离散数学网上作业题讲解
东北农业大学网络教育学院
离散数学复习题
复习题一
一、证明
1、对任意两个集合B A 和，证明 ()()A B A B A =??-
2、构造下面命题推理的证明
如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。
二 、计算
1、(1)画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。 (2)画一个有一条欧拉回路但没有汉密顿回路的图 (3)画一个没有欧拉回路但有一条汉密顿回路的图
2、设()(){}212,，，个体域为为，整除为 ()()()()()x Q y x P y x →??,的真值。 3、一棵树有2n 个结点度数为2 ，3n 个结点度数为3，… ，k n 个结点度数为k ，问它有几个度数为1的结点。 4、设集合{ }A A ,4,3,2,1=上的关系 {} 4,3,3,2,1,22,1,1,1=R ，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。 三、设{}45,36,27,15,9,6,5,3,2,1=A 上的整除关系{} 212121,,,a a A a a a a R 整除∈=， R 是否为A 上的偏序关系？若是， 则：1、画出R 的哈斯图； 2、求{}{}{}9,2glb 9,2lub 9,2和最大下界的最小上界。 四、用推导法求公式()()R Q P →→的主析取范式和主合取范式。 五、设实数集2 R 上的关系{ } c b d a R d c b a d c b a +=+∈,,,,,,,2＝ρ， 证明：ρ是2R 上的等价关系。 六、设+ R R 和分别是实数集和正实数集，＋和×分别是普通加法和乘法，定义函数+ →R R f :为 r r f 2)(=，证明 ),(),(?++R R f 到是从的同构映射。 七、设R 是实数集合，}0{*-=R R ，在R R ?* 上定义二元运算 为：()()()d bc ac d c b a +=,,, ，试证 明>?< ,*R R 是一个群。>?< ,*R R 是否阿贝尔群？ 复习题二 一、设 上的整除关系 完成下列各小题。 1、 证明ρ是L 上的偏序关系。 2、 画出偏序集,L ρ<>的哈斯图。 3、 在L 上定义两个二元运算∧和∨：对任意,a b L ∈，(,)a b glb a b ∧=，(,)a b lub a b ∨=。请填空（在 横线上填是或不是）： ①代数系统,,L <∧∨> 格。 ②代数系统,,L <∧∨> 有界格。 ③代数系统,,L <∧∨> 有补格。 ④代数系统,,L <∧∨> 分配格。 二、求布尔函数的析取范式和合取范式 设 123122323 (,,)()()()E x x x x x x x x x =∧∨∧∨∧是布尔代数{0,1},,,<∨∧> 上的一个布尔表达式。试写出123(,,)E x x x 的析取范式和合取范式（用推导法或列函数表的方法均可）。 三、画出满足下列要求的图 ①有一条欧拉回路和一条汉密尔顿回路。 ②有一条欧拉回路但没有汉密尔顿回路。 ③没有欧拉回路但有汉密尔顿回路。 ④既没有欧拉回路也没有汉密尔顿回路。 四、证明在完全二叉树中，边的总数等于2(n-1)，这里n 是叶子数。 五、计算 求带权2、3、5、7、11、13的最优二叉树。 六、证明 在一个连通平面图中，若它有n 个结点，m 条边，且每个面由k 条边围成。 试证 (2) 2 k n m k -= - 七、证明 设V 是有限字母表，给定代数系统*,V <> ，其中 是串的连接运算。对于任一串*V α∈，建立* V 到 {}1,2,3,4,12L ={} 121212 ,,,a a a a L a a ρ=∈整除 N 的映射f ，()||f αα=。证明f 是*,V <> 到,N <+>的一个满同态，且当||1V =时，f 是同构映射。 八、应用 给定有限状态机(,,,,,)s M Q S R f h A =，它的状态图如附图所示。 1、 求状态A 的011010的后继以及可接受状态序列。 2、 求s M 对于激励010110的响应。 3、构造一台与s M 相似的转换赋值机t M ，画出t M 的状态图。 九、证明 考察一个（8，4）码C ，它的校验位a 5，a 6，a 7，a 8满足下列方程 a 5=a 1+ a 2+ a 4 a 6=a 1+ a 3+ a 4 a 7=a 1+ a 2+ a 3 a 8=a 2+ a 3+ a 4 其中a 1，a 2，a 3，a 4为信息位。 求出这个码的一致校验矩阵。证明 min x C x ∈≠()4W X =。 复习题三 一、设集合 完成下列各小题。 1求S 的幂集()P S 。 2证明(),P S 是偏序集。 3画出偏序集(),P S 的哈斯图。 4在()P S 上定义两个二元运算∧和∨：对任意,()A B P S ∈，A B A B ∧=?，A B A B ∨=? 。请填空 {},,S a b c = （在横线上填是或不是并回答为什么）： ①代数系统(),P S 格，因为 。 ②代数系统(),P S 有界格，因为 。 ③代数系统(),P S 有补格，因为 。 ④代数系统(),P S 分配格，因为 。 ⑤代数系统(),,,~P S 布尔代数，因为 。 二、计算 设 123122323 (,,)()()()E x x x x x x x x x =∧∨∧∨∧是布尔代数{0,1},,,<∨∧> 上的一个布尔表达式。试写出123(,,)E x x x 的析取范式和合取范式（用列函数表的方法）。 三、回答问题 完全图n K 是否是欧拉图？是否是哈密尔顿图？为什么？ 四、画图 对于下图，利用克鲁斯克尔算法求一棵最小生成树。 五、计算 一棵树有两个结点度数为2 ，1个结点度数为3，3个结点度数为4 ，其余结点度数为1。问该树有几个度数为1的结点。 六、证明 (,)G V E =图是无向简单图，其中||||V n E m ==， ，证明：2 ) 1(-≤n n m 。 证明 因为G 是简单图，所以图G 中没有环和平行边，任意两结点间最多有一条边，故2 (1) 2 n n n m C -≤=。 