1）由已知PA ⊥平面ABC ，PA=AC=1，得△PAC 为等腰直角三角形，PC=CB=2。

在Rt △PAB 中，∠PBA=30°，∴PB=2，∴△PCB 为等腰直角三角形。 ∵PA ⊥平面ABC ， ∴AC ⊥BC ，又AC ∩PC=C ，PC ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PAC ，∵BC 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC 。

（2）三个侧面及底面都是直角三角形，求得侧面PAC 的面积为

2

1

，侧面PAB 面积值为23，侧面

PCB 面积值为1，底面积值为

2

2。三个侧面面积的算术平均数为63

3+。

∵

633+-2

2=62

333-+，

其中3+3- 32=（3-22）+（3-2）=（9-8）+（3-2）>0, ∴三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值。 （3）如图，过M 作MD ⊥AC ，垂足为D 。

∵平面PAC ⊥平面ABC 且相交于AC ，∴MD ⊥平面PAC 。

过D 作DE ⊥PC ，垂足为E ，连结ME ，则DE 是ME 在平面PBC 上的射影， ∵DE ⊥PC ，∴ME ⊥PC ，ME 的长度即是M 到PC 的距离。 在Rt △ABC 中,∵MD ∥BC ，∴MD=

2

1

BC=22。在等腰Rt △PAC 中，DE=DCsin45°=42，

在Rt △ABC 中,∵MD ∥BC ，∴MD=

2

1BC=22。在等腰Rt △PAC 中，DE=DCsin45°=42，

∴ME=2

2DE MD +=

8121+=4

10，即点M 到PC 的距离为 4

10

。 18.解 （1）在截面A 1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足。∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1，取AC 的中点F ，连结BF ，FG ，由AB=BC 得BF ⊥AC 。∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，得BF ∥EG 。由BF ，EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG 。∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，

四边形BEGF 是平行四边形，BE=FG 。∵BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1。又△AA 1C ∽△FGC ，且AF=FC ，∴FG=

21AA 1=21BB 1，即BE=2

1

BB 1，故BE=EB 1。 （2）分别延长CE 、C 1B 1交于点D ，连结A 1D 。∵EB 1∥CC 1，EB 1=

21BB 1=2

1

CC 1，∴DB 1=21DC 1=B 1C 1=A 1B 1。∵∠B 1A 1C 1=∠B 1C 1A 1=60°，∠DA 1B 1=∠A 1DB 1=2

1(180°-∠

DB 1A 1)=30°，∴∠DA 1C 1=∠DA 1B 1+∠B 1A 1C 1=90°，即DA 1⊥A 1C 1。∵CC 1⊥平面A 1C 1B 1，即A 1C 1是A 1C 在平面A 1C 1D 上的射影，根据三垂线定理得DA 1⊥A 1C 1，∴∠CA 1C 1是所求二面角的平面角。∵CC 1= AA 1=A 1B 1=A 1C 1, ∠A 1C 1C=90°，∴∠CA 1C 1=45°，即所求二面角为45°。

19.解 （1）∵△ABC 是正三角形，AF 是BC 边的中线， ∴AF ⊥BC 。

又D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥

2

1

BC 。 ∴AF ⊥DE ，又AF ∩DE=G ， ∴A ′G ⊥DE ，GF ⊥DE ， ∴DE ⊥平面A ′FG ， 又DE 平面BCED ， ∴平面A ′FG ⊥平面BCED 。

（2）∵A ′G ⊥DE ，GF ⊥DE ，

∴∠A ′GF 是二面角A ′—DE —B 的平面角。 ∵平面A ′GF ∩平面BCED=AF ， 作A ′H ⊥AG 于H ， ∴A ′H ⊥平面BCED 。

假设A ′E ⊥BD ，连EH 并延长AD 于Q ，则EQ ⊥AD 。 ∵AG ⊥DE ，

∴H 是正三角形ADE 的重心，也是中心。 ∵AD=DE=AE=

2

a

，∴A ′G=AG=43a,HG=31AG=123a 。

在Rt △A ′HG 中，cos ∠A ′GH=

G A HG '=3

1. ∵∠A ′GF =π-∠A ′GH, ∴cos ∠A ′GF= -

31，∴∠A ′GF=arcos(-3

1)，

即当∠A ′GF=arcos(-

3

1

)时，A ′E ⊥BD 。 20.解 （1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°， 得BD 2=AD 2+AB 2-2AD ·ABcos60° =4+16-2×2×4×2