七、证明 已知 (,,,),{,,},{,,},:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)N T N T G V V P V B C V a b c P a BC aBC CB BC aB ab bB bb bC bc cC cc σσσσσ===→→→→→→→ 求证 * n n n a b c σ? 八、设计 设计一台有限状态机M ，它的输出是已经输入符号数的模3数（即设计模3计数器）。 九、计算 给定码C={00000,10001,01100,10101}，求码C 中任两个码字的海明距和min ()d C 。 复习题四 一、填空 1、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有 个入射，当m=n 时，有 个双射。 2、集合2{|}A n n N =∈ （是/不是）可数的。 二、计算 1、用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式：(())P Q R ?∨→ 2设A A },4,3,2,1{=上二元关系{1,2,2,2,2,4,3,4}R =<><><><>，求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。 三、证明 1、设C B A ,,是三个集合，证明：()()A B C A C B ?-=-? 2证明等价式：()(()())()()()()x A x B x x A x x B x ?→??→? 四、将下列命题推理符号化并给出形式证明： 已知张三或李四的彩票中奖了；如果张三的彩票中奖了，那么你是知道的；如果李四的彩票中奖了，那么王五的彩票也中奖了；现在你不知道张三的彩票中奖。所以李四和王五的彩票都中奖了。 五、设复数集合{|,,0}C a bi a b R a =+∈≠，定义C R 上二元关系：,a bi c di R <++>∈当且仅当 0ac >，证明：R 为等价关系。 六、证明：若A B C D A B C D ?? 和，则。 七、设集合{23|,}m n G m n I =∈，?是普通乘法，证明：,G 是一个群。 八、设实数集合R ，+和x 是普通加法和乘法，定义映射:f R R →，,()x x R f x e ?∈=，证明 ,,f R R <+>是从到的单一同态。 复习题五 一、填空 1、实数集合R （是/不是）可数的。 2、设A 和B 为有限集，|A|=m ，|B|=n ，则有 个从A 到B 的关系，有 个从A 到B 的函数，其中当m ≤n 时有 个入射，当m=n 时，有 个双射。 二、计算 1、用推导法求下列公式的主合取范式和主析取范式：(())P Q R ?∨→ 2设A A },4,3,2,1{=上二元关系{1,1,2,3,2,4,3,2,3,4}R =<><><><><>，求其自反闭包、对称闭包、传递闭包。 三、证明 1、设C B A ,,是三个集合，证明：()()A B C A C B --=-- 2证明等价式：()(()())()()()()x A x B x x A x x B x ?→??→? 四、将下列命题推理符号化并给出形式证明： 已知今天下雨或刮风；如果今天下雨，那么我在家看书；如果今天刮风，那么我去放风筝；今天我没有在家看书。所以今天刮风并且我去放风筝了。 五、设正整数集合I +上的二元关系{,|,,}2 x y R x y x y I I +-=<>∈∈，证明：R 为等价关系。 六、证明：若A B C D A B C D ?? 和，则。 七、设集合{5|}n G n I =∈，?是普通乘法，证明：,G 是一个群。 八、设正实数集合R +和实数集合R ，+和x 是普通加法和乘法，定义映射:f R R +→， ,()ln x R f x x +?∈=，证明,,f R R +<+>是从到的同构。 复习题六 一、 求公式q ∧(p ∨┐q)的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式。 二、用推理规则证明： 前提 (?x)(F(x)∧S(x))→(?y)(M(y) →W(y))，(?y)(M(y)∧┐W(y)) 结论 (?x)(F(x)→┐S(x)) 三、计算题 1.证明逻辑等价式A →(A →B)?A →B 成立。 2.对任意集合A ，B ，C ，证明：（A - B ）⊕ B = A ? B 3.设二元关系R={<{a},b>, (1) dom R (2) ran R (3) R οR 4.求集合A={ 5. 在20名青年中有10名是公司职员，12名是学生，其中5名既是职员又是学生，问有几名既不是职员，又不是学生。 四、假设给定了正整数的序偶集合A ，在A 上定义二元关系R 如下：< 五、给出偏序集 （1）求偏序集 （2）指出A 的最大、最小元（如果有的话），极大、极小元。 六、设 x оy = y *x 。 证明 七、设 证明：f 是 复习题七 一、证明 1、对任意两个集合B A 和，证明 ()()A B A B A =??- 2、构造下面命题推理的证明 如果我学习，那么我数学不会不及格；如果我不热衷于玩游戏机，那么我将学习；但我数学不及格，因此我热衷与玩游戏机。 二 、计算 1、 画一个有一条欧拉回路和一条汉密顿回路的图。 2、设()(){}212,，，个体域为 为，整除为 3一棵树有2n 个结点度数为2 ，3n 个结点度数为3，… ，k n 个结点度数为k ，问它有几个度数为1的结点。 4设集合{}A d c b a A ,,,,=上的关系 {d c c b a b a R ,,,,,=，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。 三、设{}15,9,5,3=A 上的整除关系{} 212121,,,a a A a a a a R 整除∈=， R 是否为A 上的偏序关系？若是，则： 1、画出R 的哈斯图； 2、求A 的极大值和A 的极小值。 四、用推导法求公式()()R Q P →→的主析取范式和主合取范式。 五、设自然数集N 上的关系R 定义为：{} I m n n N n n n n R m ∈=∈=,2/,,,212121， 证明：R 是N 上的等价关系。 六、设+ R R 和分别是实数集和正实数集，＋和×分别是普通加法和乘法，定义函数+→R R f :为 r r f 10)(=，证明 ),(),(?++R R f 到是从的同构映射。 七、设I 是整数集合，＋是普通加法，试证明>+<,I 是一个群。>+<,I 是否循环群？ 复习题八 一、 求公式(┐p ∨┐q)→(p ?┐q)的析取范式、合取范式及主析取范式、主合取范式。 二、用推理规则证明： 前提 (?x)P(x)→(?x)((P(x)∨Q(x))→R(x))，(?x)P(x)，(?x)Q(x) 结论 (?x)(?y)(R(x)∧R(y)) 三、计算题 1.证明逻辑等价式A ?B ? (A ∧B)∨(┐A ∧┐B)成立。 2.设A ?B ，求证A ∩C ?B ∩C 。 3.设集合A={a ，b ，c ，d}，A 上的关系R={ 4.求下列集合的基数。 （1）T={x|x 是单词“BASEBALL ”中的字母} （2）B={x|x ∈R ∧x 2 =9∧2x=8} （3）C=)(A ?，A={1,3,7,11} 5. 求从1到500的整数中，能被3或5除尽的数的个数。 四、设R ，S 为A 上的两个等价关系，且R ? S 。定义A/R 上的关系R/S ： <[x],[y]>∈R/S 当且仅当 五、设{}45,36,27,15,9,6,5,3,2,1=A 上的整除关系 {} 212121,,,a a A a a a a R 整除∈=， R 是否为A 上的偏序关系？若是， 则：1、画出R 的哈斯图； 2、 求{}{}{}9,2glb 9,2lub 9,2和最大下界的最小上界。 六、设 （1）若对任意a ∈G 有a 2 =e ，e 为幺元，则G 为阿贝尔群。 （2）若对任意a ，b ∈G 有(a *b)2 =a 2 *b 2 ，则G 为阿贝尔群。 七、设N 4 =｛0，1，2, 3｝，f ：N 4→N 4定义如下： ?? ?=+≠++=410411 )(x x x x f 当当 令F = {f 0,f 1,f 2,f 3}，其中f 0为N 4上恒等函数。给定一代数结构 i f f f 4+= （这里ο为函数 合成运算，+4为模4加运算）。 试证 复习题九 一．单项选择题 1．命题公式为()P P Q 禺?（ ）。 A ．重言式 B ．可满足式 C ．矛盾式 D ．等值式 2．设集合A = {1，a }，则P (A ) =（ ）。 A ．{{1}，{a }} B ．{f ，{1}，{a }} C ．{f ，{1}，{a }，{1，a }} D ．{{1}，{a }，{1，a }} 3．下列命题中正确的结论是：（ ） A ．集合上A 的关系如果不是自反的，就一定是反自反的； B ．若关系S R ,都是反自反的，那么S R 必也为反自反的； C ．若关系S R ,都是自反的，那么S R 必也为自反的； D ．每一个全序集必为良序集. 4．下列结论中不正确的结论是：（ ） A ．三个命题变元的布尔小项R Q P ?∧∧?的编码是010m ； B ．三个命题变元的布尔大项P Q R 刳 谪的编码是101M ； C ．任意两个不同的布尔小项的合取式必为永假式； D ．任意两个不同的布尔大项的合取式必为永假式. 5．设集合A 和二元运算*，可交换的代数运算是（ ）。 A ．设b a b a A b a y x P A =*∈?=,,}),,({ B ．设||,,},5,4,3,2,1,1{b b a A b a A =*∈?--= C ．设)(R M A n =，运算*是矩阵的乘法 D ．设b a b a A b a Z A 2,,,+=*∈?= 6．以下命题中不正确的结论是（ ） A ．素数阶群必为循环群； B ．Abel 群必为循环群； C ．循环群必为Abel 群 D ．4阶群必为Abel 群. 7．设代数系统),(1?K 和),(2 K ，存在映射21:K K f →，如果1,K b a ∈?，都有（ ），称K 1与K 2 同态。 A ．)()()(b f a f b a f ?= B ．)()()(b f a f b a f =? C ．)()()(b f a f b a f = D ．)()()(b f a f b a f ?=? 8．图G 有21条边，3个4度结点，其余均为3度结点，则G 有（ ）个结点。 A ． 13 B ． 15 C ． 17 D ． 19 9．以下命题中正确的结论是（ ） A ．2n k =时，完全图n K 必为欧拉图 B ．如果一个连通图的奇结点的个数大于2，那么它可能是一个Euler 图； C ．一棵树必是连通图，且其中没有回路； D ．图的邻接矩阵必为对称阵. 10．若连通图>= A ．1-+m n B ．1+-m n C ．1+-n m D ．1--n m 二．填空题 11．公式()P Q R ∧∨?的对偶式为 。 12．子集公理的逻辑表达式为 。 13．设集合A = {a ,b ,c ,d }，A 上的二元关系R = {,, Ran(R ) = 。 14．设集合B = {a ,b ,c }上的二元关系R 的关系矩阵???? ? ??=000100011R M ，则R 具有的性质是 ，且它的对称闭包()S R ＝ 。 15．设集合A = {a ,b }，B = {1,2}，则从A 到B 的所有函数是 ，其中双射的函数 。 16．完全图n K 是平面图的充要条件是n ≤ 17．在布尔代数中，有b a b a a +=?+)(成立，则其对偶式 成立。 18．已知下图，它的点连通度)(G κ为 ，边连通度)(G λ为 。 19．给定平面图G ，如下图所示，则G 的面数为 ，G 中面的总次数为 。 20．若二部图,m n K 为完全二部图，则其边数为 三．计算题(一) 21．符号化下述两个语句，并说明其区别： （1）如果天不下雨，我们就去旅游；（2）只有不下雨，我们才去旅游。 22．将下命题化为主析取范式和主合取范式： )())((r q p r q p ∧∧→∧∨. 23．