1

=12。 ∴AB 2=AD 2+BD 2，

∴△ABD 是直角三角形，∠ADB=90°， 即AD ⊥BD 。

在△PDB 中，PD=3，PB=15，BD=12， ∴PB 2=PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD 。 又PD ∩AD=D ，∴BD ⊥平面PAD 。 （2）∵BD ⊥平面PAD ，BD 平面ABCD ，

∴平面PAD ⊥平面ABCD 。

作PE ⊥AD 于E ，又PE 平面PAD ，∴PE ⊥平面ABCD ， ∴∠PDE 是PD 与底面BCD 所成的角，∴∠PDE=60°， ∴PE=PDsin60°=3·

23=2

3。 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BC ，∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角。 又EF=BD=12，∴在Rt △PEF 中，

tan ∠PFE=EF PE

=3223

=4

3。

故二面角P —BC —A 的大小为arctan

4

3。 21.解 （1）由已知，VN ⊥平面ABC ，N ∈CD ，AB 平面ABC ，

得VN ⊥AB 。又∵CD ⊥AB ，DC ∩VN=N ∴AB ⊥平面VNC 。

又V 、M 、N 、D 都在VNC 所在平面内，

所以，DM 与VN 必相交，且AB ⊥DM ，AB ⊥CD ，

∴∠MDC 为二面角M —AB —C 的平面角。 （2）由已知，∠MDC=∠CVN ，

在△VNC 与△DMC 中，∠NCV=∠MCD ，且∠VNC=90°， ∴∠DMC=∠VNC=90°，故有DM ⊥VC 。又AB ⊥VC ， ∴VC ⊥平面AMB 。

（3）由（1）、（2）得MD ⊥AB ，MD ⊥VC ，且D ∈AB ，M ∈VC ， ∴MD=h 。又∵∠MDC=θ. ∴在Rt △MDC 中，CM=h ·tan θ。 ∴V 四面体MABC =V 三棱锥C —ABM =3

1

CM ·S △ABM =

31h ·tan θ·21ah =6

1

ah 2tan θ 22.解 （1）∵D ′—AE —B 是直二面角， ∴平面D ′AE ⊥平面ABCE 。

作D ′O ⊥AE 于O ，连 OB ，则D ′O ⊥平面ABCE 。 ∴∠D ′BO 是直线D ′B 与平面ABCE 所成的角。 ∵D ′A=D ′E=a ，且D ′O ⊥AE 于O ，∠AD ′E=90° ∴O 是AE 的中点， AO=OE=D ′O=

2

2

a, ∠D ′AE=∠BAO=45°。 ∴在△OAB 中，OB=???-+AB cos45222OA AB OA

=2

22a)

)(22(2)·2()22(

22a a a ?-+=210a 。 ∴在直角△D ′OB 中，tan ∠D ′BO=OB

O

D '=55。 （2）如图，连结B

E ， ∵∠AED=∠BEC=45°， ∴∠BEA=90°， 即BE ⊥AE 于E 。 ∵D ′O ⊥平面ABCE ， ∴D ′O ⊥BE ， ∴BE ⊥平面AD ′E ，

∴BE ⊥AD ′。

（3）四边形ABCE 是直角梯形， ∴S ABCE =

21（a+2a ）·a=2

3

a 2。 ∵D ′O 是四棱锥的高且D ′O=

2

2

a, ∴V D ′—ABCE =

31（22a ）·（2

3a 2）=42a 3。

（4）作AK ∥BC 交CE 的延长线于K ， ∴∠D ′AK 是异面直线AD ′与BC 所成的角， ∵四边形ABCK 是矩形， ∴AK=BC=EK=a 。 连结OK ，D ′K, ∴OK=D ′O=

2

2

a, ∠D ′OK=90°, ∴D ′K=a, AK=AD ′=D ′K=a 。 ∴△D ′AK 是正三角形，∴∠D ′AK=60°， 即异面直线AD ′与BC 成60°