设{0,1,1,0,0,2,2,0}R =<><><><>，求：⑴ R R *；⑵ 1R R -*； ⑶ {,{}}R f f -；⑷ [{,{}}]R f f 24．设集合Ａ＝｛１，２，３，４｝，Ａ上的二元关系Ｒ，其中Ｒ＝｛<1,1>,<1,4>,<2,2>, <2,3>,<3,2>,<3,3>,<4,1>,<4,4>｝，说明Ｒ是否Ａ上的等价关系。 25．分别画下图中的强分图、单向分图。 26．设代数系统),(*Z ,其中Z 是整数集，二元运算定义为2,,-+=*∈?b a b a Z b a 。Z a ∈?,求a 的逆元. 三．计算题(二) 27．设)1,0, ,,,(?+B 是布尔代数，B c b a ∈?,,，化简()a a b c a b ++g g 。 28．求下图D 的邻接矩阵()A D ，并算出其可达矩阵()P D 四．证明题 29．试证明：()(()()),()()x P x Q x x P x "??┣ ()()x Q x $ 30．给定正整数m ，令{|}G km k Z =?，证明：(,)G +是一个群，其中+是数的普通加法。 复习题十 一．单项选择题 1．下列哪个语句是真命题（ ）。 A ．我正在说谎 B ．如果1+2 = 3，则雪是黑色的 C ．如果1+2 = 5，则雪是黑色的 D ．上网了吗 2．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是教师，A(x ，y)：x 佩服y ，命题“所有演员都佩服某些 教师”可符号化为（ ）。 A ．),()(y x A x xL →? B ．))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? C ．)),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? D ．)),()()((y x A y J x L y x →∧?? 3．设A ，B ，C 为任意三个集合，下列命题正确的是（ ）。 A ．若C A B A =，则 C B = B ．若C A B A =，则C B = C ．若E B A = ~且B A ?，则B A = D ．若φ=-B A ，则B A = 4．设集合A = {a ，b}上的二元关系R = { 6．设G 是6阶循环群，a 是生成元。则下列集合能构成G 的子群的是（ ）。 A ．},{a e B ．},{2a e C ．},{3a e D ．},{4a e 7．设代数系统),(1?K 和),(2 K ，存在映射21:K K f →，如果1,K b a ∈?，都有（ ），称K 1与K 2 同态。 A ．)()()(b f a f b a f ?= B ．)()()(b f a f b a f =? C ．)()()(b f a f b a f = D ．)()()(b f a f b a f ?=? 8．图G 有21条边，3个4度结点，其余均为3度结点，则G 有（ ）个结点。 A ． 13 B ． 15 C ． 17 D ． 19 9．若连通图>= A ．1-+m n B ．1+-m n C ．1+-n m D ．1--n m 10．如下图所示各图，其中存在哈密顿回路的图是（ ）。 A B C D 二．填空题 11．任意两个不同极小项的合取为 式，全体极小项的析取式必为 式。 12．命题“任意实数总能比较大小”可符号化为 。 13．由集合运算的吸收律，=B B A )( ，=)(B A A 。 14．设集合A = {a ,b ,c ,d }，A 上的二元关系R = {,,}，S = {,,, 15．设集合A = {a ,b ,c ,d }，A 上的二元关系R = {,, Ran(R ) = 。 16．设集合B = {a ,b ,c }上的二元关系R 的关系矩阵??? ? ? ??=000100011R M ，则R 具有的性质是 17．在布尔代数中，有b a b a a +=?+)(成立，则其对偶式 成立。 18．已知下图，它的点连通度)(G κ为 ，边连通度)(G λ为 。 19．给定平面图G ，如下图所示，则G 的面数为 ，G 中面的总次数为 。 20．二部图G 中所有基本圈的长度为 （奇数或偶数） 三．计算题 21．符号化下述两个语句，并说明其区别： （1）如果天不下雨，我们就去郊游；（2）只有不下雨，我们才去郊游。 22．试求命题公式R Q P ∨∧的主析取范式和主合取范式。 23．设{0,1,0,2,0,3,1,3,2,3}R =<><><><><>，求：⑴ R R *；⑵ 1 R R -*； ⑶ 1{1}R -↑；⑷ 1[{1}]R - 24．设集合A = {a ，b }，B = {1，2，3}，C = {3，4}，求)(C B A ?，)()(C A B A ?? ，并验证 )()()(C A B A C B A ??=? 。 25．设集合 A = {0,1,2,3,4,5}上的二元关系 R = {<0,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>, <2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>,<4,4>,<4,5>,<5,4>,<5,5>}，试说明R 在A 上是等价关系。 26．设Z +是正整数集，+∈?Z b a ,，),(lcm b a b a = （即b a ,的最小公倍数）。试问),( +Z 是半群，是含单位元的半群吗？ 三．计算题（二） 27．设)1,0, ,,,(?+B 是布尔代数，,,a b c B "?，化简 a b c a b c b c a b c a b c ++++g g g g g g g g g 。 28．求图D 的邻接矩阵)(D A ，计算)(3D A ，并找出1v 到4v 长度为2，3的所有通路。 四证明题 29．试证明：()()((()())xA x xB x x A x B x "??? 30．在整数集合Z 上定义如下的乘法运算“ ”：2a b a b =+-o ，那么,Z <>o 构成一个什么样的 代数结构？试证明你的结论。 离散数学试题库——填空题 （每空2分） 1 命题: ? ? {{a }} ? {{a },3,4,1} 的真值 = __ __ . 2. 设A= {a,b}, B = {x | x 2－(a+b) x+ab = 0}, 则两个集合的关系为: __ __. 3. 设集合A ＝{a ,b ,c },B ={a ,b }, 那么 P(B )－P(A )=__ __ . 4. 无孤立点的有限有向图有欧拉路的充分必要条件为: 5.公式))(),(()),()((x S z y R z y x Q x P x →?∨→?的自由变元是 , 约束变元是 . 6.)))()()(()),()(()((x R z Q z y x P y x →?→???的前束范式是 . 7．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+ x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶 数） 则 =?B A 。 8．A ，B ，C 。 9．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 10．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 11．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 12．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 13．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为 则 R= 。 14．图的补图为。15．设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下： 那么代数系统 离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作， 离散数学复习注意事项： 1、第一遍复习一定要认真按考试大纲要求将本学期所学习内容系统复习一遍。 2、第二遍复习按照考试大纲的要求对第一遍复习进行总结。把大纲中指定的例题及书后习题认真做一做。检验一下主要内容的掌握情况。 3、第三遍复习把随后发去的练习题认真做一做，检验一下第一遍与第二遍复习情况，要认真理解,注意做题思路与方法。 离散数学综合练习题 一、选择题 1．下列句子中，（）是命题。 A．2是常数。B．这朵花多好看呀！ C．请把门关上！D．下午有会吗？ 2．令p: 今天下雪了，q:路滑，r:他迟到了。则命题“下雪路滑，他迟到了” 可符号化为（）。 A. p q r ∨→ ∧→ B. p q r C. p q r ∨? ∧∧ D. p q r 3．令:p今天下雪了，:q路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不滑”可符号化为（）。 A.p q ∧ ∧? B.p q C.p q →? ∨? D. p q 4．设() Q x:x会飞，命题“有的鸟不会飞”可符号化为（）。 P x:x是鸟，() A. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ B. ()(() x P x C. ()(()()) Q x ??∧()) x P x Q x ??→ D. ()(() x P x 5.设() L x y：x大于等于y；命题“所有整数 f x:x的绝对值，(,) P x:x是整数，() 的绝对值大于等于0”可符号化为（）。 A. (()((),0)) ?→ x P x L f x ?∧B. (()((),0)) x P x L f x C. ()((),0) ?→ xP x L f x ?∧ D. ()((),0) xP x L f x 6.设() F x:x是人，() G x:x犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）。 A．(()()) ??→? x F x G x ?∧B．(()()) x F x G x C．(()()) ??∧? x F x G x ??∧D．(()()) x F x G x 7.下列命题公式不是永真式的是（）。 A. () p q p →→ →→ B. () p q p C. () →∨ p q p p q p ?∨→ D. () 8．设() R x:x为有理数；() Q x:x为实数。命题“任何有理数都是实数”的符号化为（） 一、请给出一个集合A，并给出A上既具有对称性，又具有反对称性的关系。（10分）解：A={1,2} R={（1,1），（2,2）} 二、请给出一个集合A，并给出A上既不具有对称性，又不具有反对称性的关系。（10分）集合A={1,2,3} A上关系{<1,2>,<2,1>,<1,3>}，既不具有对称性，又不具有反对称性 三、设A={1，2}，请给出A上的所有关系。（10分） 答：A上的所有关系: 空关系，{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} {<1,1>} {<1,2>} {<2,1>} {<2,2>} {<1,1>,<1,2>} {<1,1>,<2,1>} {<1,1>,<2,2>} {<1,2>,<2,1>} {<1,2>,<2,2>} {<2,1>,<2,2>} {<1,1>,<1,2>,<2,1>} {<1,1>,<1,2>,<2,2>} {<1,2>,<2,1>,<2,2>} {<1,1>,<2,1>,<2,2>} 四、设A={1，2，3}，问A 上一共有多少个不同的关系。（10分） 设A={1，2，3}，A 上一共有2^(3^2)=2^9=512个不同的关系。 五、证明： 命题公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。（10分） 证明：设公式G 的合取范式为：G ’=G1∧G2∧…∧Gn 若公式G 恒真，则G ’恒真，即子句Gi ；i=1,2,…n 恒真 为其充要条件。 Gi 恒真则其必然有一个原子和它的否定同时出现在Gi 中，也就是说无论一个解释I 使这个原子为1或0 ，Gi 都取1值。 若不然，假设Gi 恒真，但每个原子和其否定都不同时出现在Gi 中。则可以给定一个解释I ，使带否定号的原子为1，不带否定号的原子为0，那么Gi 在解释I 下的取值为0。这与Gi 恒真矛盾。 因此，公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。 六、若G=(P ，L)是有限图，设P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。证明：n ≤2m C ，其中2m C 表 示m 中取2的组合数。（10分） 证明：如果G=(P,L)为完全图，即对于任意的两点u 、v （u ≠v ）,都有一条边uv ，则此时对于元数为m 的P(G)，L(G)的元数取值最大为C m 2。因此，若G=(P,L)为一有限图，设P(G)的元数为m ，则有L(G) 离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则 常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={ 1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设 数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。 9.给定算式: {[(a ＋b)＊c]＊(d ＋e)}＋[f －(g ＊h)] 此算式的波兰符号表示式为( ), 逆波兰符号表示式为( ). A 、＋＊＊a ＋bc ＋def －g ＊h B 、＋＊＊＋abc ＋de －f ＊gh C 、＊－＊＋abc ＋de －fgh ＋ D 、ab ＋c ＊de ＋＊fgh ＊－＋ 10．设R,Z,N 分别为实数,整数和自然数集，函数f ：R →R ，f(x)＝x ，f 是（ ）; g: Z →N, g(x)＝|x|, g 是( ); h: N →N ×N. h(n)＝﹤n,n ＋1﹥,h({5})＝( ) A ．满射函数 B ．单射函数 C ．双射函数 D ．非单射非满射 E. 满射非单射 F.单射非满射 G ,<5,6> H,{<5,6>} J,以上答案都不对. 11. 75个学生去书店买语文,数学,英语书,每种书每个学生至多买1本.已知20个学生每人 买3本书,55个学生每人至少买2本书.每本书的价格都是1元,所有学生总共花费 140元,恰好买2本书的有( )多少个学生.至少买2本书的学生花费( )元.买 1本书的有( )个学生.至少买1本书的有( )个学生.没买书的有( )个学生. A.55 B.40 C.35 D.15 E.30 F.130 G.65 H.140 J.60 K.10 12. 为每个逻辑断言选择正确的解释。T(x)：x 今天来上课，S(x)：x 学计算机专业的学生， P(x)：x 编程序，G(x)：x 玩游戏。个体域是殷都大学。 ?x T(x)表示（ ），??x T(x)表示（ ），?x ? T(x)表示（ ），?x(S(x)→P(x))表示（ ），?x(S(x)∧G(x))表示（ ），?x(S(x)∧P(x))表示（ ），?x(S(x)→G(x))表示（ ）。 A 学计算机专业的学生会编程序， B 殷都大学的学生都是计算机专业且会编程序。 C 有些计算机专业的学生玩游戏， D 所有同学今天都来上课了， E 今天有同学没来上课。 F 计算机专业的学生玩游戏， G 今天没有同学来上课。 二、计算与应用题（共40分） 1. S={ 1，2，…，10 }，定义S 上的关系R={ 华南理工大学网络教育学院 2014–2015学年度第一学期 《离散数学》作业 （解答必须手写体上传，否则酌情扣分） 1．设命题公式为?Q∧（P→Q）→?P。 （1）求此命题公式的真值表； （2）求此命题公式的析取范式； （3）判断该命题公式的类型。 解：（1）真值表如下： P Q ?Q P →Q ?Q∧（P→Q）?P ?Q∧（P→Q）→?P 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 （2）?Q∧（P→Q）→?P??(?Q∧(?P∨ Q)) ∨? P ?( Q∨? (?P∨ Q)) ∨? P ?? ( ?P∨ Q) ∨ (Q∨?P) ?1（析取范式） ?(?P∧? Q) ∨ (?P∧ Q) ∨ (P∧? Q) ∨（P∧ Q）（主析取范式） （3）该公式为重言式 2．用直接证法证明 前提：P∨Q，P→R，Q→S 结论：S∨R 解：（1）?S P (2)Q →S P (3) ? Q (1)(2) (4)P∨ Q P (5)P (3)(4) (6) P → R P (7)R (5)(6) (8)?S→ R （1）（7） 即SVR得证 3．在一阶逻辑中构造下面推理的证明 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行。 令F(x)：x喜欢步行。G(x)：x喜欢坐汽车。H(x)：x喜欢骑自行车。 解：前题：?x (F (x) →?G(x)), ?x (G (x) ∨H (x)) ? x ?H (x) 结论:? x ?F (x) 证：（1）? x ?F (x) p (2) ?H (x) ES(1) (3) ?x (G (x) ∨H (x))P (4)G(c) vH(c)US(3) (5)G(c) T(2,4)I (6)?x (F (x) →?G(x)), p (7)F (c) →?G(c) US(6) (8) ?F (c) T(5,7)I (9)( ? x) ?F (x) EG(8) 4．用直接证法证明： 前提：（?x）（C（x）→W（x）∧R（x）），（?x）（C（x）∧Q（x）） 结论：（?x）（Q（x）∧R（x））。 证： （1）（?x）（C（x）∧Q（x））P (2) C (c) ∧Q（c）ES(1) (3)（?x）（C（x）→W（x）∧R（x））P 离散数学作业答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 离散数学集合论部分形成性考核书面作 业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数 理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题 目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识 点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地 完成集合论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答 过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界 面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)- A B P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，A? B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} ． 4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} ∈ y x∈ y < > = {B , , x , 2 y A x 那么R－1＝{<6,3>,<8,4>} 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={ 《离散数学》练习题和参考答案 一、选择或填空（数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)→B(y，x))∧?z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是 （4）是，T （5）不是（6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q→ ?（2）Q P? →（3）Q P? ?（4）Q P→ ? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( ) (3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（） (1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)--(3)均有可能答：（2） 13、公式(?P∧Q)∨(?P∧?Q)化简为（），公式 Q→(P∨(P∧Q))可化简为（）。答：?P ，Q→P 14、谓词公式?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x)中量词?x的辖域是（）。答：P(x)∨?yR(y) 15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P 离散数学作业题 第2章集合、关系与映射 1.A?B，A∈B能否同时成立，说明原因 求集合A＝{a，{a}}的幂集 2.证明：若B?C，则P(B)? P(C) 3.如果A∪B=A∪C，是否有B=C？ 如果A⊕B=A⊕C，是否有B=C？ 4.试求1到10000之间不能被4，5或6整除的整数个数. 5.列出所有从A={a,b,c}到B={s}的关系，并指出集合A上的恒等关系和从A到B的全 域关系. 6.给出A上的关系及其关系图和矩阵表示.{ 2011-2012学年第一学期离散数学作业及参考答案---信息安全10级5-1 1.利用素因子分解法求2545与360的最大公约数。 解：掌握两点：(1) 如何进行素因子分解 从最小素数2的素数去除n。 (2) 求最大公约数的方法 gcd(a,b) = p1min(a1,b1)p2min(a2,b2)pn min(an,bn) 360=2332515090 2545=2030515091 gcd(2545,360) =2030515090=5 2.求487与468的最小公倍数。 解：掌握两点：(1) 如何进行素因子分解 从最小素数2的素数去除n。 (2) 求最小公倍数的方法 lcm(a,b) = p1max(a1,b1)p2max(a2,b2)pn max(an,bn) ab=gcd(a, b)﹡lcm (a, b) 487是质数，因此gcd(487,468)=1 lcm(487,468)= (487*468)/1=487*468=227916 3.设n是正整数，证明：6|n(n+1)(2n+1) 证明：用数学归纳法： 归纳基础：当n=1时，n(n+1)(2n+1)=1*2*3=6，6|6 归纳假设：假设当n=m时，6|m(m+1)(2m+1) 归纳推导：当n=m+1时， n(n+1)(2n+1)=(m+1)(m+1+1)[2(m+1)+1] =(m+1)(m+2)(2m+3) = m(m+1)(2m+3)+2(m+1)(2m+3) = m(m+1)(2m+1+2)+2(m+1)(2m+3) = m(m+1)(2m+1)+2 m(m+1)+ 2(m+1)(2m+3) = m(m+1)(2m+1)+ 2(m+1)(m+2m+3) = m(m+1)(2m+1)+ 2(m+1)(3m+3) = m(m+1)(2m+1)+ 6(m+1)2 因为由假设6|m(m+1)(2m+1)成立。 而6|6(m+1)2 所以6|m(m+1)(2m+1)+ 6(m+1)2 故当n=m+1时，命题亦成立。 所以6| n(n + 1)(2n + 1) 5-2 1 已知 6x ≡7 (mod 23),下列式子成立的是( D ): A. x ≡7 (mod 23) B. x ≡8 (mod 23) C. x ≡6 (mod 23) D. x ≡5 (mod 23) 2 如果a ≡b (mod m) , c是任意整数，则（A ）： 离散数学 1.在自然推理系统P 中构造下面推理的证明： 前提：,,p q r q r s ?∨∨?→ 结论：p s →. 3设一阶逻辑公式 ((,)(()()))G x yP x y zQ z R x =???→?→ 试将G 化成与其等价的前束范式。 4.判断下面推理是否正确，并证明你的结论。 如果小王今天家里有事，则他不会来开会。 如果小张今天看到小王，则小王今天来开会了。 小张今天看到小王。所以小王今天家里没事。 5、构造下面推理的证明 前提： ))()(()),()()((x R x F x x H x G x F x ∧?∧→? 结论: ))()()((x G x R x F x ∧∧? 6用等值演算法和真值表法判断公式)())()((Q P P Q Q P A ??→∧→=的类型。 7分别用真值表法和公式法求(P →(Q ∨R ))∧(?P ∨(Q ?R ))的主析取范式 ，并写出其相应的成真赋值和成假赋值。 8用逻辑推理证明： 所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。 9、设A ＝{?，1，{1}}，B ＝{0，{0}}，求P (A )、P (B )－{0}、P (B )⊕B 。 10、设X ＝{1，2，3，4}，R 是X 上的二元关系，R ＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>} (1)画出R 的关系图。 (2)写出R 的关系矩阵。 (3)说明R 是否是自反、反自反、对称、传递的。 11、集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={< 试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P ：你努力，Q ：你失败。 2、 “除非你努力，否则你将失败”符号化为 ； “虽然你努力了，但还是失败了”符号化为 。 2、论域D={1，2}，指定谓词P 则公式x ??真值为 。 3设A={2，3，4，5，6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则 R= （列举法）。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称的又不是反对称的关系 R= ；A 上既是对称的又是反对称的关系R= 。 5、设代数系统，其中A={a ，b ，c}, 则幺元是 ；是否有幂等 性 ；是否有对称性 。 6、4阶群必是 群或 群。 7、下面偏序格是分配格的是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ，欧拉图的充要条件是 。 二、选择 1、在下述公式中是重言式为（ ） A ．)()(Q P Q P ∨→∧； B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→??； C ．Q Q P ∧→?)(； D ．)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为（ ），成真赋值的个数为（ ）。 A ．0； B ．1； C ．2； D ．3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则 S 2 有（ ）个元素。 A ．3； B ．6； C ．7； D ．8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生 的S S ?上一个划分共有（ ）个分块。 A ．4； B ．5； C ．6； D ．9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 的关系图为 则R 具有（ ）性质。 A ．自反性、对称性、传递性； B ．反自反性、反对称性； C ．反自反性、反对称性、传递性； D ．自反性 。 离散数学作业 一、选择题 1、下列语句中哪个就是真命题(C )。 A.我正在说谎。 B.如果1+2=3,那么雪就是黑色的。 C.如果1+2=5,那么雪就是白色的。 D.严禁吸烟！ 2、设命题公式))((r q p p G →∧→=,则G 就是( C )。 A 、 恒假的 B 、 恒真的 C 、 可满足的 D 、 析取范式 3、谓词公式),,(),,(z y x yG x z y x F ??→中的变元x ( C )。 A.就是自由变元但不就是约束变元 B.既不就是自由变元又不就是约束变元 C.既就是自由变元又就是约束变元 D.就是约束变元但不就是自由变元 4、设A={1,2,3},则下列关系R 不就是等价关系的就是(C ) A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>} B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<2,3>,<3,2>} C.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,4>} D.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>,<2,1>, <3,1>,<3,2>} 5、设R 为实数集,映射σ=R →R,σ(x)= -x 2+2x-1,则σ就是( D )。 A.单射而非满射 B.满射而非单射 C.双射 D.既不就是单射,也不就是满射 6、下列二元运算在所给的集合上不封闭的就是( D ) A 、 S={2x-1|x ∈Z +},S 关于普通的乘法运算 B 、 S={0,1},S 关于普通的乘法运算 C 、 整数集合Z 与普通的减法运算 D 、 S={x | x=2n ,n ∈Z +},S 关于普通的加法运算 7、*运算如下表所示,哪个能使({a,b},*)成为含幺元半群( D ) b b b a a a b a * a b b b a a b a * 8( A )100道离散数学填空题分解
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